空间解析几何试题
空间解析几何试卷 一、填空题(本大题共计30分,每空3分。请把正确答案填在横线上) 1. 设向量{}{}1,1,2,0,1,1=--=→→b a ,则→→b a 在上的射影是_____________,→ a 是_______________. 2. 设向量{}3,5,4-=→a ,向量225共线,反向且模为与→→a b ,那么向量→ b 的坐标是 ________________. 3. 已知向量{}{}3,2,,1,1,1x b a ==→→, 如果→ →b a ,垂直, 那么x =_________. 4. 已知向量{}{},0,3,2,1,0,1=-=→→b a {}2,1,0=→c ,则由这3个向量张成的平行六面体的体积是_________. 5. 直线z y x -=-+=-3212与直线2 112-+=-=z y x 间的距离是_____________. 6. 若直线1 23z y a x ==- 与平面x-2y+bz=0平行,则a,b 的值分别是______________. 7. 经过直线???=-+-=-+0 201z y x y x 且与直线z y x 2==平行的平面的方程是_________________. 8. 空间曲线? ??+==-+1022x z z y x 在y x 0坐标面上的射影曲线和射影柱面的
方程分别是_____________________________. 9. 顶点在原点、准线为抛物线???==1 22z x y 的锥面方程是 ________________(请用x y x ,,的一个方程表示). 10.曲线?????==-0 19422y z x 绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__________________,此曲面表示______________曲面. 二、单项选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1. 若=?-+=+-=→ →→→→→→→→→b a k j i b k j i a 则,23,532( ) A. 7 B. -7 C. -1 D. 0 2. 已知→→b a ,不共线, 与→→b a ,同时垂直的单位向量是( ) A. →→?b a B. →→?a b C. ||→→→ →??±b a b a D. ||→→→→??b a b a 3. 在空间右手直角坐标系下,点P(-1,2,-3)在第( )卦限. A. II B. III C. V D. VI 4. 若两个非零向量→→b a ,满足|→→+b a |=|→→-b a |,则一定有( ) A. →→⊥b a B. →→b a // C. →→b a 与同向 D. → →b a 与反向 5. 点M(1,-3,-2)关于y 轴的对称点N 的坐标是( )
高中数学解析几何测试题答案版(供参考)
解析几何练习题 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行,则实数a 等于( ) A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3.若直线,直线与关于直线对称,则直线的斜率为 ( ) A . B . C . D . 4.在等腰三角形AOB 中,AO =AB ,点O(0,0),A(1,3),点B 在x 轴的正半轴上,则直线AB 的方程为( ) A .y -1=3(x -3) B .y -1=-3(x -3) C .y -3=3(x -1) D .y -3=-3(x -1) 5.直线对称的直线方程是 ( ) A . B . C . D . 6.若直线与直线关于点对称,则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l
A . B . C . D . 7.已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y 轴上的截距为3 1,则m ,n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8.直线x-y+1=0与圆(x+1)2+y 2=1的位置关系是( ) A 相切 B 直线过圆心 C .直线不过圆心但与圆相交 D .相离 9.圆x 2+y 2-2y -1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是( ) A.(x -2)2 +(y+3)2 =1 2 B.(x -2)2+(y+3)2=2 C.(x +2)2 +(y -3)2 =1 2 D.(x +2)2+(y -3)2=2 10.已知点在直线上移动,当取得最小值时,过点引圆的切线,则此切线段的长度为( ) A . B . C . D . 11.经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ,使点P 为弦AB 的中点,则 弦AB 所在直线方程为( ) A .50x y --= B .50x y -+= C .50x y ++= D .50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22
高中数学平面解析几何知识点总结
平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线的五种方程 (1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、). (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠; < ②1212120l l A A B B ⊥?+=; 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 (1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. (2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).圆心??? ??--2,2E D ,半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;
