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2012年高考试题分类考点50 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差

2012年高考试题分类考点50 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差
2012年高考试题分类考点50 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差

考点50 离散型随机变量及其分布列、离散型随机

变量的均值与方差

一、填空题

1.(2012·湖南高考文科·T13)如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_________.

08910352

(注:方差2222

121()()()n s x x x x x x n ??=-+-++-?? ,其中x 为x 1,x 2,…,x n 的平均

数)

【解析】1

(89101315)11

5x =++++=,

222222

1(811)(911)(1011)(1311)(1511)5s ??=-+-+-+-+-?? 6.8=.

【答案】6.8 二、解答题

2.(2012·浙江高考理科·T19)已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X 为取出此3球所得分数之和. (1)求X 的分布列.

(2)求X 的数学期望E (X ). 【解析】(1)X=3,4,5,6,

3

5395

(3)42C P X C ===

21

543

910

(4)21C C P X C ===, 12543

95

(5)14C C P X C ===, 34391

(6)21C P X C ===

所以X 的分布列为:

(2)X 的数学期望E (X )=

15+80+75+129113

=

42213=. 3.(2012·陕西高考理科·T20)

某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:

从第一个顾客开始办理业务时计时.

(Ⅰ)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率.

(Ⅱ)X 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X 的分布列及数学期望.

【解析】设Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y 的分布列如下:

(Ⅰ)A 表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则事件A 对应三种情形:

①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以()(1)(3)(3)(1)(2)(2)P A P Y P Y P Y P Y P Y P Y ===+==+==

0.10.30.30.10.40.40.22=?+?+?=.

(Ⅱ)方法一:X 所有可能的取值为0,1,2.

0X =对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,

所以(0)(2)0.5P X P Y ==>=;

1X =对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟, 所以(1)(1)(1)(2)P X P Y P Y P Y ===>+=

0.10.90.40.49=?+=;

X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟, 所以(2)(1)(1)0.10.10.01P X P Y P Y =====?=, 所以X 的分布列为

∴00.510.4920.010.51EX =?+?+?=. 方法二:X 所有可能的取值为0,1,2.

0X =对应第一个顾客办理业务所需的时间超过

2分钟,

所以(0)(2)0.5P X P Y ==>=;

X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟, 所以(2)(1)(1)0.10.10.01P X P Y P Y =====?=; 所以(1)1(0)(2)0.49P X P X P X ==-=-==; 所以X 的分布列为

∴00.510.4920.010.51EX =?+?+?=.

4. (2012·辽宁高考理科·T19)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.

(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22?列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?

(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X 的分布列,期望()E X 和方差()D X .

附:

2

2

112212211212(),

n n n n n n n n n χ++++-

=

【解题指南】(Ⅰ)据频率分布直方图可计算“体育迷”, “非体育迷”人数,按照提供的公式,计算相关数值,与所给数据比较,获得结论;(Ⅱ)将所有的基本事件罗列,很容易解决问题.

【解析】(Ⅰ)由所给的频率分布直方图知, “体育迷”人数为100(100.020100.005)25??+?=, “非体育迷”人数为75,则据题意完成22?列联表:

将22?列联表的数据代入公式计算:

2100(30104515)2

112212217525455511221221()100 3.03033n n n n n n n n n χ?-????-===≈??? 22100(30104515)122122175254555221221)100 3.03033

n n n n n n ?-????-==≈???. 因为3.030 3.841<,所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.

(Ⅱ)由频率分布直方图知,抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,

即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为1

4.由题意,

1~(3,)

4X B ,从而X 的分布列

X 的数学期望为

13

()344E X np ==?

=

,X 的方差为

139()(1)34416D X np p =-=??=. 5.(2012·安徽高考理科·T17)

某单位招聘面试,每次从试题库中随机调用一道试题,若调用的是A 类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A 类型试题和一道B 类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有n m +道试题,其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题,以X 表示两次调题工作完成后,试题库中A 类型试题的数量. (Ⅰ)求2X n =+的概率.

(Ⅱ)设m n =,求X 的分布列和均值(数学期望).

【解题指南】(I )根据2X n =+得到两次调题均为A 类型试题,进而求出概率;(Ⅱ)先求出随机变量X 的可能取值,再求出取每个值的概率,列出分布列,求出均值.

【解析】(I )2X n =+表示两次调题均为A 类型试题,概率为12n n m n m n +?

+++.

(Ⅱ)m n =时,每次调用的是A 类型试题的概率为

1

2p =

随机变量X 可取,1,2n n n ++,其中X=n,X=n+1,X=n+2,分别意味着两次调题都是B 类型试题、一次A 类型试题和一次B 类型试题(先A 后B 与先B 后A )、

两次调题均为A 类型试题,对应概率为

21()(1)4P X n p ==-=

,1(1)2(1)2P X n p p =+=-=,21

(2)4P X n p =+==

分布列是

均值111

(1)(2)1

424EX n n n n =?++?++?=+.

答:(Ⅰ)2X n =+的概率为1

2n n m n m n +?

+++;

(Ⅱ)分布列(见上表),X 的均值为1n +.

6. (2012·新课标全国高考理科·T18)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理.

(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位:枝,n N ∈)的函数解析式.

