第7讲图形的旋转与中心对称
知识定位
讲解用时：3分钟
A、适用范围：人教版初三，基础偏上
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先学习旋转变换，重点掌握旋转三要素以及旋转的性质，能够结合图形的性质处理简单几何问题，其次学习中心对称以及中心对称图形，掌握中心对称的性质，了解坐标关于原点对称的特征。本节课的难点在于旋转与三角形以及四边形等知识点的结合考查，具有一定的综合性，希望同学们认真学习，熟练掌握相关性质和应用。
知识梳理
讲解用时：20分钟
图形的旋转
（1）旋转的定义
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转过的角称为旋转角。
从以下几点理解定义：
①旋转中心在旋转过程中保持不变；
①图形的旋转是由旋转中心、旋转角度和旋转方向共同决定（三要素）；
①旋转角度一般小于360°。
（2）旋转的特征
①旋转后图形上每一点都绕着旋转中心旋转了同样的角度；
①旋转后的图形与原图形对应线段相等、对应角相等；
①对应点到旋转中心的距离相等；
①旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化。
课堂精讲精练
【例题1】
下列运动属于旋转的是（）
A．扶梯的上升B．一个图形沿某直线对折过程
C．气球升空的运动D．钟表的钟摆的摆动
【答案】D
【解析】此题主要考查了旋转的定义，
A、扶梯的上升，是平移，故此选项错误；
B、一个图形沿某直线对折过程，是轴对称，故此选项错误；
C、气球升空的运动，也有平移，故此选项错误；
D、钟表的钟摆的摆动，属于旋转，故此选项正确．
故选：D．
讲解用时：3分钟
解题思路：根据旋转的定义分别判断得出即可。
教学建议：正确把握旋转的定义是解题关键。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：江津区期末年份：2016
【练习1】
如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（）。
A．顺时针B．逆时针
C．顺时针或逆时针D．不能确定
【答案】B
【解析】此题考查旋转问题，
齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮B以顺时针方向旋转，齿轮C以逆时针方向旋
转，齿轮D以顺时针方向旋转，齿轮E以逆时针方向旋转，故选：B．
讲解用时：4分钟
解题思路：根据图示进行分析解答即可。
教学建议：根据图示进行解答。
难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：鄱阳县校级期末年份：2016秋
【例题2】
如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若①1=112°，则①α的大小是（）。
A．68°B．20°C．28°D．22°
【答案】D
【解析】本题考查了旋转的性质，
①四边形ABCD为矩形，
①①BAD=①ABC=①ADC=90°，
①矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，
①①BAB′=α，①B′AD′=①BAD=90°，①D′=①D=90°，
①①2=①1=112°，
而①ABD=①D′=90°，①①3=180°﹣①2=68°，
①①BAB′=90°﹣68°=22°，即①α=22°，故选：D．
讲解用时：5分钟
解题思路：先根据矩形的性质得①BAD=①ABC=①ADC=90°，再根据旋转的性质得①BAB′=α，①B′AD′=①BAD=90°，①D′=①D=90°，然后根据四边形的内角和得到①3=68°，再利用互余即可得到①α的大小。
教学建议：灵活运用角度关系分析。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：长春二模年份：2018
【练习2】
如图，在①ABCD中，①A=70°，将①ABCD绕点B顺时针旋转到①A1BC1D1的位置，此时C1D1恰好经过点C，则①ABA1=（）。
A．30°B．40°C．45°D．50°
【答案】B
【解析】此题主要考查了旋转的性质以及平行四边形的性质，
①将①ABCD绕点B顺时针旋转到①A1BC1D1的位置，
①①A=①C1=70°，BC=BC1，
①①BCC1=①C1=70°，
①①ABA1=①CBC1=180°﹣70°﹣70°=40°，故选：B．
讲解用时：3分钟
解题思路：直接利用旋转的性质结合平行四边形的性质得出①A=①C1=70°，BC=BC1，进而得出答案。
教学建议：正确得出①BCC1=①C1是解题关键。
难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：利辛县一模年份：2018 【例题3】
下列图形是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，
A、不是中心对称图形；
B、是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形，故选：B．
讲解用时：5分钟
解题思路：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解。
教学建议：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：襄城区模拟 年份：2018
【练习3】
下列说法中，正确的是（ ）
A ．是中心对称图形的四边形一定是平行四边形
B ．经过正方形对角线交点的直线一定是正方形的对称轴
C ．既是轴对称图形，又是中心对称图形的四边形一定是正方形
D ．是轴对称图形，但不是中心对称图形的四边形一定是等腰梯形
【答案】A
【解析】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，
A 、是中心对称图形的四边形一定是平行四边形，说法正确；
B 、经过正方形对角线交点的直线一定是正方形的对称轴，说法错误；
C 、既是轴对称图形，又是中心对称图形的四边形一定是正方形，说法错误；
D 、是轴对称图形，但不是中心对称图形的四边形一定是等腰梯形，说法错误； 故选：A ．
讲解用时：3分钟
解题思路：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解。
教学建议：熟记轴对称图形与中心对称图形的概念。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：静安区期末 年份：2015春
【例题4】
已知A （m+n ，1）、B （3，n ﹣3m ）是直角坐标平面内不同的两点，当m= ，n= 时，A 、B 两点关于x 轴对称；当m= ，n= 时，A 、B 两点关于原点对称。
【答案】1、2；21-、2
5-
【解析】此题主要考查了关于x 轴对称以及关于原点对称点的坐标性质， ①A （m+n ，1）、B （3，n ﹣3m ）关于x 轴对称，
①，解得：，
①A、B两点关于原点对称，
①，解得：，
讲解用时：5分钟
解题思路：分别利用关于x轴对称点的性质以及关于原点对称点的坐标性质进而得出m，n的值。
教学建议：掌握坐标关于坐标轴以及原点对称的特征。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：浦东新区期末年份：2014春
【练习4】
直角坐标系中，已知点P（﹣2，﹣1），点T（t，0）
是x轴上的一个动点．
（1）求点P关于原点的对称点P′的坐标；
（2）当t取何值时，①P′TO是等腰三角形？
【答案】
（1）P'（2，1）；
（2）t的值为
【解析】本题主要考查了平面直角坐标系中坐标关于原点对称的特点，
（1）点P关于原点的对称点P'的坐标为（2，1）；
（2），
（a）动点T在原点左侧，
当时，①P'TO是等腰三角形，①点，
（b）动点T在原点右侧，
①当T2O=T2P'时，①P'TO是等腰三角形，得：，
①当T 3O=P'O时，①P'TO是等腰三角形，得：点，
①当T4P'=P'O时，①P'TO是等腰三角形，得：点T4（4，0）．
综上所述，符合条件的t的值为．
讲解用时：8分钟
解题思路：（1）根据坐标关于原点对称的特点即可得出点P′的坐标，
（2）要分类讨论，动点T 在原点左侧和右侧时分别进行讨论即可得出当t 取何值时，①P′TO 是等腰三角形。
教学建议：（2）注意分类讨论。
难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：普陀区二模 年份：2006
【例题5】
如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，正方形EFGO 绕点旋转，若两个正方形的边长相等，则两个正方形的重合部分的面积（ ）。
A ．由小变大
B ．由大变小
C ．始终不变
D ．先由大变小，然后又由小变大
【答案】C
【解析】本题考查旋转的性质、正方形的性质以及全等三角形的性质和判定， 重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的
41． 理由如下：
①四边形ABCD 和四边形OEFG 都是正方形，
①OB=OC ，①OBC=①OCD=45°，①BOC=①EOG=90°，
①①BON=①MOC ，
