高等数学(同济第六版)上册 期末复习题(含答案)

※高等数学上册期末复习

一.填空题

1.=-→x

x

e x x 2sin 2cos lim

30 23 2.曲线x xe y -=的拐点是 )2,2(2-e 3.设)(x f 在0=x 处可导且,0)0(=f 则=→x

x f x )

(lim

)0(f ' 4.曲线x x y +-=

22cos 1在)2

1,2(π

π+处的切线方程为 1y x =+ 5.曲线1

22

-=x x y 有垂直渐近线 1±=x 和水平渐近线 1=y

6.设)(u f 可导，)]([sin 2x e f y =，则=dy dx e e f e f x x x ?'?)()]([2sin

#7.=?dx e x 4

0 )1(22+e

8.若3)(0-='x f ，则=--+→h

h x f h x f h )

3()(lim

000

12-

9.若

dx x p ?

+∞

1

收敛，则p 的范围是 1-

#10.=+++∞

→1

)1

232(lim x x x x e 11.设

?+=c x F dx x f )()(，则?=dx x f )2(

c x F +)2(2

1

#12.设)(x f 的一个原函数是x x ln ，则?=dx x xf )( c x x x ++ln 2

42

2

13.设???≤>=0

,0,)(2x x x x x f ，则?-=11)(dx x f 61

-

#14.过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程为 12+=x y

15.已知函数?????=≠=0

,0

,sin )(x a x x x

x f ，则当→x ∞时，函数)(x f 是无穷小；当

=a 1时，函数)(x f 在0=x 处连续，否则0=x 为函数的第 （一）类间断点。 16.已知

?+=c x F dx x f )()(，则?

=-dx x f x

)(arcsin 112

c x F +)(arcsin

17.当0→x 时，1)1(3

12-+ax 与x cos 1-是等价无穷小，则=a

2

3 #18.?

?

???=≠=?0,0,sin )(3

03x a x x dt

t t x f x 是连续函数，则=a 1 19.)(x f 在]1,0[上连续，且1)]([,0)1(1

2

==?

dx x f f ，则

='?1

)()(dx x f x xf 2

1

- 提示：

=

'?

1

)()(dx x f x xf ??-=1

10

2

1

))(()()()()(x xf d x f x xf

x df x xf

???'--='+-=10

10

21

)()()()]()()[(dx x f x xf dx x f dx x f x x f x f ，移项便得。

#20.dx xe x x

x ?=Φ02

)(，则=Φ)1( )1(2

1

-e ，=Φ')1( e

21.x

dx x df 1

)(2=，则=')(x f x 21

提示：222

21)(12)(x

x f x x x f ='?=

?' 22.曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线平行于直线13+=x y ，则=')2(f 3

#23.设x x f arctan )(=，则,00>x =-+→x x f x x f x )()(lim

000

)

1(21

00x x +

24.33

ln

2-+=x

x y 的水平渐近线是 3-=y 25.函数x

x y =的导数为 )1(ln +x x x

26.

=?

+∞

-dx xe x 02

2

1 #27.=++?-dx x

x

x x )1sin (2

21

1 1 28.广义积分

=?

+∞

dx x 1

31 2

1 29.x )x (f =的积分曲线中过)21,1(-的那条曲线的方程 ______

12

x 2

- #30.设s 为曲线x x y ln =与e x x ==,1及x 轴所围成的面积，则=s )1(4

1

2+e

31.

?

='dx x f )2(

c x f +)2(2

1

32.曲线)1ln(x e y -=的全部渐近线为 e

x x y 1,0,1=

== #33.曲线2x y =与x y =2所围图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体体积

π10

3 34.点)1,1,0(到平面0222=+-+z y x 的距离为

3

5 35.设向量k j i b k j i a

λ+-=+-=24,2，则当=λ 10-时，b a ⊥；当=λ

b a //,2。

本题不作要求36.空间曲线?