高中数学解析几何常考题型整理归纳
高中数学解析几何常考题型整理归纳 题型一 :圆锥曲线的标准方程与几何性质 圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型,圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点,求离心率、准线、 双曲线的渐近线是常考题型 . 22 【例 1】(1)已知双曲线 a x 2- y b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点为 F (2, 0),且双曲线的渐近线与圆 (x - 2)2 +y 2=3 相切,则双曲线的方程为 ( 22 A.x2-y2=1 A. 9 -13= 2 C.x 3-y 2=1 22 (2)若点 M (2,1),点 C 是椭圆 1x 6+y 7 22 (3)已知椭圆 x 2+y 2=1(a >b >0)与抛物线 y 2=2px (p >0)有相同的焦点 F ,P ,Q 是椭圆与抛物线的交点, ab 22 若直线 PQ 经过焦点 F ,则椭圆 a x 2+ y b 2=1(a >b >0)的离心率为 ___ . 答案 (1)D (2)8- 26 (3) 2- 1 22 解析 (1)双曲线 x a 2-y b 2=1 的一个焦点为 F (2,0), 则 a 2+ b 2= 4,① 双曲线的渐近线方程为 y =±b a x , a 由题意得 22b 2= 3,② a 2+b 2 联立①② 解得 b = 3,a =1, 2 所求双曲线的方程为 x 2-y 3 =1,选 D. (2)设点 B 为椭圆的左焦点,点 M (2,1)在椭圆内,那么 |BM|+|AM|+|AC|≥|AB|+|AC|=2a ,所以 |AM| +|AC|≥2a -|BM|,而 a =4,|BM|= (2+3)2+1= 26,所以 (|AM|+ |AC|)最小=8- 26. ) 22 B.x - y =1 B.13- 9 =1 2 D.x 2 -y 3=1 1 的右焦点,点 A 是椭圆的动点,则 |AM|+ |AC|的最小值为
高三数学《平面解析几何》
高三数学《平面解析几何》 单元练习七 (考试时间120分 分值160分) 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把正确答案填在题中横线上) 1.抛物线y 2=ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是______. 2.过点A (4,a )与B (5,b )的直线与直线y =x +m 平行,则AB =________. 3.已知双曲线x 24-y 2 12=1的离心率为e ,抛物线x =2py 2的焦点为(e,0),则 p 的值为________. 4.若直线ax +2by -2=0(a >0,b >0)始终平分圆x 2+y 2-4x -2y -8=0的周长,则1a +2 b 的最小值为______. 5.若双曲线x 2a 2-y 2 =1的一个焦点为(2,0),则它的离心率为________. 6.已知曲线上的每一点到点A (0,2)的距离减去它到x 轴的距离的差都是2,则曲线的方程为________. 7.(2010·淮安质检)抛物线y =-4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是________. 8.已知点A 、B 是双曲线 x 2- y 2 2 =1上的两点,O 为坐OA 标原点,且满足OA · OB =0,则点O 到直线AB 的距离等于________.
9.(2009·全国Ⅱ改编)双曲线x 26-y 2 3=1的渐近线与圆(x -3)2+y 2=r 2(r >0) 相切,则r =________. 10.(2009·四川高考改编)已知双曲线x 22-y 2 b 2=1(b >0)的左、右焦点分别为 F 1、F 2,其一条渐近线方程为y =x ,点P (3,y 0)在该双曲线上,则12PF PF ?=________. 11.(2009·天津高考改编)设抛物线y 2=2x 的焦点为F ,过点M (3,0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点,与抛物线的准线相交于点C ,BF =2,则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF =________. 12.(2010·南京模拟)已知点(x 0,y 0)在直线ax +by =0(a ,b 为常数)上,则 (x 0-a )2+(y 0-b )2的最小值为________. 13.直线l 的方程为y =x +3,在l 上任取一点P ,若过点P 且以双曲线12x 2 -4y 2 =3的焦点为椭圆的焦点作椭圆,那么具有最短长轴的椭圆方程为 ___________________________________________________________. 14.过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ,与抛物线准线的交点为B ,点A 在抛物线准线上的射影为C ,若 AF FB =,,AF FB BA BC =?=48,则抛物线的方程为______________.
