1.1 命题及其关系
1.1.1 命题
问题导学
一、命题的定义及其判断
活动与探究1
下列语句是命题的是__________，其中是真命题的是________．(写出序号即可)
①x ＝2是方程x 2－4x ＋4＝0的解；
②函数f (x )＝1x
在定义域上是减函数吗？ ③一个整数不是质数就是合数；
④3100不是个大数；
⑤若sin α＝sin β，则α＝β或α＋β＝π；
⑥空间中与同一条直线平行的两条直线互相平行；
⑦x 2－x －1＞0．
迁移与应用
1．给出下列语句：
①北京是中国的首都；②x ＝－2是方程x 2＋4x ＋4＝0的根；③sin x ＞－x 2；④0是自然数吗？⑤我希望明年考上北京大学．
其中的真命题是__________．
2．下列命题中，是真命题的是( )．
A ．{ }是空集
B ．{x ∈N | |x －1|＜3}是无限集
C ．e 是有理数
D ．x 2－5x ＝0的根是自然数
1．并不是任何语句都是命题，一个语句是命题应具备两个条件：一是陈述句；二是能够判断真假．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假．若能，就是命题；若不能，就不是命题．还有一些语句，目前无法判断真假，但从事物的本质而论，这些语句是可辨别真假的，尤其是科学上的一些猜想等，这类语句也叫做命题．
2．一个命题要么是真的，要么是假的，不能模棱两可．给出一个命题，判断它是真命
题，必须经过严格的逻辑推理；而要说明它为假命题，只要举出一个反例即可．
二、命题的结构
活动与探究2
把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．
(1)周长相等的三角形面积相等；
(2)已知x ，y 为正整数，当y ＝x ＋1时，y ＝3，x ＝2；
(3)当m ＞14
时，mx 2－x ＋1＝0无实根； (4)当abc ＝0时，a ＝0且b ＝0且c ＝0．
迁移与应用
把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假：
(1)内接于圆的四边形的对角互补；
(2)被5整除的整数的末位数字是5；
(3)当a ＞0时，函数y ＝ax ＋b 是增函数；
(4)三角形相似，对应边成比例．
1．分清条件和结论，是对命题进行真假判断的关键，有些命题的条件和结论的叙述并不分明，而且由于对命题理解的不同，会得出不同的条件与结论．
2．对命题进行改写时，一定要找准命题的条件与结论，注意所叙述条件和结论的完整性，同时在有些命题中，还要注意前提条件的写法．
答案：
课前·预习导学
【预习导引】
1．语言 符号 式子 真假 陈述句 真 假
预习交流1：C 提示：②是真命题，①是假命题，③④无法判断真假，不是命题．
2．条件 结论
预习交流2：提示：(1)的条件是一个整数a 能被2整除，结论是这个整数是偶数；(2)的条件是一个四边形是菱形，结论是该四边形的对角线互相垂直平分；(3)的条件是a ＞0，b ＞0，结论是a ＋b ＞0；(4)的条件是两个平面垂直于同一直线，结论是这两个平面平行．
课堂·合作探究
【问题导学】
活动与探究1：①③⑤⑥ ①⑥ 解析：①是命题，并且是真命题；②不是命题，因为这是一个疑问句；③是命题，并且是假命题，因为整数1既不是质数也不是合数；④不是命题，因为 “大数”的标准不存在，无法判断其真假；⑤是命题，并且是假命题，当sin α＝sin β时，应有α＝2k π＋β或α＋β＝2k π＋π(k ∈Z )；⑥是命题，并且是真命题，这是平行公理；⑦不是命题，因为当x ∈R 时，x 2－x －1＞0的真假无法判断．
迁移与应用：1．①② 解析：①是命题，且是真命题；
②是命题，且是真命题；
③不是命题，因为无法判断其真假，其真假与x 的取值有关；
④不是命题，因为它是疑问句；
⑤不是命题，因为无法判断其真假．
综上可知，其中的真命题只有①②．
2．D
活动与探究2：思路分析：找准命题的条件和结论是解这类题目的关键，要注意前提条件的写法，如(2)中的“已知x ，y 为正整数”是前提条件，不能写在命题的条件中，应当写在命题的前面．
解：(1)若两个三角形周长相等，则这两个三角形面积相等，假命题；
(2)已知x ，y 为正整数，若y ＝x ＋1，则y ＝3，x ＝2，假命题；
(3)若m ＞14
，则mx 2－x ＋1＝0无实根，真命题； (4)若abc ＝0，则a ＝0且b ＝0且c ＝0，假命题．
迁移与应用：解：(1)若四边形内接于圆，则它的对角互补．真命题．
(2)若一个整数被5整除，则它的末位数字是5．假命题．
(3)若a ＞0，则函数y ＝ax ＋b 是增函数．真命题．
(4)若两个三角形相似，则它们的对应边成比例．真命题．
当堂检测
1．下列语句：①x ＝0；②－5∈Z ；③作线段AB ；④2020年人类将登上火星；⑤lg 100＝2．
其中命题的个数是()．
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：B解析：①语句中含有变量，不能判断真假，不是命题；③是祈使句，不是命题；②⑤是陈述句且能判断真假，是命题；④目前不能确定真假，但随着时间的推移，总能确定真假，这类猜想也是命题，故②④⑤是命题．
2．下列命题中，真命题共有()．
①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a＞b，则a＋c＞b ＋c；④矩形的对角线互相垂直．
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：A解析：①②④是假命题，③是真命题．
3．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是()．
A．这个数能被2整除
B．这个数能被3整除
C．这个数既能被2整除，也能被3整除
D．这个数是6的倍数
答案：C
4．命题“若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”中的条件是________________________，结论是________________，它是________命题(填“真”或“假”)．
答案：若△ABC是等腰三角形△ABC的任何两个内角不相等假
5．判断下列命题的真假：
(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
答案：)假命题．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2．
(2)对任意的x∈N，都有x3＞x2成立；
答案：假命题．反例：当x＝0时，x3＞x2不成立．
(3)若m＞1，则方程x2－2x＋m＝0无实根；
答案：真命题．∵m＞1，∴Δ＝4－4m＜0，∴方程x2－2x＋m＝0无实根．
(4)存在一个三角形没有外接圆．
答案：假命题．因为不共线的三点确定一个圆．