??+==++)(31

2

22222y x z z y x 在xoy 平面上的投影曲线方程为 ?????==

+0

4122z y x 37.设3),(,2,5π===b a b a ，则=-b a

32 192

38.设向量}5,4,3{},2,1,2{-=-=b a

，则a 在b 上的投影为 22

39.已知向量k j i m a

-+=5和向量k n j i b ++=3共线，则=m =n ,15 5

1-

40.设平行四边形二边为向量}3,1,2{},1,3,1{-=-=b a

，则其面积为 103

41.设点142),5,0,4(=B A A ，向量B A 的方向余弦为14

1

cos ,143cos ==βα， 14

2

cos -

=γ，则B 点坐标为 )1,2,10( 本题不作要求42.曲线?

??==+012

2322z y x 绕y 轴旋转一周所得的旋转曲面方程为

12233222=++y z x

43.设,3,2==b a 且b a //，则=?b a =?±b a

,6 0

44.设?-+??

?

??>=<+=022dx )1x (f ,0

x ,x 0x ,00

x ,1x )x (f = 56

#45.='-=?)x (,dt )t x (sin )x (x

0φφ sin x

二.选择题

1.设2005)1(lim =-+∞→β

βα

n n n n ，则βα,的值为（ ） C

20051,

2004.-A 20052004,20051.-B 20051,20052004.-C 2005

1

,20052004.-D

#2.设?????≤<-<<=0

1,1

0,1cos )(2

x x x x

x x f ，在0=x 处( ) A .A 连续，不可导 .B 连续，可导 .C 可导，导数不连续 .D 为间断点 3.曲线x y sin 2

+=

π

在0=x 处的切线与x 轴正方向的夹角为（ ） B

2.

πA 4

.π

B 0.

C 1.

D 4.设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，0)1(,1)0(==f f ，则至少存在一点)1,0(∈ξ，有 A ()(),

F x x f x R o l l e =设利用定理

ξ

ξξ)

()(.f f A -

=' .B ξ

ξξ)

()(f f =

' .C ξξξ)

()(f f '-

= .D ξ

ξξ)

()(f f '=

#5.若032<-b a ，则0)(23=+++=c bx ax x x f （ ） B

.A 无实根 .B 有唯一实根 .C 三个单实根 .D 重根

#6.函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则（ ） D

0)(.0='x f A 0)(.0<''x f B .C 0)(0='x f 0)(,0<''x f .D 0)(0='x f 或不存在

7.设)(x f 的导函数为x sin ，则)(x f 的一个原函数为（ ） D

x A sin 1.+ x x B s i n .+ x C c o s 1.+ x x D sin .-

#8.设t t f cos )(ln =,则='?

dt t f t f t )

()

(（ ） A c t t t A +-sin cos . c t t t B +-c o s s i n . c t t t C ++)s i n (c o s . c t t D +s i n

. 9.设)(x f 连续，?

=

2

2)()(x dt t f x F ，则=')(x F （ ） C

)(.4x f A )(.42x f x B )(2.4x xf C )(2.2x xf D

10.下列广义积分收敛的是（ ） C

dx x x A e

?

+∞

ln . dx x x B e ?+∞ln 1. dx x x C e ?+∞2)(ln 1. dx x

x D e ?+∞ln 1

.

#11.广义积分=+?+∞

-0

x

x e e dx

（ ） C

2.

πA π.B 4

.π

C .

D 发散 12.下列函数中在区间]3,0[上不满足拉格朗日定理条件的是（ ） C

12.2

++x x A )1c o s (.x B + )

1(.22x x C - )1ln(.x C +

13.求由曲线x y ln =,直线)0(ln ,ln ,0>>===a b b y a y x 所围图形的面积为（ ）C

b a A -. 22.a b B - a b C -. a b D +.

