2013年湖南怀化市初中毕业学业考试试题卷
数学
温馨提示：
（1）本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为120分钟，满分120分． （2）请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上． （3）请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效．
一、选择题（每小题3分，共24分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）
1．（2013湖南怀化，1，3分）已知m ＝1，n ＝0，则代数式m ＋n 的值为（ ）
A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2 【答案】B
2．（2013湖南怀化，2，3分）如图1，在菱形ABCD 中，AB ＝3，∠ABC ＝60°，则对角线AC ＝（ ）
A ．12
B ．9
C ．6
D ．3
【答案】D
3．（2013湖南怀化，3，3分）下列函数是二次函数的是（ ）
A ．y ＝2x ＋1
B ． y ＝－2x ＋1
C ．y ＝x 2＋2
D ． y ＝
1
2
x －2 【答案】C
4．（2013湖南怀化，4，3分）下列调查适合作普查的是（ ）
A ．对和甲型97N H 的流感患者同一车厢的乘客进行医学检查
B ．了解全国手机用户对废手机的处理情况
C ．了解全球人类男女比例情况
图
1
D ．了解怀化市中小学生压岁钱的使用情况 【答案】A
5．（2013湖南怀化，5，3分）如图2，为测量池塘岸边A 、B 两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O ，测得OA 、OB 的中点分别是点D 、E ，且DE ＝14米，则A 、B 间的距离是（ ）
A ．18 米
B ．24米
C ．28米
D ． 30米
【答案】C
6．（2013湖南怀化，6，3分）如图3，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将OA 绕原点O 按顺时针方向旋转180°得到OA ′，则点A ′的坐标为（ ） A ．（3，1） B ．（3，－1） C ．（1，－3） D ．（1，3）
【答案】B
7．（2013湖南怀化，7，3分）小郑的年龄比妈妈小28岁，今年妈妈的年龄正好是小郑的5倍.小郑今年的岁数是（ ）
A ．7岁
B ．8岁
C ．9岁
D ．10岁 【答案】A
8．（2013湖南怀化，8，3分）如图4，已知等腰梯形ABCD 的底角∠B ＝45°，高AE ＝1，上底AD ＝1，则其面积为（ ）
A ．4
B ．
C ．1
D ．2
图
3
图
2
【答案】D
二、填空题(每小题3分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上)
9．（2013湖南怀化，9，3分）如图5，已知直线a ∥b ，∠1＝35°，则∠2＝ .
【答案】35°
10．（2013湖南怀化，10，3分）2013
)1(-的绝对值是 .
【答案】1
11．（2013湖南怀化，11，3分）四边形的外角和等于 . 【答案】360°
12． （2013湖南怀化，12，3分）函数y
中，自变量x 的取值范围是 . 【答案】x ≥3
13．（2013湖南怀化，13，3分）方程x ＋2＝7的解为 .
【答案】x ＝5
14．（2013湖南怀化，14，3分）有五张分别写有3，4，5，6，7的卡片，现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字为奇数的概率是 .
【答案】3
5
15．（2013湖南怀化，15，3分）如果⊙O 1与⊙O 2的半径分别是1与2，并且两圆相外切，那么圆心距O 1O 2的长是 . 【答案】3
16．（2013湖南怀化，16，3分）分解因式：x 2－3x ＋2＝ ． 【答案】(x －1)(x －2)
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
图
4
图5
17．（2013湖南怀化，17，6分）
计算：1
01(tan 6012.2π-??
-++ ?
??
【答案】解：原式＝1＋2
＝2
18．（2013湖南怀化，18，6分）
如图6，已知：在△ABC 与△DEF 中，∠C ＝54°，∠A ＝47°，∠F ＝54°，∠E ＝79°． 求证： △ABC ∽△DEF .
【答案 证明：在△DEF 中，∠D ＝180°－∠E －∠F ＝180°－79°－54°＝47°， ∵∠C ＝∠F ＝54°，∠A ＝∠D ＝47°， ∴△ABC ∽△DEF .
19．（2013湖南怀化，19，10分）解不等式组：?
