利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧
技巧精髓
1、利用导数研究函数的单调性,再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点
也是近几年高考的热点。
2、解题技巧是构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得
不等式,而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
一、利用题目所给函数证明
例1】已知函数f (x) =ln(x ? 1) -X ,求证:当x ? -1时,恒有
分析:本题是双边不等式,其右边直接从已知函数证明,左边构造函数
1
g(x) = ln(x ? 1)1,从其导数入手即可证明。
x十1
1 x
绿色通道】f(X) 1 =
x+1 x+1
???当T:::x”:0时,f(x)?0,即f (x)在x?(T,0)上为增函数
当x 0时,f (x) :::0,即f (x)在x ? (0/::)上为减函数
故函数f(x)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间(0,
于是函数f (x)在(-1「:)上的最大值为f (x),因此,当X ? -1时,
f (x) _ f (0) =0 ,即ln(x 1) -x _0 ???In(x 1) _ x (右面得证),
1 1 1 现证左面,令g(x)二ln(x 1) 1, 则g (xp
x+1 x+1 (x + 1)
x
2 (x 1)
当x (-1,0)时,g(x) ::0;当x (0,::)时,g (x) 0 ,即g(x)在(-1,0)上为减函数,在X- (0, V)上为增函数,
故函数g(x)在(-1, ?::)上的最小值为g(x)min二g(0) =0 ,
. 1 ???当x -1 时,g(x) - g(0) =0 ,即ln(x 1)
1
警示启迪】如果f (a)是函数f (x)在区间上的最大 (小)值,则有f (x)込f (a)(或f (x)亠f (a)),
那么要证不等式,只要求函数的最大值不超过
0就可得证.
2、直接作差构造函数证明
象的下方;
分析:函数f (x)的图象在函数g(x)的图象的下方二 不等式f (X )::: g(x)问题,
1 2 2 3 1 2 2 3
即一 x I n x x ,只需证明在区间(1, ■二)上,恒有一 x I n x x 成立,设 2 3 2 3
1
F(x)二 g(x) - f (x) , x (1,二),考虑到 F(1) 0
6
要证不等式转化变为:当x 时,F(x) .F(1),这只要证明:g(x)在区间(1,?::)是增函数即可。
2
1 (x -1)(2x x 1)
-x —一=
x
x
2
(x - 1)(2x x 1)
当 x 1 时,F (x) =
x
1
从而F(x)在(1, ?::)上为增函数,二F(x) F(1)
0 6
??当 x 1 时 g(x) - f(x) 0,即 f(x) < g(x),
2 3
故在区间(1, ?::)上,函数f(x)的图象在函数g(x) x 3的图象的下方。
3
警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数
(可以移项,使右边为零,将移项后的左式设为函数 ),
并利用导数判断所设函数的单调性
,再根据函数单调性的定义
,证明要证的不等式。读者也可
以设F (x) = f (x) - g (x)做一做,深刻体会其中的思想方法
。
3、换元后作差构造函数证明
1 1 1
例31 (2007年,山东卷)证明:对任意的正整数 n ,不等式In(- 1)
都成立.
n n n 1
分析:本题是山东卷的第
(II )问,从所证结构出发,只需令 x ,则问题转化为:当x 0时,恒
n
2
3 3 2
有In(x 1) x -x 成立,现构造函数h(x)=x - x Tn(x ■ 1),求导即可达到证明。
绿色通道 1令 h(x) = x 3 -X 2 In(x 1),
???In(x 1) _1
,综上可知,
x 1 当…1时,有X1
—1 乞 ln(x 1)乞 X
例2】已知函数
f(x^-x 2 In x.求证:
2
在区间(1, ?::)上,函数f (x)的图象在函数g(x)=
绿色通道】设F (x)二g (x) - f (x),
即 F(x) =2x 3」x 2 一1 nx ,
3 2
则 F (x) =2x 2
所以函数h(x)在(0,::)上单调递增,二x (0,::)时,恒有h(x) h(0)=0, 即 X ’ -X 2 In(x ? 1) . 0 ,二1 n(x 1) . x 2 - x 3
1
i
11
对任意正整数n ,取x
(0「:),则有ln( 1) 2
3
n n n n
警示启迪】我们知道,当F(x)在[a,b ]上单调递增,则x a 时,有F(x) ?F(a).如果f(a)= 「(a),要证明当x ■ a 时,f(x) ?「(x),那么,只要令F(x) = f (x) — : (x),就可以利用F(x)的单 调增性来推导.也就是说,在
F(x)可导的前提下,只要证明F'(x) .0即可.