第七章_空间解析几何与向量代数复习题(答案)
第八章 空间解析几何与向量代数答案 一、选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点,向量 的模是(A ) A 5 B 3 C 6 D 9 2. 设a =(1,-1,3), b =(2,-1,2),求c =3a -2b 是( B ) A (-1,1,5). B (-1,-1,5). C (1,-1,5). D (-1,-1,6). 3. 设a =(1,-1,3), b =(2, 1,-2),求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为(A ) A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D -2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是( C ) A 2π B 4π C 3 π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B (2,1,2),求∠AMB 是( C ) A 2π B 4π C 3 π D π 6. 求点)10,1,2(-M 到直线L :12 213+= -=z y x 的距离是:( A ) A 138 B 118 C 158 D 1 7. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ?是:( D ) A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D 3i -3j +3k 8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -,求三角形的面积是:( A ) A 2 B 364 C 3 2 D 3 9. 求平行于z 轴,且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是:( D ) A 2x+3y=5=0 B x-y+1=0 C x+y+1=0 D 01=-+y x . 10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ,则必有( C ); A -+a b =a b ; B =a b ; C 0?a b =; D ?a b =0. 11、设,a b 为非零向量,且a b ⊥, 则必有( C ) A a b a b +=+ B a b a b -=-
空间解析几何练习题
习题一 空间解析几何 一、填空题 1、过两点(3,-2)和点(-1,0)的直线的参数方程为 。 2、直线2100x y --=方向向量为 。 3、直角坐标系XY 下点在极坐标系中表示为 。 4、平行与()6,3,6a =-的单位向量为 。 5、过点(3,-2,1)和点(-1,0,2)的直线方程为 。 6、过点(2,3)与直线2100x y +-=垂直的直线方程为 。 7、向量(3,-2)和向量(1,-5)的夹角为 。 8、直角坐标系XY 下区域01y x ≤≤≤≤在极坐标系中表示为 。 9、设 (1,2,3),(5,2,1)=-=-a b , 则(3)?a b = 。 10、点(1,2,1)到平面2100x y z -+-=的距离为 。 二、解答题 1、求过点(3,1,1)且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程。 2、求过点(4,2,3) 且平行与直线 31215 x y z --==的直线方程。 3、求过点(2,0,-3) 且与直线247035210x y z x y z -+-=??+-+=? 垂直的平面方程。 4、一动点与两定点(2,3,2)和(4,5,6)等距离, 求这动点的方程。
5、求222,01z x y z =+≤≤在XOZ 平面上的投影域。 6、求222 19416 x y z ++=在XOY 平面上的投影域。 7、求2z z =≤≤在XOZ 平面上的投影域。 8、求曲线222251x y z x z ?++=?+=? 在XOY 平面上的投影曲线。 9、求曲线 22249361x y z x z ?++=?-=? 在XOY 平面上的投影曲线。 10、求由曲面22z x y =+与曲面2222x y z ++=所围成的区域在柱面坐标系下的表示。
(完整word版)高中数学解析几何大题精选
解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中,点M 到点()1,0F ,) 2 ,0F 的距离之和是4,点M 的轨迹 是C 与x 轴的负半轴交于点A ,不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q . ⑴求轨迹C 的方程; ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时,求k 与b 的关系,并证明直线l 过定点. 【解析】 ⑴ 2 214 x y +=. ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程, 整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=, 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q , 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ,()22,Q x y ,则122 814kb x x k +=-+,21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+, 显然,曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -, 所以()112,AP x y =+u u u r ,()222,AQ x y =+u u u r . 由0AP AQ ?=u u u r u u u r ,得1212(2)(2)0x x y y +++=. 将②、③代入上式,整理得22121650k kb b -+=. 所以(2)(65)0k b k b -?-=,即2b k =或6 5 b k =.经检验,都符合条件① 当2b k =时,直线l 的方程为2y kx k =+.显然,此时直线l 经过定点()2,0-点. 即直线l 经过点A ,与题意不符. 当65b k =时,直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?. 显然,此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点,满足题意. 综上,k 与b 的关系是65b k =,且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的 圆与直线0x y -=相切. ⑴ 求椭圆C 的方程; ⑴ 设(4,0)P ,A ,B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点,连结PB 交椭圆C 于另一点E ,证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ; ⑴ 在⑴的条件下,过点Q 的直线与椭圆C 交于M ,N 两点,求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围. 【解析】 ⑴22 143 x y +=. ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在,设直线PB 的方程为(4)y k x =-.
