2020-2021学年福建省厦门外国语学校高三（上）期中数学试卷一、单选题（共8小题）.
1．已知全集U＝{﹣2，﹣1，1，2，3，4}，集合A＝{﹣2，1，2，3}，集合B＝{﹣1，﹣2，2，4}，则（?U A）∪B为（）
A．{﹣1，﹣2，2，4}B．{﹣1，﹣2，3，4}
C．{﹣1，2，3，4}D．{﹣1，1，2，4}
2．曲线y＝xlnx在点M（e，e）处的切线方程为（）
A．y＝2x+e B．y＝2x﹣e C．y＝x+e D．y＝x﹣e
3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱长为（）
A．B．C．D．3
4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
，则△ABC是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
5．设等比数列{a n}的公比为q，前n项的和为S n，则“q＞0”是“S1?S3＜S22”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．在正方形ABCD中，E为CD边上一点，且∠ABE＝60°，＝9，则＝（）A．﹣3B．3C．﹣3D．3
7．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为A1D，AC上的点，且满足A1D＝3MD，AN＝2NC，则异面直线MN与C1D1所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
8．数列{a n}中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排a1；第二行2项，从左到右分别排a2，a3；第三行3项……以此类推，设数列{a n}的前n项和为S n，则满足S n ＞1000的最小正整数n的值为（）
A．22B．21C．20D．19
二、多选题
9．设{a n}是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是（）A．d＞0B．a7＝0
C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值
10．设正实数a，b满足a+b＝1，则（）
A．有最小值4B．有最大值
C．+有最大值D．a2+b2有最小值
11．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列结论中正确的是（）
A．g（x）的最小正周期为π
B．直线是g（x）图象的一条对称轴
C．
D．g（x）为奇函数
12．若函数f（x）＝e x﹣e1﹣x，则下述正确的有（）
A．f（x）在R上单调递增
B．f（x）的值域为（0，+∞）
C．y＝f（x）的图象关于点对称
D．y＝f（x）的图象关于直线对称
三、填空题
13．若复数z＝，则z在复平面内对应的点在第象限．
14．若实数x，y满足，则z＝2x+3y的最小值是．
15．平面向量满足，与的夹角为120°，且，则＝．
16．已知三棱锥P﹣ABC的顶点P在底面的射影O为△ABC的垂心，若S△ABC?S△OBC＝S△PBC2，且三棱锥P﹣ABC的外接球半径为3，则S△PAB+S△PBC+S△PAC的最大值为．
四、解答题
17．已知公差d≠0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S5＝25，a2是a1与a5的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．
18．设f（x）＝4cos（ωx﹣）sinωx﹣cos（2ωx+π），其中ω＞0．
（Ⅰ）求函数y＝f（x）的值域
（Ⅱ）若f（x）在区间上为增函数，求ω的最大值．
19．如图，已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，O为CD的中点，沿AO将三角形AOD折起，使．
（1）求证：平面AOD⊥平面ABCO；
（2）若M为BD的中点，求二面角M﹣OA﹣B的平面角的余弦值．
20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝b（sin C+cos C）．（1）求角B的大小；
（2）若A＝，D为△ABC外一点（A、D在直线BC两侧），DB＝2，DC＝3，求四边形ABDC面积的最大值．
21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知直线l：x＝4，过椭圆右焦点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B 两点，过点A作AD⊥l，垂足为D．
①求证：直线BD过定点E，并求出定点E的坐标；
②点O为坐标原点，求△OBD面积的最大值．
22．设函数f（x）＝，g（x）＝lnx+．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若直线x＝m（m＞0）与曲线f（x）和g（x）分别交于点P和Q，求|PQ|的最小值；
（Ⅲ）设函数F（x）＝xf（x）[a+g（x）]，当a∈（0，ln2）时，证明：F（x）存在极小值点x0，且（a+lnx0）＜0．