4、从条件特征入手构造函数证明
例4】若函数 y f (x)在R 上可导且满足不等式
x f (x) > — f (x)恒成立,且常数a ,b 满足a >b ,求
证:.a f (a) >b f(b)
绿色通道】由已知x f (x) + f (x) >0 ??构造函数 F(x)二xf(x),
则F ‘(x)工x f (x) + f (x) >0,从而F(x)在R 上为增函数。
a b /.F(a) F(b)即 a f(a)>b f (b)
警示启迪】由条件移项后xf (x) f (x),容易想到是一个积的导数
,从而可以构造函数 F(x)二xf(x),
求导即可完成证明。若题目中的条件改为 xf (x) f (x),则移项后xf (x) - f (x),要想到 是一个商的导数的分子,平时解题多注意总结。
思维挑战】
1、 (2007 年,安徽卷)设 a _ 0, f (x) = x -1 -1n 2 x 2a In x 求证:当x 1时,恒有x ? ln 2 x - 2a ln x T ,
2、 (2007年,安徽卷)已知定义在正实数集上的函数
1
5
f (x)=尹2 2ax, g(x) = 3a 2 ln x b,其中 a >0,且
b
= ? a - 3a ?ln a ,
求证:f (x)丄g(x)
x
3、已知函数f(x)=ln(1 x)
,求证:对任意的正数a 、b ,
1 +x
则 h (x)二 3x 2
3x 3 (x-1)2 在
x +1
x ,(0/::
)上恒正,
1
b
恒有ln a Tn b _ 1 -一.
a
4、 (2007年,陕西卷)f(x)是定义在(0,+ s)上的非负可导函数,且满足xf (x)- f (x) o,对任意正数a、b,若a < b,则必有( )
2
1、提示:f (x )亠如上,当x 1, a_0时,不难证明如"
XX
x
f (x) 0,即f(x)在(0/:-)内单调递增,故当x 1时,
2
f (x)
f(1)=0,「?当 x 1 时,恒有 x In x-2al nx 1
1 2 2
2、提示:设 F (x) = g(x) - f (x) x 2ax -3a In x - b 则 F (x) = x 2a
2
故F(x)在(0, a)上为减函数,在(a/::)上为增函数,于是函数F(x)在(0,=)上的最小值 是 F(a)二 f (a) -g(a) = 0 ,故当 x 0时,有 f(x) 一 g(x) _ 0 ,即 f(x) 一 g(x)
1 x
2 = 2
(1 x) (1 x)
??当 一1 :x :0 时,f (x) < 0 ,即 f (x)在 x (-1,0)上为减函数 当x 0时,f (x)?0,即f (x)在x ,(0/ ::)上为增函数 因此在x =0时,f(x)取得极小值f(0) =0 ,而且是最小值
x
1 于是 f (x) _ f(0) =0,从而 ln(1 x)
,即 ln(1 x) _1 —
1+x
1 + x
令 1 x 二旦
0,贝
1 -- 于是 In -
b
x 1 a b a
因此 In a-1 n b _ 1 - 一
a
I
4、提示:卩(刈=^^ , F (x)二
xf (x)2
f(x)
空0,故
在(0 , + m
)上是减函数
x x x
(A ) af (b )w bf (a )
(C ) af (a ) 答案咨询】 (B ) bf (a )w af (b ) (D ) bf (b )w f (a ) 3a (x - a)(x 3a) x (x 0) a 0, 当 x 二 a 时,F (x)=0 , 3、提示:函数f(x)的定义域为(-1,=), f (x) 由a : b 有他 _型=af (bxbf (a) 故选(A) a b 2 函数与导数解答题之数列型不等式证明 例1.已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈ (1)讨论函数)(x f 的单调性; (2)证明:*1111ln(1)()23n n N n + +++>+∈ (3)证明:()*ln 2ln 3ln 4ln 5ln 12,2345n n n N n n ???<≥∈ (4)证明:()*22222ln 2ln 3ln 4ln 5ln 112,23452n n n n n N n n +?????≥∈ ??? (5)证明:()444442 *44444ln 2ln 3ln 4ln 5ln (1)2,23454n n n n N n n +???<≥∈ (6)求证:()()() ()222222121ln 2ln 3ln ...2,2321n n n n n N n n *-++++<≥∈+ (7)求证:()22221111111...12482n e n N *????????+ +++<∈ ????? ????????? 例2.已知函数2()ln(1)f x a x ax x =+--. (1)若1x =为函数()f x 的零点,求a 的值; (2)求()f x 的极值; (3)证明:对任意正整数n ,2 22134232)1ln(n n n +++++ <+ . 例3.已知函数()x f x e ax a =--(其中,a R e ∈是自然对数的底数, 2.71828e =…). (1)当a e =时,求函数()f x 的极值;(II )当01a ≤≤时,求证()0f x ≥; (2)求证:对任意正整数n ,都有2111111222n e ??????+ +???+< ??? ???????. 例4.设函数()ln 1f x x px (1)求函数()f x 的极值点; (2)当p >0时,若对任意的x >0,恒有0)(≤x f ,求p 的取值范围; (3)证明:).2,()1(212ln 33ln 22ln 2222222≥∈+--<+++n N n n n n n n 例5.已知函数()ln 1f x x x =-+? (1)求()f x 的最大值; (2)证明不等式:()*121n n n n e n N n n n e ??????