高中平面解析几何知识点总结
高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. (2)直线的斜率: αtan ),(21121 2=≠--= k x x x x y y k .两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式:)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =. (2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式:121121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠,12x x ≠). 注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ② 方程形式为:0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以表示任意直线. (4)截距式:1 =+b y a x (b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ). 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线. (5)一般式:0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0). 一般式化为斜截式: B C x B A y - - =,即,直线的斜率: B A k -=. 注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =. 已知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的倒数)或0y =. 已知直线过点00(,)x y ,常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直 线一般不重合.
向量代数与空间解析几何复习题
第七章 向量代数与空间解析几何 (一) 空间直角坐标系、向量及其线性运算 一、判断题 1. 点(-1,-2,-3)是在第八卦限。 ( ) 2. 任何向量都有确定的方向。 ( ) 3. 任二向量, =.则a =b 同向。 ( ) 4. 若二向量, + ,则,同向。 ( ) 5. 若+=+,则= ( ) 6. 向量b a , b a ,同向。 ( ) 7.若={ z y x a a a ,,},则平行于向量的单位向量为| |a a x a | |a z }。( ) 8.若一向量在另一向量上的投影为零,则此二向量共线。 ( ) 二、填空题 1. 点(2,1,-3)关于坐标原点对称的点是 2. 点(4,3,-5)在 坐标面上的投影点是M (0,3,-5) 3. 点(5,-3,2)关于 的对称点是M (5,-3,-2)。 4. 设向量a 与b 有共同的始点,则与,共面且平分a 与b 的夹角的向量为 5. 已知向量与方向相反,且||2||a b =,则由表示为= 。 6. ,与轴l 的夹角为 6 π,则a l prj = 7. 已知平行四边形ABCD 的两个顶点A (2,-3,-5)、B (-1,3,2)。 以及它的对角线 交点E (4,-1,7),则顶点C 的坐标为 ,则顶点D 的坐标为 。 8. 设向量与坐标轴正向的夹角为α、β、γ,且已知α =ο 60,β=ο 120。则γ= 9. 设a 的方向角为α、β、γ,满足cos α=1时,a 垂直于 坐标面。 三、选择题
1.点(4,-3,5)到oy 轴的距离为 (A )2225)3(4+-+ (B ) 225)3(+- (C )22)3(4-+ (D )2254+ 2 . 已 知 梯 形 OABC 、 2 12 1 -21--2121-, ⊥ b + + - + < - +>-yoz 2AOB ∠42222)(b a b a ?=?a ?b a ???2 a b ??a ??b ωc a ρρ?0??≠a c b ??=b a ??=b a ?? ?22 2b b a a +?+??a b b a ???ρ?=?c b a ???、、a c b c b a ???????=?=,c b a ???、、b a ??,111,,γβα2 22,,γβαb a ∧ (2 12121cos cos cos cos cos cos γγββαα++) (b a ?∧3 π,8,5==b a ??b a ??-24,19,13=+==b a b a ??ρ?a b -v v 32)(π=∧b ?2 ,1==b a ??a b ?v v 72,26,3=?==b a b a ????b a ???}1,2,2{},4,3,4{=-=b a ??a }4,6,4{},2,3,2{--=-=b a ?? )(b ?∧b a ??,λb a P ???5+=λb a Q ???-=3MNP ∠π 4 3π2π 4π2a =0=?b a ??0??=a 0??=b c a b a c b a ???????-=-)(0??≠a c a b a ????=c b ??=}. 4,4,1{},2,3,{-==b x a ?? b a ??//}1,3,1{1},1,1,2{-=-= b a ?? b a ??、}2,1,2{}3,2,1{}1,3,2{=-=-=c b a ? ??、、d ?b a ??,. 14d c ?? ,求向量上的投影是312123 a a a b b b == 2222222 123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++=++?..a C B c A B ????= =c a c a S ABD ρ?????= ?l l πππ⊥πππθ2 π πππ5πd 2 2212C B A D D ++-5 1 232-==-z y x { 7 421 253=+--=-+z y x z y x 1 3241z y x =+=-300 { x y z x y z ++=--={ 1240 322=+--=+-+z y x z y x 2 33211+=+=-z y x 1 0101z y x =-=+{ 0440 4=--=--y x z x ?? ? ??==+=4321z t y t x { 7 27 2=-+=++-z y x z y x