(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

(i )若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求X 的分布列,数学期望及方差;

(ii )若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17

枝?请说明理由.

【解题指南】(1) 根据题意建立利润与需求量的分段函数;(2)利用公式求期望与方差,注意随机变量X 代表利润;(3)比较购买17枝与16支的期望,期望越大越好.

【解析】(1)当16n ≥时,16(105)80y =?-=. 当15n ≤时,55(16)1080y n n n =--=-,

得:1080(15)

()

80(16)

n n y n N n -≤?=∈?≥?.

(2)(i )X 可取60,70,80,

(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ======. X 的分布列为

600.1700.2800.776EX =?+?+?=.

222

160.160.240.744DX =?+?+?=.

(ii )购进17枝时,当天的利润为

(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =?-??+?-??+?-??+??=,

76.476> 得:应购进17枝.

7.(2012·江西高考理科·T18)如图,从A 1(1,0,0),A 2(2,0,0),B 1(0,1,0),B 2(0,2,0),C 1(0,0,1),C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V (如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V=0).

(1)求V=0的概率.

(2)求V的分布列及数学期望.

【解题指南】(1)列出V=0时的三个点的坐标的可能情况,然后除以总的基本事件数即得概率,列举时若情况较多,可用排列组合的知识解决;(2)求出V 取各个值时对应的概率,列分布列,求出数学期望.

【解析】(1)从6个点中随机选取3个点总共有3620

C=种取法,选取的3个点

与原点在同一个平面内的取法有13

3412

C C=种,因此0

V=的概率为

()123

0.

205 P V===

(2)V的所有可能取值为

1124

0,,,,

6333,因此V的分布列为

由V的分布列可得

3111323419

0.

562032032032040

EV=?+?+?+?+?=

8.(2012·山东高考理科·T19)现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,

命中的概率为3

4,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的

概率为2

3,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.

假设该射手完成以上三次射击.

(Ⅰ)求该射手恰好命中一次的概率.

(Ⅱ)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.

【解题指南】(Ⅰ)利用间接法来求解,分两类,命中甲一次,命中乙一次.(Ⅱ)本题考查的是随机变量的分布列及数学期望,先列出得分的所有值,并求出每个得分所对应的概率,列出分布列,然后根据公式求出数学期望.

【解析】(Ⅰ) 由于射手每次射击的结果相互独立,

所以P(命中一次)=

=

?

?

?

+

?

?2

3

2

3

1

4

1

3

1

3

1

4

3

36

7

.

(Ⅱ) 由题意知得分X的可能取值为0,1,2,3,4,5,

因此随机变量X的分布列为

所以

9.(2012·天津高考理科·T16)现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.

(Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率.

(Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率. (Ⅲ)用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记=||X Y ξ-,求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.

【解析】依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为3

1,去参加乙游戏的概率为3

2,设“4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件)4,3,2,1,0(=i A i ,则

i

i i i C A P -44)3

2()31()(=,

(Ⅰ)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率27

8)32()31()(22242=

=C A P . (Ⅱ)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ,则34B A A =?,由于3A 与4A 互斥,故

所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为9

1

.

(III )ξ的所有可能取值为0,2,4.由于1A 与3A 互斥,0A 与4A 互斥,故

所以ξ的分布列是

随机变量ξ的数学期望ξE =024********

?+?+?=.

10. (2012·湖南高考理科·T17)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如表所示.

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.

(Ⅰ)确定x ,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望; (Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率. (注:将频率视为概率) 【解析】(Ⅰ)由已知,得

所以15,20.x y ==

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,将频率视为概率得

X 的分布列为

X 的数学期望为

33111

()1 1.52 2.53 1.920104510E X =?

+?+?+?+?=.

(Ⅱ)记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”,(1,2)i X i =为该顾客前面第i 位顾客的结算时间,则

121212()(11)(1 1.5)( 1.51)P A P X X P X X P X X ===+==+==且且且,

由于各顾客的结算相互独立,且12,X X 的分布列都与X 的分布列相同,所以 121212()(1)1)(1)( 1.5)( 1.5)(1)P A P X P X P X P X P X P X ==?=+=?=+=?=(

333333920202010102080=

?+?+?=

.

故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为9

80.

11.(2012·北京高考文科·T17)与(2012·北京高考理科·T17)相同 近年来,某市为了促进生活垃圾的风分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):

(Ⅰ)试估计厨余垃圾投放正确的概率.

(Ⅱ)试估计生活垃圾投放错误的概率.

(Ⅲ)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c其中a>0,a+b+c=600.当数据a,b,c的方差s2最大时,写出a,b,c的值(结论不要求证明),并求此时s2的值.

(注:

2222

12

1

[()()()]

n

s x x x x x x

n

=-+-++-

,其中x为数据x1,x2,…,x n的平均数)

【解题指南】第(Ⅰ)问厨余垃圾投放正确即厨余垃圾投入到“厨余垃圾”箱内;第(Ⅱ)问,可以先求对立事件“生活垃圾投放正确”的概率;第(Ⅲ)问,先求出平均数,再写出方差表达式.方差最大也就是数据相对于平均数的波动最大.

【解析】(Ⅰ)

4002

400+100+1003

==

P

.

(Ⅱ)

400240603

1

100010

P

++

=-=

.

