数学建模复习资料
一、填空题
1.单种群生物资源的开发问题中，若环境最大容纳量为K,则在保持生物资源的可持续性发展下进行资源开发的最优开发策略是策略.
2.若按照复利计算20万元10年后的终值是茅= 32.5779(万元)，
则年利率应为_____________ .
3.一质量为加的物体自由下落，在下落过程中除受重力作用之外, 还受到空气阻力的作用，若空气阻力与下落速度成正比，则物体下落过程的数学模型是__________________ .
4.设某种商品的供给函数是G(r) = 36Pa-1)-3600,其中P(/)为该商
品的价格函数，那么该商品下一时段的价格达到_____________ ,才能
迫使供给商停止供给.
5.设某种新产品的社会需求量为无限，开始时的生产量为100件, 且设产品生产的增长率控制在0.1, /时刻产品量为或)，则兀⑴二?
6.有一处房屋价格为20万，据预测该房屋3年后将上涨至28万. 若银行利率为9.8%,此房是否值得投资(只需回答是与不是) .
7.已知行星的质量与它的密度和它的半径立方成止比.若某行星的直径是地球直径的〃倍，且它的平均密度是地球的s倍，则此行星质
量是地球的___________________ 倍.
8. __________ 商店以10元/件的进价购进衬衫，若衬衫的需求量模型是 e = 8O-2P, P是销售单价（元/件），为获得最大利润，商店的出
售价是___________ .
二、分析、简答题
1.考虑在一片面积为定数的草地上进行羊的养殖问题?为了获得最大经济效益，指岀建立该问题数学模型应该考虑的相关因素.（至少列出5个）.
2.据绘画大师达芬奇的说法，在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点.也就是说，这个比值越接近0.618,就越给人以一种美的感觉?很可惜，一般人的躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高比都低于此数值，大约只有0. 58—0. 60左右.
设躯干长为八身高为儿一位女士的身高为 1.60（m）,其躯干与身高之比兀:心0.60,若其所穿的高跟鞋高度为d （单位与兀，/相同），那么, 她该穿多高的高跟鞋（d二？）才能产生最美的效应值.
3.一条公路交通不太拥挤，以至人们养成“冲过”马路的习惯，不愿意走临近的“斑马线” ?交管部门不允许任意横穿马路，为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”，以便让行人可以穿越马路.那么“选择设置斑马线的地点”这一问题应该考虑哪些因素？试至少列出3种.
4.假设某个数学模型建成为如下形式：p（x）=—[i-（i-4r]e x2.
x cr
试在适当的假设下将这个模型进行简化.
5、建立数学模型的基本方法有哪些？写出建模的一般步骤。（5分）
6、
写岀优化模型的一般形式和线性规划模型的标准形式。（8分）
7、数据拟合方法在数学建模过程中有什么意义？常见的数据拟合方法有哪些？（8分）
三、计算题
1.某工厂计划用两种原材料仏$生产屮、乙两种产品，两种原材料的最高供应量依次为22和20个单位；每单位产品甲需用两种原材料依次为1、1个单位，产值为3 （百元）；乙的需要量依次为3、1 个单位，产值为9 （百元）；又根据市场预测，产品乙的市场需求量最多为6个单位，而甲、乙两种产品的需求比不超过5： 2,试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：
（1）最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，
否则说明理rh?
（2）原材料的利用情况.
2.某公司自国外A厂家进口一部分精密机器.由厂家到出口港有三个港口放，B2,禺供选择，运费依次为20, 40和30.而进口港也有三个可供选择,代号为G, C2和C：”运费为：B倒C” C2, G依次为70, 40, 60； B2到G, C2, C3依次为30, 20, 40； B3到G, C2, G依次为40, 10, 50.进口后可经由两个城市D、D?运抵目的地E.从G到Di, D2 的运费为10和40；从C2到D” D的运费为60和30；从G到D” D?的运费为30和30；从D】、D 到E的运费则为30和40.试利用图模型协助策划一个运输路线，使总运费最低.
3 ?试求如表1所示产销不平衡运输问题的最优运输方案和最小运输费用.
表1 单位：百元/吨
4.某运输公司要将某种物资从总站力运往终点站〃，可以选择经过6 个中间站尿3, B、、C, 5 G,从力到3, 3, 3的路长依次为3、8、
7 (km)；从〃到G, G的路长为4、3 (km)；从§到G, G, G的路长为2、8、4 (km)；从禺到◎ G的路长为7、6 (km)；从C、G、G到〃的路长依次为12 (km)、13 (km)和8 (km)，试利用图模型协助公司制定一个总运输费用最少的运输路线，并求出最小运费.
5、设某产品的供给函数03)与需求函数/(卩)皆为线性函数：
0( p) = 3p + 4, f(p) = -kp + 9
其中〃为商品单价，试推导《满足什么条件使市场稳定。
6、1968年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。随后，美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者一一澳洲瓢虫。后来，DDT被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用DDT进一步杀死介壳虫。谁料，DDT同样杀死澳洲瓢虫。结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。试建立数学模型解释这个现象。
7、建立捕鱼问题的模型，并通过求解微分方程的办法给出最人的捕捞量