+++<∈ ? ? ?-???? ?? 利用导数证明不等式的两种通法 吉林省长春市东北师范大学附属实验学校 金钟植 岳海学 利用导数证明不等式是高考中的一个热点问题,利用导数证明不等式主要有两种通法,即函数类不等式证明和常数类不等式证明。下面就有关的两种通法用列举的方式归纳和总结。 一、函数类不等式证明 函数类不等式证明的通法可概括为:证明不等式()()f x g x >(()()f x g x <)的问 题转化为证明()()0f x g x ->(()()0f x g x -<),进而构造辅助函数 ()()()h x f x g x =-,然后利用导数证明函数()h x 的单调性或证明函数()h x 的最小值(最 大值)大于或等于零(小于或等于零)。 例1 已知(0, )2 x π ∈,求证:sin tan x x x << 分析:欲证sin tan x x x <<,只需证函数()sin f x x x =-和()tan g x x x =-在(0,)2 π 上 单调递减即可。 证明: 令()sin f x x x =- ,其中(0,)2 x π ∈ 则/ ()cos 1f x x =-,而(0,)cos 1cos 102 x x x π ∈?-< 所以()sin f x x x =-在(0,)2 π 上单调递减,即()sin (0)0f x x x f =-<= 所以sin x x <; 令()tan g x x x =- ,其中(0,)2 x π ∈ 则/ 2 21()1tan 0cos g x x x =- =-<,所以()tan g x x x =-在 (0,)2 π上单调递减, 即()tan (0)0g x x x g =-<= 所以tan x x <。 综上所述,sin tan x x x << 评注:证明函数类不等式时,构造辅助函数比较容易,只需将不等式的其中一边变为0,然后另一边的函数作为辅助函数,并利用导数证明其单调性或其最值,进而构造我们所需的不等式的结构即可。根据不等式的对称性,本例也可以构造辅助函数为在(0,)2 π 上是单 调递增的函数(如:利用()sin h x x x =-在(0, )2 π 上是单调递增来证明不等式 sin x x <),另外不等式证明时,区间端点值也可以不是我们所需要的最恰当的值(比如 1.函数2ln 2)(x x x f -=,求函数)(x f y =在]2,2 [上的最大值 2.. 已知f(x)=e x -ax- (1)求f(x)的单调增区间; (2)若f(x )在定义域R 内单调递增,求a 的取值范围; (3)是否存在a,使f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由. 3. 已知函数f(x)=x 2e -ax (a >0),求函数在[1,2]上的最大值. 4.已知x =3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x 的一个极值点. (1)求a 的值; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)若直线y =b 与函数y =f(x)的图象有3个交点,求b 的取值范围. 5. (2010年全国)已知函数 f(x)=x3-3ax2+3x +1. (1)设a =2,求 f(x)的单调区间; (2)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a 的取值范围. 不等式的证明: 一、函数类不等式证明 函数类不等式证明的通法可概括为:证明不等式 ()()f x g x >(()()f x g x <) 的问题转化为证明 ()()0f x g x ->(()()0f x g x -<),进而构造辅助函数 ()()()h x f x g x =-,然后利用导数证明函数()h x 的单调性或证明函数()h x 的最小 值(最大值)大于或等于零(小于或等于零)。 一、利用题目所给函数证明 【例1】 已知函数 x x x f -+=)1ln()(,求证:当1->x 时,恒有 x x x ≤+≤+- )1ln(1 1 1 【绿色通道】1 111)(+- =-+='x x x x f ∴当01<<-x 时,0)(>'x f ,即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时,0)(<'x f ,即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-,单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(m a x ==f x f ,因此,当1->x 时, 0)0()(=≤f x f ,即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( (右面得证) , 现证左令11 1 )1ln()(-+++=x x x g , 2 2)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 , 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数,在),0(+∞∈x 上为增函数, 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g , ∴当1->x 时,0)0()(=≥g x g ,即011 1 )1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ,综上可知,当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1 ,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大(小)值,则有()f x ≤()f a (或()f x ≥()f a ),那么要证不等式,只要求函数的最大值不超过0就可得证. 2、直接作差构造函数证明 【例2】已知函数 .ln 2 1)(2 x x x f += 求证:在区间),1(∞+上,函数)(x f 的图象在函数3 3 2)(x x g = 的图象的下方; 【绿色通道】设)()() (x f x g x F -=,即x x x x F ln 2 132)(2 3--= , 利用导数证明不等式的常见题型 山西大学附属中学 韩永权 邮箱:hyq616@https://www.doczj.com/doc/6e2149374.html, 不等式的证明是近几年高考的一个热点题型,它一般出现的压轴题的位置,解决起来比较困难。