补充内容 §2 参数的点估计
例2.1 设总体服从泊松分布X ~P (λ)，X 1,X 2,…,X n 为来自X 的样本，求λ的矩估计量与λ
的极大似然估计。
解 因E (X )=λ，D (X )=λ.。所以λ的矩估计量为X =λ?或2?n
S =λ。 X ~P (λ)，其分布律为 )(x X P ==!
x e x λλ-， x =0,1,2,?
设x 1,x 2,…,x n 为样本观察值，则似然函数
),,,(21λn x x x L =∏∏=-=-∑=n
i i x n n
i i x x e x e i i 1
1
!
!λλλλ ∑∑==-?+-=n
i i n i i x x n L 1
1
!ln ln ln λλ
令 0
ln 1
=+-=∑=λ
λn
i i
x n d L d ，解得λ的极大似然估计 x x n n
i i ==∑=1
1?λ。 例2.2 设总体X 的概率密度函数为???<<=-其它0
10),(1x x x f θθθ,其中0θ>为未知参
数，X 1,X 2,…,X n 为来自X 的样本，试求θ的矩估计与极大似然估计。
解 因为 θ
θ
θθθθ+=
===???
-∞+∞
-1)(1
10
1dx x dx x x dx x xf EX
令θ
θ
+==1EX X ，解得θ 的矩估计量为X
X -=
1?θ。 似然函数1
1
121
1
(,,
,)()
n
n
n
n i
i i i L x x x x x θθθθθ--====∏∏，1
ln ln (1)ln n
i i L n x θθ==+-∑
令1
ln ln 0,n
i i d L n x d θθ==+=∑解得θ的极大似然估计 1
?ln n
i
i n
x
θ
==-∑
练习题
2.1 从一批电子元件中抽取8个进行寿命测验,得到如下数据(单位:h):
1050 1100 1130, 1040, 1250, 1300, 1200, 1080
试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计.
2.2 设X 1,X 2,…,X n 是容量为n 的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与极大似然估计量。已知总体的分布密度如下：
(1) f (x ;α)=(α+1)x α,0 (2) ???? ?≤≤=-其它 , 010,);(1 x x x f θθθ，其中0>θ为未知参数； §3 区间估计 例3.1 一车间生产滚珠直径服从正态分布，从某天的产品里随机抽取6个，测得直径为(单位：mm) 14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1 若该天产品直径的方差σ2=0.06，求该天生产的滚珠平均直径μ的置信区间(α=0.01;α=0.05)。 解 因为σ2=0.06，由式(2.2.2)知μ的1-α的置信区间为),(2 2 αασ σ u n X u n X + - 。 当α=0.01时，查正态分布表得2 αu =2.58，计算得,95.14=x 将,95.14=x σ2=0.06, n =6,u 0.005=2.58，代入上述置信区间，得μ的99%置信区间为(14.95-6 06.058.2,14.95+606.058.2)=(14.69, 15.21) 当α=0.05时，查正态分布表得2 αu =1.96，类似求得μ的95%的置信区间为(14.75，15.15)。 例 3.2 水体中的污水和工业污染的多少会通过减少水中被溶解的氧气而影响水体的 水质，生物的生长与生存有赖于正中氧气。两个月内，从污水处理厂下游1英里处的一条小河里取得8个水样。检测水样里溶解的氧气含量，数据列表2.2.1。 表2.2.1 水样 1 2 3 4 5 6 7 8 n 氧(ppm) 5.1 4.9 5.6 4.2 4.8 4.5 5.3 5.2 8 根据最近的研究，为了保证鱼的生存，水中溶解的氧气的平均含量需达到百万分之五，即5.0ppm.试求两个月期间平均氧气含量的95%的置信区间(假定样本来自正态总体)。 解 σ2未知,所以由式(2.2.3)知μ的1-α置信区间为))1(),1((22-+--n t n S X n t n S X αα，由 已知n =8，1-α=0.95，查附表2得t 0.025(7)=2.3646，由样本计算得x =4.95，S =0.45，故μ的 1-α的置信区间为(4.78，5.12)。 例3.3 从自动机床加工的同类零件中随机地抽取10件测得其长度值为(单位:mm) 12.15 , 12.12, 12.10 , 12.28 , 12.09, 12.16 , 12.03 , 12.01 , 12.06 ,12.11 . 假定样本来自正态总体，试求方差σ2的95%的置信区间。 解 已知 α=0.05，查附表3得7 .2)9()1(2975.022 1==--χαn χ, 023.19)9()1(2025.022 ==-χαn χ, 又由已知数据算得 S =0.076, 于是003.0023.19076.09)1()1(22 2 2=?=--n S n αχ, 019.07.2076.09) 1()1(222 12=?=--- n S n αχ， 所以，方差σ2的95%的置信区间是])1(,)1([22 12 22 2 α αχχ---S n S n =[0.003,0.019]。 练习题 2.3 某乡农民在联产承包责任制前，人均纯收入X ~N (300,252)(单位：元)，推行联产承包责任制后，在该乡抽得n =16的样本得325x = 元，假设2252σ=没有变化，试确定μ的95%的置信区间。 2.4 为了估计一分钟一次广告的平均费用，抽取了15个电台作为一个简单随机样本，算得样本均值806x =元，样本标准差S =416。假定一分钟一次的广告费X ~N (μ,σ2)，试求μ的0.95的置信区间. 2.5 1990年在某市调查14户城镇居民，得平均户人均购买食用植物油为8.7x kg =标准差为S =1.67kg 。假设人均食用植物油量() 2~,X N μσ，求 (1)总体均值μ的95%的置信区间； (2)总体方差2 σ的90%的置信区间。 §4 参数假设检验 例4.1 正常人的脉搏平均每分钟72次，某医生测得10例四乙基铅中毒患者的脉搏数 (次/分)如下 54，67，68，78，70，66，67，65，69，70 已知人的脉搏次数服从正态分布，试问四乙基铅中毒患者的脉搏和正常人的脉搏有无显著差异？(α=0.05) 解 以X 表示脉搏次数，依题意设X ~N (μ,σ2) (σ2未知)，要检验假设 H 0：μ=72， H 1：μ≠72。 由式(3.2)知H 0的拒绝域为 )1(2 00-≥-=n t n X T ασμ 由样本算得 929.5,4.67==S x 查表2622.2)9()1(025.02 ==-t n t α 2622.2453.210 929.5724.6700>=-=-= n X T σμ 故拒绝H 0，认为乙基铅中毒患者的脉搏和正常人的脉搏有显著差异。 例 4.3 某工厂生产的保健饮料中游离氨基酸含量(mg/100ml)在正常情况下服从正态分 布N (200,252)。某生产日抽测了6个样品，得数据如下： 205，170，185，210，230，190 试问这一天生产的产品游离氨基酸含量的总方差是否正常。 