四川省成都石室中学2018-2019学年高二数学10月月考试题 文
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的. 1.已知集合(){}(){}
2
2,10,,1A x y x y B x y x
y A B =+-==+=?=，则 （ ）
A.
()(){}0110，，，
B. {}01，
C.
(){}01，
D.(){}
10，
2.下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）
A.y =
B.tan y x =
C.1
y x x
=+
D.x x y e e -=-
3.己知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm )， 可得这个几何体的体积是（ ）
A.3
83cm B.
343cm C. 323cm D. 31
3
cm 4.过原点且倾斜角为30?的直线被圆()2
2
24x y +-=所截得的弦长为（ ）
A. 21
5.当曲线y =240kx y k -+-=有两个相异的交点时,实数k 的取值范围是 （ ）
A. 30,4?? ???
B. 53,124??
???
C. 3,14?? ???
D. 3,4??+∞ ???
6.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线
段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ） A.
1
3
B.
3
2
C.
1
2
D.1
7.设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，
212PF F F ⊥，1230PF F ∠=?，则C 的离心率为（ ）
B.13
C.12
8.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>> 的左右焦点分别为12,F F ，
以12F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个
交点为()1,2 ，则此双曲线为 （ ）
A.2
214
x y -=
B.2
214
y x -=
C.2212x y -=
D.2212
y x -=
9.平行四边形
内接于椭圆，直线
的斜率
，则直线
的斜率
( )
A. B. C ． D.
10.已知双曲线E ：22
221x y a b
-= ()0,0a b >>，点1F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一
象限内的点，P 关于原点O 的对称点为Q ，OP b =，113PF QF =，
则E 的离心率为（ ）
211.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知ABC ?的顶点()()2,0,0,4A B ，若其欧拉线的方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标为（ ） A.()4,0- B.()3,1-- C.()5,0- D.()4,2--
12.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（ ）
A. 81500π
B. π4
C. 925π
D.9
100π
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若2n
n S a =+，则实数a 的值为 ．
14. 直线l ：(2y x =过双曲线C ：22
221x y a b
-= ()0,0a b >>的右焦点F 且与双曲
线C 只有一个公共点，则C 的离心率为 ．
15.已知圆()2
23100C x y ++=：和点()3,0B ,P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交CP
于M 点，则M 点的轨迹方程是 ．
16.在平面直角坐标系xOy 中，点Q 为圆1)4()3(22=-++y x 上的一动点，直线
02:1=+-k y kx l 与直线02:2=-+ky x l 相交于点P ．则当实数k 变化时，线段PQ 长的
最大值是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分10分)
已知公差不为0的等差数列{}n a 的前三项和为12，且248,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n a
n b 2=，求数列{}n b 的前n 项和n S .
18.(本小题满分12分)
已知曲线C 上的动点(),P x y 满足到定点()1,0A -的距离与到定点()1,0B
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）过点()1,2M 的直线l 与曲线C 交于两点,M N ，若4MN =，求直线l 的方程．
19.(本小题满分12分)
如图，在三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ．已知D 是BC 的中点，12AB AA ==． （Ⅰ）求证：平面1AB D ⊥平面11BB C C ；
（Ⅱ）求证：C A 1∥平面D AB 1； （Ⅲ）求三棱锥11A AB D -的体积．
A
C B
B 1
C 1
A 1
D
20.（本小题满分12分）
如图，在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2a C c b -=． （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若6
ABC π
∠=
，AC 边上的中线BD 求ABC ?的面积．
21.(本小题满分12分)
直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22
221(0)x y
a b a b
+=>>的焦距为12??? .
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知点()2,1P ，不经过原点的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，线段AB 被直线OP 平分，且0PA PB ?=.求直线l 的方程.
22.(本小题满分12分)
设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为12e =，椭圆C 上一点M 到左、右两个焦点
12,F F 的距离之和是4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知过2F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，且两点与左、右顶点不重合，若
1
11FM F A F B =+，求四边形1AMBF 面积的最大值.
高二数学文科
1.已知集合(){}(){}
2
2,10,,1A x y x y B x y x
y A B =+-==+=?=，则 （ A ）
A.
()(){}0110，，，
B. {}01，
C.
