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第16课 导数的综合应用

第16课 导数的综合应用
第16课 导数的综合应用

学习札记第16课时导数的综合应用

1.应用导数研究不等式中的问题

2.应用导数研究函数中的零点问题

3.应用导数研究实际生活中的问题

1.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是____________.

2.已知函数f(x)=x2+x sin x+cos x的图象与直线y=b有两个不同交点,则b 的取值范围是________.

3.若做一个容积为256的方底无盖水箱,为使它的用料最省(全面积最小),则它的高为. .

4.已知函数f(x)=ln x-

a

x.,若f(x)

2在(1,+∞)上恒成立,则a的取值范围为-__________.

5.若P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为.

用导数解决与不等式有关的问题

【例1】已知f(x)=x ln x,g(x)=-x2+ax-3.

(1)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;

(2)证明:对一切x∈(0,+∞),都有ln x>

1

e x-

2

e x成立.

【变式拓展1】已知函数f (x )=a ln x x +1+b

x ,曲线y =f (x )在点(1,f (1)处的切线方程

为x +2y -3=0.

(1)求a ,b 的值;(2)证明:当x >0,且x ≠1时,f (x )>ln x

x -1

.

【解题回顾】 利用导数解决函数零点问题

【例2】已知函数f (x )=x 3-3x 2+ax +2,曲线y =f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为-2.

(1)求a ;(2)证明:当k <1时,曲线y =f (x )与直线y =kx -2只有一个交点.

【变式拓展2】已知函数f (x )=2ln x -x 2+ax (a ∈R ). (1)当a =2时,求f (x )的图象在x =1处的切线方程;

(2)若函数g (x )=f (x )-ax +m 在[1

e ,e]上有两个零点,求实数m 的取值范围.

【解题回顾】_______________________________________________________ 学习札记

学习札记

【例题3】如图,现要在边长为100 m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.以正方形的四个顶点为圆心,在四个角分别建半径为x m(x ≥9)的扇形花坛,以正方形的中心为圆心建一个半径为

15

x 2

m 的圆形草地.为了保证道路畅通,岛口宽不小于60 m,绕岛行驶的路宽均不小于10 m. (1)求x 的取值范围(注取1.4);

(2)若中间草地的造价为a 元/m 2

,四个花坛的造价为

433ax 元/m 2,其余区域的造价为1211

a 元/m 2,当x 取何值时,可使“环岛”的整体造价最低?

【解题回顾】

课后检测

班级 姓名

1. 若0

2121121221212121e e ln ln e e ln ln e e e e .

x x x x x x x x x x x x x x x x ><><①--;②--;③;④

2.若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式:y =-x 3+27x +123(x >0),则获得最大利润时的年产量为________百万件.

3. 已知函数f(x)=x 3

-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M 与m,则M-m= .

4.若函数y=m 与y=3x-x 3的图象有三个不同的交点,则实数m 的取值范围

学习札记

为 .

5. 若P 是曲线y=x 2-ln x 上任意一点,则点P 到直线y=x-2的最小距离为 .

6.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,那么当正六棱柱的体积最大时,其高为 .

7.已知函数f (x )=ax 3-3x 2+1,若f (x )存在唯一的零点x 0,且x 0>0,则a 的取值范围是________.

8.已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的导函数为f ′(x ),f ′(x )>0,对于任意实数x ,

有f (x )≥0,则f (1)

f ′(0)

的最小值为________.

9. 设函数f (x )=ln x +m

x

,m ∈R .

(1)当m =e(e 为自然对数的底数)时,f (x )的极小值;

(2)讨论函数g (x )=f ′(x )-x

3

零点的个数.

10.已知函数f (x )=x +a

e

x .

(1)若f (x )在区间(-∞,2)上为单调递增函数,求实数a 的取值范围; (2)若a =0,x 0<1,设直线y =g (x )为函数f (x )的图象在x =x 0处的切线, 求证:f (x )≤g (x ).