在①OBN 与①OCM 中，
， ①①OBN①①OCM （ASA ），
①四边形OMCN 的面积等于三角形BOC 的面积， 即重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的
4
1，故选：C ． 讲解用时：8分钟
解题思路：根据正方形的性质得出OB=OC ，①OBC=①OCD=45°，①BOC=①EOG=90°，推出①BON=①MOC ，证出①OBN①①OCM 。
教学建议：推出四边形OMCN 的面积等于三角形BOC 的面积是解此题的关键。 难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：河东区期末 年份：2017秋
【练习5】
如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AEFG ，则图中阴影部分的面积为（ ）。
A ．21
B ．33
C ．431-
D ．3
31- 【答案】D
【解析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系，
设EF 交CD 于H 点，连AH ，如图
①正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AEFG ，
①①BAE=30°，①①EAD=90°﹣30°=60°，
①AE=AD ，AH 公共，
①Rt①ADH①Rt①AEH ，①①DAH=30°，
而AD=1，①AD=3HD ，①HD=3
3， ①S ①ADH =21?AD?DH=2
1×1×33=63， ①S 阴影部分=S 正方形ABCD ﹣2S ①ADH =1﹣2×
63=1﹣33． 故选：D ．
讲解用时：8分钟
解题思路：设EF 交CD 于H 点，连AH ，根据旋转的性质得到①BAE=30°，则①EAD=90°﹣30°=60°，易证得Rt①ADH①Rt①AEH ，得①DAH=30°，根据含30°的直角三角形三边的关系可得HD=33，则S ①ADH =21?AD?DH=2
1×1×33=63，利用S 阴影部分=S 正方形ABCD ﹣2S ①ADH 计算即可。
教学建议：熟练应用含30°的直角三角形三边的关系进行分析。
难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：丹东期末年份：2017秋
【例题6】
如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C 旋转，给出下列结论：①BE=DG；①BE①DG；①DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（）。
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【解析】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的
性质，勾股定理，如图，设BE，DG交于O，
①四边形ABCD和CEFG都为正方形，
①BC=CD，CE=CG，①BCD=①ECG=90°，
①①BCE+①DCE=①ECG+①DCE=90°+①DCE，即①BCE=①DCG，
在①BCE和①DCG中，，
①①BCE①①DCG（SAS），
①BE=DG，①①1=①2，
①①1+①4=①3+①1=90°，
①①2+①3=90°，①①BOG=90°，
①BE①DG；故①①正确；
连接BD，EG，如图所示，
①DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2，EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=2b2，
则DE2+BG2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+2b2，故①正确，故选：D．
讲解用时：10分钟
解题思路：由四边形ABCD与四边形CEFG都为正方形，得到四条边相等，四个角为直角，利用SAS得到三角形BCE与三角形DCG全等，利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG，利用全等三角形对应角相等得到①1=①2，利用等
角的余角相等及直角的定义得到①BOD 为直角，利用勾股定理求出所求式子的值即可。
教学建议：熟练掌握性质与定理是解本题的关键。
难度：5 适应场景：当堂例题 例题来源：凤阳县一模 年份：2018
【练习6】
如图，O 是正①ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：
①①BO′A 可以由①BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；
①点O 与O′的距离为4；
①①AOB=150°；
①S 四边形AOBO′=6+33；
其中正确的结论是（ ）
A ．①①①
B ．①①①
C ．①①①
D ．①①
【答案】A
【解析】本题考查了旋转变换中等边三角形、直角三角形的性质，
如图，由题意可知，①1+①2=①3+①2=60°，①①1=①3，
又①OB=O′B ，AB=BC ，①①BO′A①①BOC ，
又①①OBO′=60°，①①BO′A 可以由①BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到， 故结论①正确；
如图，连接OO′，①OB=O′B ，且①OBO′=60°，
①①OBO′是等边三角形，①OO′=OB=4，故结论①正确；
①①BO′A①①BOC ，①O′A=5．
在①AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
①①AOO′是直角三角形，①AOO′=90°，
①①AOB=①AOO′+①BOO′=90°+60°=150°，故结论①正确；
S 四边形AOBO′=S ①AOO′+S ①OBO′=2
1×3×4+43×42=6+43，故结论①错误；
故选：A ．
讲解用时：10分钟
解题思路：证明①BO′A①①BOC ，又①OBO′=60°，所以①BO′A 可以由①BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由①OBO′是等边三角形，可知结论①正确；在①AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故①AOO′是直角三角形；进而求得①AOB=150°，故结论①正确；S 四边形AOBO′=S ①AOO′+S ①OBO′ =2
1×3×4+43×42=6+43，故结论①错误。 教学建议：熟练掌握性质与定理是解本题的关键
难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：绥化模拟 年份：2018
【例题7】
如图，①ABC 是边长为12的等边三角形，D 是BC 的中点，E 是直线AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ．则在点E 的运动过程中，DF 的最小值是 。
【答案】
【解析】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质， 取线段AC 的中点G ，连接EG ，如图所示．
①①ABC 为等边三角形，且AD 为①ABC 的对称轴， ①CD=CG=2
1AB=6，①ACD=60°， ①①ECF=60°，①①FCD=①ECG ．
在①FCD 和①ECG 中，，
①①FCD①①ECG （SAS ），①DF=GE ．
当EG①BC 时，EG 最小，
①点G 为AC 的中点，
①此时EG=DF=21CD=4
1BC=3． 讲解用时：10分钟
解题思路：取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD=CG以及①FCD=①ECG，由旋转的性质可得出EC=FC，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出①FCD①①ECG，进而即可得出DF=GE，再根据点G为AC的中点，即可得出EG的最小值，此题得解。
教学建议：解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键。难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：红桥区期末年份：2017秋
【练习7】
如图，正①ABC的边长为4，将正①ABC绕点B顺时针旋转120°得到①C'A'B，若点D为直线A'B上的一动点，则AD+CD的最小值是。
【答案】8
【解析】本题主要考查的是旋转的性质、等边三角形的性质、轴对
称最短路径问题，
①①ABC为正三角形，将正①ABC绕点B顺时针旋转120°得到①C'A'B，
①①ABC=①A′BC，BC=BC′，
①BC与BC′关于BA′对称，
①CD=C′D，
①AD+CD=AD+DC′．
当点B与点D重合时，AD+CD有最小值，
①AD+CD的最小值=AC′=8．
讲解用时：10分钟
解题思路：先证明BC与BC′关于BA′对称，然后依据轴对称的性质可得到CD=C′D，然后将AD+CD的转化到一条直线求解即可。
教学建议：找出AD+CD取得最小值的条件是解题的关键。