#14.若c e dx e x f x

x

+=-

-

?11

)(，则=)(x f （ ） B

x A 1.-

21.x B x

C 1. 21.x

D -

15.点)1,2,3(-M 关于坐标原点的对称点是（ ） A

)1,2,3.(--A )1,2,3.(---B )1,2,3.(--C )1,2,3.(-D 16.向量b a

?与向量a 的位置关系是（ ） C

.A 共面 .B 平行 .C 垂直 .D 斜交

17.设平面方程为0=++D Cz Ax ，其中D C A ,,均不为零，则平面（ ） B

.A 平行于x 轴 .B 平行于y 轴 .C 经过x 轴 .D 经过y 轴

18.设直线方程为?

?

?=+=+++00

221111D y B D z C y B x A 且0,,,,,221111≠D B D C B A ，则直线（ ）C

.A 过原点 .B 平行于x 轴 .C 垂直于y 轴 .D 平行于z 轴

19.直线

3

7423z

y x =-+=-+和平面3224=--z y x 的位置关系为（ ） C .A 斜交 .B 垂直 .C 平行 .D 直线在平面上

20.已知1)()

()(lim

2

-=--→a x a f x f a

x ，则在a x =处 （B ）

A .)(x f 导数存在且0)(≠'a f

B .)(x f 取极大值

C .)(x f 取极小值

D .)(x f 导数不存在

三.计算题

#1.)1sin cos ln (lim 220x x x x x +→ 21- # 2.41

cos 0ln lim x tdt t x

x ?→ 81- 3.)11(lim 2

2--+∞

→x x x 0 4. x

x x 1

)(cos lim +

→ 2

1-

e

#5. 2

tan )1(lim 1

x

x x π-→

π

2

6. 求x

x x x x ln 1

lim 0-+→=1

解：一）原式1lim lim 1ln )ln 1(lim 0

ln 000====++=+

++→→→e e x x x x x x x x x x x ， 二）原式0,ln ~1,0ln lim ,ln 1

lim ln 0ln 0→-∴=-=+

+→→x x x e x x x x e x x x x x x 1=。

7.设)(x f 为连续函数，计算?

-→x a a x dt t f a x x )(lim 2 )(2

a f a 8.?

dx x )sin(ln c x x x

+-)]cos(ln )[sin(ln 2

9.

dx x ?

+π

2cos 1 22 10.dx x a x a 220

2-?

4

16

a π 11.设x

x y cos )

(sin =，求y ' ()]sin cos sin ln sin [)

(sin 2cos x

x

x x x x

+-

#12.设0cos 2

0ln 0=+??x y

t

tdt dt e ，求dy dx x x 2cos 2-

13.设)(x f '在]1,0[上连续，求积分

dx x x f x x f ]sin

)(cos cos )(cos [22

2

?-'-π

π

提示：原式??-

-+=

22

22

)(cos sin cos )(cos π

ππ

πx xdf xdx x f

??-

-

-

-+=22

22

22

cos )(cos )(cos sin cos )(cos π

ππ

ππ

πxdx x f x xf xdx x f )0(2f =

14.

dx x x x ?+--84132 c x x x +-++-2

2a r c t a n 2584ln 232

15.设??

?-=-=)

1()(3t

e f y t f x π，其中f 可导，且0)0(≠'f ，求0=t dx dy

3

#16.dx x x ?

-2

3

2)

1(arcsin c x x x x +-+-?22

1ln 1arcsin

17.

dx x x ?

-π

42sin sin

提示：原式1cos sin cos sin 0

22===??

dx x x dx x x π

π

18.

dx x ?

-2

2)

1(1 发散 19.dx e x

?-2ln 01 )41(2π- 20.?-12x x dx

c x +1arccos 21.xdx x 4

22

3cos )4(+?-π

π π23 22.dx x x

?3ln 21ln (3)2x c + 23.dx e x x 22ln 03-?? 11ln 242

-+

#24.?

+)

1(2x x e e dx arctan x x

e e c ---+ 25.dx 2x 12x 1?-+ 26.设x 1)e (

f x +='，求)x (f ln x x c =+ 27.dx cosx x 35?