参考答案
一、单选题
1．已知全集U＝{﹣2，﹣1，1，2，3，4}，集合A＝{﹣2，1，2，3}，集合B＝{﹣1，﹣2，2，4}，则（?U A）∪B为（）
A．{﹣1，﹣2，2，4}B．{﹣1，﹣2，3，4}C．{﹣1，2，3，4}D．{﹣1，1，2，4}
解：因为集合A＝{﹣2，1，2，3}，U＝{﹣2，﹣1，1，2，3，4}，
所以?U A＝{﹣1，4}，所以（?U A）∪B＝{﹣1，4}∪{﹣1，﹣2，2，4}＝{﹣1，﹣2，2，4}．
故选：A．
2．曲线y＝xlnx在点M（e，e）处的切线方程为（）
A．y＝2x+e B．y＝2x﹣e C．y＝x+e D．y＝x﹣e
解：求导函数，y′＝lnx+1
∴当x＝e时，y′＝2
∴曲线y＝xlnx在点（e，e）处的切线方程为y﹣e＝2（x﹣e）
即y＝2x﹣e
故选：B．
3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱长为（）
A．B．C．D．3
解：画出三视图对应的几何体的直观图如下图所示：
四棱锥P﹣ABCD．AB＝BC＝CD＝AD＝1，，，
，．
所以最长的棱长为．
故选：B．
4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
，则△ABC是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
解：∵，
∴a cos A＝b cos B，
由正弦定理知，＝，
∴sin A cos A＝sin B cos B，即sin2A＝sin2B，
∴2A＝2B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B＝，
∴△ABC为等腰或直角三角形．
故选：D．
5．设等比数列{a n}的公比为q，前n项的和为S n，则“q＞0”是“S1?S3＜S22”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：S1＝a1，S2＝a1（1+q），S3＝a1（1+q+q2），
故S22﹣S1?S3＝a12[（1+q）2﹣（1+q+q2）]＝a q，
因为在等比数列{a n}中，a1≠0，
故S1?S3＜S22?q＞0，
故选：C．
6．在正方形ABCD中，E为CD边上一点，且∠ABE＝60°，＝9，则＝（）
A．﹣3B．3C．﹣3D．3
解：在正方形ABCD中，E为CD边上一点，且∠ABE＝60°，
＝9，可得||||cos∠CAB＝＝9，
所以＝3，∠CBE＝30°，所以＝2，
所以＝﹣3×＝﹣3．
故选：A．
7．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为A1D，AC上的点，且满足A1D＝3MD，AN＝2NC，则异面直线MN与C1D1所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
解：取线段AD上一点E，使AE＝2ED，连接ME、NE，如图所示：
因为A1D＝3MD，AN＝2NC，
所以，
所以NE∥CD，ME∥AA1，又CD∥C1D1，
所以∠MNE为异面直线MN与C1D1所成角，
设正方体的棱长为3a，
则EN＝，，
所以在Rt△MNE中，，
所以cos∠MNE＝．
故选：A．
8．数列{a n}中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排a1；第二行2项，从左到右分别排a2，a3；第三行3项……以此类推，设数列{a n}的前n项和为S n，则满足S n ＞1000的最小正整数n的值为（）
A．22B．21C．20D．19
解：根据图像可知；
第n行是以4为首项，3为公比的等比数列；
所以数列的和为，
设满足S n＞1000时，
所以，
＝2×（31+32+…+3n﹣1）﹣2（n﹣1），
＝3n+2×3n﹣2n﹣3，
当n＝19时．S19＜1000，
当n＝20时，S20＞1000．
故选：C．
二、多选题
9．设{a n}是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是（）A．d＞0B．a7＝0
C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值
解：根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，依次分析选项：
{a n}是等差数列，若S6＝S7，则S7﹣S6＝a7＝0，故B正确；
又由由S5＜S6得S6﹣S5＝a6＞0，则有d＝a7﹣a6＜0，故A错误；
而C选项，S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，
又由a7＝0且d＜0，则a8＜0，必有a7+a8＜0，显然C选项是错误的．
∵S5＜S6，S6＝S7＞S8，∴S6与S7均为S n的最大值，故D正确；
故选：BD．
10．设正实数a，b满足a+b＝1，则（）
A．有最小值4B．有最大值
C．+有最大值D．a2+b2有最小值
解：正实数a，b满足a+b＝1，即有a+b≥2，可得0＜ab≤，
即有+＝≥4，即有a＝b时，+取得最小值4，无最大值；