解 建立原假设H 0：220225==σσ 由α=0.05，n =6，查附表3得831 .0)5(,833.12)5(2 975.02025.0==χχ，由样本均值算得477,1982==S x ，所以576.325 4475)1(2 202 20=?=-=σχS n ，由于2025.0202975.0χχχ<<，故接受H 0，即这一天生产的产品中游离氨基酸含量的总体方差正常。 类似于均值的检验，方差也有单边检验的问题，见表3.2.1。 例 4.4 一个混杂的小麦品种，株高标准差σ0=14(cm)，经提纯后随机抽取10株，株高(单位：cm)为：90，105，101，95，100，100，101，105，93，97,考察提纯后的群体是否比原来群体整齐？（α=0.01） 解 已知小麦株高服从正态分布，现在要检验假设 222201:14,:14H H σσ=< 小麦经提纯后株高只能更整齐，不会变得更离散，即σ2不会大于142。 现取α=0.01，检验统计量选为2 222 (1)~(1)n S n χχσ -=-，由附表3知()2210.99(1)9 2.088n αχχ--==, 得H 0的拒绝域为)1(2120-≤-n αχχ，由样本算得088.2113.114 1.2182 20<==χ在拒绝域内，故拒绝H 0接受H 1，即提纯后的株高高度更整齐。 练习题 3.1 某砖厂生产的砖头的抗断强度X (105Pa)服从正态分布，设方差σ2=1.21，从产品中随 机地抽取6块，测得抗断强度值为 32.66，29.86，31.74，30.15，32.88，31.05 试检验这批砖头的平均抗断强度是否为32.50?105Pa (α=0.05)？ 3.2 某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为(%):3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24, 设测定值总体服从正态分布，但参数均未知。问在α=0.01下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25。 3.7 假定考生成绩服从正态分布,在某地一次数学统考中,随机抽取了36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩70分? 3.8考察一鱼塘中的含汞量,随机地取10条鱼测得各条鱼的含汞量(单位:mg)为 0.8 1.6 0.9 0.8 1.2 0.4 0.7 1.0 1.2 1.1 设鱼的含汞量服从正态分布2 (,)N μσ,试检验假设0: 1.2H μ≤，1: 1.2H μ>(0.10α=). 3.9某电工器材厂生产一种保险丝.测量其熔化时间,依通常情况方差为400,今从某天产品中抽取容量为25的样本,测量其熔化时间并计算得62.24x = 2 404.77s =,问这天保险丝熔化时间分散度与通常有无显著差异(0.05α=,假定熔化时间服从正态分布)? 教材内容 第2章 试验数据的描述性统计分析 例2.1.1 从19个杆塔上的普通盘形绝缘子测得该层电导率(μs)的数据如表2.1.1。 计算该层电导率的%,,,,,2 CV S S R x 并解释所得结果。 补充例题：某食品厂用自动装罐机生产净重量为345克的午餐肉罐头,由于随机性,每个罐头的净重有差别,现从中随机取10个罐头, 试由这批数据构造经验分布函数并作图。 344,336,345,342,340,338,344, 343, 344,343 解：顺序统计量336,338,340,342,343,344,345 例2.4.1根据调查,某集团公司的中层管理人员的年薪数据如表2.4.1(单位:千元)。 根据数据构造茎叶图。 解：先将数字顺序化得表2.4.2。 则管理人员的年薪的茎叶图见图： 34 7 35 1 36 2 7 9 37 0 1 7 8 9 38 3 6 8 9 39 2 6 6 40 0 6 41 7 例2.5.1 某公司对应聘人员进行能力测试，测试成绩总分为150分，下面是50位应聘人员的测试成绩(已经过排序)，见表2.5.1. 试做综合性分析。见书p34---2.6 习题2 2.1 调查两个小麦品种的每穗小穗数，每品种计数10个麦穗，经整理后的数据如下： 甲：13 14 15 17 18 18 19 21 22 23 乙：16 16 17 18 18 18 18 19 20 20 分别计算两个品种的%,,,,,2 CV S S R x 并解释所得结果。 2.2 以下是某工厂通过抽样调查得到的10名工人一周内生产的产品数, 试由这批数据构造经验分布函数并作图。 149，156，160，138，149，153，169，156，156 2.4 对表2.2数据构造茎叶图。 第3章 试验数据误差的统计分析 例3.1.1 在森林资源调查过程中，为分析测量者的测量误差，该测量者测量某森林木胸径15次，数据列于表3.1.1，检验并舍去异常数据。 解 计算得：x cm ，cm ，本题中与?x 偏差最大值x b =x 8=20.30， 099.0?3104.08=>=-σ x x 按拉依达法则，x 8属异常数据应剔除。余下数据再计算 411.200=x cm ，?016.0?0=σcm 数据中与0x 误差最大值是x 7=20.39，而 048.0?3021.0007=<=-σ x x ， 故合理。 或：将数据先顺序化 计算得：x cm ，cm ，本题中与x 偏差最大值20.30， 099.0?3104.030.20=>=-σ x 按拉依达法则，20.30属异常数据应剔除。余下数据再计算 411.200=x cm ，?016.0?0=σcm 数据中与0x 误差最大值是20.39，而 048.0?3021.039.2000=<=-σ x ， 故合理。 例3.1.2 对某物理量进行15次等精度测量，测量值为如表3.1.2。 试判断该测量数据的坏值，并剔除。 例 3.2.1 某厂进行技术改造，以减少工业酒精中甲醇的含量的波动性。原工艺生产的工业酒精中甲醇含量的方差σ2=0.35，技术改造后，进行抽样检验，样品数为25个，结果样品甲醇含量的方差s 2=0.15，问(1) 技术改革后工业酒精中甲醇含量的波动性较以往是否有显著性差异？(2) 技术改革后工业酒精中甲醇含量的波动性是否更小？(α=0.05) 解 (1) 是双尾检验H 0:σ2=0.35,H 1: σ2≠0.35； 3.1035 .015 .024)1(22 2 =?= -= σχs n α=0.05，由附表2知975.21)24(,364.39)24(2 975.02025.0==χχ， 显然2 χ落在区间(12.975，39.364)之外，故拒绝H 0,即技术改革后工业酒精中甲醇含量的波动性较以往是有显著性差异。 (2) 技术改革后工业酒精中甲醇含量的波动性是否更小，只要检验技改后的方差有显著性减小即可。是左尾检验H 0:σ2=0.35, H 1: σ2＜0.35。 由α=0.05，848.13)24(2 95.0=χ>2 χ =10.3，故拒绝H 0,接受H 1。 说明技改后产品中甲醇含量的波动较之前有显著减少，技改对稳定工业酒精的质量有明显效果。 例3.2.3 用原子吸收光谱法(新法)和EDTA(旧法)测定某废水中AL 3+的含量(%)，测定结果如下： 新法：0.163，0.175，0.159，0.168，0.169，0.161，0.166，0.179，0.174，0.173 旧法：0.153，0.181，0.165，0.155，0.156，0.161，0.175，0.174，0.164，0.183，0.179 试问：(1) 两种方法的精密度是否有显著差异？