2020年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练

a - a (- ),( , +∞) 单调递增, 在 (- ( 2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 含参数的分类讨论 例1 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 12 x ,导函数为 f '( x) , (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若 f '(1)= -6, 求函数f ( x ) 在[—1,3]上的最大值和最小值。 【答案】略 【解析】(I ) f '( x ) = 3ax 2 - 12 = 3(ax 2 - 4) ,(下面要解不等式 3(ax 2 - 4) > 0 ,到了分类讨论的时机,分 类标准是零) 当 a ≤ 0时, f '( x ) < 0, f ( x )在(-∞, +∞) 单调递减; 当 a > 0时,当x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化如下表: x (-∞, - 2 ) 2 2 2 , ) a a 2 a ( 2 a , +∞) f '( x ) + 0 — + f ( x ) 极大值 极小值 此时, f ( x )在(-∞, - 2 2 6 a 2 2 , ) 单调递减; a a (II )由 f '(1) = 3a -12 = -6, 得a = 2. 由(I )知, f ( x )在(-1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。 【易错点】搞不清分类讨论的时机,分类讨论不彻底 【思维点拨】分类讨论的难度是两个, 1)分类讨论的时机,也就是何时分类讨论,先按自然的思路推理, 由于参数的存在,到了不能一概而论的时候,自然地进入分类讨论阶段;(2)分类讨论的标准,要做到不 重复一遗漏。还要注意一点的是,最后注意将结果进行合理的整合。 题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例 1 已知函数 f ( x) = 1 3 x 3 + x 2 + ax - 5 , 若函数在[1,+∞) 上是单调增函数,求 a 的取值范围

(完整版)导数及其应用单元测试卷.docx

导数及应用 《导数及其应用》单元测试卷 一、 选择题 1.已知物体的运动方程是 s 1 t 4 4t 3 16t 2 ( t 表示时间, s 表示位移),则瞬时速度为 4 0 的时刻是:( ) A . 0 秒、 2 秒或 4 秒 B . 0 秒、 2 秒或 16 秒 C . 2 秒、 8 秒或 16 秒 D . 0 秒、 4 秒或 8 秒 2.下列求导运算正确的是( ) A . ( x 1 ) 1 1 B . (log 2 x) 1 x x 2 x ln 2 C . (3x ) 3x log 3 e D . x 2 cos x 2sin x 3.曲线 y x 3 2x 4 在点 (13), 处的切线的倾斜角为( ) A . 30° B . 45° C . 60° D . 120° 4.函数 y=2x 3-3x 2-12x+5 在 [0,3] 上的最大值与最小值分别是( ) A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16 5.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶 路程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是( ) s s s s O tO tO t O t A . 1 B . C . D . 6.设函数 f (x) 2x 1(x 0), 则 f ( x) ( ) x A .有最大值 B .有最小值 C .是增函数 D .是减函数 7.如果函数 y=f ( x ) 的图像如右图,那么导函数 y=f ( x ) 的图像可能是 ( ) 8.设 f ( x) x ln x ,若 f '(x 0 ) 2 ,则 x 0 ( ) A . e 2 B . e C . ln 2 D . ln 2 2

导数的综合应用 公开课教案

§3.4 导数的综合应用 基础知识 自主学习 要点梳理 1.利用导数研究函数单调性的步骤 (1)求导数 )(' x f ; (2)在函数)(x f 的定义域内解不等式)('x f >0或)(' x f <0; (3)根据(2)的结果确定函数)(x f 的单调区间 2.求可导函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域;(2)求导数 )('x f ;(3)解方程)(' x f =0,求 出函数定义域内的所有根;(4)列表检验)('x f 在)(' x f =0的根x 0 左右两侧值的符号,如果左正右负,那么)(x f 在x 0 处取极大值,如果左负右正,那么)(x f 在x 0 处取极小值. 3.求函数f (x)在闭区间[a ,b]内的最大值与最小值 (1)确定函数 )(x f 在闭区间[a ,b]内连续、可导; (2)求函数)(x f 在开区间(a ,b)内的极值; (3)求函数)(x f 在[a,b]端点处的函数值f (a),f (b);

(4)比较函数 )(x f 的各极值与f (a),f (b)的大小,其中最大的一个是最 大值,最小的一个是最小值. 4.利用导数解决实际生活中的优化问题 (1)分析实际问题中各变量之间的关系,建立实际问 题的数学模型,写出相应的函数关系式y =)(x f ; (2)求导数 )(' x f ,解方程)(' x f =0; (3)判断使)(' x f =0的点是极大值点还是极小值点; (4)确定函数的最大值或最小值,还原到实际问题中 作答.一般地,对于实际问题,若函数在给定的定 义域内只有一个极值点,那么该点也是最值点. 基础自测 1.在平面直角坐标系xOy 中,点P 在曲线C :y =x 3-10x +3上,且在第二象限内,已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2,则点P 的坐标为________. 2.若 )(x f =x 3 +3ax 2 +3(a +2)x +1有极大值和极小值,则a 的取值范围为 __________________________. 3.若函数 )(x f =x +asin x 在R 上递增,则实数a 的取值范围为 4.设a ∈R ,若函数y =e ax +3x ,x ∈R 有大于零的极值点,则( )

