高一上学期数学知识概念方法题型易误点技巧总结
一、集合与命题
1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P Q 、为两个非空实数集合，定义集合{|,}P Q a b a P b Q +=+∈∈，若
{0,2,5}
P =，}6,2,1{=Q ，则P Q +中元素的有________个。（答：8）（2）非空集合}5,4,3,2,1{?S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_____个（答：7）
2.遇到A
B =?时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；同样当A B
?时，你是否忘记?=A 的情形？要注意到?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =，则实数a ＝______.（答：10,1,
2
a =） 3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数
依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 （答：7）
4.集合的运算性质： ⑴A B A B A =??； ⑵A B B B A =??；⑶A B ??
u u A B ?痧； ⑷u u A B A B =???痧； ⑸u A B U A B =??e； ⑹()U C A B U U C A C B =；⑺()U U U C A B C A C B =.如设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝___.（答：{2,3}A =，{2,4}B =）
5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：(){}
|x y f x =—函数的定义域；(){}|y y f x =—函数的值域；(){}(,)|x y y f x =—函数图象上的点集，
如设集合{|M x y ==，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N =_ _ （答：[4,)+∞）；
6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知关
于x 的不等式
250ax x a
-<-的解集为M ，若3M ∈且5M ?求实数a 的取值范围。 （答：(]519253a ??∈????，，） 7.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p 则q ”，则逆命题为“若q 则p ”；否命题为“若p 则q ” ；逆否命题为“若q 则p ”。提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A B B A ???”判断其真假，这也是反证法的理论依据。（5）哪些命题宜用反证法？如（1）“在△ABC 中，若∠C=900，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为
（答：在ABC ?中，若90C ∠≠，则,A B ∠∠不都是锐角）；（2）已知函数2(),11
x x f x a a x -=+>+，证明方程0)(=x f 没有负数根。 8.充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若
B A ?，则A 是B 的充分条件；若B A ?，则A 是B 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的
充要条件。如设命题p ：|43|1x -≤；命题q:0)1()12(2≤+++-a a x a x 。若p 是q 的必
要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是 （答：1[0,]2
） 二、不等式
1. 不等式的性质：
（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；
（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不
能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则
a b c >）；
（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>
（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b
>。 如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：
①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；
④b a b a 11,0<<<则若；⑤b
a a
b b a ><<则若,0；⑥b a b a ><<则若,0；⑦b
c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b >>若，则0,0a b ><。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）
（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：[]1,7）
（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ （答：12,2??-- ??
?） 2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；
（8）图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
如设2a >，12
p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（答：p q >） 3. 一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b
>的形式，若0a >,则b x a >
；若0a <,则b x a
<；若0a =,则当0b <时，x R ∈；当0b ≥时，x ∈?。如已知关于x 的不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为)3
1,(--∞，则关于x 的不等式0)2()3(>-+-a b x b a 的解集为_______（答：{|3}x x <-）
4. 一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当0?=和0?<时的解集你会正确表示
吗？设0a >,,x x 是方程20ax bx c ++=的两实根，且x x <，则其解集如下表：
如解关于x 的不等式：01)1(2
<++-x a ax 。（答：当0a =时，1x >；当0a <时，1x >或1x a <
；当01a <<时，11x a <<；当1a =时，x ∈?；当1a >时，11x a
<<） 5. 对于方程02=++c bx ax 有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a 是否为0，
其次若0≠a ，则一定有042≥-=?ac b 。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中
含有参数时，你是否注意到同样的情形？如：（1）()()222210a x a x -+--<对一切R x ∈恒成立，则a 的取值范围是_______（答：(1,2]）；（2）关于x 的方程()f x k =有解的条件是什么？(答：k D ∈，其中D 为()f x 的值域)
6. 一元二次方程根的分布理论。方程2()0(0)f x ax bx c a =++=>在),(+∞k 上有两
根、在(,)m n 上有两根、在),(k -∞和),(+∞k 上各有一根的充要条件分别是什么？ 0
()0()02f m f n b m a
n ?≥>><-
?≥>->???????、
0)(=x f 有实数解的情况，可先利用在开区间),(n m 上实根分布的情况，得出结果，再令n x =和m x =检查端点的情况． 如12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围。 （答：3(3,)2
-） 7. 二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程2
0ax bx c ++=的两个根即为二次不等式20(0)ax bx c ++><的解集的端点值，也是二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的交点的横坐标。如（1）32
ax >+的解集是(4,)b ，则a =__________（答：18
）；（2）若关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为),(),(+∞-∞n m ，
