2011年考研数学真题试卷及标准答案解析
---------------------心若在，梦就在，谨以此献给2012考研的同学们！！
一选择题
1.曲线y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4拐点
A （1，0）
B （2，0）
C （3，0）
D （4，0）
2设数列{}n a 单调减少，∑=∞
→?===n
k k n n n n a S a 1,2,1(,0lim ）无界，则幂级数
∑=-n
k n
k x a 1
)
1(的收敛域
A(-1,1] B[-1,1) C[0,2) D(0,2]
3.设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ，则函数
)(ln )(y f x f z =在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件
A 0)0(,1)0(>''>f f
B 0)0(,1)0(<''>f f
C 0)0(,1)0(>'' D 0)0(,1)0(<'' 4.设???===4 4 4 000cos ln ,cot ln ,sin ln π ππxdx K xdx J xdx I 的大小关系是、、则K J I A I B I C J D K 5.设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵。记p1=10则A= A 21P P B 211P P - C 12P P D 112P P - 6.设),,,(4321αααα=A 是4阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若T )0,1,0,1(是方程组0=Ax 的一个基础解系，则0*=x A 的基础解系可为 A 31,αα B 21,αα C 321,,ααα D 432,,ααα 7.设)(),(21x F x F 为两个分布函数，其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数，则必为概率密度的是 A )()(21x f x f B )()(222x F x f C )()(21x F x f D )()()()(1221x F x f x F x f + 8.设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在，记U=max{x,y},V={x,y},则E(UV)= A EUEV B EXEY C EUEY D EXEV 二填空题 9.曲线)4 0(tan 0?≤≤=x x tdt y π 的弧长s=____________ 10.微分方程x e y y x cos -=+'满足条件y(0)=0的解为y=____________ 11.设函数?+=xy dt t t y x F 0 21sin ),(，则__________0 2 2=??=x x F 12.设L 是柱面方程为122=+y x 与平面z=x+y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分?=++___________ 2 2 dz y xdy xzdx 13.若二次曲面的方程为42223222=+++++yz xz axy z y x ，经正交变换化为442121=+z y ，则=a _______________ 三解答题 15求极限1 1 0))1ln((lim -→+x e x x x 16设))(,(x yg xy f z =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导， 且在x=1处取得极值g(1)=1,求 1 ,12==???y x y x z 17求方程0arctan =-x x k 不同实根的个数，其中k 为参数。 18证明：1）对任意正整数n ，都有 n n n 1)11ln(11<+<+ 2）设),2,1(ln n 12 11?=-+?++=n n a n ,证明}{n a 收敛。 19 已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且 f(1,y)=0,f(x,1)=0,??=D a dxdy y x f ),(，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D ，计算 二重积分dxdy y x xy I D xy ),(" =???。 20.T )1,0,1(1=α，T )1,1,0(2=α，T )5,3,1(3=α不能由T a )1,,1(1=β，T )3,2,1(2=β， T )5,3,1(3=β线性表出，①求a ；②将1β，2β，3β由1α，2α，3α线性表出。 21.A 为三阶实矩阵，2)(=A R ，且??? ? ? ??-=????? ??-101101101101A （1）求A 的特征值与特征向量；（2）求A 。 22. X 0 1 P 1/3 2/3 Y -1 0 1 P 1/3 1/3 1/3 1)(22==Y X P 求：（1）（X ，Y ）的分布；（2）Z=XY 的分布；（3）XY ρ 23.设n x x x ?,,21为来自正态总体),(20σμN 的简单随机样本，其中0μ已知， 02 >σ未知，_ x 和2S 分别表示样本均值和样本方差。 1）求参数2 σ的最大似然估计口 2 σ 2）计算E(口2σ)和D(口2 σ) 答案： CCABDDDB 填空题： 9.)21ln(+ 10x e y x sin -= 11 4 12π 131=a 14)(22σμμ+ 15 解：原式=2 1111 ) 1()1ln(lim )1ln(1)1ln(02 1]) )1ln((1[lim e e e x x x x x e x x x x x x e x x x x x x x ===-++-+--+-+-+→→- 16由g(x)可导且在x=1处取极值g(1)=1所以0)1(='g )1,1()1,1()1,1()](,()()(,([)](,[)()](,[)](,[1211 21211 1221f f f y x z x yg xy f x g x yg xy f x y x yg xy f y x z x g y x yg xy f y x yg xy f x z x ''+''+'=???''+''+'=???''+'=?? 17解： ）内。 ，及（（），（别位于 所以方程有三个根，分又因为极大值极小值即当所以因为显然令时，当令极大值为极小值为为极大点 为极小点，所以，时，当时，当时，当得时，由即）当（所以方程只有一个根。 