高中毕业班阶段性测试（三）
数学（理科）
一、选择题
1.已知集合{
}
2
230A x x x =--<，{}
10B x x =-≥，则A B =I （ ） A. ()1,3-
B. [)1,+∞
C. [)1,3
D. (]1,1-
2.复数122t t =-在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.函数2sin(2)2
y x π
=+
是（ ）
A. 周期为π的奇函数
B. 周期为π的偶函数
C. 周期为2π的奇函数
D. 周期为2π的偶函数
4.函数()()
2
ln f x x x =-的图象大致是（ ）
A.
B.
C. D.
5.已知双曲线22
22:1x y C a b
-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，实轴端点分别为12,A A ，点P 是双
曲线C 上不同于12,A A 的任意一点，12PF F ?与12PA A ?的面积比为2:1，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A. 3y x =± B. 2y x =± C. 3y x = D. y x =±
6.对任意()2
k k Z π
απ≠+∈，若2222sin tan sin tan λαμααα+=，则实数λμ-=（ ）
A. 2
B. 0
C. 1-
D. 2-
7.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ）
A.
2017
2018
B.
2018
2019
C.
1
2018
D.
1
2019
8.()6
3
11x x x ?
?-+ ?
?
?的展开式中的常数项等于（ ）
A. 65
B. 45
C. 20
D. 25-
9.在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1BC 的中点，则异面直线1A B 与DP 所成角的余弦值为（ ） A. 0
B.
3 C.
36
D.
33 10.在ABC ?中，22AB AC ==，,P Q 为线段BC 上的
点，且BP PQ QC ==u u u r u u u r u u u r
.若59
AP AQ ?=u u u r u u u r ，则
BAC ∠=（ ）
A. 150o
B. 120o
C. 60o
D. 30o
11.在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3cos 3sin 0a B b A +=，7b =，5c =，则ABC ?的面积为（ ） A.
153 B.
153
C. 153
D. 312.若函数()2
x
e x
f x a =-恰有两个零点，则实数a 的值为（ ）
A. 416
e
B. 39e
C. 24
e
D. e
二、填空题
13.甲、
乙两支足球队进行一场比赛，,,A B C 三位球迷赛前在一起聊天.A 说：“甲队一定获胜.”B 说：“甲队不可能输.”C 说：“乙队一定获胜.”比赛结束后，发现三人中只有一人判断是正确的，则比赛的结果不可能是______.（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个）
14.公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究“完全数”的人.完全数是一种特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.若从集合{}1,6,24,28,36中随机抽取两个数，则这两个数中有完全数的概率是______. 15.往一球型容器注入
136
πcm 3的水，测得水面圆的直径为4cm ，水深为1cm ，若以6π
cm 3/s 的速度往该容器
继续注水，当再次测得水面圆的直径为4cm 时，则需经过______s .
16.已知斜率存在的直线l 交抛物线2
:4C y x =于,A B 两点，点()1,0D -，若0AD BD k k +=，则直线l 恒
过的定点是______.
三、解答题
17.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11n n n n S S S S λ--?=-()
*
2,n n N ≥∈，且11a =，22a =.
（1）求数列{}n S 的通项公式；
（2）求{}n a 的通项公式，并求n a 的最小值.
18.如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD CD ⊥，AD BC ∥，且244BC AD CD ===.点E 是线段BC 上一点，且1
8
CE BC =
.
（1）求证：平面SAC ⊥平面SED ；
（2）若22SD =S ED C --的正弦值.
19.甲市有2万名高三学生参加了天一大联考，根据学生数学成绩（满分：150分）大数据分析可知，本次数学成绩X 服从正态分布，即()2
~,X N μσ，且()1350.00135P X >≈，()950.15865P X ≤≈.
（1）求,μσ的值.
（2）现从甲市参加此次联考的高三学生中，随机抽取300名学生进行问卷调查，其中数学成绩高于125分的人数为Y ，求()E Y .
（3）与甲市相邻的乙市也有2万名高三学生参加了此次联考，且其数学成绩Z 服从正态分布()108,36N .
某高校规定此次联考数学成绩高于120分的学生可参加自主招生考试，则甲和乙哪个城市能够参加自主招生考试的学生更多？ 附：若随机变量(
)2
~,N ξμσ
，则()0.6827P μσξμσ-<+≈≤，()220.9545P μσξμσ-<+≈≤，
()330.9973P μσξμσ-<≤+≈.
20.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>将圆22
8:5O x y +=的圆周分为四等份，且椭圆C
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ，且MN 的中点为01,4P x ?
? ???
，线段MN 的垂直平分线为l '，直线l '与x 轴交于点(),0Q m ，求m 的取值范围. 21.已知函数()ln f x x x ax =+.
（1）若()f x 在()1,e 上存在极小值，求a 的取值范围；
（2）设()()()g x f x f x '=-（()f x '为()f x 的导函数），()g x 的最小值为()0g x ，且()032
g x >-，求0x 的取值范围.
22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C
的
参数方程为3cos 3sin x y ?
?
=??
=?，（?为参数）.以坐标原点为极点，x 轴
正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 经过点2,3A π?? ???
，且与极轴所成的角为α. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的参数方程；
（2）设直线l 与曲线C 交于,D E 两点，若AD AE +=，求直线l 的普通方程. 23.已知存在0x R ∈，使得004x a x b +--≥，,a b R +∈. （1）求+a b 的取值范围； （2）证明：4432a b +≥.