3

331sin cos 3

x x x c =

++ 28.

dx x 1x arcsinx

2

2

?

-arcsin ln x c =-+

29.

?

--+1x 1x dx 33

2

21[(1)(1)]3

x x c =++-+

#30.?

+)

x 1(x dx

10

101ln ln 110x x c =-++ #31.已知)(x f 的一个原函数为lnx )sinx 1(+，求?'dx )x (f x

cos ln 1sin (1sin )ln x x x x x x =++-+

32.dx x 1x

1xln

?

+-211ln (1)21x x x c x

-=+-++ #33.dx x

)

1x (ln ?

+1)x c =+- #34.dx e e e x x x ?

+20

cos sin sin π

2π= 35.dx x

a x a ?-+0221

4π= 本题不作要求36.已知)x (?为连续函数，令

?

?

??

?=≠+-=??0x ,00x ,)x 1(ln dt

]du )u ()1t [()x (f 2x 0

t 02

?试讨论)(x f 在0=x 处的连续性与可微性。 连续，可微

#37.设)(x f 在]1,0[上可导，且满足?=21

dx )x (xf 2)1(f ，证必存在一点)1,0(∈ξ，使

ξ

ξξ)

(f )(f -

='。提示：利用积分中值定理和R o l l e 定理

#38.设)(x f 在]1,0[上连续，单调减且取正值，证：对于满足10<<<βα的任何βα,有

??>β

α

ααβdx )x (f dx )x (f 0

。

00

()()()()()()()()f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx αββαβ

αβα

βα

β

βαββαββα-=+-=+-?

???????提示：

39.设)(x f 在),0[+∞上连续，单调不减且0)0(f ≥，试证：

?????=>=?0x 0,0

x dt,)t (f t x 1)x (F x 0

n 在),0[+∞上连续且单调不减。（0>n ） 40.dx )e 1(xln 11x

?-+ 13=

1

111

221

1

1

1

(ln(1)[ln(1)]ln(1)x t

t x x t e dt x e x dx x e dx x dx =------=

-+=-++=-++?

???原

#41.设dt e )x (f 2

2

x 1t ?-=，求?1

0dx )x (xf 。11

(1)4

e -=-

42.dt x t t ?-10

11

321123x t x x t x ?->????-≤?? 43.)(,b a dx x b a

2

2

b a x a b x ?->???-?

44.设)(x f 在),(+∞-∞上连续，且对)()()(,,y f x f y x f y x +=+?，求

dx x f x ?

-+1

1

2)()1(

()f x 提示：为奇函数

#45.dx e x I x ?--+=4

4

21sin π

π

2222222

2244

sin sin sin (11)sin (),()1111sin 1sin sin ()()sin 121sin 2x x x x x

x x x x e x e x

f x f x e e e e x x x f x f x x

e xdx π

π-------+-=-===++++=-=-=+==

?提示：原 46.3

1sin lim

60

02

=

??

→x x t x e x tdt

te

47.设向量}2,1,2{},3,2,1{},1,3,2{=-=-=c b a ，

向量r 满足b r a r ⊥⊥,，且14Pr =r j c 求向量r

。 {14,10,2}

48.1）求过z 轴和点)2,1,3(--的平面方程， 03=+y x 2）求过三点)0,6,0(),4,3,2(),0,3,2(R Q P --的平面方程。 012623=-++z y x 49.求过点)3,2,1(),1,1,2(Q P --且垂直于平面06532=+-+z y x 的平面方程。

01639=-+-z y x

50.求过点)2,1,3(-A 且通过直线1

2354:

z

y x L =+=-的平面方程。0592298=---z y x 51.求与平面0522=+++z y x 平行且与三坐标所构成的四面体体积为1的平面方程。

032223=-++z y x

52.求过点)0,4,2(M 且与直线??

