?-23,1时,对满足-1≤a ≤1的一切a 的值,都有g (x )<0. 点评 主与次的转化法
合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在,通过变换主元,起到了化繁为简的作用.在不等式中出现两个字母:x 及a ,关键在于该把哪个字母看成变量,哪个看成常数.显然可将a 视作自变量,则上述问题即可转化为在[-1,1]内关于a 的一次函数小于0恒成立的问题.
变式训练3 设f (x )是定义在R 上的单调递增函数,若f (1-ax -x 2)≤f (2-a )对任意a ∈[-1,1]恒成立,则x 的取值范围为______________.
答案 (-∞,-1]∪[0,+∞)
解析 ∵f (x )是R 上的增函数,
∴1-ax -x 2≤2-a ,a ∈[-1,1].(*)
(*)式可化为(x -1)a +x 2+1≥0对a ∈[-1,1]恒成立.
令g (a )=(x -1)a +x 2+1.
则?????
g (-1)=x 2-x +2≥0,g (1)=x 2+x ≥0, 解得x ≥0或x ≤-1,
即实数x 的取值范围是(-∞,-1]∪[0,+∞).
题型四 以换元为手段的转化与化归
例4 是否存在实数a ,使得函数y =sin 2x +a cos x +58a -32在闭区间[0,π2
]上的最大值是1?若存在,则求出对应的a 的值;若不存在,请说明理由.
解 y =sin 2x +a cos x +58a -32
=1-cos 2x +a cos x +58a -32
=-(cos x -a 2)2+a 24+58a -12
. ∵0≤x ≤π2
,∴0≤cos x ≤1,令cos x =t , 则y =-(t -a 2)2+a 24+58a -12
,0≤t ≤1. 当a 2>1,即a >2时,函数y =-(t -a 2)2+a 24+58a -12
在t ∈[0,1]上单调递增, ∴t =1时,函数有最大值y max =a +58a -32
=1, 解得a =2013
<2(舍去); 当0≤a 2
≤1,即0≤a ≤2时, 则t =a 2
时函数有最大值, y max =a 24+58a -12
=1, 解得a =32
或a =-4(舍去); 当a 2
<0,即a <0时, 函数y =-(t -a 2)2+a 24+58a -12
在t ∈[0,1]上单调递减, ∴t =0时,函数有最大值y max =58a -12
=1, 解得a =125
>0(舍去), 综上所述,存在实数a =32,使得函数在闭区间[0,π2
]上有最大值1. 点评 换元有整体代换、特值代换、三角换元等情况.
本题是关于三角函数最值的存在性问题,通过换元,设cos x =t ,转化为关于t 的二次函数问
题,把三角函数的最值问题转化为二次函数y =-(t -a 2)2+a 24+58a -12
,0≤t ≤1的最值问题,然后分类讨论解决问题.
变式训练4 若关于x 的方程9x +(4+a )·3x +4=0有解,则实数a 的取值范围是____________. 答案 (-∞,-8]
解析 设t =3x ,则原命题等价于关于t 的方程t 2+(4+a )t +4=0有正解,分离变量a ,得a
+4=-???
?t +4t , ∵t >0,∴-???
?t +4t ≤-4, ∴a ≤-8,即实数a 的取值范围是(-∞,-8].
高考题型精练
1.若函数f (x )=x 3-tx 2+3x 在区间[1,4]上单调递减,则实数t 的取值范围是( )
A .(-∞,518
] B .(-∞,3] C .[518
,+∞) D .[3,+∞)
答案 C
解析 f ′(x )=3x 2-2tx +3,由于f (x )在区间[1,4]上单调递减,则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立,
即3x 2-2tx +3≤0,即t ≥32(x +1x
)在[1,4]上恒成立, 因为y =32(x +1x
)在[1,4]上单调递增, 所以t ≥32(4+14)=518
, 故选C.
2.已知函数f (x )=12log x ,若m A .[23,+∞)
B .(23,+∞)
C .[4,+∞)
D .(4,+∞)
答案 D 解析 ∵f (x )=12
log x ,若m 1122
log log =-,
m n ∴ ∴mn =1,∴01,
∴m +3n =m +3m
在m ∈(0,1)上单调递减, 当m =1时,m +3n =4,∴m +3n >4.
3.过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F ,作一直线交抛物线于P ,Q 两点,若线段PF 与FQ 的长
度分别为p ,q ,则1p +1q
等于( ) A .2a
B.12a C .4a
D.4a
答案 C
解析 抛物线y =ax 2(a >0)的标准方程为x 2=1a y (a >0),焦点F (0,14a
), 取过焦点F 的直线垂直于y 轴,
则|PF |=|QF |=12a
, 所以1p +1q
=4a . 4.已知函数f (x )=(e 2x +1+1)(ax +3a -1),若存在x ∈(0,+∞),使得不等式f (x )<1成立,则实数a 的取值范围是( )
A .(0,e +23(e +1)
) B .(0,2e +1
) C .(-∞,e +23(e +1)
) D .(-∞,1e +1
) 答案 C
解析 因为x ∈(0,+∞),所以2x +1>1,
则e 2x +
1+1>e +1, 要使f (x )<1,则ax +3a -1<1e +1
, 可转化为:存在x ∈(0,+∞)使得a 成立. 设g (x )=e +2e +1·1x +3
, 则a 因为x >0,则x +3>3,
从而1x +3<13
, 所以g (x ),
选C.