难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：孝感期末年份：2017秋
【例题8】
如图，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形AEFG，E点正好落在边CD上，连接BE，BG，且BG交AE于P。
（1）求证：①CBE=2
1①BAE ； （2）求证：BG=2PB ；
（3）若AB=41，BC=3，直接写出BG 的长。
【答案】
（1）①矩形ABCD 中，①CBA=90°，
①①CBE+①ABE=90°，
即2①CBE+2①ABE=180°，①
由旋转可得，AB=AE ，①①ABE=①AEB ，
①①BAE+2①ABE=180°，①
由①①可得，①BAE=2①CBE ， ①①CBE=2
1①BAE ； （2）如图，过B 作BH①AE 于H ，则①C=①BHE=90°，
由（1）可得，①ABE=①AEB ，
①AB①CE ，①①ABE=①CEB ，①①BEC=①BEH ，
即BE 平分①CEH ，①BH=BC ，
由旋转可得，AG=AD=BC ，①GAP=①BAD=90°，
①AG=HB ，①GAP=①BHP ，
又①①APG=①HPB ，①①APG①①HPB ， ①GP=BP=2
1BG ，即BG=2PB ； （3）217
【解析】本题考查了勾股定理、矩形性质、旋转性质、全等三角形的性质和判定等知识点，
（1）①矩形ABCD 中，①CBA=90°，
①①CBE+①ABE=90°，
即2①CBE+2①ABE=180°，①
由旋转可得，AB=AE ，①①ABE=①AEB ，
①①BAE+2①ABE=180°，①
由①①可得，①BAE=2①CBE ，
①①CBE=2
1①BAE ； （2）如图，过B 作BH①AE 于H ，则①C=①BHE=90°，
由（1）可得，①ABE=①AEB ，
①AB①CE ，①①ABE=①CEB ，①①BEC=①BEH ，
即BE 平分①CEH ，①BH=BC ，
由旋转可得，AG=AD=BC ，①GAP=①BAD=90°，
①AG=HB ，①GAP=①BHP ，
又①①APG=①HPB ，①①APG①①HPB ， ①GP=BP=2
1BG ，即BG=2PB ； （3）①AB=41，BC=3=BH ，
①Rt①ABH 中，由勾股定理得AH=42，
①①APG①①HPB ，①PH=AP=2
1AH=22， ①Rt①BHP 中，由勾股定理得BP=17， ①BG=2BP=217．
讲解用时：15分钟
解题思路：（1）依据①CBE+①ABE=90°，可得2①CBE+2①ABE=180°，再根据AB=AE ，即可得到①BAE+2①ABE=180°，进而得出①BAE=①2①CBE ；（2）先判定BE 平分①CEH ，得到BH=BC ，再由旋转可得，AG=AD=BC ，①GAP=①BAD=90°，再根据①APG=①HPB ，即可得到①APG①①HPB ，进而得出GP=BP=
21BG ；（3）以及勾股定理可得Rt①ABH 中，AH=42，进而得到PH=AP=2
1AH=22，再根据勾股定理可得Rt①BHP 中，BP=17，即可得出BG=2BP=217．
教学建议：以旋转为背景的图形变换常结合三角形、四边形考查，一般具有一定的综合性，要熟练掌握性质与判定定理，利用旋转的不变形分析。
难度：5 适应场景：当堂例题 例题来源：铜梁区期末 年份：2017秋
【练习8】
如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，且满足BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作FG的平行线，交DA的延长线于点N，连接NG。（1）求证：BE=2CF；
（2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明。
【答案】
（1）如图，过F作FH①BE，
①四边形ABCD为正方形，①①ABC=①BCD=90°，
①①FHB=①HBC=①BCF=90°，
①四边形BCFH为矩形，①BH=CF，
又①BF=EF，①BE=2BH，①BE=2CF；
（2）四边形BFGN为菱形
【解析】本题主要考查旋转、正方形的性质及全等三角形的判定和性质，
（1）如图，过F作FH①BE，
①四边形ABCD为正方形，①①ABC=①BCD=90°，
①①FHB=①HBC=①BCF=90°，
①四边形BCFH为矩形，①BH=CF，
又①BF=EF，①BE=2BH，①BE=2CF；
（2）四边形BFGN为菱形，证明如下：
①MN①EF，①①E+①EBM=90°，且①EBM=①ABN，
①①ABN+①E=90°，
①BF=EF，①①E=①EBF，①①ABN+①EBF=90°，
又①①EBC=90°，①①CBF+①EBF=90°，①①ABN=①CBF，
①四边形ABCD为正方形，①AB=BC，①NAB=①CBF=90°，
在①ABN和①CBF中，，
①①ABN①①CBF（ASA），①BF=BN，
又由旋转可得EF=FG=BF，①BN=FG，
①①GFM=①BME=90°，①BN①FG，①四边形BFGN为菱形．
讲解用时：15分钟
解题思路：（1）过F作FH①BE于点H，可证明四边形BCFH为矩形，可得到BH=CF，且H为BE中点，可得BE=2CF；（2）由条件可证明①ANB①①CFB，可得BN=BF，可得到BN=GF，且BN①FG，可证得四边形BFGN为菱形。
教学建议：以旋转为背景的图形变换常结合三角形、四边形考查，一般具有一定的综合性，要熟练掌握性质与判定定理，利用旋转的不变形分析。
难度：5 适应场景：当堂练习例题来源：南山区期末年份：2017秋
课后作业
【作业1】
将图绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是（ ）。
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】考查了生活中的旋转现象，
将图
绕中心按顺时针方向旋转60°后得到的图形是，故选：
A ． 讲解用时：4分钟
解题思路：根据旋转的意义，找出图中阴影三角形3个关键处按顺时针方向旋转60°后的形状即可选择答案。
教学建议：看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度。
难度：3 适应场景：练习题 例题来源：曹县期末 年份：2016春
【作业2】
如图，将①ABC 绕点A 逆时针旋转100°，得到①ADE ，若点D 在线段BC 的延长线上，则①B 的大小为（ ）。
A ．30°
B ．40°
C ．50°
D ．60°
【答案】B
【解析】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，
根据旋转的性质，可得：AB=AD ，①BAD=100°， ①①B=①ADB=2
1×（180°﹣100°）=40°，故选：B ． 讲解用时：5分钟
解题思路：根据旋转的性质可得出AB=AD 、①BAD=100°，再根据等腰三角形的性质可求出①B 的度数。
教学建议：根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出①B 的度数是解题的关键
难度：3 适应场景：练习题 例题来源：河东区一模 年份：2018
【作业3】
如图，将①ABC 的边AB 绕着点A 顺时针旋转α（0°＜α＜90°）
得到AB′，边AC 绕着点A 逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC′，
联结B′C′，当α+β=90°时，我们称①A B′C′是①ABC 的“双旋三角
形”，如果等边①ABC 的边长为a ，那么它的“双旋三角形”的面积
是 （用含a 的代数式表示）。 【答案】4
1a 2 【解析】本题考查了旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的性质以及三角形的面积，
①等边①ABC 的边长为a ，①AB=AC=a ，①BAC=60°．
①将①ABC 的边AB 绕着点A 顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB′， ①AB′=AB=a ，①B′AB=α，
①边AC 绕着点A 逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC′，
①AC′=AC=a ，①CAC′=β，
①①B′AC′=①B′AB+①BAC+①CAC′=α+60°+β=60°+90°=150°，
如图，过C′作C′D①AB′于D ，则①D=90°，①DAC′=30°， ①C′D=
21AC′=2
1a ， ①S ①AB′C′=21AB′?C′D=21a?21a=41a 2． 讲解用时：10分钟
难度：4 适应场景：练习题 例题来源：奉贤区二模 年份：2018
【作业4】
如图，在等边①ABC 中，AB=4，D 是BC 的中点，将①ABD 绕点A 旋转后得到①ACE ，连接DE 交AC 于点F ，则①AEF 的面积为 。
【答案】2
33 【解析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理， ①在等边①ABC 中，AB=4，D 是BC 的中点， ①BD=DC=2
1BC=2，①BAD=①DAC=30°，AD①BC ， ①由勾股定理得AD=23，