(2) 新法比旧法的精密度是否有显著提高？(α=0.05) 解 (1) 依题意，新法的方差可能比旧法大也可能小，所以采用F 双尾检验，即检验 ,:2 2210σσ=H 根据试验值计算出两种方法的方差及F 值： 42 25211011.1,1086.3--?=?=s s 348.310 11.11086.34 52221=??==--s s F 由显著性水平α=0.05，查F 分布表得F 0.975(9,10)=0.252, F 0.25(9,10)=3.779。所以F 0.975(9,10) (2) 依题意，要判断新法是否比旧法的精密度更高，只要检验新法比旧法的方差有显著性减小即可，这是F 单尾(左尾)检验。由α=0.05，查F 分布表得F 0.95(9,10)=0.319。所以F > F 0.95(9,10)，说明新法比旧法的方差没有显著性减小，即新法比旧法的精密度没有显著提高。 习题3 3.2 对同一铜合金，有10个分析人员分别进行分析，测得其中铜含量(%)的数据为： 62.20，69.49，70.30，70.65，70.82，71.03，71.22，71.25，71.33，71.38(%)， 问这些数据中哪个(些)数据应被舍去，试检验。(α=0.05) 3.3 一个混杂的小麦品种，株高标准差σ0=14(cm)，经提纯后随机抽取10株，株高(单位：cm)为： 90，105，101，95，100，100，101，105，93，97， 考察提纯后的群体是否比原来群体整齐？(α=0.01) 3.5 A,B 两人用同一分析方法测定金属钠中的铁，测的铁含量(μg /g )分别为： 分析人员A ：8.0，8.0，10.0，10.0，6.0，6.0， 4.0，6.0，6.0，8.0； 分析人员B ：7.5，7.5，4.5，4.0， 5.5，8.0，7.5，7.5，5.5，8.0， 试问A 与B 两人测定铁的精密度是否有显著差异？(α=0.05) 第4章 试验数据的方差分析 例4.1.1 某公司采用四种方式推销其产品。为检验不同方式推销产品的效果，随机抽样得表4.1.3。 解 检验假设 43210:μμμμ===H ， 即推销方式对销售量影响不显著； 43211,,,:μμμμH 不全相等， 即推销方式对销售量有显著影响。 由于0>01.0(3,16)，故拒绝0，即推销方式对销售量有显著影响。 表4.1.6 各均值比较表 由表4.1.5比较结果说明A 2与A 3、A 2与A 4差异高度显著，A 1与A 3、A 2与A 1差异显著。 LSD 法只适用于等重复试验两两独立子样间的均值检验，只不过是找到一个公共的LSD а多次重复使用而已。 习题 4 4.1 有四个不同的实验室试制同一型号的纸张，为比较各实验室生产纸张的光滑度，测量了每个实验室生产的8张纸，测得光滑度见表4.1。 假设上述数据服从方差分析模型，试检验各个实验室生产的纸张的光滑度是否有显著差异？如果显著，显著的差异存在于哪些水平对？ 4.2 在饲料对样鸡增肥的研究中，某研究所提出三种饲料配方：A 1是以鱼粉为主的饲料，A 2是以槐树粉为主的饲料，A 3是以苜蓿粉为主的饲料。为比较三种饲料的效果，特选30只雏鸡随机均分为三组，每组各喂一种饲料，60天后观察它们的重量。实验结果如表4.2。 在显著性水平=0.05下，进行方差分析，可以得到哪些结果？ 5章 试验数据的回归分析 例5.1.1 为研究某合成物的转化率T 与实验中的压强p (atm)的关系，得到如表5.1.1的试验数据。试建立转化率与压强之间一元线性回归方程。 x y 4573.01552.1?+= 假设H 0：b =0；H 1：b ≠0。 由表5.1.3知，回归方程是高度显著的。 拟合程度的测定： 9936.00325 .79426 .6=== SST SSR r r 很接近于1，表明回归直线对样本数据点的拟合程度很高。 由表5.1.3知，MSE =0.029985，故估计标准误差为 1732.0==MSE S 表明回归标准误差很小。 预测当压强为x =6atm 时，转化率y 0的点估计为 0?y =1.1552+0.45729?6=3.8989 这里，1732.0==MSE S 转化率y 0的置信度为0.95的置信区间为 (3.89894-2?0.1732，3.89894+2?0.1732)， 即(3.5525，4.2453)。 例 5.4.2 炼钢过程中用来盛钢水的钢包，由于受钢水的侵蚀作用，容积会不断扩大，表5.4.4给出了使用次数x 和容积增大量y 的15对试验数据。已知两个变量x 和y 之间存在相关关系，试找出x 与y 的关系式，并研究其相应的统计推断问题。 解 散点图 通过比较双曲线拟合的剩余标准误差小、可决系数大，效果最佳。效果最好。 拟合曲线方程是y=11.3944-9.6006/x 方差分析表 R = 0.9838， Sy = 0.2202 习题5 5.2 考察温度对产量的影响，测得下列10组数据，如表5.2。 (1) 试建立x 与y 之间的回归方程式；(2) 对其回归方程进行效果检验；(3) 预测x =42?C 时产量的估计值及预测区间(置信度95％)。 5.5 混凝土的抗压强度随养护时间的延长而增加。现将一批混凝土作成12个试块，记录了养护时间x (天)及抗压强度y (kg/cm 2)的数据如表5.5。 试求b x a y +=ln 型回归方程，并求出误差标准差y S . 5.6 在彩色显像管中根据以往经验,形成染料光学密度y 与析出银的光学密度x 之间有下面类型的关系式： 0,>+=-b ae y x b ε 现对y 及x 同时作11次观测，得11组数据(x i ,y i )如表5.6。 试求回归曲线方程。 第6章正交试验设计 例6.2.1烟灰砖折断力试验 某研究组为了提高烟灰砖的折断力，需要通过正交试验寻找用烟灰制造砖的最佳工艺条件。 解本例以折断力作为试验指标，来评价烟灰制造砖的最佳工艺条件，折断力越大越好。根据生产经验和专业技术人员的分析，影响烟灰砖折断力主要有成型水分、碾压时间和一次碾压料重三个因素，每个因素分别取了三个水平进行试验，得因素水平表见表6.2.1。 由表6.3.4可见，因素A显著，因素B，C不显著，因素作用的主次顺序是ACB。 例6.4.3某厂生产水泥花砖,其抗压强度取决于三个因素：A水泥的含量，B水分，C 添加剂,每个因素都有两个水平，具体数值如表6.4.5所示。 每两个因素之间都有交互作用，必须考虑。试验指标为抗压强度(kg/cm),越高越好。 解选用正交表L8(27)安排试验得试验方案及试验结果见表6.4.6。 因素A、B的二元表 'A\B' 'B1' 'B2' 'A1' [140.5] [149.4] 'A2' [145.2] [133.5] 由二元表可见，A1B2试验指标值较高，为优搭配，所以最优水平组合为A1B2C2。即水泥含量60，水分3.5，添加剂12:1时，抗压强度最高。 方差分析表 由方差分析表可见，因素C、交互作用A?B显著，其他均不显著。 习题6 6.2啤酒酵母最适自溶条件试验 自溶酵母提取物是一种多用途食品配料。为探讨外加中型蛋白酶方法，需作啤酒酵母的最适自溶条件试验。试通过正交试验寻找最优工艺条件，因素水平表6.3所示。 选用L9(3)安排试验，试验方案及试验结果见表6.4。 6.4用石墨炉原子吸收分光光度试验 用石墨炉原子吸收分光光度法测定食品中的铅，为了提高测定灵敏度，希望吸光度越大越好，今欲研究影响吸光度的因素，确定最佳测定条件。因素水平表如表6.7所示。 选用L8(27)安排试验，试安排试验方案，并作结果分析6.8。 Word 资料. 