本文给出这一类问题常见的证明方法,给将要参加高考的学子一些启示和帮助。只要大家认真领会和掌握本文的内容,定会增强解决对这一类问题的办法。下面听我慢慢道来。 题型一 构造函数法,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证明不等式,而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 例1(人教版选修2-2第32页B 组1题)利用函数的单调性,证明不列不等式 (1)),0(,sinx π∈ 第四节 利用导数证明不等式 课堂考点探究 考点1 单变量不等式的证明 单变量不等式的证明方法 (1)移项法:证明不等式f (x )>g (x )(f (x )<g (x ))的问题转化为证明f (x )-g (x )>0(f (x )-g (x )<0),进而构造辅助函数h (x )=f (x )-g (x ); (2)构造“形似”函数:对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数;把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构,根据“相同结构”构造辅助函数; (3)最值法:欲证f (x )<g (x ),有时可以证明f (x )max <g (x )min . 直接将不等式转化为函数的最值问题 已知函数f (x )=ln x +ax 2+(2a +1)x . (1)讨论f (x )的单调性; (2)当a <0时,证明f (x )≤-3 4a -2. [解] (1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1x +2ax +2a +1= x +1 2ax +1 x . 当a ≥0,则当x ∈(0,+∞)时,f ′(x )>0,故f (x )在(0,+∞)上单调递增. 当a <0,则当x ∈? ????0,-12a 时,f ′(x )>0;当x ∈? ????-12a ,+∞时,f ′(x )<0. 故f (x )在? ????0,-12a 上单调递增,在? ?? ??-12a ,+∞上单调递减. (2)证明:由(1)知,当a <0时,f (x )在x =-12a 取得最大值,最大值为f ? ????-12a =ln ? ??? ?-12a -1-1 4a . 所以f (x )≤-34a -2等价于ln ? ????-12a -1-14a ≤-34a -2,即ln ? ????-12a +1 2a +1≤0.设g (x ) =ln x -x +1,则g ′(x )=1 x -1.当x ∈(0,1)时,g ′(x )>0;当x ∈(1,+∞)时,g ′(x ) <0.所以g (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.故当x =1时,g (x )取得最大 值,最大值为g (1)=0.所以当x >0时,g (x )≤0.从而当a <0时,ln ? ????-12a +1 2a +1≤0, 即f (x )≤-3 4a -2. 将不等式转化为函数最值来证明不等式,其主要思想是依据函数在固定区间 导数大题中不等式的证明 1.使用前面结论求证(主要) 2.使用常用的不等关系证明,有三种:()ln 1x x +<,sin ,x x 恒成立,求实数λ的最小值. 3、已知,ln 2)(),0()(bx x x g a x a x x f +=>- =且直线22-=x y 与曲线)(x g y =相切. (1)若对),1[+∞内的一切实数x ,不等式)()(x g x f ≥恒成立,求实数a 的取值范围; (2)当a=1时,求最大的正整数 k ,使得对Λ71828.2](3,[=e e 是自然对数的底数)内的任意 k 个实数k x x x x ,,,,321Λ都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤++-Λ成立; (3)求证:)12ln(1 4412 +>-∑ =n i i n i )(* ∈N n 第四节利用导数证明不等式 考点1作差法构造函数证明不等式 (1)欲证函数不等式f(x)>g(x)(x>a),只需证明f(x)-g(x)>0(x>a),设h(x)=f(x)-g(x),即证h(x)>0(x>a).若h(a)=0,h(x)>h(a)(x>a).接下来往往用导数证得函数h(x)是增函数即可. (2)欲证函数不等式f(x)>g(x)(x∈I,I是区间),只需证明f(x)-g(x)>0(x∈I). 设h(x)=f(x)-g(x)(x∈I),即证h(x)>0(x∈I),也即证h(x)min>0(x∈I)(若h(x)min不存在,则须求函数h(x)的下确界),而这用导数往往容易解决. 