????
3x ＋5＞2，①
2x －7＜1. ②
【答案】解：解不等式①，得x ＞－1
解不等式②，得x ＜4
所以不等式组的解集是－1＜x ＜4. 20．（2013湖南怀化，20，10分）
为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时.为了解学生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如图7中两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中共调查了多少名学生？
（2）求户外活动时间为
0.5小时的人数，并补充频数分布直方图； （3）求表示户外活动时间为 2小时的扇形圆心角的度数； （4）本次调查中学生参加户外活动的平均时间是否符合要求？户外活动时间的众数和中位数各是多少?
图6
【答案】解：（1）调查人数＝32÷40%＝80（人）；
（2）户外活动时间为0.5小时的人数＝80320%＝16（人）； 补全频数分布直方图；
（3）表示户外活动时间为2小时的扇形圆心角的度数＝12
80
3360°＝54°； （4）户外活动的平均时间＝
160.532120 1.5122
80
?+?+?+?＝1.175（小时）．
∵1.175＞1，
∴平均活动时间符合上级要求；
户外活动时间的众数和中位数均为
1.
21．（2013湖南怀化，21，10分） 如图8，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，正方形DEFG 的顶点D 在边AC 上，点E 、F 在边AB 上，点G 在边BC 上．
（1）求证：△ADE ≌△BGF ；
（2）若正方形DEFG 的面积为16cm 2，求AC 的长．
图
7
【答案】（1）证明：由已知可得∠A ＝∠B 又四边形DEFG 为正方形， ∴∠AED ＝∠BFG ＝90°，DE ＝GF ∴△ADE ≌△BGF
（2）解：∵正方形DEFG 的面积为16cm 2，∴EF ＝4cm 又∠AED ＝90°，∠A ＝45°， ∴∠ADE ＝45°.∴AE ＝DE .同理BF ＝GF . 又DE ＝EF ＝FG ，
∴AE ＝BF ＝EF ＝1
3
AB ，
∴AB ＝3EF ＝12(cm). 在Rt △ABC 中，cos ∠A ＝AC
AB
即cos45°＝
12
AC
，∴AC
＝22．（2013湖南怀化，22，10分）
如图9，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＋BC ＝9，点O 是斜边AB 上一点，以O 为圆心，2为半径的圆分别与AC 、BC 相切于点D 、E .
（1）求AC 、BC 的长；
（2）若AC ＝3，连接BD ，求图中阴影部分的面积(π取3.14).
【答案】解：（1）连接OD 、OC ，OE ∵D 、E 为切点， ∴OD ⊥AC ，OE ⊥BC ，OD ＝OE ＝2， ∵ABC S ?＝AOC S ?＋BOC S ?，AC ＋BC ＝9
图
8
图
9
∴
12AC 2BC ＝12AC 2OD ＋12BC 2OE ＝12AC 32＋1
2BC 32＝AC ＋BC ＝9 即AC 2BC ＝18.又AC ＋BC ＝9，∴AC 、BC 是方程x 2－9x ＋18＝0的两个根. 解方程得x ＝3或x ＝6 ∴AC ＝3，BC ＝6或AC ＝6，BC ＝3 （2）连接DE ,则S 阴影＝BDE S ?＋ODE S 扇形－ODE S ? ∵AC ＝3，∴BC ＝6.由已知可知OECD 是正方形. ∴EC ＝OE ＝2，∴BE ＝BC －EC ＝6－2＝4. ∴BDE S ?＝
12BE 3DC ＝1
23432＝4 ODE S 扇形＝1
4
π322＝π ODE S ?＝
1
2
OD 3OE ＝2 ∴S 阴影＝4＋π－2＝2＋π＝5.14
23．（2013湖南怀化，23，10分）
如图10，矩形ABCD 中，AB =12cm ，AD ＝16cm..动点E 、F 分别从A 点、C 点同时出发，均以2cm/s 的速度分别沿AD 向D 点和沿CB 向B 点运动． （1）经过几秒首次可使EF ⊥AC ？
（2）若EF ⊥AC ，在线段AC 上，是否存在一点P ，使得2EP 3AE ＝EF 3AP ？若存在，请说明P 点的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）设经过x 秒首次可使EF ⊥AC ，AC 与EF 的交点为O ，
则AE ＝2x ，CF ＝2x ，AE ＝CF
∵ABCD 是矩形，∴∠EAO ＝∠FCO ，∠AOE ＝∠COF ，
图
10
∴△AOE ≌△COF , ∴AO ＝OC ，OE ＝OF . ∵AB =12cm ，AD ＝16cm, ∴AC ＝20cm .∴OC ＝10cm.
