2012年全国初中数学联合竞赛试题
参考答案
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1．已知1a =
，b =2c =，那么,,a b c 的大小关系是 （ C ）
A. a b c <<
B. a c b <<
C. b a c <<
D.b c a <<
2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ B ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6.
3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ D ）
A ．
3 B ．3 C ．3 D ．3
4．已知实数,a b 满足2
2
1a b +=，则4
4
a a
b b ++的最小值为 （ B ） A ．18-
. B ．0. C ．1. D ．98
. 5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足2323
11224()x x x x +=-+，则实数p
的所有可能的值之和为 （ B ）
A ．0.
B ．34-
. C ．1-. D ．5
4
-. 6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有 （ C ）
A ．36个.
B ．40个.
C ．44个.
D ．48个. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111
a b c t b c a
+
=+=+=，则t =1
±．
2．使得521m
?+是完全平方数的整数m 的个数为 1 ．
3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则
BC
AP
＝． 4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，2
224
3131319
a b c a a b b c c ++=------，则222a b c ++＝
33
2
．
第二试 （A ）
一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.
解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则30a b c ++=. 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值. 由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<，所以10c >. 由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>，所以15c <. 又因为c 为整数，所以1114c ≤≤.
根据勾股定理可得2
2
2
a b c +=，把30c a b =--代入，化简得30()4500ab a b -++=，所以
22(30)(30)450235a b --==??，
因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是22
305,3023,
a b ?-=?
?-=???解得5,12.a b =??=? 所以，直角三角形的斜边长13c =，三角形的外接圆的面积为
169
4
π. 二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D .证明：
2
AD BD CD =?.
证明：连接OA ，OB ，OC.
∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =?，2
AD PD OD =?.
又由切割线定理可得2
PA PB PC =?，∴P B P C PD PO ?=?，∴D 、B 、C 、O 四点共圆， ∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ，
∴
PD BD CD OD
=，∴2
AD PD OD BD CD =?=?. 三．（本题满分25分）已知抛物线2
16
y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、
B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点
C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3
(0,)2
-，若AM//BC ，
求抛物线的解析式.
解 易求得点P 2
3
(3,)2
b b
c +，点C (0,)c .
设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m . 显然，12,x x 是一元二次方程2
106
x bx c -
++=的两根，所
以13x b =
，23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE
因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2
AE PE DE =?，即
223
()||2
b c m =+?，又易知0m <，所以可得6m =-.
又由DA ＝DC 得2
2
DA DC =
，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）.
又因为AM//BC ，所以OA OM
OB OC =
3||
2|6|
-=-. 把6c =-代入解得52b =
（另一解5
2
b =-舍去）. 因此，抛物线的解析式为215
662
y x x =-+-.
第二试 （B ）
一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则60a b c ++=. 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值.
由a b c ≤<及60a b c ++=得603a b c c =++<，所以20c >. 由a b c +>及60a b c ++=得602a b c c =++>，所以30c <. 又因为c 为整数，所以2129c ≤≤.
根据勾股定理可得2
2
2
a b c +=，把60c a b =--代入，化简得60()18000ab a b -++=，所以
322(60)(60)1800235a b --==??，
因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是32
6025,6035,a b ?-=???-=???或2
226025,
6023,a b ?-=???-=??
? 解得20,15,a b =??
=?或10,
24.
a b =??=?
当20,15a b ==时，25c =，三角形的外接圆的面积为
625
4
π； 当10,24a b ==时，26c =，三角形的外接圆的面积为169π.
二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D ，△ADC 的外接圆与BC 的另一个交点为E.证明：∠BAE ＝∠ACB.
证明：连接OA ，OB ，OC ，BD.
∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得
2PA PD PO =?，2AD PD OD =?.
又由切割线定理可得2
PA PB PC =?，
∴P B P C PD PO ?=?，∴D 、B 、C 、O 四点共圆， ∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，
∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ， ∴
PD BD
CD OD =， ∴2
BD CD PD OD AD ?=?=，∴BD AD AD CD
=. 又∠BDA ＝∠BDP ＋90°＝∠ODC ＋90°＝∠ADC ，∴△BDA ∽△ADC ， ∴∠BAD ＝∠ACD ，∴AB 是△ADC 的外接圆的切线，∴∠BAE ＝∠ACB. 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.
第二试 （C ）
一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）已知抛物线2
16
y x bx c =-
++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、
B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点
C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.将抛物线向左平移1)个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ，且∠QBO ＝∠OBC.求抛物线的解析式.
解 抛物线的方程即22
13(3)62
b y x b
c =--+
+，所以点P 23(3,)2b b c +，点C (0,)c . 设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m .
显然，12,x x 是一元二次方程2
106
x bx c -
++=的两根，所以13x b =，
23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE
因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2
AE PE DE =?，即
223
)()||
2
b c m =+?，又易知0m <，所以可得6m =-.
又由DA ＝DC 得2
2
DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）.
将抛物线22
13(3)662b y x b =--+
-向左平移1)个单位后，得到的新抛物线为 2
2
13(324)662
b y x b =--++-.
易求得两抛物线的交点为Q 2
3(312102)2
b b +-+. 由∠QBO ＝∠OBC 可得tan ∠QBO ＝tan ∠OBC.
作QN ⊥AB ，垂足为N ，则N (312b +-，又233(x b b =+=，所以
tan ∠QBO ＝QN BN
2
2310212b +=
12=
111)]22==?. 又tan ∠OBC ＝
OC
OB 1
(2
b ==?，所以
11
1)](22
b ?=?-. 解得4b =
（另一解4
5)03
b =<，舍去）.
因此，抛物线的解析式为2
1466
y x x =-+-.