导数的综合应用

导数的综合应用 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1.(06江西卷)对于R 上可导的任意函数f (x ),若满足(x -1) f ' (x ) ≥0,则必有( C ) A . f (0)+f (2)<2f (1) B. f (0)+f (2) ≤2f (1) C. f (0)+f (2) ≥2f (1) D. f (0)+f (2) >2f (1) 解:依题意,当x ≥1时,f ' (x )≥0,函数f (x )在(1,+∞)上是增函数;当x <1时,f ' (x )≤0,f (x )在(-∞, 1)上是减函数,故f (x )当x =1时取得最小值,即有f (0)≥f (1),f (2)≥f (1),故选C 2.(06全国II )过点(-1,0)作抛物线y=x 2+x +1的切线,则其中一条切线为 (A )2x+y +2=0 (B )3x-y +3=0 (C )x+y+1=0 (D )x-y+1=0 解:y '=2x +1,设切点坐标为(x 0,y 0),则切线的斜率为2x 0+1,且y 0=x 02+x 0+1 于是切线方程为y -(x 02+x 0+1)=(2x 0+1)(x-x 0),因为点(-1,0)在切线上,可解得 x 0=0或-4,代入可验正D 正确。选D 3.(06四川卷)曲线y =4x-x 3在点(-1,-3)处的切线方程是D (A )y=7x+4 (B )y=7x+2 (C )y=x-4 (D )y=x-2 解:曲线y =4x-x 3,导数y '=4-3x 2,在点(-1,-3)处的切线的斜率为k=1,所以切线方程是y=x-2,选D. 4.(06天津卷)函数f (x )的定义域为开区间(a,b ),导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示,则函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值点( ) A .1个 B .2个 C .3个 D . 4个 解析:函数f (x )的定义域为开区间(a,b ),导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示,函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值为由负到正的点,只有1个,选A. 5.(浙江卷)f (x )=x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是 (A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 解:f ' (x )=3x 2-6x =3x (x -2),令f ' (x )=0可得x =0或2(2舍去),当-1≤x <0时,f ' (x )>0,当0

导数综合大题分类

导数的综合应用是历年高考必考的热点,试题难度较大,多以压轴题形式出现,命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值;利用导数研究不等式;利用导数研究方程的根(或函数的零点);利用导数研究恒成立问题等.体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用. 题型一 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题型概览:函数单调性和极值、最值综合问题的突破难点是分类讨论. (1)单调性讨论策略:单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点,把函数定义域分段,在各段上讨论导数的符号,在不能确定导数等于零的点的相对位置时,还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论. (2)极值讨论策略:极值的讨论是以单调性的讨论为基础,根据函数的单调性确定函数的极值点. (3)最值讨论策略:图象连续的函数在闭区间上最值的讨论,是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的,在极值和区间端点函数值中最大的为最大值,最小的为最小值. 已知函数f (x )=x -1 x ,g (x )=a ln x (a ∈R ). (1)当a ≥-2时,求F (x )=f (x )-g (x )的单调区间; (2)设h (x )=f (x )+g (x ),且h (x )有两个极值点为x 1,x 2,其中x 1∈? ?????0,12,求h (x 1)-h (x 2)的最小 值. [审题程序] 第一步:在定义域,依据F ′(x )=0根的情况对F ′(x )的符号讨论; 第二步:整合讨论结果,确定单调区间; 第三步:建立x 1、x 2及a 间的关系及取值围; 第四步:通过代换转化为关于x 1(或x 2)的函数,求出最小值. [规解答] (1)由题意得F (x )=x -1 x -a ln x , 其定义域为(0,+∞),则F ′(x )=x 2-ax +1 x 2 ,

高二数学导数及其应用综合检测综合测试题

导数及其应用综合检测 时间120分钟,满分150分。 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2010·全国Ⅱ文,7)若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则() A.a=1,b=1B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1 2.一物体的运动方程为s=2t sin t+t,则它的速度方程为() A.v=2sin t+2t cos t+1 B.v=2sin t+2t cos t C.v=2sin t D.v=2sin t+2cos t+1 3.曲线y=x2+3x在点A(2,10)处的切线的斜率是() A.4 B.5 C.6 D.7 4.函数y=x|x(x-3)|+1() A.极大值为f(2)=5,极小值为f(0)=1 B.极大值为f(2)=5,极小值为f(3)=1 C.极大值为f(2)=5,极小值为f(0)=f(3)=1 D.极大值为f(2)=5,极小值为f(3)=1,f(-1)=-3 5.(2009·安徽理,9)已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是() A.y=2x-1 B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3 6.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值,则a等于() A.2 B.3 C.4 D.5 7.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数.当x<0时,f′(x)g(x)