空间解析几何习题答案解析(20210120005111)
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 、计算题与证明题 1.已知 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0. 计算 a b b c c a . 解:因为 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0 所以 a 与 b 同向,且 a b 与 c 反向 因此 a b 0 , b c 0 , c a 0 所以 a b b c c a 0 2.已知 |a b| 3, |a b| 4, 求 |a| |b|. 解: |a b| a b cos 3 (1) |a b| a bsin 4 ( 2) (1)2 2 2 得 a b 2 25 所以 a b 5 4.已知向量 x 与 a (,1,5, 2) 共线 , 且满足 a x 3, 求向量 x 的坐标. 解:设 x 的坐标为 x,y,z ,又 a 1,5, 2 则 a x x 5y 2z 3 又 x 与 a 共线,则 x a 0 ij xy 15 2y 5zi z 2x j 5x y k 0 所以 2y 5z 2 z 2x 2 5x y 2 0 即 29x 2 5y 2 26z 2 20yz 4xz 10xy 0 (2) 又 x 与 a 共线, x 与 a 夹角为 0或 22 yz cos0 1 xa x 2 y 2 z 2 12 52 2 2 1) xy 15 整理得
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 联立 1、2 、3 解出向量 x 的坐标为 1 ,1, 1 10,2, 5
6.已知点 A(3,8,7) , B( 1,2, 3) 求线段 AB 的中垂面的方程. 解:因为 A 3,8,7 ,B( 1,2, 3) AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等,设动点坐标为 M x,y,z ,则由 MA MB 得 x 3 2 y 8 2 z 7 2 x 1 2 y 2 2 z 3 2 化简得 2x 3y 5z 27 0 这就是线段 AB 的中垂面的方程。 7. 向量 a , b , c 具有 相 同的 模 , 且两 两 所成 的角 相 等 , 若 a , b 的 坐 标分 别 为 (1,1,0)和(0,1,1), 求向量 c 的坐标. 解: abc r 且它们两两所成的角相等,设为 则有 a b 1 0 1 1 0 1 1 则 cos 设向量 c 的坐标为 x, y,z c x 2 y 2 z 2 r 12 12 02 2 所以 x 2 y 2 z 2 2 3 8.已知点 A(3,6,1) , B(2, 4,1) , C(0, 2,3), D( 2,0, 3), (1) 求以 AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积. (2) 求三棱锥 A BCD 的体积. x1 联立( 1)、(2)、(3)求出 y 0 或 z1 则 a c 1 x 1 y 0 z x y a bcos r r 12 1 r b c 0 x 1 y 1 z y z b c cos r 1 r 2 r 1) 2) 所以向量 c 的坐标为 1,0,1 或 1 4 1 ,, 3,3, 3 3)
高中数学解析几何专题之椭圆汇总解析版
圆锥曲线第1讲 椭圆 【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义: 平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2( 2 12F F a >)的点的轨迹 叫椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距。 注1:在椭圆的定义中,必须强调:到两个定点的距离之和(记作a 2)大于这两个定点之间的距离2 1F F (记作c 2),否则点的轨迹就不是一个椭圆。 具体情形如下: (ⅰ)当c a 22>时,点的轨迹是椭圆; (ⅱ)当c a 22=时,点的轨迹是线段21F F ; (ⅲ)当c a 22<时,点的轨迹不存在。 注2:若用M 表示动点,则椭圆轨迹的几何描述法为a MF MF 221=+(c a 22>, c F F 221=),即 2 121F F MF MF >+. 注3:凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题,通常可利用椭圆的第一定义求解,即隐含条件: a MF MF 221=+千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义: 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e (10<(1)焦点在x 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122 2 2=+b y a x (0>>b a ); (2)焦点在y 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122 22=+b x a y (0>>b a ). 