在Rt △OFC 中，2OF ＋2OC ＝2FC ∴OF 过点E 作EH ⊥BC 交BC 于点H ， 在Rt △EFH 中，2FH ＋2EH ＝2EF ，
即[]2
2(162)x x --＋212＝2
∴x ＝
254，故经过254
秒首次可使EF ⊥AC . （2）过点E 作EP ⊥AD 交AC 于点P ，则P 就是所求的点 证明：由作法，∠AEP ＝90°，又EF ⊥AC ，∴△AEP ∽△AOE , ∴
EP
EO
＝AP AE ，即EP ×AE ＝EO ×AP ＝12EF ×AP ，
∴2EP ×AE ＝EF 3AP .
24．（2013湖南怀化，24，10分）
已知函数y ＝2kx －2x ＋
3
2
（k 是常数）． （1）若该函数的图像与x 轴只有一个交点，求k 的值； （2）若点M （1，k ）在某反比例函数的图像上，要使该反比例函数和二次函数y ＝2
kx －2x ＋3
2
都是y 随着x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；
（3）设抛物线y ＝2kx －2x ＋3
2
与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，且12x x <， 21x ＋2
2x ＝1，在y 轴上，是否存在点P ，使△ABP 是直角三角形？若存在，求出点P 及△ABP 的面
积；若不存在，请说明理由．
【答案】解：(1)①当k ＝0时，函数y ＝－2x ＋3
2
的图像与x 轴只有一个交点 ②当k ≠0时，若函数y ＝2kx －2x ＋
32的图像与x 轴只有一个交点，则方程2kx －2x ＋32
＝0有两个相等的实数根，所以2(2)-－4k 3
32＝0，即k ＝2
3
.
综上所述，若函数的图像与x 轴只有一个交点，则k 的值为0或23
（2）设反比例函数为y ＝m x
， 则k ＝
1
m ，即m ＝k .所以反比例函数为y ＝k x .
要使该反比例函数和二次函数都是y 随着x 的增大而增大，则k ＜0 二次函数y ＝2kx －2x ＋32＝21()k x k
-－1k ＋32的对称轴为x ＝1
k ，要使二次函数y ＝2kx －2x ＋
32是y 随着x 的增大而增大，在k ＜0的情况下，x 必须在对称轴的左边，即x ＜1
k 时，才能使得y 随着x 的增大而增大
∴综上所述，要使该反比例函数和二次函数都是y 随着x 的增大而增大，k ＜0且x ＜1k
（3）∵抛物线y ＝2kx －2x ＋32与x 轴有两个交点，∴一元二次方程方程2kx －2x ＋32
＝0的判别式?＝(－2)2－43k 3
32＞0，即k ＜23
又∵????
?
x 1＋x 2＝2k
，
x 1x 2＝32k
， x 12
＋x 22
＝1.
∴k 2＋3k －4＝0，
∴k ＝－4或k ＝1.又k ＜
2
3
，∴k ＝－4 在y 轴上，设P (0，b )是满足条件的点，则222212()()b x b x +++＝221()x x -，2b ＝12x x -，∴b
∴b
221()x x -＝22b ＋21x ＋22x ＝2338＋1＝7
4.∴2x －1x
∴Rt ABP S ?＝211()2x x -3b ＝1
2
.
∴在y 轴上，存在点P 1(0
，P 2(0
，使△ABP 是直角三角形，△ABP
的面积为.