1
2<-a x 求正实数b 的取值范围。
2 主参换位法 例4：若对于任意a (]1,1-∈，函数()()a x a x x f 2442
-+-=的值恒大于0，求x 的取值范围。
例 5： 对于（0，3）上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立，求实数m 的取值范围。 3 构建函数法
（1） 构造一次函数 例6： 若对一切2≤p ，不等式()p x x p x +>++222
2log 21log log 恒成立，求实数x 的取值范围。 （2） 造二次函数 例7： 对于??????∈2,0πθ，022sin 2cos 2
<--+m m θθ恒成立，求实数m 的范围。
4 数形结合法 例8、已知对于一切x ，y ∈R ，不等式021828122
2
≥--+-+a y x xy x
x 恒成立，求实数a 的取值范围。
例9：若不等式0log 32
<-x x a 在??
? ??∈31,0x 内恒成立，求实数a 的取值范围。
观察.试探.猜想.证明
例10： 已知对一切实数θ，不等式()03cos sin 424>+-+-a a θθ恒成立，试求实数a 的取值范围。
参考答案
1 分离参数法
分析一下这道题的特征：因为分母n 是正数，要使得()x f 当(]1,∞-∈x 有意义，分子
()()
a n n x x
x
+-+++12
1 就必须也是正数。并容易看出，可以将a 分离出来。
分析： 当(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义，故有()???????
???? ??-++??? ??+?
?? ??->?>+-+++x
x x
x x x n n n a a n n 11210121 令()???????
???? ??-++??? ??+??? ??-=x
x x n n n x 1121 ?，只要对()x ?
在(]1,∞-上的最大值，此不等式成立即可。故我们可以利
用函数的最值分离出参数a 。
解：由(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义得：()0121>+-+++a n n x x x ??
?
???????? ?
?-++??
? ??+??
? ??->?x
x x n n n a 1121 ，由指数函数单调性知上式右边的函数()???
???????? ??-++??? ??+??? ??-=x
x x n n n x 1121 ?的最大值是
()?
????????
??-++??
? ??+??? ??-=n n n n 1211 ?＝()n -12
1，故 a>()n -121
一般地，利用最值分离参数法来确定不等式 ()0,≥λx f , （ D x ∈λ为实参数）恒成立中参数取值范
围的基本步骤:
（1） 将参数与变量分离，即化为()()()()()x f f x f f 2221≤≥λλ或的形式； （2） 求()x f 2在∈x D 时的最大（或最小）值；
（3） 解不等式()()()()x f x f f min 2max 21≤≥或λ 得λ的取值范围。
思想方法：把不等式中恒成立问题转化为求函数最值问题。适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。
例 2：解：∵ f(x)在R 上为奇函数，且在[)+∞,0上是增函数，∴f(x)在()+∞∞-,上为增函数，又 ∵ ()()0c o s 2432c o s >-+-θθm m f f ，∴ ()32cos -θf ＞－()θcos 24m m f -＝()m m f 4cos 2-θ ∴ m m 4cos 232cos ->-θθ 即()θθ2cos 3cos 22->-m ， ∵ 2－cos θ[]3,1∈，
∴ 2θθθθcos 2cos 24cos 22cos 32
--=-->m ，∴m>θ
θθ
θcos 22cos 2cos 2cos 22--
+=--]cos 22
cos 2[4θθ-+--=
令2－[]3,1,cos ∈=t t θ， ∴ m>4－???
?
?+t t 2，即4－m3,1∈t 上的最小值，∵()t
t t g 2
+=≥22等号成立条件t=t 2,即[]3,12∈=t 成立，∴()22min =t g ，∴4－
m<22即m>4－22，∴m 的取值范围为（4－22，＋∞）
例 3：简析略解：此例看不出明显的恒成立问题，我们可以设法转化: 设集合A ＝}(){b a b a b a x x +-=<-,|，
B=?
?????
??+-=???<-21,2121|222a a a x x
由题设知A ?B ，则：
21
2-≥-a b
a
21
2+≤+a b a
于是得不等式组： 21
2++-≤a a b
2
1
2+-≤a a b
又 =-+-212
a a 43212
+??? ?