(){}01，
D.(){}
10，
2.下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ D ）
A.y =
B.tan y x =
C.1
y x
x
=+
D.x x y e e -=-
3.己知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm )， 可得这个几何体的体积是（ B ）
A.3
83cm B.
343cm C. 323cm D. 31
3
cm
4.过原点且倾斜角为30?的直线被圆()2
2
24x y +-=所截得的弦长为（ A ）
A. 21
5.当曲线y =240kx y k -+-=有两个相异的交点时,实数k 的取值范围是 （ C ）
A. 30,4?? ???
B. 53,124??
???
C. 3,14?? ???
D. 3,4??+∞ ???
6.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线
段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ C ） A.
1
3
B.
3
2
C.
1
2
D.1
7.设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，
212PF F F ⊥，1230PF F ∠=?，则C 的离心率为（ D ）
B.13
C.12
8.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>> 的左右焦点分别为12,F F ，以12FF 为直径的圆与双
曲线渐近线的一个交点为()1,2 ，则此双曲线为 （ B ）
A.2
214
x y -=
B.2
214
y x -=
C.2212x y -=
D.2212
y x -=
9.平行四边形
内接于椭圆，直线
的斜率
，则直线
的斜率
( B )
A. B.
C ． D.
10.已知双曲线E ：22
221x y a b
-= ()0,0a b >>，点1F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一
象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足113PF QF =，若O 为双曲线E 的中心，
OP b =，则E 的离心率为（ B ）
211.数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称
这条直线为欧拉线．已知ABC ?的顶点()()2,0,0,4A B
，若其欧拉线的方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标为（A ）
A.()4,0-
B.()3,1--
C.()5,0-
D.()4,2--
12.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（ D ）
A. 81500π
B. π4
C. 925π
D.9
100π
13.等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若2n
n S a =+，则实数a 的值为 1-
14. 直线l
：(2y x =过双曲线C ：22
221x y a b
-= ()0,0a b >>的右焦点F 且与双曲
线C 只有一个公共点，则C
15.已知圆()2
23100C x y ++=：和点()3,0B ,P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交CP
于M 点，则M 点的轨迹方程是______2212516
x y +=____．
16.在平面直角坐标系xOy 中，点Q 为圆1)4()3(22=-++y x 上的一动点，直线
02:1=+-k y kx l 与直线02:2=-+ky x l 相交于点P ．则当实数k 变化时，线段PQ 长的
最大值是 8 . 17.(本小题满分10分)
已知公差不为0的等差数列{}n a 的前三项和为12，且248,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n a
n b 2=，求数列{}n b 的前n 项和n S .
解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .依题意有
1232
42812,.a a a a a a ++=??=?即121
4,
0.a d d a d +=??-=? 由0d ≠，解得12,2.
a d =??=?
所以2n a n =. ………………………6分
（Ⅱ）所以2224n a n n
n b ===.
因为1
1144,44
n n n n b b b ++===，……………8分 所以数列{}n b 是以4为首项，4为公比的等比数列.
所以4(14)4(41)143n n
n S -==--. ………………10分
18. (本小题满分12分)
已知曲线C 上的动点(),P x y 满足到定点()1,0A -的距离与到定点
()1,0B
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）过点()1,2M 的直线l 与曲线C 交于两点,M N ，若4MN =，求直线l 的方程．
解：（Ⅰ）由题意得PA =
……2分
=
……3分
化简得：22610x y x +-+=（或22(3)8x y -+=）即为所求． ……5分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =， 将1x =代入方程22610x y x +-+=得2y =±，
所以4MN =，满足题意。 ……8分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()21y k x -=- 由
圆
心
()
3,0到直线
20
kx y k --+=的距
离
2d ==
……10分
解得0k =，此时直线l 的方程为2y =
综上所述，满足题意的直线l 的方程为：1x =或2y =. ……12分
19. (本小题满分12分)