其中0< m ）；（3）不等式23210x bx -+≤对[1,2]x ∈-恒成立，则实数b 的取值范围是_______（答：?）。 8. 简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。 如：（1）解不等式2 (1)(2)0x x -+≥。 （答：[){}1,2+∞-） （2）不等式(0x -≥的解集是____（答：[){}3,1+∞-） （3）设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<，()0g x ≥的解集为?，则不等式()()0f x g x >的解集为______（答：() [),12,-∞+∞） （4）要使满足关于x 的不等式0922<+-a x x （解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式0860342 2<+-<+-x x x x 和中的一个，则实数a 的取值范围是.（答：817,8??????） 9. 分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将 分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如：（1）解不等式25123x x x -<--- （答：()()1,12,3-） （2）关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，求关于x 的不等式 02>-+x b ax 的解集 （答：()(),12,-∞-+∞） 10. 绝对值不等式的解法： （1）分段讨论（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|21|2|432|+-≥- x x （答：R ） （2）利用绝对值的定义； （3）数形结合；如解不等式|||1|3x x +->（答：()(),12,-∞-+∞） （4）两边平方：如若不等式|32||2|x x a +≥+对任意x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围。（答：43?????? ） 11. 含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. （见4中例题） 12. 含绝对值不等式的性质： a b 、同号或有0?||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-； a b 、异号或有0?||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+. 如设2()13f x x x =-+，实数a 满足||1x a -<，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+ 13. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大， 积定和最小”这17字方针。 如：（1）下列命题中正确的是 A.1y x x =+的最小值是2 B.2y =的最小值是2 C .423(0)y x x x =--> 的最大值是2- D.423(0)y x x =-->的最小值是2- （2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______ （答： （3）正数,x y 满足21x y += ，则y x 11+的最小值为______（答：3+ 14. 常用不等式有：（12211a b a b +≥≥≥+(当且仅当a b c ==时，取等号)，根据目标不等式左右的结构选用；（2）a b c R ∈、、，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m +<+（糖水的浓度问题）。如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：[)9,+∞） 15. 证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。 常用的放缩技巧有：211111111(1)(1)1n n n n n n n n n -=<<=-++-- = <<= 如（1）已知c b a >>，求证：222222ca bc ab a c c b b a ++>++ ； (2) 已知R c b a ∈,,，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++； （3）已知,,,a b x y R +∈，且 11,x y a b >>，求证：x y x a y b >++； (4)若*n N ∈(1)n +< n ； (5)已知||||a b ≠，求证：|||||||||||| a b a b a b a b -+≤-+； 16. 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） （1）恒成立问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 如（1）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围 （2）若不等式)1(122->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，则x 的取值范围 （3）若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围. （2）能成立问题 若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.如 已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围____ （3）恰成立问题 若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ； 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D . 三、函数 1. 函数的定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如（1）已知函数()f x ，x F ∈，那么集合{(,)|(),}{(,)|1}x y y f x x F x y x =∈=中所含元素的个数有 个（答： 0或1）；（2）若函数422 12+-= x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝ （答：2） 2. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为2y x =，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个（答：9） 3. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）： （1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，0次幂的底数不能为零。如（1）函数 3y x =-的定义域是____(答：(0,2)(2,3)(3,4))；（2）若函数2743kx y kx kx +=++的定义域为R ，则k ∈_______(答：30,4?????? )；（3）函数()f x 的定义域是[,]a b ，0b a >->，则函数()()()F x f x f x =+-的定义域是__________(答： [,]a a -)； （2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。 （3）复合函数的定义域：若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤解出即可；若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时，求()g x 的值域（即()f x 的定义域）。如（1）若函数)(x f y =的定 义域为?? ????2,21，则(2)x f 的定义域为__________（答：{} 42|≤≤x x ）；（2）若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________（答：[1,5]）． 4. 求函数值域（最值）的方法： （1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,] m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如 （1）求函数2 25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域（答：[4,8]）；（2）当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是___（答：2 1-≥a ）； 特别说明：二次函数在区间[],m n 上最值的求法，一定要注意顶点的横坐标是否在定义域内。如果是选择、填空可以很快写答案:先看看2b a -是否在[],m n 内，如果在的话，算三个数()()()2b f m f n f a - 、、,三数中谁最大谁就是最大值，谁最小谁就是最小值。如果不在的话，只要算两个数()()f m f n 、，大的就最大值，小的就最小值。 （2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征 是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（1）21y x =++ _____（答：(3,)+∞t =，0t ≥。运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）； （3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域， （4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求1(19)y x x x =-<<的值域为______（答：80(0,)9 ）； （5）判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式： ①2b y k x = +型，可直接用不等式性质，如求232y x =+的值域（答：3(0,]2 ） ②2bx y x mx n =++型，先化简，再用均值不等式，如（1）求21x y x =+的值域（答：1(,]2-∞）；（2） 求函数3y x =+的值域（答：1[0,]2 ） ③22x m x n y x mx n ''++=++型，通常用判别式法；如已知函数2281 mx x n y x ++=+的定义域为R ，值域为[]19，，求常数,m n 的值（答：5m n ==） ④2x m x n y mx n ''++=+型，可用判别式法或均值不等式法，如求211 x x y x ++=+的值域（答：(,3][1,)-∞-+∞） （6）不等式法 ――利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？ 5. 分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值0()f x 时，一定首先要判断0x 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不 同子集上各关系式的取值范围的并集。如（1） 设函数2(1).(1)()41) x x f x x ?+ ()1f x ≥的自变量x 的取值范围是__________（答：(,2][0,10] -∞-）；（2）已知1(0)()1(0)x f x x ≥?=?- ，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________（答：3(,]2-∞） 6. 求函数解析式的常用方法： （1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：2()f x ax bx c =++；顶点式：2()()f x a x m n =-+；零点式：12()()()f x a x x x x =--，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。如已知()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式 。（答：21()212 f x x x =++） （2）代换（配凑）法――已知形如(())f g x 的表达式，求()f x 的表达式。如（1）若221)1(x x x x f +=-，则函数)1(-x f =_____（答：223x x -+）；（2）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，那么当)0,(-∞∈x 时，)(x f =________ （答：(1x ）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即()f x 的定义域应是()g x 的值域。 （3）方程的思想――已知条件是含有()f x 及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。如（1）已知 ()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式（答：2()33 f x x =--）；（2）已知()f x 是 奇函数，)(x g 是偶函数，且()f x +)(x g = 11-x ,则()f x = __（答：21 x x -）。 7. 函数的奇偶性。 （1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。 （2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）： ①定义法：如判断函数 y =的奇偶性____（答：奇函数）。 ②利用函数奇偶性定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或 ()1()f x f x -=±（()0f x ≠）。如判断11()()212 x f x x =+-的奇偶性___.（答：偶函数） ③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称。 （3）函数奇偶性的性质： ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. ②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数. ③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==. ④若奇函数()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =.故(0)0f =是()f x 为奇函数的既 不充分也不必要条件。如若22()21 x x a a f x +-=+·为奇函数，则实数a ＝____（答：1）. ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数 的和（或差）”。如设)(x f 是定义域为R 的任一函数， ()()()2 f x f x F x +-=，()()()2 f x f x G x --= 。①判断)(x F 与)(x G 的奇偶性； ②若将函数()101x f x =+，表示成一个奇函数)(x g 和一个偶函数)(x h 之和，则)(x g ＝____（答：①)(x F 为偶函数，) (x G 为奇函数；②)(x g ＝12x ） ⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. ⑦既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）. 8. 函数的单调性。 （1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法： ①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）如已知函数 3()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是____(答：(0,3])； ②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0b y ax a x =+> 0)b >型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,)-∞+∞，减区间为 [.（例如函数4y x x =+递增区间(),2-∞-,()2,+∞；单调递减区间是()()2,0,0,2-）如（1）若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]4-∞， 上是减函数，那 么实数a 的取值范围是______(答：3-≤a ） )；（2）已知函数1()2ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____（答：1(,)2 +∞）； ③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减， （2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如求函数()f x =调递增区间；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示． （3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。（答：1223 m -<<） 9. 常见的图象变换 ①函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的。如设()2,()x f x g x -=的图像由()f x 的图像向左平移1个单位得到，则()g x 为__________(答： ()1()2x g x -+=) ②函数()a x f y +=()0( 要得到(3)2x y -=的图像，只需作2x y =关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到(答：y ；右)； 特别提示：上面两种是左右平移，可以间记为“左加右减” ③函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的；