?=--=-+0

230

12:z y z x L 平行的直线方程。

1

3422z

y x =-=-- 53.求点)0,2,1(-A 在平面012=+-+z y x 上的投影。 )3

2

,32,35(- 54.求过直线??

?=+-=++0

405:z x z y x L 且与平面01284=+--z y x 成4π

角的平面方程。

012720=-++z y x

本题不作要求55.若动点到坐标原点的距离等于它到平面4=z 的距离，该动点轨迹表示何种曲面？ 1682

2

=++z y x 旋转曲面

四.列表讨论函数x

e x y -?=的单调区间、极值及曲线的凹凸区间、拐点、渐近线。

#五.设??

???><≤≤=ππ

orx x x x x f 0,00,sin 21)(，求?=Φx dt t f x 0

)()(在),(+∞-∞内的表达式。

??

???>≤≤--<==Φ?ππx x x x dt t f x x ,10),1(cos 2

1

0,0)()(0

六.设)(x f 在),(+∞-∞内连续，证明)()()()(0a f x f dt t f t x dx

d x

-='-?。 七..设20,,0,2:;0,2,,2:2221<<=======a a x y x y D y x a x x y D 1.试求1D 绕x 轴旋转得旋转体体积1V ；2D 绕y 轴旋转得旋转体体积2V ； 2.问当a 为何值时+1V 2V 得最大值？并求该最值。

)32(5451a V -=π，42a V π=，1=a ，+1(V π5

129

)max 2=V

八.已知x x x f 22tan 2cos )(sin +='，求)(x f 。

提示：u

u

u u f x x x x f -+-='?-+-='121)(sin 1sin sin 21)(sin 222

2

，

c x x x f +--=1ln )(2

九.设c y =与2

2x x y -=相交于第一象限（如图）。

1.求使得两个阴影区域面积相等的常数c ；

2.在1的情况下，求区域I 绕x 轴旋转的旋转体体积。

提示：III II III I II I s s s s ++=?=，

20

2

03

1)2(b b c dx x x cdx b

b

-=?-=??，又22b b c -=， 43,23==?c b ,2

3,212432

12==??????

-==

x x x x y y ， π240

41

=

V 。 #十.设?-=π

0cos )()(xdx x f x x f ，证：πππ

22

)(2

0+=

?dx x f 。

提示：设

A xdx x f =?

π

cos )(，2-=A

十一.设直线b ax y +=与直线1,0==x x 及0=y 所围成的梯形面积为A ，求b a ,，使这块面积绕x 轴旋转所得体积最小。)0,0(≥≥b a

提示：b a dx b ax A b ab a dx b ax V +=+=++=+=??2

)(),3()(102

21

02

ππ，

A b a ==,0时，体积最小

#十二.求抛物线12+-=x y 在)1,0(内的一条切线，使它与两坐标轴和抛物线12+-=x y 所

围图形的面积最小。

提示：切线)1,0(),0,21

(),(2)1(222

++--=+--x B x

x A x X x x Y ， 3

3

0)()1(2)1(2110222=

?='?+--+=?x x s dx x x x s ， 所求切线为3

4

332+-=x y 十三.求通过直线

3

122+=+=z y x 与平面15=++z y x 的交点，且与平面 05432=++-z y x 垂直相交的直线方程。 4

7

3424+=-+=+z y x 十四.证明011302

=+--?x x dx

x 在区间)1,0(内有唯一的实根。 提示：令0)1()0(113)(02

x x F x ，再证唯一性。 本题不作要求 十五.设)(x f 可导，且dt t x f t x F f n n x

n )()(,0)0(0

1-=

=?

-，证：

)0(21

)(lim

20

f n

x x F n

x '=→ 010

11()()()()n n n

n x t u

x x n n

n

x F x t

f x t dt f u du f u du n n -=-=-=-=???提示：

十六.设)x (f ,0x ≥满足

?

+=)

x 1(x 0

2,x dx )x (f 求)2(f 。2x (1x)

f (x)dx x ,+=?