已知函数f(x)=ax+x ln x在x=e-2(e为自然对数的底数)处取得极小值. (1)求实数a的值; (2)当x>1时,求证:f(x)>3(x-1). [解](1)因为f(x)定义域为(0,+∞),f(x)=ax+x ln x, 所以f′(x)=a+ln x+1, 因为函数f(x)在x=e-2处取得极小值, 所以f′(e-2)=0,即a+ln e-2+1=0, 所以a=1,所以f′(x)=ln x+2. 当f′(x)>0时,x>e-2;当f′(x)<0时,0<x<e-2, 所以f(x)在(0,e-2)上单调递减,在(e-2,+∞)上单调递增, 所以f(x)在x=e-2处取得极小值,符合题意,所以a=1. (2)证明:由(1)知a=1,所以f(x)=x+x ln x. 令g(x)=f(x)-3(x-1), 即g(x)=x ln x-2x+3(x>0). g′(x)=ln x-1,由g′(x)=0,得x=e. 由g′(x)>0,得x>e;由g′(x)<0,得0<x<e. 所以g(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增, 导数与不等式的证明 1.【2013湖南文科】已知函数f (x )= x e x 2 1x 1+-. (Ⅰ)求f (x )的单调区间; (Ⅱ)证明:当f (x 1)=f (x 2)(x 1≠x 2)时,x 1+x 2<0. 【解析】 (Ⅰ) .)123)12)1()1)11()('2 22 222x x x xe x x e x x e x x f x x x ++--?=+?--+?-+-=((( ; )(,0)(']0-02422单调递增时,,(当x f y x f x =>∞∈∴-=? 单调递减)时,,当)(,0)('0[x f y x f x =≤∞+∈. 所以,)上单调递减,上单调递增;在,在(∞+∈∞=0[]0-)(x x f y 。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,只需要证明:当x>0时f(x) < f(-x)即可。 ]1)1[(11111)()(22 22x e x x e e x x e x x x f x f x x x x ---+=++-+-=----。 1)21()('0,1)1()(22--=?>---=x x e x x g x x e x x g 令。 ,04)21()('1)21()(222<-=-=?--=x x x xe e x x h e x x h 令 0)0()(0)(=∞+=?h x h x h y )上单调递减,在( 0 )0()(0)(=∞+=?g x g x g y )上单调递减,在( .000]1)1[(122 ==∞+---+=?-y x x e x x e y x x 时)上单调递减,但,在( )()(0)()(x f x f x f x f -<--? .0)()(212121<+≠=x x x x x f x f 时,且所以,当(证毕) 2.【2013天津理科】已知函数. (Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使. (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为, 证明: 当时, 有. (1)函数f (x )的定义域为(0,+∞). f ′(x )=2x ln x +x =x (2ln x +1),令f ′(x )=0 ,得x = 当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表: 2 l ()n f x x x =()t f s =()s g t =2>e t 2ln ()15ln 2 g t t << 用导数证明和式不等式-典型 (1)若护(工)=『J 上再減睛It求宾畫以杓取恒范 寵 (町证明车等式t 2n 1 L 1 I lii J J 1H^ In 4 hi(” +1) n , 1 1 1 < —+ l + - + —— 2 2 3 n 解析: :郭问圖利斛出 来看第二问? 1. 读者朋友们一起来思考这样一个命题逻辑:第二问单独出一道证明题行不行? 当然行? 2. 为什么不那样出呢? 因为那样出的话,难度太大. 3. 为什么出在本题的第二问的位置? 因为这样命题使得学生解题相对容易一些. 4. 为什么会容易一些呢? 因为题干和第一问,为我们顺利解决第二问提供帮助.这些内容可作为梯子,为我们搭桥、铺路. 5. 从第1问能得到什么结论呢? '"|加 < 数特(打=—■—luz 在[人炖)上対城函 6. 这个结论对解决第 2问有什么帮助呢? 第2问是证明不等式,我们希望能够通过第 1问得到不等式? 通过函数的单调性,我们可以得到什么样的不等式呢? di 沿-1) 小如取= 2,则鸭(.工)= -- - Inx 凶为卩(工)在仏是内诚函数, 所以貯(1)=山 即——-hi^ 利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 趣题引入 已知函数 设, 证明:分析:主要考查利用导数证明不等式的能力。证明:,设 当时 ,当时 , 即在上为减函数,在上为增函数 ∴,又 ∴, 即 设 当时,,因此在区间上为减函数; 因为,又 ∴, 即 故综上可知,当 时,本题在设辅助函数时,考虑到不等式涉及的变量是区间的两个端点,因此, 设辅助函数时就把其中一个端点设为自变量,范例中选用右端点,读者不妨设为左端点试一试,就能体会到其中的奥妙了。技巧精髓 一、利用导数研究函数的单调性,再由单调性来证明不等式是函数、导数、 不等式综合中的一个难点,也是近几年高考的热点。 二、解题技巧是构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的 单调性或求最值,从而证得不等式,而如何根据不等式的结构特征构造一个 x x x g ln )(=b a <<02ln )(2 ( 2)()(0a b b a b g a g -<+-+<1ln )(+='x x g )2 (2)()()(x a g x g a g x F +-+=2 ln ln )2()(21)2(2)()(''''x a x x a g x g x a g x g x F +-=+-=?