①将①ABD 绕点A 旋转后得到①ACE ，连接DE 交AC 于点F ，
①AD=AE ，①DAE=①BAC=60°，①CAE=①BAD=①DAC=30°，
①①ADE 是等边三角形，AF①DE ， ①DE=AD=23，EF=
21DE=3，AF=3DF=3， ①①AEF 的面积=21EF?AF=2
1×3×3=233． 讲解用时：10分钟
解题思路：先由等边三角形的性质得出BD=2，①BAD=①DAC=30°，AD①BC ，利用勾股定理求出AD=23．再根据旋转的性质得出AD=AE ，①DAE=60°，①CAE=①BAD=①DAC=30°，那么①ADE 是等边三角形，AF①DE ，再求出EF=3，AF=3，然后根据①AEF 的面积=2
1EF?AF 即可求解。 教学建议：应用旋转的性质与等边三角形的性质是解题的关键。
难度：4 适应场景：练习题 例题来源：红桥区一模 年份：2018
乐学教育学员个性化教学辅导教案学科:数学任课教师：韩老师授课时间：年月日(星期 )
本次课授课内容 旋转对称 一．课前准备 1、如果一个图形绕着某一定点旋转一定的角度后能与自身，那么这个图形就叫做。 2、请说出数学中你熟悉的三个旋转对称图形（1）、（2）、 （3），并回答分别至少旋转多少度后能与自身重合。 3、旋转任意角度都能与自身重合的图形是。 例1、观察下列图形，其中不是旋转对称图形的有（） (1) (2) (3) C (4) X 例2、如下图，它们绕哪一个点至少旋转多少度能与自身重合？（右图考虑颜色） 例3、如下图（1）、（2），请问： （l ）它们是不是旋转对称图形？ （2）若是，旋转中心在何处，需要旋转多少度后，能与自身重合？ （3）它们是轴对称图形吗？ （1）（2） 例4、如右图，画△ABC 和过点P 的两条直线PQ 、PR 。画出△ABC 关于PQ 对称的三角形△A ′B ′C ， 再画出△A ′B ′C 关于PR 对称的三角形△A ′′B ′′C ′′。观察△ABC 和△A ′′B ′′C ′′，你能发现这两个 三角形有什么关系吗？
中心对称 1、中心对称的定义： 一个图形绕着某一点旋转后能与另一图形重合，那么，我们就说这两图形成中心对称图形。这个点就是它们的对称中心。 定义中的三个要点:(l)有一个对称中心——点;(2)图形绕中心旋转180度;(3)旋转后与另一图形重合。 2.中心对称的性质：中心对称的两个图形具有如下性质: (1)关于中心对称的两个图形; (2)关于中心对称的两个图形,对称点的连线都过,并且被平分. 3.中心对称图形 把一个图形绕某一点旋转后 ,如果旋转后的图形能够和原来的图形,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的. 中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 4.中心对称与中心对称图形之间的关系： 区别： （1）中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形。 （2）成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。 联系： 若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形。 当堂训练 知识点1：中心对称 1.如右所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 知识点2：中心对称图形 2.下列图形中，不是中心对称图形的是（）
图形的旋转 知识要点 1、旋转：将一个图形绕着某点O转动一个角度的变换叫做旋转。其中，O叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。 2、旋转性质 ①旋转后的图形与原图形全等 ②对应线段与O形成的角叫做旋转角 ③各旋转角都相等 3、平移：将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。其中，该直线的 方向叫做平移方向，该距离叫做平移距离。 4、平移性质 ①平移后的图形与原图形全等 ②两个图形的对应边连线的线段平行相等（等于平行距离） ③各组对应线段平行且相等 5、中心对称与中心对称图形 ①中心对称：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这个点对称或中心对称。其中，点O叫做对称中心、两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。 ②中心对称图形：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形。其中，这个点叫做该图形的对称中心。 6、轴对称与轴对称图形 (1)轴对称：若两个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这两个图形关于这条轴对称或它们成轴对称。其中，这条轴叫做对称轴。 注：轴对称的性质：①两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分（2）轴对称图形：若一个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形。
7、点的对称变换 （1）、关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P＇（-x，-y） （2）、关于x轴对称的点的特征 两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x 轴的对称点为P＇（x，-y） （3）、关于y轴对称的点的特征 两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y 轴的对称点为P＇（-x，y） 注：y＝x的直线是过一三象限的角平分线，y＝-x的直线是过二四象限的角平分线。 综合练习 1（1）将一个平面图形F上的每一点，绕这个平面一_____ 点旋转，得到图形F’，图形的这种变换就叫做旋转。 （2）对应点到对应中心的距离____________. （3）对应点与旋转中心所成的角彼此_______，且等于_________角 （4）旋转不改变图形的________和_______. 2、如图，将△ABC绕点A旋转50°后成为△AB′C′，那么点B的对应点是_____，点C的对应点是_________，线段AB的对应线段是线段________，线段BC的对应线段是线段 _________；∠B的对应角是_________，∠C的对应角是__________，旋转中心是点_______，旋转的角度是_____________； 3、如图，△ABC是等腰三角形，∠BAC=36°，D是BC上一点， △ABD经过旋转后到达△ACE的位置， ⑴旋转中心是哪一点？ ⑵旋转了多少度？ ⑶如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了 什么位置？ 4、如图，四边形ABCD是正方形，△DAE旋转后能与△DCF重合。 ⑴旋转中心是哪一点？ ⑵旋转了多少度？ ⑶如果连接EF，那么△DEF是怎样的三角形？ E C D E F
P ′C D B A 《图形的旋转》导学案设计 23.1图形的旋转（一） 一、简介： 《图形的旋转》是人教版九年级上册第二十三章的内容。在教学设计的过程中，是以省级课题《构建初中数学高效课堂模式》的《五步教学》为蓝本来设计的。“五步教学法”以“导学——自学——助学——强化——评价”五步组成，就是将“先讲后练”的传统教学模式转换成"先学后讲"的教学模式。 二、教学过程 《一》导学 1、引入新课：运用课件欣赏日常生活中一些物体的旋转现象，如旋转的风车、旋转的钟面、飞驰的车轮等，然后让学生根据上述现象用一个动词进行概括引入新课。 （设计说明：借助课件，用生活中常见的事例引入新课，既可以激发学生的学习兴趣，把学生迅速的的引入课堂中，又能引导学生用数学的眼光看待生活中的事物，认识到生活中处处都有数学） 2、学习目标： （1）、了解生活中广泛存在的旋转现象； （2）、掌握旋转的有关概念，理解旋转变换也是图形的一种基本变换； （3）、知道旋转的性质，会运用旋转的性质解决实际问题。 （设计说明：学习目标的展示，是为了让学生对这节课所学的知识有个整体认识，知道这节课即将学习哪些内容，要掌握哪些知识，让学生做到心中有数，不至于无的放矢。学习目标是属于课前预设性目标，是学生对这堂课的一个浅性认识阶段。） 3、重点：旋转的有关概念 难点：理解并运用旋转的性质 （设计说明：这节内容是在学生学了平移、轴对称这两种图形的基本变换之后学习的，学生已经有一定的认知基础，所以确定旋转的概念是本节课的重点，难点是性质的运用。在“五步教学”中，明确学习的重难点，是为了让学生进一步明确学习目标，知道这些是我们学习的最终目标。在教学中，重难点的突破是随着教学活动的展开而逐步实现的，就这要求教师必须具备高度的应变能力。） 《二》分层学习 第一层次学习 1、自学指导： （1）、自学内容：预习p56——57页归纳之前的内容（2）、自学时间：约4分钟 （3）、自学方法：观察生活中物体的旋转现象，体会旋转过程，形成旋转概念的感性认识。 （4）、自学参考提纲： ①、旋转的概念____________________________。②、从课文中的思考实例可以看出：图形的旋转三要素是 ________,_________,______。③、如图，点P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 旋转到 △CBP ′的位置时，其旋转中心是______，旋转角为________，旋转方向为_______。