+f (x )g ′(x )>0,且g (-3)=0,则不等式f (x )g (x )<0的解集是( ) A .(-3,0)∪(3,+∞) B .(-3,0)∪(0,3) C .(-∞,-3)∪(3,+∞) D .(-∞,-3)∪(0,3) 8.下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的序号是( ) A .①② B .③④ C .①③ D .①④ 9.(2010·湖南理,5)??2 4 1x d x 等于( ) A .-2ln2 B .2ln2 C .-ln2 D .ln2 10.已知三次函数f (x )=13x 3-(4m -1)x 2+(15m 2-2m -7)x +2在x ∈(-∞, +∞)是增函数,则m 的取值范围是( ) A .m <2或m >4 B .-4f (b )g (b ) B .f (x )g (a )>f (a )g (x ) C .f (x )g (b )>f (b )g (x ) D .f (x )g (x )>f (a )g (x )

(完整版)《导数及其应用》单元测试卷

《导数及其应用》单元测试 一、填空题(本大题共14题,每小题5分,共计70 分) 1、函数()cos sin f x x x x =+的导数()f x '= ; 2、曲线2 4x y =在点(2,1)P 处的切线斜率k =_________ ___; 3、函数13)(2 3+-=x x x f 的单调减区间为_________ __ _____; 4、设()ln f x x x =,若0'()2f x =,则0x =__________ ______; 5、函数3 2 ()32f x x x =-+的极大值是___________; 6、曲线3 2 ()242f x x x x =--+在点(1,3)-处的切线方程是________________; 7、函数93)(2 3 -++=x ax x x f ,已知)(x f 在3-=x 时取得极值,则a =_______ __; 8、设曲线2 ax y =在点(1,a )处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ____________; 9、已知曲线3lnx 4x y 2-=的一条切线的斜率为2 1 ,则切点的横坐标为_____________; 10、曲线3 x y =在点(1,1)处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 ; 11、已知函数3 ()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m , 则M m -=___________; 12、设曲线ax y e =在点(01),处的切线与直线210x y ++=垂直,则a = ; 13、已知函数)(x f x y '=的图像如右图所示(其中)(x f '是函数))(的导函数x f , 下面四个图象中)(x f y =的图象大致是______ ______; ① ② 14、将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形, 记2 (S =梯形的周长) 梯形的面积 ,则S 的最小值是___ ____。

第1讲导数的综合应用

第1讲 导数的综合应用 [最新考纲] 1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值,并会解决与之有关的方程(不等式)问题; 2.会利用导数解决某些简单的实际问题. 知 识 梳 理 1.生活中的优化问题 通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题,一般地,对于实际问题,若函数在给定的定义域内只有一个极值点,那么该点也是最值点. 2.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 3.导数在研究方程(不等式)中的应用 研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式;反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等,又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题,利用导数进行研究. 辨 析 感 悟 1.函数最值与不等式(方程)的关系 (1)(教材习题改编)对任意x >0,ax 2+(3a -1)x +a ≥0恒成立的充要条件是a ∈???? ?? 15,+∞.(√) (2)(2011·辽宁卷改编)已知函数f (x )=e x -2x +a 有零点,则a 的取值范围是(-∞,2ln 2-2].(√) 2.关于实际应用问题 (3)实际问题中函数定义域要由实际问题的意义和函数解析式共同确定.(√) (4)若实际问题中函数定义域是开区间,则不存在最优解.(×) (5)(2014·鹰潭模拟改编)已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量x (单

位:万件)的函数关系式为y=-1 3x 3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润 的年产量为9万件.(√) [感悟·提升] 1.两个转化 一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用; 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理,如(2). 2.两点注意 一是注意实际问题中函数定义域,由实际问题的意义和解析式共同确定,如(3). 二是在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么可直接根据实际意义判定是最大值还是最小值,如(4);若在开区间内有极值,则一定有最优解. 考点一导数与生活中的优化问题 【例1】(2013·重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大. 解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh=200πrh元,底面的总成本为160πr2元. 所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元. 又根据题意得200πrh+160πr2=12 000π, 所以h=1 5r(300-4r 2), 从而V(r)=πr2h=π 5(300r-4r 3).