由0＜≤，可得有最大值；
由+＝＝≤＝，
可得a＝b时，+取得最大值；
由a2+b2≥2ab可得2（a2+b2）≥（a+b）2＝1，
则a2+b2≥，当a＝b＝时，a2+b2取得最小值．
综上可得A，B，C，D均正确．
故选：ABCD．
11．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列结论中正确的是（）
A．g（x）的最小正周期为π
B．直线是g（x）图象的一条对称轴
C．
D．g（x）为奇函数
解：将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）＝sin2x 的图象，
故函数g（x）的周期为＝π，故A正确；
令x＝，求出g（x）＝，故C正确，B不正确；
显然，g（x）为奇函数，故D正确，
故选：ACD．
12．若函数f（x）＝e x﹣e1﹣x，则下述正确的有（）
A．f（x）在R上单调递增
B．f（x）的值域为（0，+∞）
C．y＝f（x）的图象关于点对称
D．y＝f（x）的图象关于直线对称
解：A．由函数y＝e x在R上单调递增，y＝在R上单调递减，可得f（x）＝e x﹣在R上单调递增，因此A正确；
B．x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞时，f（x）→+∞，因此B不正确；
C．∵f（1﹣x）＝e1﹣x﹣e x＝﹣f（x），∴函数f（x）关于点（，0）中心对称，因此C 正确；
D．由C可知：f（1﹣x）＝﹣f（x）≠f（x），∴函数f（x）关于直线x＝不对称，因此D不正确．
故选：AC．
三、填空题
13．若复数z＝，则z在复平面内对应的点在第一象限．
解：复数z＝＝＝＝+i，
则z在复平面内对应的点为（，）在第一象限．
故答案为：一．
14．若实数x，y满足，则z＝2x+3y的最小值是5．
解：由约束条件作出可行域如图，
联立，得A（﹣2，3），
化目标函数z＝2x+3y为y＝﹣，
由图可知，当直线y＝﹣过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为5．故答案为：5．
15．平面向量满足，与的夹角为120°，且，则＝．
解：平面向量满足，与的夹角为120°，且，可得4﹣4?﹣3＝61，
即64﹣4××（﹣）﹣3＝61，解得＝3，
则＝＝＝．
故答案为：．
16．已知三棱锥P﹣ABC的顶点P在底面的射影O为△ABC的垂心，若S△ABC?S△OBC＝S△PBC2，且三棱锥P﹣ABC的外接球半径为3，则S△PAB+S△PBC+S△PAC的最大值为18．
解：连AO，并延长交BC于D，顶点P在底面的射影O为ABC的垂心，∴AD⊥BC，又PO⊥平面ABC，∴PO⊥BC，
∵AD∩PO＝O，∴BC⊥面ADP，可得BC⊥PA，BC⊥PD．
同理AC⊥PB，AB⊥PC．
由S△ABC?S△OBC＝S△PBC2，可得AD?OD＝PD2，
且∠PDO＝∠PDA，∴△POD∽△APD，
∴∠APD＝∠POD＝90°，
∴PA⊥PD，又PA⊥BC，BC∩PD＝D，∴AP⊥面PBC，
∴PA⊥PB，又PB⊥AC，且AP∩AC＝A，
∴PB面APC，即可得PB⊥PC，
故PA，PB，PC两两互相垂直，
∴三棱锥P﹣ABC的外接球为以PA，PB，PC为棱的长方体的外接球，
又三棱锥P﹣ABC的外接球半径为3，
∴PA2+PB2+PC2＝36，
则S△PAB+S△PBC+S△PAC＝
＝18．
所以则S△PAB+S△PBC+S△PAC的最大值为18，当且仅当PA＝PB＝PC＝2时，等号成立．故答案为：18．
四、解答题
17．已知公差d≠0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S5＝25，a2是a1与a5的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．
解：（1）公差d≠0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S5＝25，a2是a1与a5的等比中项．可得，解得，
所以a n＝1+2（n﹣1）＝2n+1．
（2）b n＝＝＝，
∴T n＝＝．
18．设f（x）＝4cos（ωx﹣）sinωx﹣cos（2ωx+π），其中ω＞0．
（Ⅰ）求函数y＝f（x）的值域
（Ⅱ）若f（x）在区间上为增函数，求ω的最大值．
解：f（x）＝4cos（ωx﹣）sinωx﹣cos（2ωx+π）
＝4（cosωx+sinωx）sinωx+cos2ωx
＝2cosωx sinωx+2sin2ωx+cos2ωx﹣sin2ωx
＝sin2ωx+1，
∵﹣1≤sin2ωx≤1，
所以函数y＝f（x）的值域是[]
（II）因y＝sin x在每个区间[]，k∈z上为增函数，
令，又ω＞0，
所以，解不等式得≤x≤，即f（x）＝sin2ωx+1，（ω＞0）在每个闭区间[，]，k∈z上是增函数
又有题设f（x）在区间上为增函数
所以?[，]，对某个k∈z成立，
于是有．解得ω≤，故ω的最大值是．
19．如图，已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，O为CD的中点，沿AO将三角形AOD折起，使．
（1）求证：平面AOD⊥平面ABCO；