又因为单调减少，所以除去可能一点外时，即当令∞+-----∞--∞=+∞=>---<-+-->--->=>>='=-+=---=>>=-----+---= --=<'+∞-∈>'---∈<'---∞∈-±=='>>--∞=+∞=<'≤'≤≤-+--= '-=+∞ →-∞ →+∞ →-∞ →1)1,1,1,)(lim ,)(lim , 011arctan ,011arctan ,011arctan ),0(0)0()(,0arctan 2)(,0)0(,arctan )1(11arctan )(,01,1, 11arctan ,11arctan 110)(),1(;0)()1,1(,0)()1,(, 10)(1,012,)(lim ,)(lim )(),0)((0)(1,01)1(11)(arctan )(x 22 2 k k k k x f x f k k k k k k k k k t g t g t t t g g t t t k k k t g t k t k k k k k k k k x k x x f k x x f k k x x f k x k x x f k k x f x f x f x f x f k k x x k x f x x k x f x x x 18证明： {}{}。单调递减有界，故收敛单调递减 即其中即应用中值定理，在n n n n n n n n n n a n n n n n n n n n n a a a a a a n n n n n n a a n n a n n n n n n n n n n x x f 0 1 ln ln )1ln(ln 1 ln 2/3ln 2ln ln )1 1ln()211()111ln(12/11,01 ,1 11ln )1ln(11) 1ln(1 1 2/11)2(1 1 )11ln(1111,111111,101 111ln )11ln()11ln(]1,0[)1ln()()1(1111>+=-+=-++?+-=-++?++++>+ ?++=<<-+<<-+=++-+=-+-++?++=<+<+<++<<+= -+=++=++++ξξξξξ 19.解： a dxdy y x f dx y x f dy dx y x f dy dy y x xf dx y x f x dy dy y x f y xdx x xf dy y x f y xdx dx x f x dy y x f y xdx I dy y x f y x f y y x f yd dy y x f y dy y x f y xdx dxdy y x f xy I D x x x x x x xy x xy x xy D xy xy ===--='-='-='-'=''='-'='=''''=''=??????????????????? ????),(),(]),(),([),(),()1,(),()1,(),(, ),(),(),(),(),(),(1 10 10 10 1010 1 1 1 1 101 1 1 1 1 1 1010 1 1 1 于是， 20解： ??++=++=-+=????? ??-→???? ? ? ?-→????? ? ?→????? ? ?===<∴=∴≠==3211 3 2123 2113213213213213213213213 2100024210002114210001000110 1 32111110 6310 10 142 32111141 0310 10 153 1 32111151 1300 101 ),,,)(250,3)(,,3 ),,(015 31 110101,,)1α ααβαααβαααββββαααβββββββββααααααααα于是，，，解得，，于是，，线性表示，，，不能由又a r r 21.解： 1) { { ?? ? ? ? ??=????? ??-=????? ??-=?????? ? ? ?-== ????? ??=??? ?? ??=????? ??-=?? ?? ? ??=???? ? ??===∴<=??? ?? ??=????? ??-==-==-=??? ?? ??=????? ??-==-=+==001000100000010001,000010001,02 121100021 21),,Q ,010,10121,10121201000 0,32)(101101,1,1, ,A 1011013213213210 00 332133212122112131313T 13T 2T T x x x x Q Q A AQ Q r r r r r r A A x x x A A r A A 于是则（令单位化得：）解得即为实矩阵，所以有的特征向量的相应于为矩阵令故，向量为对应的线性无关的特征的特征值为，根据特征值向量的定义则，令αααλαλααλλαααααααα αα 22.解： 同理如图： ，即,3 1 )1,1(3 1 )11()1,0()1(0 )0,1()1,0()1,0(,0)(1)()12222===∴= ==+========-======≠?==Y X P Y X P Y X P Y P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y -1 0 1 X 0 1/3 0 1/3 0 1/3 1/3 1/3 1 1/3 1/3 1/3 Z 3 1 )1,1()1(3 1 )1,0()1,0() 1,0()0,0()0(,3 1 )1,1()1(1 01)2= ===== ==+-==+==+=====-===-=-Y X P XY P Y X P Y X P Y X P Y X P XY P Y X P XY P Z 、、取值为-1 0 1 P 1/3 1/3 1/3 0,3 2 ,92,0,0,32)3====== XY DY DX EXY EY EX ρ 23.解： n n n D n n D x n x n x x D n x E n E n x E n x x n x n L d d x n n L e x f x f x f n i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i x n n n n i i 4 2 42222 1 2 1 2 2 1 4 1 2 2 42 21 2 2 22 1 2 2 2 1 2 2 1202 24 1 2 2 2 2 1 2 22)(2122)?(2)/?()) ((D 2)) (( D ),(~) (2)) (1 ( ?D , )) (1 (?) (1 ).(~) (1 )2(. )(102) (2ln 2) (ln 22ln ln )2(1 )()()(L )1(2 1 2 0σσσ σσ σμσμχσμσμσ σσ σμσσσμσ χμσ μσσσμσ σ σμσπσ πσμ====-==--=-==-==---==-+ - =-- --=∑=?=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==========-=则右式所以有因为 于是所以因为 的极大似然估计值得 令 取对数得，似然函数
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