(Ⅲ)数据a,b,c的平均数为

1

()200

3

x a b c

=++=

方差

2222 1

[(200)(200)(200)]

3

s a b c

=-+-+-

可以令a=600,b=0,c=0,此时方差s2最大,最大值为80000.

12.(2012·湖北高考理科·T20)

根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:

历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别

为0.3,0.7,0.9,求:

(I )工期延误天数Y 的均值与方差.

(Ⅱ)在降水量X 至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率. 【解析】(I)由已知条件和概率的加法公式有: P(X<300)=0.3,P(300≤X<700) =P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4, P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700) =0.9-0.7=0.2,

所以P(X ≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1. 所以Y 的分布列为:

于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3;

D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8. 故工期延误天数Y 的均值为3,方差为9.8.

(Ⅱ)由概率的加法公式,P(X ≥300)=1-P(x<300)=0.7, 又P(300≤x<900)=P(X<900)-P(X<300) =0.9-0.3=0.6.

由条件概率,得P(Y ≤6|X ≥300)=P(X<900|X ≥300)=

P(300X 900)0.66

P(X 300)0.77

≤<==≥

故在降水量X 至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率是6

7

. 13.(2012·广东高考理科·T17)

某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组

区间是:[

)[)[)[)[)[]

40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100

.

(1)求图中x 的值.

(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的数学期望.

【解题指南】(1)本小题根据每个区间上的矩形的面积和为1,可建立关于x 的方程,解出x 的值.(2)解本小题的关键是先求出成绩不低于80分的学生数和成绩在90分(含90分)以上的学生数.然后分别求出0,1,2ξ=对应的概率值,再根据期望公式求解即可.

【解析】(1)由频率分布直方图知(0.00630.010.054)101,0.018x x ?+++?=∴=. (2)50(0.0180.006)1012?+?= ,

500.006103??=,

∴不低于80分的学生共12人,

90分(含90分)以上的学生共3人.

ξ的取值为0,1,2.

211

29933222121212691

(0),(1),(2)112222C C C C P P P C C C ξξξ=========

69110121122222E ξ∴=?

+?+?=.

14.(2012·福建高考理科·T16)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆,统计书数据如下:

将频率视为概率,解答下列问题:

(Ⅰ) 从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率.

(Ⅱ) 若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ,生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ,分别求1X ,2X 的分布列.

(Ⅲ) 该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该生产哪种品牌的轿车?说明理由.

【解析】(I )设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ,则

231

()5010P A +=

=

.

(II )依题意得随机变量1X 的分布列为

随机变量2X 的分布列为

(III )甲品牌.由(II )得

1139

()123 2.86255010E X =?

+?+?= (万元),

219

() 1.8 2.9 2.791010E X =?

+?= (万元).

因为12()()E X E X > ,所以应生产甲品牌轿车. 15.(2012·江苏高考理科·T22)(本小题满分10分)

设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,

0ξ=;当两条棱平行时,ξ

的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,1ξ=.

(1)求概率(0)P ξ=.

(2)求ξ的分布列,并求其数学期望()E ξ.

【解析】(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的1个,过任意1个顶点恰有3

条棱, ∴共有2

38C 对相交棱,∴

232128834

(0)=6611C P C ξ?===. (2)若两条棱平行,则它们的距离为1

的共有

6对,

2

12661(6611P C ξ===121(6611P ξ===

,∴

416(1)=1(0)(=111111P P P ξξξ=-=-=--.

∴随机变量ξ的分布列是:

∴61()=11111E ξ?

.

几个重要的离散型随机变量的分布列

几个重要的离散型随机变量的分布列 井 潇(鄂尔多斯市东胜区东联现代中学017000) 随着高中新课程标准在全国各地的逐步推行,新课标教材越来越受到人们的关注,新教材加强了对学生数学能力和数学应用意识的培养,而概率知识是现代公民应该具有的最基本的数学知识,掌握几种常见的离散型随机变量的分布列是新课标教材中对理科学生的最基本的要求,也是高考必考的内容,先结合新教材,具体谈一谈几个重要的离散型随机变量分布列及其简单的应用。 下面先了解几个概念: 随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量就叫随机变量.随机变量常用希腊字母,ξη等表示. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量就叫离散型随机变量. 离散型随机变量的分布列:一般地设离散型随机变量ξ可能取得值为 123,,,...,,...,i x x x x ξ取每一个值()1,2,3,...i x i =的概率()i i P x p ξ==,则称表 为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列. 由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都有以下两个性质 (1)0,1,2,3,...i P i ≥= (2)123...1P P P +++= 离散型随机变量在某个范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和. 一、 几何分布 在独立重复试验中,某事件第一次发生时所做试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量,“k ξ=”表示第k 次独立重复试验时事件第一次发生。如果把第k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ,()() ,k k P A p P A q ==,那么 ()()1231...k k P k P A A A A A ξ-==,根据相互独立事件的概率的乘法公式得 ()()()()()()1231...k k P k P A P A P A P A P A ξ-==()11,2,3,...k q p k -==。 于是得到随机变量ξ的概率分布