导数的综合应用题型及解法(可编辑修改word版)

导数的综合应用题型及解法 题型一:利用导数研究函数的极值、最值。 x 2 处有极大值,则常数c= 6 ; 1.已知函数y f (x ) x(x c)2 个 题型二:利用导数几何意义求切线方程 2.求下列直线的方程: (1)曲线y x 3 x 2 1在P(-1,1)处的切线;(2)曲线y x2 过点P(3,5)的切线; 题型三:利用导数研究函数的单调性,极值、最值 f (x) =x3+ax 2+bx +c, 过曲线y = f (x)上的点P(1, f (1)) 的切线方程为 3.已知函数 y=3x+1 f (x)在x =-2 处有极值,求f (x) 的表达式; (Ⅰ)若函数 y =f (x) 在[-3,1]上的最大值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数 y =f (x) 在区间[-2,1]上单调递增,求实数 b 的取值范围(Ⅲ)若函数 4.已知三次函数f (x) =x3+ax2+bx +c 在x =1 和x =-1 时取极值,且f (-2) =-4 . (1)求函数y =f (x) 的表达式; (2)求函数y =f (x) 的单调区间和极值; 5.设函数f (x) =x(x -a)(x -b) . f(x)的图象与直线5x -y - 8 = 0 相切,切点横坐标为2,且f(x)在x = 1 处取极值,(1)若 a, b 的值; 求实数 f (x) 总有两个不同的极值 (2)当b=1 时,试证明:不论 a 取何实数,函数 点.题型四:利用导数研究函数的图象 f / ( x) 的图象如右图所示,则 f(x)的图象只可能是( 6.如右图:是 f(x)的导函数, D )

3 (A ) (B ) (C ) (D ) y 1 x 3 4x 1个个个个 7. 函数 3 ( A ) 6 4 2 -4 -2 y o 2 4 -2 -4 6 4 2 x -4 -2 y o 2 4 -2 -4 x -4 6 y 6 y 4 4 2 2 y 2 4 x o x -2 -2 -2 2 4 -4 -4 8.方程 2x 3 6x 2 7 0个 (0,2)个个个个个个 ( B ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 题型五:利用单调性、极值、最值情况,求参数取值范围 f (x ) = - 1 x 3 + 2ax 2 - 3a 2 x + b ,0 < a < 1. 9. 设函数 3 (1)求函数 f (x ) 的单调区间、极值. (2)若当 x ∈[a + 1, a + 2] 时,恒有| f ' (x ) |≤ a ,试确定 a 的取值范围. 2 10. 已知函数 f (x )=x3+ax2+bx +c 在 x =- 3 与 x =1 时都取得极值(1)求 a 、b 的值与函数 f (x )的单调区间 (2)若对 x ∈〔-1,2〕,不等式 f (x ) 0,函数f (x ) = x 3 - ax 在[1,+∞) 上是单调函数. (1)求实数 a 的取值范围; (2)设 x 0 ≥1, f (x ) ≥1,且 f ( f (x 0 )) = x 0 ,求证: f (x 0 ) = x 0 .

痛点五 导数中的综合问题(原卷版)

痛点五 导数中的综合问题 一、单选题 1.函数()() 2 21 1x f x x -= -的大致图象是( ). A . B . C . D . 2.已知()f x 的导函数为()f x ',且满足()()21ln f x xf x '=-,则1f e ?? '= ??? ( ) A .12e - B .2e - C .2e -- D .12e -- 3.已知函数()ln k f x x x =+(k ∈R )若对任意120x x >>,()()1212f x f x x x -<-恒成立,则k 的取值范围是( ) A .1,4??+∞???? B .1,4??+∞ ??? C .(0,)+∞ D .[)0,+∞ 4.已知函数()2b f x x ax =+的导数()23f x x '=+,则数列()()* 12n f n ????∈??+???? N 的前n 项和是( ) A .1 n n + B .()121n n -+ C .() 22n n + D . ()() 12n n n ++ 5.若函数()f x 的定义域是R ,()02f =,()()1f x f x '+<,则不等式的()1x x e f x e >+的解集为( ) A .(),0-∞ B .()(),11,-∞-+∞ C .()0,∞+ D .()(),00,-∞?+∞ 6.曲线1C :2y x 与曲线2C :ln y x =公切线的条数是( )