提示：对求导

十七.证：)x (f ,dx )x (xf 21dx )x (f x 2a 0

2

a

03

??=连续，0>a ，并求dx )x (sin x 2

203?π

。

2

2

3

2

222

0011()()()122x t a

a a x f x dx x f x dx t f t dt

===?

??所求值为

十八.求dt e )t 2()x (f 2

x 0

t ?

--=

的最大、小值。21,1e -+最小值为最大值为

十九.已知,5)2(f ,3)2(f ,1)0(f ='==求

?''1

dx )2x (f x 。2=

二十.已知

,2dx x sinx 0

π

=?

∞

+求dx x x sin 02

2

?∞+。2π=

21

x

提示：用分部积分，先将

凑入微分 二十一.设dt e )x (f 2

2

x 1

t ?

-=,求?1

dx )x (xf 。41同题

二十二.0,x dt,t 1lnt )x (f x

1

>+=?

求)x 1

(f )x (f +。21(ln )2

x = 二十三.1)设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且1)x (f 0,0)0(f ≤'≤=，证：

dx )x (f )dx )x (f (1

310

2??≥。

()1f x ≤提示：可利用已知条件知

2)设],[)(b a C x f ∈，证：dx x f a b dx x f b

a

b

a

)()())((

22

??

-≤。

提示：

2

2()(())()()(,)

'()0

x

x a

a

F x f t dt x a f t dt

x a b F x =--∈?

#3)设],[)(b a C x f ∈，且0)(>x f ，证：2)()

(1

)(a b dx x f dx x f b

a

b a -≥??? 2

1

()()()'()()

x

x

a a

F x f t dt dt x a F x f t =--???

提示：设

4) 设],[)(b a C x f ∈,且严格单调增加，证：??

<+b

a

b

a

dx x xf dx x f b a )(2)()

(。

()2()()()'()x

x

a

a

F x tf t dt a x f t dt F x =-+???提示：设

5) 设)(x f 在],[b a 上可导，且0)(,)(=≤'a f M x f ，证：

2

)(2

)(a b M dx x f b

a

-≤

?。 [,],()()'()()(,)

()'()()b

b

a

a

x a b f x f a f x a a x f x dx f x a dx ξξξ∈-=-∈=-=

?

?提示：有微分中值定理：

二十四. 设)(x f 在],0[π上连续，在),0(π内可导，且

0sin )(cos )(0

==??

π

π

xdx x f xdx x f ，证明：?一个),0(πξ∈，使得0)(='ξf 。

证：在),0(π内0sin >x ，由0sin )(0

=?π

xdx x f 可知，)(x f 在),0(π内不能恒正或负，

由于)(x f 的连续性可知)(x f 在),0(π内必有零点。若能证明零点有两个以上，则可由罗尔定理可得证。

反证：若),0(0π∈x 是)(x f 的唯一零点，则当0x x ≠,

)()sin(0x f x x -就恒正或负，于是

0)()sin(00

≠-?

dx x f x x π

，

而

dx x f x x x x dx x f x x )()sin cos cos (sin )()sin(00

000

-=-??

π

π

0)(cos sin )(sin cos 0

00=-=??π

πdx x xf x dx x xf x ，矛盾，

所以)(x f 在),0(π内至少有两个零点，由罗尔定理便得证。

(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)

福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。

二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则

(完整版)同济大学___高数上册知识点

高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+=

)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 4、空间平面 5、空间旋转面（柱面）

第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间

高等数学同济第七版上册课后答案

习题1-10 1.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1, 2)内至少有一点ξ(1<ξ<2),使f(ξ)=0,即x=ξ是方程x5-3x=1的介于1和2之间的根. 因此方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 2.证明方程x=a sin x+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b. 证明设f(x)=a sin x+b-x,则f(x)是[0,a+b]上的连续函数. f(0)=b,f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0. 若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根; 若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使f(ξ)=0,这说明x=ξ也是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根. 总之,方程x=a sin x+b至少有一个正根,并且它不超过a+b. 3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有 |f(x)-f(y)|≤L|x-y|,其中L为正常数,且f(a)?f(b)<0.证明:至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0. .