+-='a x <<00)(<'x F a x >0)(>'x F )(x F ),0(a x ∈),(+∞∈a x 0)()(min ==a F x F a b >0)()(=>a F b F 0)2 (2)()(>+-+b a g b g a g 2ln )(2 (2)()()(a x x a g x g a g x G --+-+=)ln(ln 2ln 2 ln ln )(x a x x a x x G +-=-+-='∴0>x 0)(' 导数与不等式证明 作差证明不等式 1. (优质试题湖南,最值、作差构造函数) 已知函数. (1)求函数的单调递减区间; (2)若,求证:≤≤x . 解:(1)函数f (x )的定义域为(-1,+∞),, 由 得:,∴x >0,∴f (x )的单调递减区间 为(0,+∞). (2)证明:由(1)得x ∈(-1,0)时,, 当x ∈(0,+∞)时,,且 ∴x >-1时,f (x )≤f (0),∴≤0,≤x 令 ,则 , ∴-1<x <0时,,x >0时,,且 ∴x >-1时,g (x )≥g (0),即≥0 ∴≥ ,∴x >-1时, ≤≤x . 2. (优质试题湖北20,转换变量,作差构造函数,较容易) 已知定义在正实数集上的函数 ,x x x f -+=)1ln()()(x f 1->x 11 1+-x )1ln(+x 1 111)(+-=-+= 'x x x x f 0)(<'x f ????? -><+- 1 01x x x 0)(>'x f 0)(<'x f (0)0f '=x x -+)1ln()1ln(+x 111 )1ln()(-++ +=x x x g 2 2)1()1(111)(+=+-+= 'x x x x x g 0)(<'x g 0)(>'x g 0)0(='g 11 1 )1ln(-+++x x ) 1ln(+x 1 11+- x 1 11+- x )1ln(+x 2 1()22 f x x ax = + ,其中.设两曲线,有公 共点,且在该点处的切线相同. ⑴用表示,并求的最大值; ⑵求证:当时,. 解:⑴设与在公共点处的切线相 同. ,,由题意,. 即由得:,或(舍 去). 即有. 令,则.于是 当,即时,; 当,即 时,. 故在为增函数,在为减函数, 于是在的最大值为. ⑵设, 则. 2()3ln g x a x b =+0a >()y f x =()y g x =a b b 0x >()()f x g x ≥()y f x =()(0)y g x x =>0 ()x y ,()2f x x a '=+∵23()a g x x '=0 ()()f x g x =0 ()()f x g x ''=2 2000200123ln 2 32x ax a x b a x a x ?+=+????+=?? ,, 20032a x a x +=0 x a =03x a =-2222215 23ln 3ln 22 b a a a a a a a = +-=-2 25()3ln (0)2 h t t t t t =->()2(13ln )h t t t '=-(13ln )0t t ->13 0t e <<()0h t '>(13ln )0t t -<1 3 t e >()0h t '<()h t 1 3(0)e ,1 3()e ∞,+()h t (0)+, ∞123 33()2 h e e =2 21()()()23ln (0)2 F x f x g x x ax a x b x =-= +-->()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x -+=+-=> 二轮专题 (十一) 导数与不等式证明 【学习目标】 1. 会利用导数证明不等式. 2. 掌握常用的证明方法. 【知识回顾】 一级排查:应知应会 1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数,利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题.比如要证明对任意∈x [b a ,]都有)()(x g x f ≤,可设)()()(x g x f x h -=,只要利用导数说明)(x h 在[b a ,]上的最小值为0即可. 二级排查:知识积累 利用导数证明不等式,解题技巧总结如下: (1)利用给定函数的某些性质(一般第一问先让解决出来),如函数的单调性、最值等,服务于第二问要证明的不等式. (2)多用分析法思考. (3)对于给出的不等式直接证明无法下手,可考虑对不等式进行必要的等价变形后,再去证明.例如采用两边取对数(指数),移项通分等等.要注意变形的方向:因为要利用函数的性质,力求变形后不等式一边需要出现函数关系式. (4)常用方法还有隔离函数法,max min )()(x g x f ≥,放缩法(常与数列和基本不等式一起考查),换元法,主元法,消元法,数学归纳法等等,但无论何种方法,问题的精髓还是构造辅助函数,将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题. (5)建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式,有许多题都是利用泰勒展开式放缩得来. 三极排查:易错易混 用导数证明数列时注意定义域. 【课堂探究】 一、作差(商)法 例1、证明下列不等式: ①1+≥x e x ②1ln -≤x x ③x x 1-1ln ≥ ④1x 1)-2(x ln +≥ x )1(≥x ⑤)2 ,0(,2sin ππ∈>x x x 二、利用max min )()(x g x f ≥证明不等式 例2、已知函数.2 2)(),,(,ln )1(1)(e x e x g R b a x a b x ax x f +-=∈+-+-= (1)若函数2)(=x x f 在处取得极小值0,求b a ,的值; (2)在(1)的条件下,求证:对任意的],[,221e e x x ∈,总有)()(21x g x f >. “导数证明不等式问题”练习题答案 1.