图形的平移，对称与旋转的单元检测附答案 一、选择题 1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A 、C 、D 都不是中心对称图形，只有B 是中心对称图形. 故选B. 2．如图，DEF ?是由ABC ?经过平移后得到的，则平移的距离不是( ) A ．线段BE 的长度 B ．线段E C 的长度 C ．线段CF 的长度 D ．A D 、两点之向的距离 【答案】B 【解析】 【分析】 平移的距离是平移前后对应两点之间连线的距离，根据这可定义可判定 【详解】 ∵△DEF 是△ABC 平移得到 ∴A 和D 、B 和E 、C 和F 分别是对应点 ∴平移距离为：线段AD 、BE 、CF 的长 故选：B
【点睛】 本题考查平移的性质，在平移过程中，我们通常还需要注意，平移前后的图形是全等图形. 3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折， 使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则BQ AQ 的值为（） A B C D 【答案】A 【解析】 【分析】 根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出AD＝DC＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，进而求出∠C、∠B的度 数，求出其他角的度数，可得AQ＝AC，将BQ AQ 转化为 BQ AC ，再由相似三角形和等腰直角 三角形的边角关系得出答案． 【详解】 解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E， ∵∠ADC＝45°， ∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE， 在Rt△ABC中， ∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线， ∴AD＝CD＝BD， 由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D， ∴∠CDC′＝45°+45°＝90°， ∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD， ∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，∴AC′＝AQ＝AC， 由△AEC∽△BDQ得：BQ AC ＝ BD AE ， ∴BQ AQ ＝ BQ AC ＝ AD AE ＝ AE ． 故选：A．
图形的旋转 1.如图,如果把钟表的指针瞧做三角形OAB,它绕O 点按顺时针方向旋转得到△OEF,在这个旋转过程中: (1)旋转中心就是什么？旋转角就是什么？ (2)经过旋转,点A、B分别移动到什么位置？ 2.(学生活动)如图,四边形ABCD、四边形EFGH都就是边长为1的正方形. (1)这个图案可以瞧做就是哪个“基本图案”通过旋转得到的？ (2)请画出旋转中心与旋转角 (3)指出,经过旋转,点A、B、C、D分别移到什么位置？ 3.如图,△ABC绕C点旋转后,顶点A的对应点为点D,试确定顶点B?对应点的位置,以及旋转后的三角形. ,△ABF就是△ 4.如图,四边形ABCD就是边长为1的正方形,且DE=1 4 ADE的旋转图形. (1)旋转中心就是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)AF的长度就是多少 (4)如果连结EF,那么△AEF就是怎样的三角形？
5.如图,K就是正方形ABCD内一点,以AK为一边作正方形AKLM,使L、M?在AK的同旁,连接BK与DM,试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系. 参考答案 1、解:(1)旋转中心就是O,∠AOE、∠BOF等都就是旋转角. (2)经过旋转,点A与点B分别移动到点E与点F的位置. 2、 (1)可以瞧做就是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到 的.(2)?画图略.(3)点A、点B、点C、点D移到的位置就是点E、 点F、点G、点H. (3)旋转前、后的图形全等. 3、分析:绕C点旋转,A点的对应点就是D点,那么旋转角就就是∠ACD,根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角,即∠BCB′=ACD,?又由对应点到旋转中心的距离相等,即CB=CB′,就可确定B′的位置,如图所示. 解:(1)连结CD (2)以CB为一边作∠BCE,使得∠BCE=∠ACD (3)在射线CE上截取CB′=CB 则B′即为所求的B的对应点. (4)连结DB′ 则△DB′C就就是△ABC绕C点旋转后的图形.
中考数学几何图形旋转典型试题 一、填空题 1.（日照市）如图1，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于． 2．（成都市）如图2，将一块斜边长为12cm，∠B＝60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB 上，那么此三角板向右平移的距离是cm． 3.（连云港市）正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R 与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA顺时针 连续翻转（如图3所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径 的长为cm． 4.（泰州市）如图4，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝ 3，∠BCD＝45°，将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，则△ADE的面积是． 二、解答题 5.（资阳市）如图5-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F. (1) 求证：BP=DP； (2) 如图5-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明； (3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 . 6.（武汉市）如图6－1是一个美丽的风车图案，你知道它是怎样画出来的吗？按下列步骤可画出这个风车图案：在图6－2中，先画线段OA，将线段OA平移至CB处，得到风车
九年级数学：图形的旋转练习（含答案） 1．图形旋转的性质：图形经过旋转所得的图形与原图形________；对应点到旋转中心的距离________；任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于____________．2．圆既是一个轴对称图形，又是一个________对称图形． A组基础训练 1．下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是( ) 2．在图形旋转中，下列说法错误的是( ) A．图形上各点的旋转角度相同 B．对应点到旋转中心的距离相等 C．由旋转得到的图形也一定可以由平移得到 D．旋转不改变图形的大小、形状 3．如图所示的图形由四个相同的正方形组成，通过旋转不可能得到的图形是( ) 第3题图 4．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC ＝90°，则∠A的度数为( ) 第4题图
A ．45° B ．55° C ．65° D ．75° 5．下图中的各种变换分别属于平移、轴对称、旋转中的哪种图形变换(填空)? 第5题图 ①________ ②________ ③________ 6.如图，△ABC 经过旋转得到△A′B′C′，且∠AOB ＝25°，∠AOB ′＝20°，则线段OB 的对应线段是________；∠OAB 的对应角是________；旋转中心是________；旋转的角度是________． 第6题图 7．如图，下面的图案由三个叶片组成，绕点O 旋转120°后可以和自身重合．若每个．．叶片的面积为4cm 2，∠AOB 为120°，则图中阴影部分的面积之和为________cm 2. 第7题图 8.如图，直线y ＝－4 3x ＋4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针旋转 90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标为________． 第8题图 9．如图，在△ABC 和△AEF 中，∠B ＝∠E ，AB ＝AE ，BC ＝EF ，∠BAE ＝25°，∠F ＝60°.