离散型随机变量及其分布律

5.离散型随机变量及其分布律 【教学内容】:高等教育出版社浙江大学盛骤,谢式千,潘承毅编的《概率论与数理统计》第二章第§2离散型随机变量及其分布律 【教材分析】:概率论考察的是与各种随机现象有关的问题,并通过随机试验从数量的侧面来研究随机现象的统计规律性,由此,就把随机试验的每一个可能的结果与一个实数联系起来。随机变量正是为了适应这种需要而引进的,随机变量的引入有助于我们应用微积分等数学工具,把研究深入,一维离散型随机变量是随机变量中最简单最基本的一种。 【学情分析】: 1、知识经验分析 学生已经学习了概率的意义及概率的公理化定义,学习了事件的关系及运算,掌握了概率的基本计算方法。 2、学习能力分析 学生虽然具备一定的基础的知识和理论基础,但概念理解不透彻,解决问题的能力不高,方法应用不熟练,知识没有融会贯通。 【教学目标】: 1、知识与技能: 了解离散型随机变量的分布律,会求某些简单的离散型随机变量的分布律列;掌握伯努利试验及两点分布, 2、过程与方法 由本节内容的特点,教学中采用启发式教学法,通过教学渗透由特殊到一般的数学思想,发展学生的抽象、概括能力。 3、情感态度与价值观 通过引导学生对解决问题的过程的参与,使学生进一步感受到生活与数学“零距离”,从而激发学生学习数学的热情。 【教学重点、难点】: 重点:掌握离散型随机变量的概念及其分布律、性质,理解伯努利试验,两点分布。 难点:伯努利试验,两点分布。 【教学方法】:讲授法启发式教学法 【教学课时】:1个课时 【教学过程】:

一、问题引入(离散型随机变量的概念) 例1:观察掷一个骰子出现的点数。 随机变量 X 的可能值是 : 1, 2, 3, 4, 5, 6。 例2若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命中时的射击次数”, 则 X 的可能值是: 1,2,3,. 例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了30次,则随 机变量 X 记为“击中目标的次数”, 则 X 的所有可能取值为: 0,1,2,3,,30. 定义 有些随机变量的取值是有有限个或可列无限多个,称此随机变量为离散型随机变量。 【设计意图】:让学生感受到数学与生活“零距离”,从而激发学生学习数学的兴趣,使学生获得良好的价值观和情感态度。 二、离散型随机变量的分布律 定义 设离散型随机变量X 的所有可能取值为),2,1( =k x k , X 取各个可能值得概率,即事件称}{k x X =的概率,为 ,2,1,}{===k p x X P k k 由概率的定义,k p 满足如下两个条件: 1))21(0 ,,=≥k p k ; 2) ∑∞ ==1 1k k p (分布列的性质) 称(2.1)式为离散型随机变量为X 的概率分布或分布律, 也称概率函数。 常用表格形式来表示X 的概率分布: n i n p p p p x x x X 2121 【设计意图】:给出分布律的概念和性质,体现具体到抽象、从特殊到一般的数学思想,同时让学生感受数学化归思想的优越性和这一做法的合理性。 例1:()()1,2,,C k P X k k N X N ?=== 若为随机变量的分布律,是确 定常数C 。 解:由分布律特征性质 1 知 C ≥ 0 , 由其特征性质 2 知 1 ()1N k P X k == =∑ 1 N k C k N =?=∑ )(12C N N ++=+ ()12 C N += 21C N ∴= + 【设计意图】:通过这个例子,让学生掌握离散型随机变量的分布律的性质。

离散型随机变量及其分布列教案

离散型随机变量及其分布列第一课时 2.1.1离散型随机变量 教学目标:1、引导学生通过实例初步了解随机变量的作用,理解随机变量、离散型随机变量的概念.初步学会在实际问题中如何恰当地定义随机变量. 2、让学生体会用函数的观点研究随机现象的问题,体会用离散型随机变量思想 描述和分析某些随机现象的方法,树立用随机观念观察、分析问题的意识. 3、发展数学应用意识,提高数学学习的兴趣,树立学好数学的信心,逐步认识 数学的科学价值和应用价值. 教学重点:随机变量、离散型随机变量的概念,以及在实际问题中如何恰当的定义随机变量.教学难点:对引入随机变量目的的认识,了解什么样的随机变量便于研究. 教学方法:启发讲授式与问题探究式. 教学手段:多媒体 教学过程: 一、创设情境,引出随机变量 提出思考问题1:掷一枚骰子,出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示.那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示? 启发学生:掷一枚硬币,可能出现正面向上、反面向上两种结果.虽然这个随机试验的结果不具有数量性质,但可以将结果于数字建立对应关系. 在让学生体会到掷骰子的结果与出现的点数有对应关系后,也能创造性地提出用数字表示掷一枚硬币的结果.比如可以用1表示正面向上的结果,用0表示反面向上的结果.也可以分别用1、2表示正面向上与反面向上的结果. 再提出思考问题2:一位篮球运动员3次罚球的得分结果可以用数字表示吗? 让学生思考得出结论:投进零个球——— 0分 投进一个球——— 1分 投进两个球——— 2分 投进三个球——— 3分 得分结果可以用数字0、1、2、3表示. 二、探究发现 1、随机变量 问题1.1:任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗? 引导学生从前面的例子归纳出:如果将实验结果与实数建立了对应关系,那么随机试验的结果就可以用数字表示.由于这个数字随着随机试验的不同结果而取不同的值,因此是个变量. 问题1.2:如果我们将上述变量称之为随机变量,你能否归纳出随机变量的概念? 引导学生归纳随机变量的定义:在随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量. 随机变量常用字母X、Y、ξ、η来表示. 问题1.3:随机变量与函数有类似的地方吗? 引导学生回顾函数的理解: 函数 实数实数 在引导学生类比函数的概念,提出对随机变量的理解:

高考数学-随机变量及其分布-1-离散型随机变量及其分布

专项-离散型随机变量及其分布列 知识点 1.随机变量的有关概念 (1)随机变量:随着试验结果变化而变化的变量,常用字母X ,Y ,ξ,η,…表示. (2)离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量. 2.离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念:若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,x i ,…,x n ,X 取每一个值x i (i =1,2,…,n )的概率P (X =x i )=p i ,以表格的形式表示如下: 此表称为离散型随机变量P ( X =x i )=p i ,i =1,2,…,n 表示X 的分布列. (2)分布列的性质:① p i ≥0,i =1,2,3,…,n ;① 11 =∑=n i i p 3.常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X 的分布列具有上表的形式,则称X 服从两点分布,并称p =P (X =1)为成功概率. (2)超几何分布 在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P (X =k )=C k M C n - k N -M C n N ,k =0,1,2,…,m , 其中m =min{M ,n },且n ≤N ,M ≤N ,n ,M ,N ①N *. 如果随机变量X 的分布列具有上表的形式,则称随机变量X 服从超几何分布.

题型一离散型随机变量的理解 【例1】下列随机变量中,不是离散型随机变量的是( ) A .某个路口一天中经过的车辆数X B .把一杯开水置于空气中,让它自然冷却,每一时刻它的温度X C .某超市一天中来购物的顾客数X D .小马登录QQ 找小胡聊天,设X =? ???? 1,小胡在线 0,小胡不在线 【例2】写出下列各随机变量的可能取值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果. (1)抛掷甲、乙两枚骰子,所得点数之和X ; (2)某汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯,Y 表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数. 【例3】袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球,若取得黑球则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ,则表示事件“放回5个红球”的是( ) A .ξ=4 B .ξ=5 C .ξ=6 D .ξ≤5 【例4】袋中装有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,在有放回取出的条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量ξ,则ξ所有可能取值的个数是 ( ) A .5 B .9 C .10 D .25 【过关练习】 1.指出下列变量中,哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由. ①掷一枚质地均匀的硬币5次,出现正面向上的次数; ②掷一枚质地均匀的骰子,向上一面出现的点数; ③某个人的属相随年龄的变化; ④在标准状态下,水结冰的温度. 2.某人射击的命中率为p (0

随机变量及其分布-离散型随机变量及其分布

离散型随机变量及其分布列 知识点 1随机变量的有关概念 (1) 随机变量:随着试验结果变化而变化的变量,常用字母 X , Y , E, n …表示. (2) 离散型随机变量:所有取值可以一- 变量. 2. 离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念:若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 X 1, X 2,…,X i ,…,x n , X 取每一个值X i (i = 1,2,…,n) 的概率P(X = X i )= P i ,以表格的形式表示如下: 此表称为离散型随机变量 P(X = X i )= p i , = 1,2,…, n 表示X 的分布列. (2)分布列的性质: n ① p i >0 i = 1,2,3,…,n ;① P i 1 i 1 3. 常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X 的分布列具有上表的形式,则称 X 服从两点分布,并称 p = P(X = 1)为成功概率. (2)超几何分布 其中 m = min{ M , n},且 n 汆, M 哥,n , M , N ①N *. 如果随机变量X 的分布列具有上表的形式,则称随机变量 X 服从超几何分布. 题型一离散型随机变量的理解 【例 1】 下列随机变量中,不是离散型随机变量的是 ( ) A .某个路口一天中经过的车辆数 X B .把一杯开水置于空气中,让它自然冷却,每一时刻它的温度 X C .某超市一天中来购物的顾客数 X 在含有M 件次品的N 件产品中,任取 n 件,其中恰有X 件次品,则 P(X = k)= c M c N —M c N ,k = 0,1,2, m ,

离散型随机变量的分布列综合题精选(附答案)

离散型随机变量的分布列综合题精选(附答案) 1.某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动,进行现场抽奖,盒中装有9张大小相同的精美卡片,卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”(世博会吉祥物)图案;抽奖规则是:参加者从盒中抽取卡片两张,若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖,否则,均为不获奖。卡片用后入回盒子,下一位参加者继续重复进行。 (Ⅰ)活动开始后,一位参加者问:盒中有几张“海宝”卡?主持人答:我只知道,从 盒中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是 18 5 ,求抽奖者获奖的概率; (Ⅱ)现有甲乙丙丁四人依次抽奖,用ξ表示获奖的人数,求ξ的分布列及ξξ,D E 的值。 解:(I )设“世博会会徽”卡有n 张, 由,18 5292 =C C n 得n=5, 故“海宝”卡有4张,抽奖者获奖的概率为6 1 2924=C C …………5分 (II )) 1 ,4(~B ξ的分布列为)4,3,2,1,0()5()1()(44===-k C k P k k k ξ 0.9 )61(4,364=-?==? =∴ξξD E …………12分 2.某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列,每个系列都有K 和D 两个动作。比赛时每位运动员自选一个系列完成,两个动作得分之和为该运动员的成绩。 假设每个运动员完成每个系列中的K 和D 两个动作的得分是相互独立的。根据赛前训练的统计数据,某运动员完成甲系列和乙系列中的K 和D 两个动作的情况如下表: 表1:甲系列 表2:乙系列 动作 K 动作 D 动作 得分 90 50 20 0 概率 10 910 110910 1 动作 K 动作 D 动作 得分 100 80 40 10 概率 4 3 4 1 4 341