复习题一 一、选择题 1．设随机变量X 的概率密度21 ()01x x f x x θ-?>=?≤?，则θ=（ ）。 A ．1 Ｂ. 12 C. -1 Ｄ. 3 2 2．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现4点的概率为（ ）。 A ． 12 Ｂ. 23 C. 16 Ｄ. 1 3 3．设)(~),(~22221221n n χχχχ，2 221,χχ独立，则~2221χχ+（ ）。 A ．)(~22221n χχχ+ Ｂ. ~2 221χχ+)1(2 -n χ C. 2212~()t n χχ+ Ｄ. ~2221χχ+)(212 n n +χ 4．若随机变量12Y X X =+，且12,X X 相互独立。~(0,1)i X N （1,2i =），则（ ）。 A ．~(0,1)Y N Ｂ. ~(0,2)Y N C. Y 不服从正态分布 Ｄ. ~(1,1)Y N 5．设)4,1(~N X ，则{0 1.6}P X <<=（ ）。 A ．0.3094 Ｂ. 0.1457 C. 0.3541 Ｄ. 0.2543 二、填空题 1．设有5个元件，其中有2件次品，今从中任取出1件为次品的概率为 2．设,A B 为互不相容的随机事件，()0.1,()0.7,P A P B ==则()P A B =U 3．设()D X =5, ()D Y =8,,X Y 相互独立。则()D X Y += 4．设随机变量X 的概率密度?? ?≤≤=其它 , 010, 1)(x x f 则{}0.2P X >= 三、计算题 1．设某种灯泡的寿命是随机变量X ，其概率密度函数为 5,0 ()0, 0x Be x f x x -?>=?≤? (1)确定常数B (2)求{0.2}P X > (3)求分布函数()F x 。 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 《应用数理统计》复习题 第一章 概率知识 一、一袋中有5个球，编号1、2、3、4、5. 现从中任取3个，以X 表示所取球的号码的最大值， 求X 的概率分布律. 解：X 的可能取值为3、4、5， 1.010 1 }3{35 33== ==C C X P ， 3.0103 }4{352311====C C C X P ， 6.010 6 }5{35 2411== = =C C C X P ， 故X 的概率分布律为 6 .03.01.05 43k p X . 二、设连续型随机变量X 的密度函数为?? ?<≤=., 0, 10,)(其它x Ax x f （1）求常数A ；（2）求X 的分布函数)(x F . 解：（1）由完备性：? ∞+∞ -=1)(dx x f ， 有 11 =?Ax , 解得2=A . （2）t d t f x F x ?∞ -=)()( 当0≤x 时， 0)(}{)(?∞ -==≤=x dt t f x X P x F ， 当10≤ 2、0cos 21 )(22 ??∞ ∞--===π πxdx x dx x xf EX ； ???∞ ∞---====22202 2 22 2 14cos cos 21)(πππ πxdx x xdx x dx x f x EX ; 14 )(2 2 2-= -=∴πEX EX DX . 四、若随机(X ,Y )在以原点为中心的单位圆上服从均匀分布，证明X ,Y 不相互独立. 解：依题意有(X ,Y )的概率密度为221/, 1; (,)0, x y f x y π?+≤=??其它. . 故 11, 11()(,)0, 0, X x x f x f x y dy +∞ -∞ ?-≤≤-≤≤?===????? ? 其它其它; 同理 11()0, Y y f y -≤≤=??其它 . 于是(,)()()X Y f x y f x f y ≠, X 与Y 不相互独立. 五、设X 的概率密度为? ? ?≤≤+=.,0,10,)(其它x bx a x f ，且已知EX =127求DX . 解：由概率密度的完备性有： 1= ?? += ∞+∞ -1 d )(d )(x bx a x x f =b a 5.0+, 且有12 7 =EX = ? ? += ∞+∞ -10 d )(d )(x bx a x x x xf = 3 2b a +, 联立上述两式解得: 1,5.0== b a 又= )(2X E 12 5 d )5.0(1 02= +? x x x , 于是 =DX =-22)()(EX X E 2)12 7(125-14411=. 六、1．设随机变量)3,2(~2 N X ，)()(C X P C X P >=<，则=C （ A ）. A . 2 B . 3 C . 9 D . 0 2. 设随机变量),(~2 σμN X ，则随σ增大，}|{|σμ<-X P ( C ). (A) 单调增大； (B) 单调减小； (C) 保持不变； (D) 增减不定 ★编号：重科院（ ）考字第（ ）号 第 1 页 复习题一 一、选择题 1．设随机变量X 的概率密度21 ()0 1x x f x x θ-?>=?≤?，则θ=（ ）。 A ．1 Ｂ. 12 C. -1 Ｄ. 3 2 2．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现4点的概率为（ ）。 A ．12 Ｂ. 23 C. 16 Ｄ. 13 3．设)(~),(~22221221n n χχχχ，2 221,χχ独立，则~2221χχ+（ ）。 A ．)(~22221n χχχ+ Ｂ. ~2 221χχ+)1(2 -n χ C. 2212~()t n χχ+ Ｄ. ~2221χχ+)(212 n n +χ 4．若随机变量12Y X X =+，且12,X X 相互独立。~(0,1)i X N （1,2i =），则（ ）。 A ．~(0,1)Y N Ｂ. ~(0,2)Y N C. Y 不服从正态分布 Ｄ. ~(1,1)Y N 5．设)4,1(~N X ，则{0 1.6}P X <<=（ ）。 A ．0.3094 Ｂ. 0.1457 C. 0.3541 Ｄ. 0.2543 二、填空题 1．设有5个元件，其中有2件次品，今从中任取出1件为次品的概率为 2．设,A B 为互不相容的随机事件，()0.1,()0.7,P A P B ==则()P A B =U 3．设()D X =5, ()D Y =8,,X Y 相互独立。则()D X Y += 4．设随机变量X 的概率密度?? ?≤≤=其它 , 010, 1)(x x f 则{}0.2P X >= 三、计算题 1．设某种灯泡的寿命是随机变量X ，其概率密度函数为 5,0 ()0, 0x Be x f x x -?>=?≤? (1)确定常数B (2)求{0.2}P X > (3)求分布函数()F x 。 2．甲、乙、丙三个工厂生产同一种产品，每个厂的产量分别占总产量的40％，35％， 25％，这三个厂的次品率分别为0.02, 0.04，0.05。现从三个厂生产的一批产品中任取 2009期末复习题 注：这份答案是在2009年最后一晚做出来的，时间比较紧，所以可能有些地方不严谨，有什么错误还请各位多包涵。 处理一个问题有很多合理的办法，这份答案所列出的只不过代表个人的想法，仅供参考。 这份答案算是送大家的新年礼物吧，预祝大家期末考试顺利，一年都有好运 孟帅 1. 