A .0 B .1 C .2 D .3 7.若函数()2 ln f x x x bx =+-在[ )1,+∞是增函数,则b 的最大值是( ) A .3 B .22 C .2 D .2 8.已知函数()f x 的定义域为[]1,4-,部分对应值如下表,()f x 的导函数()'y f x =的图象如图所示.当 01a <<时,函数()()()22 21y f x a f x a a =-+++的零点个数为( ) x -1 0 2 3 4 ()f x 1 2 2 A .4 B .5 C .6 D .7 9.设函数2()21ln f x x x a x =-++有两个极值点1x ,2x ,且12x x <,则()2f x 的取值范围是( ) A .12ln 20, 4+?? ??? B .12ln 2,4-??-∞ ??? C .12ln 2,4+??+∞ ??? D .12ln 2,04-?? ??? 10.设曲线()4ln f x x =在点()1,0处的切线上有一动点P ,曲线()2 32ln g x x x =-.上有一点Q ,则线段PQ 长度的最小值为( ) A . 17 17 B 217 C . 317 17 D 417 11.已知关于x 的方程为222 2(3)23(3)x x x e x e e --=+-则其实根的个数为( ) A .2 B .3 C .4 D .5 12.已知函数()22ln ,03,02x x x x f x x x x ->?? =?--≤??的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在 10kx y +-=的图象上,则实数k 的取值范围是( )

导数及其应用单元测试(带答案)

第三章导数及其应用单元测试 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后 的括号内(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)。 1.函数y=x+2cosx在[0,]上取得最大值时,x的值为()A.0 B.C.D. 2.函数的单调递减区间是() A.B.C.D. 3.若函数的图象的顶点在第四象限,则函数的图象是 () 4.点P在曲线 上移动,设 点P处切线倾斜角为α, 则α的取值范围是 ()A.[0,] B.0,∪[,π C.[,πD.(, 5.已知(m为常数)在上有最大值3,那么此函数在 上的最小值为() A.B.C.D. 6.函数的单调递增区间是()A. B.(0,3) C.(1,4) D. 7.已知函数时,则()

A.B. C.D. 8.设函数的导函数,则数列的前n项和是 ()A.B.C.D. 9.设f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1,3]上为单调函数,则实数a的取值范围为()A.[-,+∞] B.(-∞,-3) C.(-∞,-3)∪[-,+∞] D.[-,] 10.函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)<0,设a=f(0),b= f(),c= f(3),则() A .a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a 11.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为() A.B.C.D. 12.如图所示的是函数的大致图象,则等于()A.B. C.D.

第Ⅱ卷 二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共4个小题,每小题4分,共16分)。 13.设是偶函数,若曲线在点处的切线的斜率为1,则该曲线在处的切线的斜率为_________. 14.已知曲线交于点P,过P点的两条切线与x轴分别交于A,B两点,则△ABP的面积为; 15.函数在定义域内可导,其图象如图,记的导函数为, 则不等式的解集为_____________ 16.若函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题,共74分)。 17.(12分)已知函数f(x)=x3-2ax2+3x(x∈R). (1)若a=1,点P为曲线y=f(x)上的一个动点,求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程; (2)若函数y=f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,试求满足条件的最大整数a.

第4讲 导数的综合应用

第4讲 导数的综合应用 高考定位 在高考压轴题中,函数与方程、不等式的交汇是考查的热点,常以指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题. 真 题 感 悟 1.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f (x )=x 3+bx +c ,曲线y =f (x )在点? ???? 12,f ? ????12处的切线与y 轴垂直. (1)求b ; (2)若f (x )有一个绝对值不大于1的零点,证明:f (x )所有零点的绝对值都不大于1. (1)解 f ′(x )=3x 2+b . 依题意得f ′? ?? ?? 12=0,即34+b =0,故b =-34. (2)证明 由(1)知f (x )=x 3-34x +c ,f ′(x )=3x 2-34.令f ′(x )=0,解得x =-12或x =1 2. f ′(x )与f (x )的情况为: 因为f (1)=f ? ???? -12=c +14, 所以当c <-1 4时,f (x )只有大于1的零点. 因为f (-1)=f ? ???? 12=c -14, 所以当c >1 4时,f (x )只有小于-1的零点. 由题设可知-14≤c ≤1 4. 当c =-14时,f (x )只有两个零点-1 2和1.

当c =14时,f (x )只有两个零点-1和12. 当-140; 当x ∈? ?? ?? π2,π时,g ′(x )<0, 所以g (x )在? ????0,π2上单调递增,在? ???? π2,π上单调递减. 又g (0)=0,g ? ???? π2>0,g (π)=-2, 故g (x )在(0,π)存在唯一零点. 所以f ′(x )在区间(0,π)存在唯一零点. (2)解 由题设知f (π)≥a π,f (π)=0,可得a ≤0. 由(1)知,f ′(x )在(0,π)只有一个零点,设为x 0,且当x ∈(0,x 0)时,f ′(x )>0;当x ∈(x 0,π)时,f ′(x )<0,所以f (x )在(0,x 0)上单调递增,在(x 0,π)上单调递减. 又f (0)=0,f (π)=0,所以当x ∈[0,π]时,f (x )≥0. 又当a ≤0,x ∈[0,π]时,ax ≤0,故f (x )≥ax . 因此,a 的取值范围是(-∞,0]. 考 点 整 合 1.利用导数研究函数的零点 函数的零点、方程的实根、函数图象与x 轴的交点的横坐标是三个等价的概念,解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值,画出函数图象的变化趋势,数形结合求解.