第5讲图形的旋转和中心对称 图形的旋转和中心对称 1、旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某______沿着某个方向转动______的图形变换 叫做旋转．这个点O叫做______，转动的角叫做______．因此，图形的旋转是由______和______决定的． 2、中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转______，如果它能够与另一个图形______， 那么称这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做______，这两个图形中的对应点叫做关于中心的______． 3、旋转的特点：旋转的性质是对应点到旋转中心的______相等；对应点与旋转中心所连线 段的夹角等于______；旋转前、后的图形之间的关系是______． 4、中心对称的特点：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连______都经过______，而且被对称中心所______． (2)关于中心对称的两个图形是______． 5、中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转______，如果旋转后的图形能够与原来的 图形______，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的______．
1、旋转的定义和性质； 2、中心对称的定义和性质； 3、会画旋转后的图形和中心对称图形； 例1、下图中，不是旋转对称图形的是( )． 答案：B 解析：根据旋转的定义； 例2、有下列四个说法，其中正确说法的个数是( )． ①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心； ②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度； ③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等； ④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化 A．1个B．2个C．3个D．4个 答案：D 解析：利用旋转的特征； 例3、下列图形中，不是 ．．中心对称图形的是( )． A．圆B．菱形C．矩形D．等边三角形
- 1 - 3.2图形的旋转 一、基本知识 1、旋转的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。 2、旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。 2、旋转的三个要素：旋转中心、旋转的角度和旋转的方向。 3、旋转的性质（1）一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等。 （2）任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角。(3)对应线段相等；对应角相等。(4)旋转对应点之间的运动轨迹是一条弧。 5、旋转、平移、轴对称的异同。6、简单的旋转作图。 二、基础知识巩固与拓展 1、如图3.2.1，△ABC 绕O 点旋转后，顶点 A 的对应点为A 1，试确定旋转后的三角形。 2、如图3.2.2，P 为等边△ABC 内的一点，若将△PAB 绕点A 逆时针旋转到△P 1AC 的位置，则∠PAP 1的度数等于 度 。 3、如图3.2.3，P 为等边△ABC 内部一点，∠APB 、∠BPC 、∠CPA 的大小之比是5:6:7，将△APB 绕顶角A 逆时针旋转60°到△ACQ 的位置，且∠APQ=∠AQP=60°，则△PQC 的三个内角之比等于 。 4、从1点到1点25分，分针转过了 度；时针转过了 度；1点25分时刻时针与分针的夹角等于 度。 5、如图3.2.4，分别以正方形ABCD 的边AD 和DC 为直径画两个半圆交于点O 。若正方形的边长为10cm ，则阴影部分面积为 。 6、如图3.2.5，在直角△OAB 中，∠AOB=30°，将△AOB 绕点O 逆时针方向旋转100°得到△OA 1B 1，则∠A 1OB 等于 度。 7、如图3.2.6的正方形的面积为16，观察如下的操作并回答问题： （1）连对角线，把正方形分成2个三角形，如图1，则每个三角形的面积等于多少？ （2）再画另一条对角线，两对角线将正方形分成4个小三角形，如图2，则每个小三角形的面积是多少？这4个小三角形之间是什么关系？ （3）点O 为正方形的中心，将两条互相垂直于点O 的直线绕O 点旋转形成四个小四边形，如图3，这4个小四边形间有何关系？每一个四边形的面积是多少？ 3.3 中心对称 一、基本知识点 1、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称。（对称中心概念 2、中心对称是对两个图形来说的，它表示两个图形之间的对称性。 3、中心对称特征：（1）对应点所连的线段经过对称中心，且被对称中心平分；（2）成对称中心的两个图形，对应线段平行（或在一条直线上）且相等；（3）成中心对称的两个图形全等； 4、中心对称图形：（1）定义把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。 （2）任何一条经过对称中心的直线都把一个中心对称图形分成全等的两部分。 （3）中心对称图形上两对对应点连线的交点就是对称中心且对称中心是他们的公共中点。 5、旋转对称图形：把一个图形绕某一个点旋转一定角度后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形。（1）旋转对称图形不一定是中心对称图形。（2）旋转对称图形旋转的角度小于360°。（3）旋转对称图形满足的三个条件：①具有同一个旋转中心；②对应点到旋转中心的距离相等③相邻对应点与旋转中心的连线的夹角都相等。 二、知识巩固与拓展 1、如图3.3.1是4×4正方形网格，请在其中选择一个白色的正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形。 2、如图3.3.2，一个矩形内有任意一个圆，请你用一条直线同时 将圆和长方形的面积二等分，并说明作图的道理和方法。 3、如图3.3.3，在△ABC 中，AB=5，BC=4，AC=3，点O 在AC 的延长线上，且OC=4。 （1）试作出△ABC 关于点O 成中心对称的△A ′B ′C ′。 （2）连A ′B ，AB ′，四边形ABA ′B ′是中心对称图形吗？ （3）3）求四边形ABA ′B ′面积。 4、如图用6根一样长的小棒搭成如图3.3.4的图形，试移动AC,BC 这两根小棒，使6根小棒组成中心对称图形；若移动AC,DE 这两根，能不能也达到要求呢？（画出图形）。 5、一块方角形钢材如图3.3.5所示，请你用两种不同的方法用一条直线将其分为面积相等的 A B C O A 1 3.2.1图 A B C P P 1 3.2.2图 A B C Q P 3.2.3图 3.2.4图 A B C D O A B O B 1 A 1 3.2.5图 A B C D 1图 A B C D O 2图 O A B C D 3图 3.3.1图 3.3.2图 A B C O 3.3.3图 A B D C E 3.3.4 3.3.5图
图形的旋转（第1课时）教学设计 （九年级上册第二十三章23.1） 一、内容和内容解析 1．内容 旋转的概念和性质. 2．内容解析 旋转是一种图形变换，也是初中学段继平移和轴对称之后学习的第三种全等变换，它是研究中心对称的知识基础，也是探究旋转对称类图形（如圆）的必要准备. 本课是本章的起始课，重点探究旋转的概念和性质，是本章知识的核心，也是后续研究中心对称和坐标应用的关键. 旋转的概念突出了三要素，即旋转中心、旋转方向和旋转角，这三个要素是确保旋转的唯一性的必要条件，也是表述一个旋转过程的必要因素. 通过观察大量旋转的实例逐步抽象得出旋转的概念，这一过程是将对旋转的认识逐步理性化的过程，也是感受如何定义一种图形变换的过程. 旋转的性质是研究在图形变化前提下图形要素间的不变性，是研究图形变换的价值之所在. 正是因为图形在位置变化的过程中保持了形状和大小的不变，并因各自不同的变化而产生出要素间新的确定的关系，我们才能以此为基础去作图、证明或解决其他问题. 同为图形变换，旋转的性质与平移和轴对称的性质有相似之处，但这种相似更体现在性质的探究过程. 图形整体的变换过程是复杂的，可以先从研究图形上的特殊点（直线型的特殊点一般是其顶点）的变换过程出发，由点到形、由特殊到一般的去研究整体，并了解类似问题的基本研究套路. 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：旋转的性质.