设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从正态分布N(0,32),而 921,,,X X X 和921,,,Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的样本,则统计量U = 29 22 21 921Y Y Y X X X ++++++ 服从什么分布？为什么？ 解：分子分母同除以9得到 服从N （0，1）， 服从X 2（9）分布，因此U 服从 t （9）分布（课本92页） 2．某大学来自A,B 两市的新生中分别抽取10名和11名男生调查身 高，测得他们的身高分别为cm x 176=，cm y 172=，样本方差分别为3.1121=S ， 1.92 2=S 。不妨设两个城市的男生的身高分别服从正态分布),(2 1σμN 和 ),(22σμN ，求21μμ-的 95％的置信区间,并请在0.05水平下判断两个城 市的男生身高是否相等？ 解： 但是 未知，构造111页） 9 1i X ∑9119i i X =∑ 92 1 3 i i Y =()∑ 22 212σ=σ=σ2σ1 2 X Y --μ-μ 。 =10， =11， =11.3， =9.1， =176， =172。代入T 表达式得到 T= 。 T 服从t （ + -2）查附表7得到 =2.093 得到 的置信区间为： （1.088，6.912） 这个区间不包含0，可以直接判定在0.05水平下两城市男生身 高不相等。如果想严谨一点就在进行假设检验： 原假设：两城市男生身高相等；备择：两城市男生身高不等。 检验统计量 ，和 比较。 如果T 大于 ，拒绝原假设，否则接受。 3．随机调查了某校200名沙眼患者，经用某种疗法治疗一定时期后治愈168人，试求总体治愈率的95%置信区间。 解：样本率p=0.84，用大样本正态近似法求解，置信区间为： （ ， ）（课本115页） S ω1n 2n 21 S 22 S X Y 1n 2 n ()1241.3915 -μ-μ() 12μ-μ()2 19t 0.05X Y -()219t 0.05() 2 19t 0.052 p u α-2 p u α+ 四川理工学院试卷（2014至2015学年第1学期） 课程名称：数理统计（A 卷） 命题教师： 适用班级：统计系2013级1、2班 注意事项： 1、满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。 3、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、填空题（每空3分，共 24 分） 1. 设1621,,,X X X 是来自总体X ),4(~2σN 的简单随机样本， 2σ已知，令∑==16 1161i i X X ，统计量σ -164X 服从分布为 （写出分布的参数）。 2. 设),(~2σμN X ，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体X 中抽取的样本，则μ的矩估计值为 __________ 。 3. 设12,, ,n X X X 是来自总体X ~(1,1)U -的样本， 则()E X =___________， ()Var X =__________________。 4．已知~(,)F F m n ，则 1 ~F 5. ?θ和?β 都是参数a 的无偏估计，如果有_________________成立 ，则称?θ是比 ?β 有效的估计。 6．设()2,0.3X N μ~，容量9n =，均值5X =，则未知参数μ的置信度为0.95 的置信区间是___________________ (查表0.975 1.96U =） 7. 设123456,,,,,X X X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本，令 22123456()()Y X X X X X X =+++-- 则当C = 时CY ～2(2)χ。 二、选择题（每小题3分，共 24分 ） 1. 已知n X X X ,,,21 是来自总体2(,)N μσ的样本，μ已知，2σ未知，则下列是统计量的是（ ） （A ）2 1()n i i X X =-∑ （B ） 22 1 1 ()n i i X X σ =-∑ (C) 2 211 ()n i i X μσ=-∑ (D) 2 21 ()11n i i X n μσ=--∑ 2．设),,,(21n X X X 为总体),(2σμN 的一个样本，X 为样本均值，则在总体方差2σ的下列估计量中，为无偏估计量的是（ ）. （A ）221 11?()n i i X X n σ==-∑ （B ）2221 1?()1n i i X X n σ==--∑ (C)223 11?()n i i X n σμ==-∑ (D)2 241 1?()1n i i X n σμ==--∑ 3. 设81,,X X 和101,,Y Y 是分别来自相互独立的正态总体)2,1(2-N 和)5,2(N 的 样本, 21S 和2 2S 分别是其样本方差，则下列服从)9,7(F 的统计量是( ) )(A 222152S S )(B 22 2 145S S )(C 2 22154S S )(D 222125S S 数理统计 一、填空题 1．设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。 2．设母体 ),,(~2 N X 已知，则在求均值 的区间估计时，使用的随机变量为 3．设母体X 服从方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 4．假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生 5．某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。 6．某地区的年降雨量),(~2 N X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2 的矩估计值为 。 7．设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2 N 与 )1,2(N ， 22 21,S S 分别是两个子样的方差，令2 2222121)(,S b a aS ，已知)4(~),20(~22 2221 ，则__________, b a 。 8．假设随机变量)(~n t X ，则 2 1 X 服从分布 。 9．假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2 X P ，则____ 。 10．设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ， X 为子样均值，而 01.0)( X P ， 则____ 11．假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2 N ，令 16 11 10 1 43 i i i i X X Y ，则Y 的 分布 应用数理统计复习题 1.设总体~(20,3)X N ，有容量分别为10，15的两个独立样本，求它们的样本均值之差的绝对值小于0.3的概率. 解：设两样本均值分别为,X Y ，则1~(0,)2 X Y N - (||0.3)(0.424)(0.424)0.328P X Y -<=Φ-Φ-= 其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，求θ的矩估计和最大似然估计. 