选修2-3离散型随机变量及其分布知识点

离散型随机变量及其分布 知识点一:离散型随机变量的相关概念; 随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机 变量随机变量常用希腊字母、等表示 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随 机变量叫做离散型随机变量。若 是随机变量, a b ,其中a 、b 是常数,则 也 是随机变量 连续型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的 变量就叫做连续型随机变量 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变 量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列 出,而连续性随机变量的结果不可以 --------------------- 列出 离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量可能取的值为X i 、X 2 X i 取每一 个值X i i 1,2, 的概率为P( X ) p ,贝U 称表 为随机变量的概率分布,简称的分布列 知识点二:离散型随机变量分布列的两个性质; 任何随机事件发生的概率都满足:0 P(A) 1,并且不可能事件的概率为0,必然事 件的概率为 1.由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质: (1) P i 0, i 1,2, ; (2) RP.L 1 特别提醒:对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 概率的和即P( 知识点二:两点分布: 若随机变量X 的分布列: 特别提醒:(1) 若随机变量X 的分布列为两点分布,则称X 服从两点分布,而称P(X=1为成 功 率? (2) 两点分布又称为0-1分布或伯努利分布 ⑶两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖;买回的一件产品是 否为正 品;新生婴儿的性别;投篮是否命中等等;都可以用两点分布列 来研究? 知识点三:超几何分布: 一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则 C k C n k X k ) P( X k ) P( X k 1) L 则称X 的分布列为两点分布列

离散型随机变量及其分布范文

离散型随机变量及其分布 知识点一:离散型随机变量的相关概念; 随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量。若ξ是随机变量,a b ηξ=+,其中a 、b 是常数,则η也是随机变量 连续型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出 离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为12i x x x ??????、ξ取每一个值()1,2,i x i =???的概率为()i i P x p ξ==,则称表 为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列 知识点二:离散型随机变量分布列的两个性质; 任何随机事件发生的概率都满足:0()1P A ≤≤,并且不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1.由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质: (1) 01,2,i p i ≥=???,;12(2) 1P P ++ = 特别提醒:对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 概率的和即1()()()k k k P x P x P x ξξξ+≥==+=+ 知识点二:两点分布: 若随机变量X 的分布列: 则称 X 的分布列为两点分布列. 特别提醒:(1)若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1) 为成功率. (2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布 (3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖;买回的一件产品是 否为正品;新生婴儿的性别;投篮是否命中等等;都可以用两点分布列来研究. 知识点三:超几何分布: 一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则

2.1.2 离散型随机变量的分布列

2.1.2 离散型随机变量的分布列 1.离散型随机变量的分布列 (1)定义:一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1、x 2、…、x i 、…、x n ,X 取每一个值x i (i =1,2,…,n )的概率P (X =x i )=p i ,以表格的形式表示如下: (2)表示:离散型随机变量可以用表格法、解析法、图象法表示. (3)性质:离散型随机变量的分布列具有如下性质: ①p i ≥0,i =1,2,…,n ; ② 11 =∑=n i i p 2.两个特殊分布列 (1)两点分布列 如果随机变量X 的分布列是 P (X =1)为成功概率. (2)超几何分布列 一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则事件{X =k }发生的概率为 P (X =k )=n N k n M N k M C C C --,k =0,1,2,…,m ,其中m =min{M ,n },且n ≤N ,M ≤N ,n 、M 、N ∈N *,称分布 列 如果随机变量X 的分布列为超几何分布列,则称随机变量X 服从超几何分布. (3)公式P (X =k )=C k M C n - k N -M C n N 的推导 由于事件{X =k }表示从含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有k 件次品这一随机事件,因此它的基本事件为从N 件产品中任取n 件.由于任一个基本事件是等可能出现的,并且它有n N C 个基本事件,而其中恰有k 件次品,则必有(n -k )件正品,因此事件{X =k }中含有k n M N k M C C --个基本事件,由古典概 型的概率公式可知P (X =k )=C k M C n - k N -M C n N . [知识点拨]1.离散型随机变量分布列表格形式的结构特征 分布列的结构为两行,第一行为随机变量的所有可能取得的值;第二行为对应于随机变量取值的事件发生的概率.看每一列,实际上是:上为“事件”,下为事件发生的概率. 2.两点分布的特点 (1)两点分布中只有两个对应结果,且两个结果是对立的. (2)由对立事件的概率求法可知:P(X =0)+P(X =1)=1.