二、目标和目标解析 1．目标 （1）通过观察具体实例认识旋转； （2）探索并掌握旋转的性质. 2．目标解析 达成目标（1）的标志是：能通过观察具体的旋转实例抽象出旋转三要素，会判断图形的变化是否为旋转，能指出图形旋转中的三要素，会利用三要素描述旋转. 达成目标（2）的标志是：经历作图、猜想、验证的探究过程，得到并理解旋转的性质，会利用旋转的性质发现旋转中的不变关系，会利用旋转的性质作一个图形经过旋转后的图形. 三、教学问题诊断分析 学生在小学初步认识了旋转，但仅限于图形的识别，没涉及几何要素间的定量分析. 学生也学习了平移、轴对称两种图形变换，具备研究图形变换的基本经验，知道只改变位置的图形变换是全等变换. 在平移和轴对称变换中，变换的途径更直观，对应量的关系更清楚，与之相比，旋转具有更强的抽象性. 学生在探究性质的过程中，或是应用性质的过程中，都会遇到不能发现旋转的途径，找不到对应量，不会确定旋转中心等问题. 针对学生可能遇到的问题，在本课的教学中应注意两点：一是通过大量的旋转实例展示，让学生通过不断地观察熟悉旋转，认识图形在不同的旋转中的相对位置，积累认知和判别经验；二是在实例的观察中，引导学生发现图形上的点的变换与图形的变换具有一致性，从而通过对点的研究发现形的性质.
1、旋转：将一个图形绕着某点O转动一个角度的变换叫做旋转。其中，O叫做旋转中心，转动的角度叫做 旋转角。 2、旋转性质: ①旋转后的图形与原图形全等 ②对应线段与O形成的角叫做旋转角 ③各旋转角都相等 3、平移：将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。 其中，该直线的方向叫做平移方向，该距离叫做平移距离。 4、平移性质 ①平移后的图形与原图形全等 ②两个图形的对应边连线的线段平行相等（等于平行距离） ③各组对应线段平行且相等 5、中心对称与中心对称图形 ①中心对称：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这个点对称或中心对称。其中，点O叫做对称中心、两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。 ②中心对称图形：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形。其中，这个点叫做该图形的对称中心。 6、轴对称与轴对称图形 (1)、轴对称：若两个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这两个图形关于这条轴对称或它们成轴对称。其中，这条轴叫做对称轴。 注：轴对称的性质：①两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分 （2）轴对称图形：若一个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形。 7、点的对称变换 （1）关于原点对称的点的特征:坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P＇（-x，-y）（2）关于x轴对称的点的特征:x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P＇（x，-y）（3）关于y轴对称的点的特征:y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P＇（-x，y）（4）关于直线y＝x对称:横坐标与纵坐标与之前对换，即：P（x，y）关于直线y＝x对称点为P＇（y，x）（5）两个点关于直线y＝-x对称时:横坐标与纵坐标与之前完全相反，即：P（x，y）关于直线y＝x的对称点为P＇（-y，-x） 注：y＝x的直线是过一三象限的角平分线，y＝-x的直线是过二四象限的角平分线。
图形的平移，对称与旋转的难题汇编含答案 一、选择题 1．直角坐标系内，点P(－2,3)关于原点的对称点Q的坐标为（） A．（2，－3）B．（2,3）C．（－2,3）D．（－2，－3）【答案】A 【解析】 试题解析：根据中心对称的性质，得点P（-2，3）关于原点对称点P′的坐标是（2，-3）． 故选A． 点睛：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）． 2．下列四个交通标志图中，是轴对称图形的是() A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】 A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选B． 【点睛】 .轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重本题考查了轴对称图形的概念 合． 3．下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是() A．圆B．菱形C．平行四边形D．等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可. 【详解】 A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确， 故选D． 【点睛】 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.辨别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；.辨别中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 4．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠ABC＝45°，∠ABC的平分线交AC于点D，点P，Q 分别是BD，AB上的动点，则AP+PQ的最小值为（） A．4 B．42C．2 D．22 【答案】D 【解析】 【分析】 作AH⊥BC于H，交BD于P′，作P′Q′⊥AB于Q′，此时AP′+P′Q′的值最小． 【详解】 作AH⊥BC于H，交BD于P′，作P′Q′⊥AB于Q′，此时AP′+P′Q′的值最小． ∵BD平分∠ABC，P′H⊥BC，P′Q′⊥AB， P′Q′=P′H， ∴AP′+P′Q′=AP′+P′H=AH， 根据垂线段最短可知，PA+PQ的最小值是线段AH的长， ∵AB=4，∠AHB=90°，∠ABH=45°， ∴2． 故选：D． 【点睛】 考查了轴对称-最短路线问题，解题关键是从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
《23.1图形的旋转》说课稿我今天说课的课题是人教版九级数学第23章《图形的旋转》第一节内容。现在我就本节课的地位及作用，学情分析、教学要求及目标、教法与学法指导、教学过程及教学设计六个方面加以说明： 一、教材的地位与作用 承前：图形的旋转是继平移、轴对称之后的又一种图形基本变换，是义务教育阶段数学课程标准中图形变换的一个重要组成部分。 教材从学生生活中观察到的一些现象出发，从实践到理论，再用理论检验实践，循序渐进地指导学生认识自然界和生活中具有旋转特点的事物，进而探索其性质，是培养学生思维能力、树立运动变化观点的良好素材。 启后：同时“图形的旋转”是一个重要的基础知识，隐含着重要的变换思想，通过本节课的学习，学生对图形变换的认识会更完整。它不仅为本章后续学习对称图形、中心对称图形做好准备，而且也为今后学习“圆”的知识内容做好铺垫。 二．学情分析 学生在学习本课之前已经学过了平移、轴对称这两种基本变换，有了一定的变换思想。对猜想、验证等数学活动也有一定感受，这些都为新课学习提供了必备的知识经验。首先，学生在日常的生活和学习中，对风车，钟表，车轮等旋转图形或事物并不陌生，积累了一定的生活经验和操作技能，其次，九年级学生已经有了一定的观察、抽象、分析、和概括能力，这是本节课开展探究活动的有利因素。再次，学生乐于亲身经历，在体验和探究中去学习。只是学生的探究能力、归纳概括能力仍相对薄弱，学习过程中，可能有一部分学生探究活动受阻，教师要适时加以点拨和指导。 三、教学目标 根据本节课教学内容的特点及学生的实际情况，将本节课教学目标确定如下： 知识目标 通过对生活中旋转现象的再认识，了解旋转变换也是图形的一种基本变换,理解图形旋转的有关概念;理解图形的旋转变换是由旋转中心、旋转角和旋转方向所决定的，探索和发现旋转图形的基本性质； 能力目标 通过对图形的旋转及其性质的探究学习，发展学生直观想象能力，以及分析、归纳、抽象概括的思维能力； 情感目标 在经历了实验探究、知识应用及内化等数学活动，体验具体、生动、灵活的数学学习过程，使学生充分感知数学美，培养学生学习数学的兴趣和热爱生活的情感；通过小组合作交流活动，培养学生合作学习的意识和研究探索的精神。
旋转图形与中心对称 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ● 通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质． ● 了解平行四边形、圆是中心对称图形． ● 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形． ● 欣赏旋转在现实生活中的应用． ● 探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合）． ● 灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计． 重点难点： ● 重点：理解旋转的有关定义、性质及应用；理解中心对称和中心对称图形的定义；根据条件画出已知图形关于某点为旋转中心的旋转图形或根据条件画出已知图形关于某点为对称中心的对称图形. ● 难点：画已知图形关于某点为旋转中心（或对称中心）的旋转图形（或对称图形）；运用旋转的定义和性质证明线段相等、角相等；判别一个图案是否为中心对称图形；利用图形变换设计美丽图案. 学习策略： ● “旋转”是在我们已学习了“平移”、“对称”之后，又出现的第三种图形变换，在学习中，综合运用“平移”、“对称”、“旋转”的定义和性质，将有助于我们对图形变换的认识，有助于我们分析、理解图案的形成过程，有助于我们树立数学审美观，提高对图案的审美水平. 二、学习与应用 （一）成轴对称的两个图形沿对称轴对折能够互相 ，因此，成轴对称的两个图形 . （二）平移前后的两个图形 . “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。 知识回顾---复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