解：（1）矩估计：2 2 22(1)3(1)23EX θθθθθ=+?-+-=-+ 14 (121)33 X =++= 令EX X =，得5?6 θ=. （2）最大似然估计： 2 2 5 6 ()2(1)22L θθθθθθθ=??-=- 45ln() 10120d d θθθθ=-= 得5?6 θ= 3. 设某厂产品的重量服从正态分布，但它的数学期望μ和方差2 σ均未知，抽查10件，测得重量为i X 斤10,,2,1Λ=i 。算出 10 11 5.410i i X X ===∑ 10 21 () 3.6i i X X =-=∑ 给定检验水平0.05 α=，能否认为该厂产品的平均重量为5.0斤？ 附：t 1-0.025(9)=2.2622 t 1-0.025(10)=2.2281 t 1-0.05(9)=1.8331 t 1-0.05(10)=1.8125 解: 检验统计量为0 | |/X T S n m -= 将已知数据代入，得2t = = 1/2 0.975(1)(9) 2.26222t n t a - -==> 所以接受0H 。 4. 在单因素方差分析中，因素A 有3个水平，每个水平各做4次重复实验，完成下列方差分析表，在显著水平0.05α=下对因素A 是否显著做检验。 解： 0.95(2,9) 4.26F =，7.5 4.26F =>，认为因素A 是显著的. 5. 现收集了16组合金钢中的碳含量x 及强度y 的数据，求得 0.125,45.7886,0.3024,25.5218xx xy x y L L ====，2432.4566yy L =. （1）建立y 关于x 的一元线性回归方程01 ???y x ββ=+； （2）对回归系数1β做显著性检验（0.05α=）. 解：（1）1 25.5218 ?84.39750.3024 xy xx l l β== = 01 ??35.2389y x ββ=-= 所以，?35.238984.3975y x =+ （2）1?2432.456684.397525.5218278.4805e yy xy Q l l β=-=-?= 2 278.4805 ?19.8915214 e Q n σ ===- ? 4.46σ == ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=, P(B) = , 则 P(A－B)=（）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击 中敌机的概率为．求敌机被击中的概率为（）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可 表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障 的概率依次为，，，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二 次的概率为（）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为 （ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可 表示为（AB AC BC）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=, P(B) = , 则 P(A|B)= （）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为．求敌机被击中的概率为（ ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A -)= （ ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的 概率依次为，，，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ ）。 12. 若事件 A ? B 且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A )=（ ）; 13. 若事件 A 与事件 B 互不相容，且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A )= （ ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =（ S ） 15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为 （ ABC ABC ABC ++ ） 16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =则(|)P AB A B =（ ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ） 18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概 率为（ 1 10000 ）。 二、选择填空题 概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望 材料学院研究生会 学术部 2011年12月 2007-2008学年第一学期期末试卷 一、（6分，A 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，令 )x x T -= ， 试证明T 服从t -分布t （2） 二、（6分，B 班不做）统计量F-F(n,m)分布，证明 111(,)F F n m αααα-的（0<<1）的分位点x 是。 三、（8分）设总体X 的密度函数为 其中1α>-，是位置参数。x 1，x 2，…，x n 是来自总体X 的简单样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计。 四、（12分）设总体X 的密度函数为 1x exp x (;) 0 , p x μμσσσ??-? -≥??? =????? ，其它， 其中,0,μμσσ-∞<<+∞>已知，是未知参数。x 1，x 2，…，x n 是来自总体X 的简单样本。 （1）试求参数σ的一致最小方差无偏估计σ∧ ； （2）σ∧ 是否为σ的有效估计？证明你的结论。 五、（6分，A 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体211(,)N μσ的简单样本，y 1，y 2，…，y n 是来自正态总体222(,)N μσ的简单样本，且两样本相互独立，其中221122,,,μσμσ是未知参数，2212σσ≠。为检验假设012112:, :,H H μμμμ=≠可令12, 1,2,..., , ,i i i z x y i n μμμ=-==-则上述假设检验问题等价于0111:0, :0,H H μμ=≠这样双样本检验问题就变为单检验问题。基于变换后样本z 1，z 2，…，z n ，在显著性水平α下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。 六、（6分，B 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体20(,)N μσ的简单样本，0μ已知，2σ未知，试求假设检验问题 22220010:, :H H σσσσ≥<的水平为α 的UMPT 。 