（2）若M为BD的中点，求二面角M﹣OA﹣B的平面角的余弦值．
【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，O为CD的中点，
∴AO＝BO＝，则AO2+BO2＝AB2，即OB⊥OA．
又∵OD2+OB2＝DB2，∴OB⊥OD，
又OA∩OD＝O，OA，OD?平面AOD，
∴OB⊥平面AOD，又OB?平面ABCO，
∴平面AOD⊥平面ABCO；
（2）解：以O为坐标原点，分别以直线OA，OB为x轴和y轴，以过点O且垂直平面ABCO的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，过点D作DH⊥AO，交AO于H，
∵平面AOD⊥平面ABCO，平面AOD∩平面ABCO＝AO，DH?平面AOD，
∴DH⊥平面ABCO，
则B（0，，0），A（，0，0），D（，0，），
∵M为BD的中点，∴M（，，），
则＝（，0，0），＝（，，），
设平面MOA的一个法向量为＝（x，y，z），
由，取y＝﹣1，得＝（0，﹣1，2），
平面AOB的一个法向量为＝（0，0，1），
cos＜＞＝，
由图可知，二面角M﹣OA﹣B的平面角为锐角，
∴其余弦值为．
20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝b（sin C+cos C）．（1）求角B的大小；
（2）若A＝，D为△ABC外一点（A、D在直线BC两侧），DB＝2，DC＝3，求四边形ABDC面积的最大值．
解：（1）在△ABC中，∵a＝b（sin C+cos C），
∴sin A＝sin B（sin C+cos C）．
∴sin（π﹣B﹣C）＝sin B（sin C+cos C），
∴sin（B+C）＝sin B（sin C+cos C），
∴sin B cos C+cos B sin C＝sin B sin C+sin B cos C，
∴cos B sin C＝sin B sin C，
又∵C∈（0，π），故sin C≠0，
∴cos B＝sin B，即tan B＝1．
又∵B∈（0，π），
∴B＝．
（2）在△BCD中，DB＝2，DC＝3，
∴BC2＝32+22﹣2×3×2×cos D＝13﹣12cos D，
又A＝，由（1）可知B＝，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴S△ABC＝＝BC2＝﹣3cos D，
又∵S△BDC＝sin D＝3sin D．
∴S四边形ABDC＝﹣3cos D+3sin D＝+3sin（D﹣），
∴当D＝时，四边形ABCD的面积有最大值，最大值为+3．
21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知直线l：x＝4，过椭圆右焦点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B 两点，过点A作AD⊥l，垂足为D．
①求证：直线BD过定点E，并求出定点E的坐标；
②点O为坐标原点，求△OBD面积的最大值．
解：（1）由题意可得，解得，
故椭圆C的方程为．
（2）由对称性，若直线BD过定点E，则该定点E必在x轴上，
①证明：由题得F（1，0），设直线AB：x＝my+1（m∈R），
设A（x1，y1），B（x2，y2），D（4，y1），
联立方程，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，（*）
所以有，，且2my1y2＝3（y1+y2），
因为2my1y2＝3（y1+y2），所以直线BD的方程为，
令y＝0，得，（**）
将2my1y2＝3（y1+y2）代入（**），则，
故直线BD过定点，即定点E为．
②解：在（*）中，△＝36m2+36（3m2+4）＝144（m2+1），
所以，又直线BD过定点，
∴，令，则在t∈[1，+∞）上单调递减，
故当t＝1，m＝0时，．
22．设函数f（x）＝，g（x）＝lnx+．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若直线x＝m（m＞0）与曲线f（x）和g（x）分别交于点P和Q，求|PQ|的最小值；
（Ⅲ）设函数F（x）＝xf（x）[a+g（x）]，当a∈（0，ln2）时，证明：F（x）存在极小值点x0，且（a+lnx0）＜0．
解：（Ⅰ）f（x）＝，f′（x）＝，
f′（x）＞0时，x＞1；f′（x）＜0时，x＜1；
∵x≠0，故f（x）增区间为（1，+∞），减区间为（﹣∞，0），（0，1）．
（Ⅱ）设函数，则
，
当x∈（0，+∞）时，e x﹣1＞0，
故当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）在（0，+∞）上有最小值h（1）＝e﹣1，
∴当m＝1时，|PQ|的最小值为e﹣1；
（Ⅲ）证明：，则，
因为e x＞0，所以F′（x）与同号．
设，则，
故t（x）在（0，+∞）单调递增，
因a∈（0，ln2），t（1）＝a+1＞0，，
所以存在，使得t（x0）＝0，
当，F′（x）＜0，F（x）单调递减；
当x∈（x0，1），F′（x）＞0，F（x）单调递增；
所以若a∈（0，ln2），存在，使得x0是F（x）的极小值点，由t（x0）＝0得，即，所以．