离散型随机变量及其分布列练习题和答案

高二理科数学测试题(9-28) 1.每次试验的成功率为(01)p p <<,重复进行10次试验,其中前7次都未成功后3次都成功的概率为( ) ()A 33710(1)C p p - ()B 33 310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试,已知某同学每次投篮投中的概 率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) (A )0.648 (B )0.432 (C )0.36 (D )0.312 3.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,甲队与乙队实力之比为3:2,比赛时均能正常发挥技术水平,则在5局3胜制中,甲打完4局才胜的概率为( ) ()A 23332()55C ? ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C 4.某地区气象台统计,该地区下雨的概率是 15 4,刮三级以上风的概率为152,既 刮风又下雨的概率为10 1,则在下雨天里,刮风的概率为( ) A. 225 8 B.2 1 C.8 3 D.4 3 5.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数,则P (ξ≤1)等于( ). A.15 B.25 C.35 D.45 6.一袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了ξ次球,则==)12(ξP ( ) A.2101012)85()83(?C B.83)85()83(29911?C C.29911)83()85(?C D. 29911)85()83(?C

数学百大经典例题——离散型随机变量分布列(新课标)

耗用子弹数的分布列 例 某射手有5发子弹,射击一次命中概率为0.9,如果命中就停止射击,否则一直到子弹用尽,求耗用子弹数ξ的分布列. 分析:确定ξ取哪些值以及各值所代表的随机事件概率,分布列即获得. 解:本题要求我们给出耗用子弹数ξ的概率分布列.我们知道只有5发子弹,所以ξ的取值只有1,2,3,4,5.当1=ξ时,即9.0)1(==ξP ;当2=ξ时,要求第一次没射中,第二次射中,故09.09.01.0)2(=?==ξP ;同理,3=ξ时,要求前两次没有射中,第三次射中,009.09.01.0)3(2=?==ξP ;类似地,0009.09.01.0)4(3=?==ξP ;第5次射击不同,只要前四次射不中,都要射第5发子弹,也不考虑是否射中,所以41.0)5(==ξP ,所以耗用子弹数ξ的分布列为: 说明:搞清5=ξ的含义,防止这步出错.5=ξ时,可分两种情况:一是前4发都没射中,恰第5发射中,概率为0.14×0.9;二是这5发都没射中,概率为0.15,所以, 5 41.09.01.0)5(+?==ξP .当然, 5 =ξ还有一种算法:即 0001.0)0009.0009.009.09.0(1)5(=+++-==ξP . 独立重复试验某事件发生偶数次的概率 例 如果在一次试验中,某事件A 发生的概率为p ,那么在n 次独立重复试验中,这件事A 发生偶数次的概率为________. 分 析 : 发 生 事 件 A 的 次 数 () p n B ,~ξ,所以, ),,2,1,0,1(,)(n k p q q p C k p k n k k n =-===-ξ其中的k 取偶数0,2,4,…时,为二项式 n q p )(+ 展开式的奇数项的和,由此入手,可获结论. 解:由题,因为 ()p n B ,~ξ且ξ取不同值时事件互斥,所以,

第7讲离散型随机变量及其分布列

第7讲 离散型随机变量及其分布列 一、选择题 1.某射手射击所得环数X 的分布列为 X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 解析 P (X >7)=P (X =8)+P (X =9)+P (X =10) =0.28+0.29+0.22=0.79. 答案 C 2.设X 是一个离散型随机变量,其分布列为: X -1 0 1 P 2-3q q 2 则q 的值为( ) A.1 B.32±336 C.32-336 D.32+336 解析 由分布列的性质知?????2-3q ≥0,q 2 ≥0, 13+2-3q +q 2 =1, 解得q =32-33 6. 答案 C 3.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X 去描述1次试验的成功次数,则P (X =0)等于( ) A.0 B.12 C.13 D.23 解析 由已知得X 的所有可能取值为0,1, 且P (X =1)=2P (X =0),由P (X =1)+P (X =0)=1,

得P(X=0)=1 3. 答案 C 4.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后,若取得黑球则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ,则表示“放回5个红球”事件的是() A.ξ=4 B.ξ=5 C.ξ=6 D.ξ≤5 解析“放回五个红球”表示前五次摸到黑球,第六次摸到红球,故ξ=6. 答案 C 5.从装有3个白球、4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球、1个红球的概率是() A.4 35 B. 6 35 C. 12 35 D. 36 343 解析如果将白球视为合格品,红球视为不合格品,则这是一个超几何分布问 题,故所求概率为P=C23C14 C37=12 35. 答案 C 二、填空题 6.设离散型随机变量X的分布列为 X 0123 4 P 0.20.10.10.3M 若随机变量Y=|X 解析由分布列的性质,知 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3. 由Y=2,即|X-2|=2,得X=4或X=0, ∴P(Y=2)=P(X=4或X=0) =P(X=4)+P(X=0) =0.3+0.2=0.5.