. 证明 设x 0为(a , b )内任意一点. 因为 0||lim |)()(|lim 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(lim 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a

高等数学(同济第七版)(上册)_知识点总结

高等数学 (同济第七版 )上册 -知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1. 两个无穷小的比较 设 lim f (x) 0,lim g(x) 0且 lim 1) l = 0 ，称f (x) 是比g(x) 高 阶的无穷小，记以 f (x) = 0[ g(x) ] ，称g(x) 是比 f(x) 低阶的无穷小。 (2)l ≠ 0，称f (x) 与g(x) 是同阶无穷小。 (3)l = 1 ，称f (x) 与g(x) 是等价无穷小，记以 f (x) ~ g(x) 2. 常见的等价无穷小 当 x →0时 sin x ~ x ， tan x ~ x ， arcsin x ~ x ， arccosx ~ x ， 1- cos x ~ x^2/2 ， e x -1 ~ x ，ln(1 x) ~ x ，(1 x) 1~ x 求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2. (夹逼定理)设 g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) 若 lim g(x) A,lim h(x) A ，则 lim f (x) A 2．两个重要公式 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当 x 0 时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 23 e x 1 x x x 2! 3! 35 xx sinx x ... ( 1) 3! 5! (2n 1)! g f ((x x )) l 公式 1 sin x 公式 2 l im(1 x) n x n! o(x n ) 2n 1 n x 2n 1 n o(x 2n 1)

2 4 2n x x n x 2n cosx 1 ... ( 1)n o(x 2n ) 2! 4! 2n! 2 3 n ln(1 x) x x x ... ( 1)n 1 x o(x n ) 2 3 n ( 1) 2 ( 1)...( (n 1)) n n (1 x) 1 x x 2 ... x n o(x n ) 2! n! 3 5 2n 1 x x n 1 x 2n 1 arctan x x ... ( 1) o(x ) 3 5 2n 1 5．洛必达法则 定理 1 设函数 f (x) 、 F ( x)满足下列条件： (1) lim f(x) 0， lim F(x) 0； x x 0 x x 0 (2) f(x)与 F(x)在 x 0的某一去心邻域内可导，且 F (x) 0； (3) lim f (x) 存在(或为无穷大) ，则lim f(x) lim f (x) x x 0 F (x) x x 0 F(x) x x 0 F (x) 这个定理说明：当 lim f (x) 存在时， lim f (x) 也存在且等于 lim f (x) ；当 x x0 F (x) x x0 F(x) x x0 F (x) lim f (x) 为无穷大时， lim f(x) 也是无穷大． x x 0 F (x) x x 0 F(x) 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值 的方法称为洛必达( LH ospital )法则 . 型未定式 定理 2 设函数 f (x) 、 F(x)满足下列条件： 注：上述关于 x x 0时未定式 型的洛必达法则，对于 x 时未定式 型 同样适用． 使用洛必达法则时必须注意以下几点： (1)洛必达法则只能适用于“ 0 ” 和“ ”型的未定式，其它的未定式须 0 先化简变形成“ 0 ”或“ ”型才能运用该法则； (2)只要条件具备，可以连续应用洛必达法则； (3) 洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不 能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限 基本公式 li x m 0 f (x 0 x) f(x 0) f '( x 0 ) (如果存在) 7. 利用定积分定义求极限 基本格式 lim 1 f(k ) f (x)dx (如果存在) n n k 1 n 0 1) 2) 3) lim f(x) ， lim F(x) ； x x 0 x x 0 f(x)与 F(x)在 x 0的某一去心邻域内可导，且 F (x) 0； F f ((x x )) 存在(或为无穷大)，则 x lim x 0 f (x) F(x) lim f (x) x x 0 F (x)