注1:若题目已给出椭圆的标准方程,那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴,主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走,椭圆的焦点在x 轴;长半轴跟y 走,椭圆的焦点在y 轴。 (1)注 2:求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点 的位置,则可设其方程为12222=+b y a x (0>>b a )或122 2 2=+b x a y (0>>b a ); 若题目未指明椭圆的焦点究竟是在x 轴上还是y 轴上,则中心在坐标原点 的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx (0>m ,0>n ,且n m ≠). 三、椭圆的性质 以标准方程122 22=+b y a x (0>>b a )为例,其他形式的方程可用同样的方法 得到相关结论。 (1)范围:a x a ≤≤-,b y b ≤≤-; (2)对称性:关于x 轴、y 轴轴对称,关于坐标原点中心对称; (3)顶点:左右顶点分别为)0,(1a A -,)0,(2a A ;上下顶点分别为),0(1b B , ),0(2b B -; (4)长轴长为a 2,短轴长为b 2,焦距为c 2;
第六章 空间解析几何要求与练习(含答案)
第六章 要求与练习 一、学习要求 1、理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示. 2、掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积),两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,以及用坐标表达式进行向量运算的方法. 3、掌握平面方程和直线方程及其求法,会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题. 7、了解空间曲线在坐标平面上的投影,会求其方程. 二、练习 1、一向量起点为A (2,-2,5),终点为B (-1,6,7),求 (1)AB u u u r 分别在x 轴、y 轴上的投影,以及在z 轴上的分向量; (2)AB u u u r 的模;(3)AB u u u r 的方向余弦;(4)AB u u u r 方向上的单位向量. 解:(1)()3,8,2AB =-u u u r ,AB u u u r 分别在x 轴的投影为-3,在y 轴上的投影为8,在z 轴上的 分向量2k r ;(2)AB =u u u r ;(3)AB u u u r (4)AB u u u r 382) i j k -++r r r . 2、设向量a r 和b r 夹角为60o ,且||5a =r ,||8b =r ,求||a b +r r ,||a b -r r . 解:||a b +==r r ||a b -= =r r =7. 3、已知向量{2,2,1}a =r ,{8,4,1}b =-r ,求 (1)平行于向量a r 的单位向量; (2)向量b r 的方向余弦. 解(1)3a = =r 平行于向量a r 的单位向量221{,,}333 ±; (2)9b ==r ,向量b r 的方向余弦为:841,,999 -. 4、一向量的终点为B (2,-1,7),该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、-4和7.求该向量的起点A 的坐标. 解:AB u u u r =(4,-4,7)=(2,-1,7)-(x ,y ,z),所以(x ,y ,z)=(-2,3,0);
(完整)高中数学解析几何解题方法
高考专题:解析几何常规题型及方法 A:常规题型方面 (1)中点弦问题 具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为(,)x y 11,(,)x y 22,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A (2,1)的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2,求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 分析:设P x y 111(,),P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=,x y 22 22 2 1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。 又设中点P (x,y ),将x x x 122+=,y y y 122+=代入,当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。 又k y y x x y x = --=--12121 2 , 代入得2402 2 x y x y --+=。 当弦P P 12斜率不存在时,其中点P (2,0)的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是2402 2 x y x y --+= 说明:本题要注意思维的严密性,必须单独考虑斜率不存在时的情况。 (2)焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ,与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点,F c 10(,)-,F c 20(,)为焦点,∠=PF F 12α,∠=PF F 21β。 (1)求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ; (2)求|||PF PF 13 23 +的最值。