?
--a ，最小值为163； ,4121212
2+??? ??-=+-a a a 最小值为41；
∴ 163≤b , 即 ：b 的取值范围是??
?
??163,0
2 主参换位法
分析：若把它看成x 的二次函数，由于a, x 都要变，则函数的最小值很难求出，思路受阻。若视a 为主元，则给解题带来转机。
例4 ：解：设 ()()4422+-+-=x x a x a g ，把它看成关于a 的直线，题意知，直线恒在横轴下方。 所以 ()01≥-g ()01>g ，解得： 1例 5：分析： 一般的思路是求x 的表达式，利用条件求m 的取值范围。但求x 的表达式时，两边必须除以有关m 的式子，涉及对m 讨论，显得麻烦。
解：若设()()()()()m x m x m x x f 212122-+-=---=，把它看成是关于x 的直线
3 构建函数法
（1） 构造一次函数
例6：解： 原不等式变形为()()01log 2log 1log 22
22>+-+-x x x p ，现在考虑p 的一次函数：
()()()1l o g 2l o g 1l o g 22
22+-+-=x x x p p f ∴ ()0>p f 在(]2,2-∈p 上恒成立
()()()01l o g 2l o g 1l o g 2222
22>+-+--=-x x x f
()()01l o g 2l o g 1l o g 222
22>+-+-=x x x ， 解得：
8>x 或2
1
0<的一次函数型。
（2） 造二次函数
例7：解： 原不等式变形为： 012sin 2sin 2<--+-m m θθ，即012sin 2sin 2>++-m m θθ，令 t =θsin ，[]1,0∈t ，∴ 01222>++-m mt t ，令()t f ＝1222++-m mt t ，∴ 题意为()t f >0在[]1,0∈t 上恒成立。
01
22
m
()01
20>+=m f ，11220≤?--≤m ，?＝()22m -－4×1×(12+m )<0， 1122>?--m ()12211++-=m m g >0，解得 ： 021<<-m 或10≤≤m 或1>m ∴ 2
1
->m ，
4 数形结合法
例8解：222222218
2810218281y x xy x
x a a y x xy x x -+-+≤?≥--+-+要使原不等式恒成立min 222
}218281{y x xy x
x a -+-+≤?，又2]22)9(2)9[(2222
22
2--+-+++-y y x
x y xy x
=2)29
()(222--++-y x
y x ，考虑到点M （x,x 9），N （y,-22y -）则点M 在曲线C 1：xy=9上，
点N 在曲线C 2：x 2+y 2=2(y ≤0)上。显然|MN|min =22223=-，此时a 6≤.故满足条件的a 的取值范围为]6,(-∞
评析：对一些不等式两边的式子，函数模型较明显、函数图象较容易作出的，可以考虑作出函数图象，用函数图像的直观性解决不等式或方程的恒成立的问题，也非常容易得到意想不到的效果。
例9：解： 由题意知 ： x x a log 32< 在??
?
??∈31,0x 内恒成立。在同一坐标系内
分别作出23x y = 和 x y a
l o g =的图象，因为???
??∈31,0x 时，x y a log =的图象位于函数23x y =的图象上方， 当 a> 1时，显见不成立。故 0可知：x y a log =的图象必须过点??
?
??31,31
或在这个点的上方，则： 3131log ≥a ，∴271≥a ②，由 ①，② 知 ：
127
1
<≤a ，∴ a 的取值范围为??
?
???1,271 5. 观察.试探.猜想.证明法
例10：分析： 取θ＝2π，则由032cos 2sin 424
>+-+??? ?
?
-a a ππ解得： a>823。又取θ＝0，π时均得：
,257
3>a
由此猜想： ,82
3
>a 由于当 823>a 时，对一切R ∈θ，∵0cos 2≥θ，3sin 4≥-θ，∴
()03033c o s s i n 4424>+-+?>+-+-a a a a θθ恒成立，故 82
3
>
a 为所求。 或