构造函数解导数综合题

构造辅助函数求解导数问题 对于证明与函数有关的不等式,或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围、讨论一些方程解的个数等类型问题时,常常需要构造辅助函数,并求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决;题目本身特点不同,所构造的函数可有多种形式,解题的繁简程度也因此而不同,这里是几种常用的构造技巧. 技法一:“比较法”构造函数 [典例] (2017·广州模拟)已知函数f(x)=e x-ax(e为自然对数的底数,a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为-1. (1)求a的值及函数f(x)的极值; (2)证明:当x>0时,x2<e x. [解] (1)由f(x)=e x-ax,得f′(x)=e x-a. 因为f′(0)=1-a=-1,所以a=2, 所以f(x)=e x-2x,f′(x)=e x-2, 令f′(x)=0,得x=ln 2, 当x<ln 2时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x>ln 2时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以当x=ln 2时,f(x)取得极小值,且极小值为f(ln 2)=e ln 2-2ln 2=2-ln 4,f(x)无极大值. (2)证明:令g(x)=e x-x2,则g′(x)=e x-2x. 由(1)得g′(x)=f(x)≥f(ln 2)>0, 故g(x)在R上单调递增. 所以当x>0时,g(x)>g(0)=1>0,即x2<e x. [方法点拨] 在本例第(2)问中,发现“x2,e x”具有基本初等函数的基因,故可选择对要证明的“x2<e x”构造函数,得到“g(x)=e x-x2”,并利用(1)的

结论求解. [对点演练] 已知函数f (x )=x e x ,直线y =g (x )为函数f (x )的图象在x =x 0(x 0<1) 处的切线,求证:f (x )≤g (x ). 证明:函数f (x )的图象在x =x 0处的切线方程为y =g (x )=f ′(x 0)(x -x 0)+f (x 0). 令h (x )=f (x )-g (x )=f (x )-f ′(x 0)(x -x 0)-f (x 0), 则h ′(x )=f ′(x )-f ′(x 0)= 1-x e x - 1-x 0 e 0 x = ?1-x ?e 0 x -?1-x 0?e x e 0 +x x . 设φ(x )=(1-x )e 0 x -(1-x 0)e x , 则φ′(x )=-e 0 x -(1-x 0)e x , ∵x 0<1,∴φ′(x )<0, ∴φ(x )在R 上单调递减,又φ(x 0)=0, ∴当x <x 0时,φ(x )>0,当x >x 0时,φ(x )<0, ∴当x <x 0时,h ′(x )>0,当x >x 0时,h ′(x )<0, ∴h (x )在区间(-∞,x 0)上为增函数,在区间(x 0,+∞)上为减函数, ∴h (x )≤h (x 0)=0, ∴f (x )≤g (x ). 技法二:“拆分法”构造函数 [典例] 设函数f (x )=ae x ln x +be x -1 x ,曲线y =f (x )在点(1,f (1)) 处的切线为y =e (x -1)+2. (1)求a ,b ; (2)证明:f (x )>1. [解] (1)f ′(x )=ae x ? ?? ??ln x +1x +be x -1 ?x -1? x 2 (x >0), 由于直线y =e (x -1)+2的斜率为e ,图象过点(1,2),

《导数及其应用》单元测试题详细答案

导数单元测试题 11.29 一、填空题 1.函数()2 2)(x x f π=的导数是_______ 2.函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是________ 3.若函数b bx x x f 33)(3 +-=在()1,0内有极小值,则实数b 的范围是_______ 4.若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为______ 5.曲线x y e =在点2 (2)e ,处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_________ 6.设()f x '是函数()f x 的导函数,将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是_______ 7.已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x 都有 ()0f x ≥,则 (1) '(0) f f 的最小值为________ 8.设2 :()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞,内单调递增,:5q m -≥,则p 是q 的______________条件 9. 函数)(x f 的图像如图所示,下列数值排序正确的是( ) (A ))2()3()3()2(0/ / f f f f -<<< y (B ) )2()2()3()3(0/ / f f f f <-<< (C ))2()3()2()3(0/ / f f f f -<<< (D ))3()2()2()3(0/ / f f f f <<-< O 1 2 3 4 x 10.函数()ln f x x x =的单调递增区间是____.