如图，在三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ．已知D 是BC 的中点，12AB AA ==．
（Ⅰ）求证：平面1AB D ⊥平面11BB C C ；
（Ⅱ）求证：C A 1∥平面D AB 1； （Ⅲ）求三棱锥11A AB D -的体积．
（Ⅰ）证明：由已知ABC ?为正三角形，且D 是BC 的中点，
所以AD BC ⊥．
A
C
B
B 1
C 1
A 1
D
因为侧棱1AA ⊥底面ABC ，11//AA BB ，
所以1BB ⊥底面ABC ．
又因为AD ?底面ABC ，所以1BB AD ⊥. 而1B B
BC B =,
所以AD ⊥平面11BB C C ．
因为AD ?平面1AB D ，所以平面1AB D ⊥平面11BB C C
．……………………4分
（Ⅱ）证明：连接1A B ，设11A B
AB E =，连接DE ．
由已知得，四边形11A ABB 为正方形，则E 为1A B 的中点. 因为D 是BC 的中点， 所以1//DE AC ．
又因为DE ?平面D AB 1，
1
AC ?平面D AB 1， 所以C A 1∥平面D AB 1． ……………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知C A 1∥平面D AB 1，
所以1A 与C 到平面D AB 1的距离相等， 所以111A AB D C AB D V V --=．
由题设及12AB AA ==，得12BB
=，且ACD S ?= 所以11
111233C AB D B ACD ACD V V S BB --?==??==
， 所以三棱锥11A AB D -的体积为11
A A
B D V -=． ………………………12分 20.（本小题满分12分）
A
C
B
B 1
C 1
A 1
D
E
如图，在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2a C c b -=． （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若6
ABC π
∠=
，AC 边上的中线BD ABC ?的面积． 解：（Ⅰ）由b c C a 2cos 2=-．
正弦定理，可得B C C A sin 2sin cos sin 2=- 即)sin(2sin cos sin 2C A C C A +=- 可得：A C C cos sin 2sin =-
0sin ≠C 21
cos -=∴A
),0(π∈A 则3
2π
=A …………………（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知32π=A ．6π=∠ABC 6
π
=C
则AB AC =．
设x AD =，则x AB 2=，
在ABD ?中利用余弦定理：可得．A AD AB AD AB BD cos 2222?-+= 即3572=x ，可得5=x ， 故得ABC ?的面积353
2
sin 4212=π??=x S ．…………………（12分）
21. (本小题满分12分)
直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22
221(0)x y
a b a b
+=>>的焦距为12??? .
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知点()2,1P ，不经过原点的直线l 与椭圆C 相交于AB 两点，线段AB 被直线OP 平分，且0PA PB ?=.求直线l 的方程. 解：
（Ⅰ）设椭圆方程为22
2213x y b b
+=+，代入点12???，得
，
故椭圆方程为2
214
x y +=. ……………4分
（Ⅱ）由条件知OP ：1
2
y x =
， 设l ：y kx m =+ ()0m ≠ 代入2214
x
y +=得
()2
2
2148440k x
kmx m +++-=
122814km x x k +=-+ ，2122
44
14m x x k -=+………………6分
AB 中点224,1414km
m k k ??-
?++??
在直线OP 上 ，
2221414m km k k =-++ ，12
k =- ………………8分
此时122x x m +=，2
1222x x m =-
0PA PB ?=，()()1212112211022x x x m x m ????
--+-
+--+-= ???????
()()2
12125341042
m x x x x m +-+++-= 解得1m =，满足，
故所求直线方程为. ………………12分
22. (本小题满分12分)
设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为12e =，椭圆C 上一点M 到左右两个焦点12
,F F 的距离之和是4. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知过2F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，且两点与左右顶点不重合，若
1
11FM F A F B =+，求四边形1AMBF 面积的最大值. 解：（Ⅰ）依题意，24,2a a ==，
因为1
2
e =
，所以2221,3c b a c ==-=， 所以椭圆C 方程为22
143
x y +=；……………4分
（Ⅱ）设1122(,),(,),:1A x y B x y AB x my =+ ，
则由221
14
3x my x y =+??
?+=??，可得223(1)412my y ++=，
即22(34)690m y my ++-=，
122634m y y m +=-
+，122
9
34
y y m =-+……………6分 又因为111FM F A F B =+，所以四边形1AMBF 是平行四边形， 设平面四边形1AMBF 的面积为S ， 则
1121221
222
34
ABF S S F F y y m ?==???-==
+ (10)
分
设t =221(1)m t t =-≥， 所以
2
1
2424131
3t S t t t
=?
=?
++，因为1t ≥，所以1
34t t
+≥，所以(0,6]S ∈， 所以四边形1AMBF 面积的最大值为6.……………12分