位育中学高三期中数学试卷
2020.11
一. 填空题
1. 设集合{|12}A x x =-≤≤，{|04}B x x =≤≤，则A B =
2. 计算：1
lim
31
n n n →∞-+=-
3. 已知复数z
i =，i 为虚数单位，则z = 4. 已知函数3y x =，则此函数的反函数是
5. 已知x 、y 满足202300x y x y y +-≥??
+-≤??≥?，则2z y x =-的最大值为
6. 已知行列式129300
a b
c d =，则a b
c d
=
7. 某单位现有职工52人，将所有职工编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本， 已知6号、32号、45号职工在样本中，则另一个在样本中的职工编号为 8. 已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和记为n S ，若233a a +=，343
2
a a +=
，则 lim n n S →∞
=
9. 在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项， 则每个项目都有该校教师参加的概率为 （结果用数值表示）
10. 已知1F 、2F
是椭圆22
2:1(3
x y C a a +
=>的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60° 的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212||||MF MF MF MF +=-，则椭圆C 的长轴长为
11. 已知点M 、N 在以AB 为直径的圆上，若5AB =，3AM =，2BN =，则AB MN ?=
12. 已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，2PA AB BC CA ====
，PB =点D 为
BC
的中点，且PD =O 的体积为
二. 选择题
13. 下列不等式恒成立的是（ ）
A. 222a b ab +≤
B. 222a b ab +≥-
C. 22a b +≥
D. 22a b +≥-
14. 若函数()sin cos f x x a x =+的图像关于直线4
x π
=对称，则a 的值为（ ）
A. 1
B. 1-
C.
3 D. 3-
15. 对于函数1(1)()2
n
f n +-=（*n ∈N ），我们可以发现()f n 有许多性质，如：(2)1f k =
（*k ∈N ）等，下列关于()f n 的性质中一定成立的是（ ）
A. (1)()1f n f n +-=
B. ()()f n k f n +=（*k ∈N ）
C. ()(1)()f n f n f n αα=++（0α≠）
D. (1)(1)()f n f n ααα+=-+（0α≠） 16. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x x =，
若函数()()g x f x x m =--有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ）
A. 11
(,)44- B. (12,21)-- C. 11
(4,4)()44
k k k -+∈Z D. (412,421)()k k k +-+-∈Z
三. 解答题
17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=?，22AB AC ==，D 是AB 的中点. （1）若三棱柱111ABC A B C -的体积为33，求三棱柱111ABC A B C -的高； （2）若12C C =，求二面角111D B C A --的大小.
18. 已知函数4
()31
x
f x a =-
+（a 为实常数）. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；
（2）当()f x 为奇函数时，对任意的[1,5]x ∈，不等式()3
x u
f x ≥恒成立， 求实数u 的最大值.
19. 某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为503米、圆心为60°的扇形
OAB 草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗为矩形，其四个顶
点中有两个顶点M N 、在线段OB 上，另两个顶点P 、Q 分别在弧AB 、线段OA 上. （1）若组成的红旗是长PN 与宽MN 的长度比为3：2的国旗图案，求此国旗的面积； （2）求组成的红旗图案的最大面积.
20. 已知抛物线22(0)y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点(,0)(0)T t t >且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点. （1）求抛物线方程；
（2）证明：OA OB ?的值与直线l 倾斜角的大小无关；
（3）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.
21. 设数列{}n a 的各项都是正数，若对于任意的正整数m ，存在k ∈*N ，使得m a 、m k a +、
2m k a +成等比数列，则称数列{}n a 为“k D 型”数列.
（1）若{}n a 是“1D 型”数列，且11a =，31
4
a =
，求12lim()n n a a a →∞++???+的值；
（2）若{}n a 是“2D 型”数列，且1231a a a ===，88a =，求{}n a 的前n 项和n S ； （3）若{}n a 既是“2D 型”数列，又是“3D 型”数列，求证：数列{}n a 是等比数列.
参考答案
一. 填空题
1. {|02}x x ≤≤
2. 1
3
- 3. 12i -
4. y =
5. 3
6. 3
7. 19
8. 8
9. 4
9
10. 11. 12
12.
二. 选择题
13. B 14. A 15. C 16. C
三. 解答题
17.（1）6；（2
）. 18.（1）()f x 是奇函数；（2）max 3u =. 19.（1
2m ；（2
）2
.
20.（1）2
4y x =；（2）证明略；（3
）2()02t d t t t ?≥?=?<
.
21.（1）2；（2）212222
122n n n n n S n n -?-+??=?-?+??
为偶数为奇数；（3）证明略.