设L 为曲线C:ln x y x =在点(1,0)处的切线. (I)求L 的方程; (II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C 在直线L 的下方. 解: (I)设ln ()x f x x =,则21ln ()x f x x -'=.所以(1)1f '=.所以L 的方程为1y x =-. (II)令()1()g x x f x =--,则除切点之外,曲线C 在直线l 的下方等价于()0 g x >(0,1)x x >≠. ()g x 满足(1)0g =,且221ln ()1()x x g x f x x -+''=-=. 当01x <<时,210x -<,ln 0x <,所以()0g x '<,故()g x 单调递减; 当1x >时,210x ->,ln 0x >,所以()0g x '>,故()g x 单调递增. 所以,()(1)0g x g >=(0,1x x >≠). 所以除切点之外,曲线C 在直线L 的下方. 又解:()0g x >即ln 10x x x -->变形为2ln 0x x x -->,记2()ln h x x x x =--,则2121(21)(1)()21x x x x h x x x x x --+-'=--==, 所以当01x <<时,()0h x '<,()h x 在(0,1)上单调递减; 当1x >时,()0h x '>,()h x 在(1,+∞)上单调递增. 所以()(1)0h x h >=.) 2.Ⅰ)讨论函数的单调性,并证明当时,; (Ⅱ)证明:当时,函数有最小值.设的最小值为,求函数的值域. 解⑴证明:()2e 2 x x f x x -=+ ()()()22224e e 222x x x x f x x x x ??-' ?=+= ?+++?? ∵当x ∈()()22,-∞--+∞,时,()0f x '> ∴()f x 在()()22,-∞--+∞,和上单调递增 ∴0x >时, ()2e 0=12x x f x ->-+, ∴()2e 20x x x -++> ⑵ ()()()24e 2e x x a x x ax a g x x ----'= () 4e 2e 2x x x x ax a x -++= ()322e 2x x x a x x -??+?+ ?+??= [)01a ∈, 由(1)知,当0x >时,()2e 2x x f x x -= ?+的值域为()1-+∞,,只有一解. 使得2e 2 t t a t -?=-+,(]02t ∈, 当(0,)x t ∈时()0g x '<,()g x 单调减;当(,)x t ∈+∞时()0g x '>,()g x 单调增 ()()()222e 1e e 1e 22 t t t t t t a t t h a t t t -++?-++===+ 记()e 2t k t t =+,在(]0,2t ∈时,()()() 2e 102t t k t t +'=>+,∴()k t 单调递增 ∴()()21e 24h a k t ??=∈ ??? ,. 3.设函数. x x 2f (x)x 2 -=+e 0x >(2)20x x e x -++>[0,1)a ∈2x =(0)x e ax a g x x -->()()g x ()h a ()h a ()1x f x e -=- 导数题型一:证明不等式 不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点,传统证明不等式的方法技巧性强,多数学生不易想到,并且各类不等式的证明没有通性通法.随着新教材中引入导数,这为我们处理不等式的证明问题又提供了一条新的途径,并且在近年高考题中使用导数证明不等式也时有出现,但现行教材对这一问题没有展开研究,使得学生对这一简便方法并不了解.利用导数证明不等式思路清晰,方法简捷,操作性强,易被学生掌握。下面介绍利用单调性、极值、最值证明不等式的基本思路,并通过构造辅助函数,证明一些不等式。 一.构造形似函数型 例1.求证下列不等式 (1)) 1(2)1ln(22 2x x x x x x +-<+<-),0(∞+∈x (相减) (2)πx x 2sin >)2,0(π ∈x (相除两边同除以x 得π2 sin >x x ) (3)x x x x -<-tan sin )2, 0(π∈x (4)已知:)0(∞+∈x ,求证x x x x 11ln 11<+<+;(换元:设x x t 1+=) (5)已知函数()ln(1)f x x x =+-,1x >-,证明:11ln(1)1x x x - ≤+≤+ 巩固练习: 1.证明1>x 时,不等式x x 132- > 2.0≠x ,证明:x e x +>1 3.0>x 时,求证:)1ln(2 2 x x x +<- 4.证明: ).11(,3 2)1ln(3 2<<-+-≤+x x x x x 5.证明: 331an x x x t +>,)2 ,0(π∈x . 二、需要多次求导 例2.当)1,0(∈x 时,证明:22)1(ln )1(x x x <++ 例3.求证:x >0时,211x 2 x e x ->+ 例4.设函数f (x )=ln x + 2a x 2-(a +1)x (a >0,a 为常数).若a =1,证明:当x >1 时,f (x )< 12x 2-21 x x +三、作辅助函数型 例5.已知:a 、b 为实数,且b >a >e ,其中e 为自然对数的底,求证:a b >b a . 例6.