人教版高中数学《离散型随机变量的分布列》教学设计(全国一等奖)

《离散型随机变量的分布列》教学设计 一、教材分析 《离散型随机变量的分布列》是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3》第二章随机变量及其分布的第一节离散型随机变量及其分布列的第二课时,主要内容是学习分布列的定义、性质、应用和两点分布模型。离散型随机变量的分布列是高中阶段的重点内容,它作为概率与统计的桥梁与纽带,既是概率的延伸,也是学习统计学的理论基础,起到承上启下的作用,是本章的关键知识之一,也是后续第三节离散型随机变量的均值和方差的基础。从近几年的高考观察,这部分内容有加强命题的趋势。一般以实际情境为主,需要学生具备一定的建模能力,建立合适的分布列,通过均值和方差解释实际问题。 二、学情分析 在必修三的教材中,学生已经学习了有关统计概率的基本知识,在本书的第一章中也全面学习了排列组合的有关内容,有了知识上的准备; 并且通过古典概率的学习,基本掌握了离散型随机变量取某些值时对应的概率, 有了方法上的准备, 但并未系统化。处于这一阶段的学生,思维活跃,已初步具备自主探究的能力,动手能力运算能力尚佳,但基础薄弱,对数学图形、符号、文字三种语言的相互转化,以及处理抽象问题的能力,还有待于提高。 三、教学策略分析 学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。本课以情境为载体,以学生为主体,以问题为手段,激发学生观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程,通过设计抽奖方案,让学生感受“从特殊到一般,再从一般到特殊”的抽象思维过程,应用类比、归纳、转化的思想方法,得到分布列的三种表示方法及分布列的性质,培养学生分析问题、解决问题的能力。 四、目标分析 1.理解核心概念——离散型随机变量分布列及两点分布模型,掌握分布列的性质,会求离散型随机变量的分布列,并能解决实际问题;

离散型随机变量及其分布列

离散型随机变量及其分布列 [考纲传真]1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用. 【知识通关】 1.随机变量的有关概念 (1)随机变量:随着试验结果变化而变化的变量,常用字母X,Y,ξ,η,…表示. (2)离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量. 2.离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念:若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,x i,…,x n,X取每一个值x i(i=1,2,…,n)的概率P(X=x i)=p i,以表格的形式表示如下: P(X=x i)=p i,i=1,2,…,n表示X的分布列. (2)分布列的性质 ①p i≥0,i=1,2,3,…,n; ②∑ n i=1 p i=1. 3.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布:若随机变量X服从两点分布,则其分布列为 (2)超几何分布:在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次 品,则P(X=k)=C k M C n-k N-M C n N,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N, M≤N,n,M,N∈N*,称随机变量X服从超几何分布.

1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)离散型随机变量的分布列中,各个概率之和可以小于1.() (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.() (3)如果随机变量X的分布列由下表给出,则它服从两点分布.() 布.() [答案](1)×(2)√(3)×(4)√ 2.投掷甲、乙两颗骰子,所得点数之和为X,那么X=4表示的事件是() A.一颗是3点,一颗是1点 B.两颗都是2点 C.甲是3点,乙是1点或甲是1点,乙是3点或两颗都是2点 D.以上答案都不对 C 3.设随机变量X的分布列如下: A.1 6B. 1 3 C.1 4D. 1 12 C 4.设随机变量X等可能取值1,2,3,…,n,如果P(X<4)=0.3,那么n=________. 10 5.在含有3件次品的10件产品中任取4件,则取到次品数X的分布列为________. P(X=k)=C k3·C4-k 7 C410,k=0,1,2,3

离散型随机变量及其概率分布列(学生版)

离散型随机变量及其概率分布列 第一课时 随机变量 学习目标: 1.离散型随机变量、事件空间的概念。区分离散型随机变量和非离散型随机变量。 2.理解随机变量所表示实验结果的含义,会用合适的数表示试验的结果。 3.会求离散型随机变量:()P X a =、()P X a <、()()P X a P b X a ≤<≤、。 预习:离散型随机变量、离散型随机变量概率分布列的概念。 新课 一、随机试验、随机变量、样本空间 引例:下列2个随机试验,结果能否用数字表达? 1.抛掷一枚质地均匀的骰子一次。 2.抛掷一枚质地均匀的硬币一次。 3.一枚电灯泡的使用寿命是否超过1000小时。 例题1 下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示?若能,请写出随机变量的样本空间和各个随机变量所对应的试验结果。 1.已知5件产品中有2件次品,任意一次抽取2件中含有的次品数。 2.抛掷质地均匀的2枚骰子一次,所得点数之和。 3.某球队在5次点球中,射进的球数。 4.任意抽取一瓶某种标有2500ml 的饮料,其实际量与规定量之差。 5.一枚电灯泡的使用寿命。 6.东圳水库2020年3月1日至7日,每天中午12点的水位。 练习:抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ,试问:“ξ> 4”表示的试验结果是什么?

二、随机变量的概率 例题2 抛掷一枚质地均匀的骰子,数值X 表示抛掷出的点数。 (1)求X 的样本空间; (2)(5)P X =; (3)(5)P X <; (4)(5)P X ≤; (5)(35)P X <≤; (6)抛掷出偶数; 练习:投掷2枚质地均匀的硬币一次,用X 表示投掷出的正面数。求下列事件的概率。 (1)(0)P X = (2)(1)P X = 三、作业 《离散型随机变量及其分布列A 卷》1,2,3,5,8,10 《离散型随机变量及其分布列B 卷》3,5,7,11,13,15,16. 第二课时 随机变量的概率分布列 学习目标: 1. 随便变量概率分布列的概念。 2. 会求简单的离散型随机变量的概率分布列。认识概率分布列对刻画随机现象的重要性。 3. 掌握超几何分布概率分布列。 预习:随机变量概率分布列的概念 一、复习导入 1.随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量 3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量

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