5.已知f (x )=33x +3
,则f (-2015)+f (-2014)+…+f (0)+f (1)+…+f (2016)=________. 答案 2016
解析 f (x )+f (1-x )=33x +3+331-x +3
=33x +3+3x
3+3x
=3x +33x +3
=1, ∴f (0)+f (1)=1,f (-2015)+f (2016)=1,
∴f (-2015)+f (-2014)+…+f (0)+f (1)+…+f (2016)=2016.
6.若二次函数f (x )=4x 2-2(p -2)x -2p 2-p +1在区间[-1,1]内至少存在一个值c ,使得f (c )>0,求实数p 的取值范围是________.
答案 (-3,32
) 解析 如果在[-1,1]内没有值满足f (c )>0,
则????? f (-1)≤0,f (1)≤0???? p ≤-12或p ≥1,p ≤-3或p ≥32
?p ≤-3或p ≥32
, 取补集为-3
). 7.对任意的|m |≤2,函数f (x )=mx 2-2x +1-m 恒为负,则x 的取值范围是________________. 答案 (7-12,3+12
) 解析 对任意的|m |≤2,有mx 2-2x +1-m <0恒成立,
即|m |≤2时,(x 2-1)m -2x +1<0恒成立.
设g (m )=(x 2-1)m -2x +1,
则原问题转化为g (m )<0恒成立(m ∈[-2,2]).
所以?
???? g (-2)<0,g (2)<0, 即?????
2x 2+2x -3>0,2x 2-2x -1<0,
解得7-12, 即实数x 的取值范围为(
7-12,3+12). 8.已知一个几何体的三视图如图所示,如果点P ,Q 在正视图中所示位置:点P 为所在线段的中点,点Q 为顶点,则在几何体侧面上,从P 点到Q 点的最短路径的长为________.
答案 a 1+π2
解析 由三视图,知此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体,分别沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面并展开铺平,如图所示.
则PQ =AP 2+AQ 2=a 2+(πa )2=a 1+π2.
所以P ,Q 两点在侧面上的最短路径的长为a 1+π2.
9.求使不等式x 2+(a -6)x +9-3a >0,|a |≤1恒成立的x 的取值范围.
解 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x -3)a +x 2-6x +9>0.
令f (a )=(x -3)a +x 2-6x +9.
因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立,所以
(1)若x =3,则f (a )=0,不符合题意,应舍去.
(2)若x ≠3,则由一次函数的单调性,
可得?
???? f (-1)>0,f (1)>0, 即?????
x 2-7x +12>0,x 2-5x +6>0, 解得x <2或x >4.
即x 的取值范围为(-∞,2)∪(4,+∞).
10.已知f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若m ,n ∈[-1,1],m +n ≠0时,有
f (m )+f (n )m +n
>0. (1)证明f (x )在[-1,1]上是增函数;
(2)解不等式f (x 2-1)+f (3-3x )<0;
(3)若f (x )≤t 2-2at +1对任意x ∈[-1,1],a ∈[-1,1]恒成立,求实数t 的取值范围. 解 (1)任取-1≤x 1则f (x 1)-f (x 2)=f (x 1)+f (-x 2)
=f (x 1)+f (-x 2)x 1-x 2
(x 1-x 2). ∵-1≤x 1由已知f (x 1)+f (-x 2)x 1-x 2
>0,x 1-x 2<0, ∴f (x 1)-f (x 2)<0,
即f (x )在[-1,1]上是增函数.
(2)因为f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,且在[-1,1]上是增函数,
不等式化为f (x 2-1)所以????? x 2-1<3x -3,-1≤x 2-1≤1,
-1≤3x -3≤1,
解得x ∈(1,43
]. (3)由(1)知,f (x )在[-1,1]上是增函数,
所以f (x )在[-1,1]上的最大值为f (1)=1,
要使f (x )≤t 2-2at +1对任意x ∈[-1,1],a ∈[-1,1]恒成立,
只要t 2-2at +1≥1?t 2-2at ≥0,
设g (a )=t 2-2at ,对任意a ∈[-1,1],g (a )≥0恒成立,
所以????? g (-1)=t 2+2t ≥0,g (1)=t 2-2t ≥0??????
t ≥0或t ≤-2,t ≥2或t ≤0, 所以t ≥2或t ≤-2或t =0.
11.已知函数f (x )=2|x -1|-a ,g (x )=-|2x +m |,a ,m ∈R ,若关于x 的不等式g (x )≥-1的整数解有且仅有一解-2.
(1)求整数m 的值;
(2)若函数y =f (x )的图象恒在函数y =12
g (x )的图象的上方,求实数a 的取值范围. 解 (1)由g (x )≥-1,
即-|2x +m |≥-1,|2x +m |≤1,
得-m -12≤x ≤-m +12
. ∵不等式的整数解为-2,
∴-m -12≤-2≤-m +12
,解得3≤m ≤5. 又∵不等式仅有一个整数解-2,∴m =4.
(2)函数y =f (x )的图象恒在函数y =12
g (x )的上方, 故f (x )-12
g (x )>0对任意x ∈R 恒成立, ∴a <2|x -1|+|x +2|对任意x ∈R 恒成立. 设h (x )=2|x -1|+|x +2|,
则h (x )=????? -3x ,x ≤-2,4-x ,-23x ,x >1,
则h (x )在区间(-∞,1)上是减函数, 在区间(1,+∞)上是增函数,
∴当x =1时,h (x )取得最小值3,
故a <3,∴实数a 的取值范围是(-∞,3).