七、（6分）根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面？ 八、（6分）设方差分析模型为 总离差平方和 试求A E(S )，并根据直观分析给出检验假设012:...0P H ααα====的拒绝域形式。 九、（8分）某个四因素二水平试验，除考察因子A 、B 、C 、D 外，还需考察A B ?，B C ?。今选用表78(2)L ，表头设计及试验数据如表所示。试用极差分析指出因子的主次顺序和较优工艺条件。 武汉大学2009－2010年度上学期研究生公共课 《应用数理统计》期末考试试题 （每题25分，共计100分） （请将答案写在答题纸上） 1设X 服从),0(θ上的均匀分布，其密度函数为 ?????<<=其它0 01)(θθx x f n X X X ,,,21" 为样本， （1）求θ的矩估计量1?θ和最大似然估计量2 ?θ； （2）讨论1?θ、2?θ的无偏性，1?θ、2?θ是否为θ的无偏估计量？若不是，求使得i c ?i i c θ为θ的无偏估计量，； 1,2i =（3）讨论1?θ、2 ?θ的相合性； （4）比较11?c θ和22?c θ的有效性. 2. 假设某种产品来自甲、乙两个厂家，为考查产品性能的差异，现从甲乙两厂产品中分别抽取了8件和9件产品，测其性能指标X 得到两组数据，经对其作相应运算得 2110.190,0.006,x s == 2220.238,0.008x s == 假设测定结果服从正态分布()()2~,1,2i i X i μσ=， （1）．在显著性水平0.10α=下，能否认为2212σσ=？ （2）．求12μμ?的置信度为90%的置信区间，并从置信区间和假设检验的关系角度分析甲乙两厂生产产品的性能指标有无显著差异。 3.设是来自正态总体的样本, 总体均值n X X X ,,,21"),(2 σμN μ和方差未知，样本均值和方差分别记为2σ2211 11,(1n n i i i i )X X S X X n n ====?∑∑? （1） 求2211 (n i i X )μσ=?∑的分布； （2）若0μ=，求212212()() X X X X +?的分布； （3）方差的置信度为12σα?的置信区间的长度记为L ，求()E L ； （4）1n X + 的分布。 4.为进行病虫害预报, 考察一只红铃虫一代产卵量Y (单位：粒)与温度x （单位：）的关系, 得到资料如下： C 0x 18 20 24 26 30 32 35 Y 7 11 21 24 66 115 325 假设Y 与x 之间有关系 bx Y ae ε+=, . ),0(~2σεN 经计算：26.43x =，ln 3.612y =，，， 7215125i i x ==∑721(ln )102.43i i y ==∑7 1ln 718.64i i i x y ==∑（1）求Y 对x 的曲线回归方程； x b e a y ???=（2）求的无偏估计； 2σ2?σ （3）对回归方程的显著性进行检验（05.0=α）； （4）求当温度0x =33时,产卵量的点估计。 0Y 可能用到的数据： 0.02282z =，()()0.050.057,8 3.50,8,7 3.73F F ==，()0.0515 1.7531t =，，，，0.025(5) 2.5706t =0.05(5) 2.015t =0.025(7) 2.3646t =0.05(7) 1.8946t =，0.05(1,5) 6.61F =， 0.05(1,7) 5.59F = 《概率论与数理统计》练习题一一、判断正误，在括号内打√或× 1．是取自总体的样本，则服从分布； 2．设随机向量的联合分布函数为，其边缘分布函数是； 3．设，，，则表示； 4．若事件与互斥，则与一定相互独立； 5．对于任意两个事件，必有； 6．设表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； 7．为两个事件，则； 8．已知随机变量与相互独立，，则； 9．设总体， ,,是来自于总体的样本，则是的无偏估计量； 10．回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关系。 二、填空题 1．设是3个随机事件，则事件“和都发生而不发生”用表示为；2．设随机变量服从二项分布，则； 3．是分布的密度函数； 4．若事件相互独立，且，，，则= ； 5．设随机变量的概率分布为 -4-1024 则； 6．设随机变量的概率分布为 012 0.50.30.2 则的概率分布为 7．若随机变量与相互独立，，则； 8．设与是未知参数的两个估计，且对任意的满足，则称比有效；9．设是从正态总体抽得的简单随机样本，已知，现检验假设，则当时，服从； 10．在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平（），则犯第一类错误的概率是。 三、计算题 1.已知随机事件的概率，事件的概率，条件概率，试求事件的概率。 2.设随机变量，且，试求，。 3.已知连续型随机变量，试求它的密度函数。 4.已知一元线性回归直线方程为，且，，试求。 5.设总体的概率密度为 式中>－1是未知参数，是来自总体的一个容量为的简单随机样本，用最大似然估计法求的估计量。 6.设是取自正态总体的一个样本，其中未知。已知估计量是的无偏估计量，试求常数。 7.设有10个零件，其中2个是次品，任取2个，试求至少有1个是正品的概率。 四、证明题 1.设二维连续型随机向量的联合密度函数为 证明:与相互独立。 2. 1．若事件与相互独立，则与也相互独立。 2．若事件，则。 模拟试题 填空题(每空3分，共45 分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B| A) = 0.85,则P(A| B)= P( A U B)= 1 2、设事件A与B独立，A与B都不发生的概率为—,A发生且B不发生的概率与 B 9 发生且A不发生的概率相等，则A发生的概率为：_______________________ ; 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 I Ae x, X c 0 4、已知随机变量X的密度函数为：W(x) = {1/ 4, 0 < X V 2，则常数A= 0, x>2 分布函数F(x)= ，概率P{—0.5 北航2010《应用数理统计》考试题及参考解答 09B 一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而12 15(,,)X X X 是来自X 的样本，则22 110 22 11152() X X U X X ++=++服从的分布是_______ . 解：(10,5)F ． 2，?n θ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：??lim (), lim Var()0n n n n E θθθ→∞ →∞ ==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2 χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ . 解：推断各因素对试验结果影响是否显著． 5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计?