已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx, (i)求函数f(x)的最大值; (ii)设0>b a ,证明b a b a b a b a ≤++)2 ( (3)若2021π << 导数中的不等式证明问题 一、常见基本题型: (1) 结合问题之间的联系,利用函数的单调性证明; (2) 构造新的函数,求导,结合函数的单调性去证。 例1:已知函数()ln f x x =,21()22g x x x = -. (1)设/()(1)()h x f x g x =+-(其中/()g x 是()g x 的导函数),求()h x 的最大值; (2)证明: 当0b a <<时,求证:()(2)2b a f a b f a a -+-< ; 解:(1)/()(1)()ln(1)2h x f x g x x x =+-=+-+,1x >- 所以 1()111 x h x x x -'=-=++. 当10x -<<时,()0h x '>;当0x >时,()0h x '<. 因此,()h x 在(1,0)-上单调递增,在(0,)+∞上单调递减. 因此,当0x =时,()h x 取得最大值(0)2h =; (2)当0b a <<时,102b a a --< <. 由(1)知:当10x -<<时,()2h x <,即ln(1)x x +<. 因此,有()(2)ln ln 1222a b b a b a f a b f a a a a +--??+-==+< ??? . 例2:已知221()ln ,02 f x x a x a =->. (I )求函数f (x )的最小值; (II )(i )设0t a <<,证明:()()f a t f a t +<-; (ii )若12()()f x f x =,且12,x x ≠证明:122.x x a +> 解:(Ⅰ)f '(x )=x -a 2x =(x +a )(x -a )x . 当x ∈(0,a )时,f '(x )<0,f (x )单调递减; 当x ∈(a ,+∞)时,f '(x )>0,f (x )单调递增. 当x =a 时,f (x )取得极小值也是最小值f (a )= 1 2a 2-a 2ln a . (Ⅱ)(ⅰ)设g (t )=f (a +t )-f (a -t ),则 当0<t <a 时, 一题多解专题三:利用导数证明不等式问题 1.构造函数证明不等式的方法 (1)对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式,构造函数f(x),使原不等式成为形如 f(a)>f(b)的形式. (2)对形如f(x)>g(x),构造函数F(x)= f(x)-g(x). (3)对于(或可化为)A x x f ≥),(21的不等式,可选1x (或2x )为主元,构造函数),(2x x f (或 ),(1x x f ). 2.利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形. (2)构造新的函数h(x). (3)对h(x)求导. (4)利用)(x h '判断h(x)的单调性或最值. (5)结论. 例:设b a R b a b ax x x x f ,,,(1)1ln()(∈++++ +=为常数),曲线)(x f y =与直线 x y 2 3 = 在(0,0)点相切. (1)求b a ,的值. (2)证明:当20< 利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 技巧精髓 1、利用导数研究函数的单调性,再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点 也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得 不等式,而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 一、利用题目所给函数证明 例1】已知函数f (x) =ln(x ? 1) -X ,求证:当x ? -1时,恒有 分析:本题是双边不等式,其右边直接从已知函数证明,左边构造函数 1 g(x) = ln(x ? 1)1,从其导数入手即可证明。 x十1 1 x 绿色通道】f(X) 1 = x+1 x+1 ???当T:::x”:0时,f(x)?0,即f (x)在x?(T,0)上为增函数 当x 0时,f (x) :::0,即f (x)在x ? (0/::)上为减函数 故函数f(x)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间(0, 于是函数f (x)在(-1「:)上的最大值为f (x),因此,当X ? -1时, f (x) _ f (0) =0 ,即ln(x 1) -x _0 ???In(x 1) _ x (右面得证), 1 1 1 现证左面,令g(x)二ln(x 1) 1, 则g (xp x+1 x+1 (x + 1) x 2 (x 1) 当x (-1,0)时,g(x) ::0;当x (0,::)时,g (x) 0 ,即g(x)在(-1,0)上为减函数,在X- (0, V)上为增函数, 故函数g(x)在(-1, ?::)上的最小值为g(x)min二g(0) =0 , . 1 ???当x -1 时,g(x) - g(0) =0 ,即ln(x 1)导数之数列型不等式证明
利用导数证明不等式的两种通法
导数不等式证明
利用导数证明不等式的常见题型
2021届高考数学(理)一轮复习学案:第3章导数及其应用第4节利用导数证明不等式
导数大题中不等式的证明题
【高中数学】利用导数证明不等式
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考前归纳总结:导数中的不等式证明问题
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