23.1 图形的旋转(3) 第三课时 教学内容 选择不同的旋转中心或不同的旋转角，设计出不同的美丽的图案． 教学目标 理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果，掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案． 复习图形旋转的基本性质，着重强调旋转中心和旋转角然后应用已学的知识作图，设计出美丽的图案． 重难点、关键 1．重点：用旋转的有关知识画图． 2．难点与关键：根据需要设计美丽图案． 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 1．（学生活动）老师口问，学生口答． （1）各对应点到旋转中心的距离有何关系呢？ （2）各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系？ （3）两个图形是旋转前后的图形，它们全等吗？ 2．请同学独立完成下面的作图题． 如图，△AOB 绕O 点旋转后，G 点是B 点的对应点，作出 △AOB 旋转后的三角形． （老师点评）分析：要作出△AOB 旋转后的三角形，应找 出三方面：第一，旋转中心：O ；第二，旋转角：∠BOG ； 第三，A 点旋转后的对应点：A ′． 二、探索新知 从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究． 1．旋转中心不变，改变旋转角 画出以下图所示的四边形ABCD 以O 点为中心，旋转角分别为30°、60°的旋转图形． 2．旋转角不变，改变旋转中心 画出以下图，四边形ABCD 分别为O 、O 为中心，旋转角都为30?°的旋转图形．
因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变，改变旋转角与旋转角不变，改变旋转中心会产生不同的效果，所以，我们可以经过旋转设计出美丽的图案． 例1．如下图是菊花一叶和中心与圆圈，现以O?为旋转中心画出分别旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°的菊花图案． 分析：只要以O 为旋转中心、旋转角以上面为变化，?旋转长度为菊花 的最长OA ，按菊花叶的形状画出即可． 解：（1）连结OA （2）以O 点为圆心，OA 长为半径旋转45°，得A ． （3）依此类推画出旋转角分别为90°、135°、180°、225°、270 °、315°的A 、A 、A 、A 、A 、A ． （4）按菊花一叶图案画出各菊花一叶． 那么所画的图案就是绕O 点旋转后的图形． 例2．（学生活动）如图，如果上面的菊花一叶，绕下面 的点O ′为旋转中心，?请同学画出图案，它还是原来的菊花 吗？ 老师点评：显然，画出后的图案不是菊花，而是另外的一 种花了． 三、巩固练习 教材P65 练习． 四、应用拓展 例3．如图，如何作出该图案绕O 点按逆时针旋转90°的图形． 分析：该备案是一个比较复杂的图案，是作出几个复合图形 组成的图案，因此，要先画出图中的关键点，这些关键点往往是 图案里线的端点、角的顶点、圆的圆心等，然后再根据旋转的特 征，作出这些关键点的对应点，最后再按原图案作出旋转后的图 案． 解：（1）连结OA ，过O 点沿OA 逆时针作∠AOA ′=90°，在射线OA ′上截取OA ′=OA ； （2）用同样的方法分别求出B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 的对应点 B ′、 C ′、 D ′、 E ′、 F ′、 G ′、 H ′； （3）作出对应线段A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′E ′、E ′F ′、F ′A ′、A?′G ′、G ′D ′、D ′H ′、H ′A ′； （4）所作出的图案就是所求的图案． 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案； 2．作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，?要先求出图中的关键点──线的端点、
旋转、中心对称知识点总结 一、旋转 知识点一、旋转的定义 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 知识点二、旋转的性质 旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点： （1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 知识点三、利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） ③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；④接：即连接到所连接的各点。
二、中心对称 知识点一、中心对称的定义 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。 注意以下几点： 中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。 知识点二、作一个图形关于某点对称的图形 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。 知识点三、中心对称的性质 有以下几点： （1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分； （2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形； （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。 知识点四、中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 知识点五关于原点对称的点的坐标 在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。
旋 转 姓名 方程根与系数的关系 例1：设关于x 的方程ax 2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2， 那么实数a 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 变：设关于x 的方程ax 2+（a-1）x+1=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，且x 1＜2＜x 2， 那么实数a 的取值范围是 变：关于x 的方程04 1)2(2=+-+x a ax ，有两个不相等实数根x 1、x 2，且211x x <-<，那么实数a 的取值范围 例2：已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+1）x+m 2 ﹣4=0 （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m 的值． 变：已知关于x 的方程a 2x 2+（2a ﹣1）x+1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求a 的取值范围； （2）是否存在实数a ，使方程的两个实数根互为相反数如果存在，求出a 的值； 如果不存在，说明理由． 函数： 已知：如图，一次函数y=x+1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y=x 2+bx+c 的图象与一次函数y=x+1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点，且D 点坐标为（1，0）． （1）求二次函数的表达式及C 点的坐标； （2）观察图象，直接写出下面小题的答案：不等式x 2+bx+c ＞x+1的解集为 ； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得PC+PE 的值最小？若存在，求出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由． （4）求BCE ?的面积并在抛物线上找点Q 使的BCE ?和BCQ ?的面积相等
新修订初中阶段原创精品配套教材 图形的旋转(优质课教案)教材定制 / 提高课堂效率 /内容可修改 Rotation of graphics (quality lesson plans) 教师：风老师 风顺第二中学 编订：FoonShion教育
图形的旋转(优质课教案) 一、教学任务分析 数 学 目 标 知识技能让学生通过欣赏、观察、操作图形的旋转变换，了解旋转中的一些概念及探究它的基本特征。 数学思考能在观察图片资料和图片现象中发现事物的内在本质。 情感态度通过对生活中的旋转现象有关图形进行观察分析、欣赏等过程，培养初步的审美能力，增强对图形的欣赏意识，培养学生合作学习、探索学习的意识。 解决问题能在观察图片资料和旋转实验中得出数学结论，初步从奇妙的图形中体会所隐含的数学道理。 重点熟悉旋转中的一些概念，以及通过实验，探索出中心旋转的基本特征。
难点通过观察、实验、发现旋转的基本特征，根据旋转图形找对应点。二、教学流程安排 活动流程图 活动内容和目的活动1感受生活情境观察物体转动活动2再赏物体图形学习旋转概念活动3结合生活实例再度熟悉概念活动4类比脚印特点探究旋转特征活动5改编例题教学运用也分散难点活动6我的地盘我作主思维天空任我游活动7作业布置课堂总结从文字游戏中，体会物体的旋转，激发学生学习热情，形成“旋转”表象认识。比划观察到的物体怎样运动？引导发现物体转动的共性，学习旋转中的一些概念。从教师列举(或学生自行举出)的生活实例中，说出其中的旋转概念，加深对旋转概念的感知、理解。从脚印特点中，学生动手操作实验、探究出旋转的基本特征。学生从教师改编的例题中寻找相等的量，进一步理解旋转的基本特征，为后一节课学习作准备。精心设置一些由易到难的综合性习题，学生思考完成、巩固知识，让不同学生得到不同的发展。归纳总结，通过课外作业为下节课内容教学打下伏笔，激发学生的探究精神和学习兴趣。三、教学过程设计 问题与情境 师生行为 设计意图[活动1]1、给出词语，限时编成情境。