β 的协方差矩阵?βCov()=_______ . 解：1?σ-'2Cov(β) =()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1，设总体~(1,9)X N ，129(,, ,)X X X 是X 的样本，则___B___ . （A ） 1~(0,1)3X N -； （B ）1 ~(0,1)1X N -； （C ） 1 ~(0,1) 9X N -； （D ~(0,1)N ． 2，若总体2(,)X N μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的 置信区间____B___ . （A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能. 3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的； （B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的； （D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ . 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 应用数理统计复习题 一、填空题 1.设总体2 12~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，样本均值及样本方差分别为， 2 211 11,()n n i i i i X X S X X n n ====-∑∑，设112,,...n n X X X X +与独立同分布，则统计量 ~Y = 。 2.设2 1 ~(),~T t n T 则 。 3.设总体X 的均值为μ，12,,...,n X X X 为样本，当a = 时，E 21 ()n i i X a =-∑达到最 小值。 4. 设总体2 12~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，1 ||,()n i i D X E D μ== -=∑则 5.设总体X 的均值和方差分别为a , b , 样本均值及样本方差分别为 2 211 11,()n n i i i i X X S X X n n ====-∑∑，则 E (S 2 )= 。 6.在总体~(5,16)X N 中随机地抽取一个容量为36的样本，则均值 X 落在4与6 之间的概率 = 6. 设总体X 服从参数为λ的泊松分布，1.9，2，2，2.1， 2.5为样本，则λ的矩估计值 为?λ ＝ 。 7. 设总体2 12~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，1 2 21 1 ?()n i i i c X X σ -+==-∑，若2?σ 为2σ的无偏估计，则 c = 。 8. 设总体12~(,1),,,...,n X U X X X θθ+为样本，则θ的矩估计量为 ，极大似然估计量为 。 9. 设总体2 12~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ未知，σ2 已知，为使μ的置信度为1 －α的置信区间长度不超过L ，则需抽取的样本的容量n 至少为 。 10. 设总体2 12~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ、σ2 未知，则σ2 的置信度为1－α的 置信区间为 。 11设X 服从二维正态),(2∑μN 分布，其中??? ? ??=∑???? ??=8221,10μ 令Y ＝X Y Y ??? ? ??=? ??? ??202121，则Y 的分布为 (要求写出分布的参数) 12. 设总体X 在区间]1,[+θθ上服从均匀分布，则θ的矩估计 =θ? ；=)?(θD 。 13. 设n X X ,,1 是来自正态总体),(2σμN 的样本，2 ,σμ均未知，05.0=α. 则μ的置信度为α-1的置信区间为 ；若μ为已知常数，则检验假设 ,::2 0212020σσσσ 第五章 1.从一批灯泡中随机抽取5只，测得其寿命（以小时计）为1050，1100，1120，1280，1250，，则其均值为，中位数为，极差为。 2.设n X X X ,,,21 来自正态总体),(2σμN 的样本，其中2,σμ未知，则下面不是统计量 的是_____________)(A i X (B )11n i i X n =∑(C )221 1()n i i X X σ=-∑)(D 211()n i i X X n =-∑ 3.设),,,(21n X X X 为总体)2,1(2N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正确的 是_______) (A )(~/21 n t n X -(B ))1,(~)1(4112n F X n i i ∑=-(C ) )1,0(~/21N n X -(D ) 2211(1)~()4n i i X n χ=-∑ 4.F 分布由两个独立的分布除以各自原自由度相除而得。 5.设12,,,n X X X 来自总体2()n χ的分布, ()__________,()_________E X Var X == 6.设随机变量),(~n m F F 时,对给定的αααα-=≤<<-1)},({),10(1n m F F P ， 若)5,10(~F F ,则=> }) 10,5(1 {95.0F F P ______________ 7.设12,,,n X X X 为取自正态总体() ()2 ,0N μσσ> ~________ 8.设总体2 ~(0,)X N σ,127,,,X X X 为其样本,27 S 为样本方差,且2 272 ~(6)cS χσ,则常 数c =____________ 9.设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布)3,0(2 N ,而129,, X X X 和129,,, Y Y Y 分别来自总体X 和Y 的简单随机样本。 试求统计量Z =的概率分布，并写出 参数. 第六章 1.用样本原点矩去估计总体相应矩的方法，称为。 2.设总体~(,2)X N μ，123,,X X X 是取自总体的简单随机样本,1?μ , 2?μ是参数μ的两个估计量，且1?μ=123 1112 4 4 X X X ++，2?μ=123111333 X X X ++,其中较有效的估计量_______ 3.设n X X X ,,,21 为正态总体),(2σμN （2 σ未知）的一个样本，则μ的置信度为1α－的单侧置信区间的下限为概率与数理统计复习题及答案
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
应用数理统计复习题
概率与数理统计复习题及答案
数理统计期末复习题1
数理统计期末考试试卷
数理统计习题数理统计练习题
应用数理统计试题
概率论与数理统计复习题带答案
概率论与数理统计练习题
北航数理统计期末考试题
应用数理统计(武汉大学研究生)2009-2010试题
概率论与数理统计练习题1
概率论与数理统计期末考试题及答案
北航应用数理统计考试题及参考解答
概率论与数理统计习题集及答案
应用数理统计复习题Word版
数理统计复习作业题
相关主题
文本预览