2019届高考数学专题二函数与导数第3讲导数的综合应用教案理

第3讲导数的综合应用 1.(2018·全国Ⅱ卷,理21)已知函数f(x)=e x-ax 2. (1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1; (2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a. (1)证明:当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0. 设函数g(x)=(x2+1)e-x-1, 则g'(x)=-(x2-2x+1)·e-x=-(x-1)2e-x. 当x≠1时,g'(x)<0, 所以g(x)在(0,+∞)上单调递减. 而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0, 即f(x)≥1. (2)解:设函数h(x)=1-ax2e-x. f(x)在(0,+∞)上只有一个零点等价于h(x)在(0,+∞)上只有一个零点. (ⅰ)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点; (ⅱ)当a>0时,h'(x)=ax(x-2)e-x. 当x∈(0,2)时,h'(x)<0; 当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0. 所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增. 故h(2)=1-是h(x)在(0,+∞)上的最小值. ①若h(2)>0,即a<,h(x)在(0,+∞)上没有零点. ②若h(2)=0,即a=,h(x)在(0,+∞)上只有一个零点. ③若h(2)<0,即a>, 因为h(0)=1, 所以h(x)在(0,2)上有一个零点; 由(1)知,当x>0时,e x>x2,

所以h(4a)=1-=1->1- =1->0, 故h(x)在(2,4a)上有一个零点. 因此h(x)在(0,+∞)上有两个零点. 综上,当f(x)在(0,+∞)上只有一个零点时,a=. 2.(2017·全国Ⅲ卷,理21)已知函数f(x)=x-1-aln x. (1)若f(x)≥0,求a的值; (2)设m为整数,且对于任意正整数n,1+1+…1+0,由f'(x)=1-=知, 当x∈(0,a)时,f'(x)<0; 当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0, 所以f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增, 故x=a是f(x)在(0,+∞)的最小值点. 由于f(1)=0,所以当且仅当a=1时,f(x)≥0. 故a=1. (2)由(1)知当x∈(1,+∞)时,x-1-ln x>0. 令x=1+,得ln1+<. 从而ln1++ln1++…+ln1+<++…+=1-<1. 故1+1+…1+2,

2014-2015学年人教a版数学选修2-2第1章《导数及其应用》综合检测(含答案)

第一章综合检测 时间120分钟,满分150分。 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1.(2013·天津红桥区高二段测)二次函数y =f (x )的图象过原点且它的导函数y =f ′(x )的图象是如图所示的一条直线,y =f (x )的图象的顶点在( ) A .第Ⅰ象限 B .第Ⅱ象限 C .第Ⅲ象限 D .第Ⅳ象限 [答案] A [解析] 设f (x )=ax 2+bx +c ,∵二次函数y =f (x )的图象过原点,∴c =0,∴f ′(x )=2ax +b ,由y =f ′(x )的图象可知,2a <0,b >0,∴a <0,b >0,∴-b 2a >0,4ac -b 24a =-b 2 4a >0,故 选A. 2.(2013·华池一中高二期中)曲线y =-1x 在点(1 2,-2)处的切线方程为( ) A .y =4x B .y =4x -4 C .y =4(x +1) D .y =2x -4 [答案] B [解析] ∵y ′=1x 2,∴y ′|x =1 2=4,∴k =4, ∴切线方程为y +2=4(x -1 2 ),即y =4x -4. 3.(2014·淄博市临淄区学分认定考试)下列函数中,x =0是其极值点的函数是( ) A .f (x )=-x 3 B .f (x )=-cos x C .f (x )=sin x -x D .f (x )=1 x [答案] B [解析] 对于A ,f ′(x )=-3x 2≤0恒成立,在R 上单调递减,没有极值点;对于B ,f ′(x )=sin x ,当x ∈(-π,0)时,f ′(x )<0,当x ∈(0,π)时,f ′(x )>0,故f (x )=-cos x 在x =0的

导数及其应用单元测试题

《导数及其简单应用》单元测试题 一、选择题(本大题共有8小题,每小题5,共40分) 1. f(x)=x 3 , 0'()f x =6,则x 0 = ( ) (A ) (B ) - (C )± (D ) ±1 2、设连续函数 0)(>x f ,则当b a <时,定积分?b a dx x f )(的符号 A 、一定是正的 B 、一定是负的 C 、当b a << 0时是正的,当0<

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