〖专题5〗 导数的应用—含参函数的单调性讨论
“含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点．从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视． 一、思想方法：
上为常函数
在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈?
讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论． 二、典例讲解
[典例1] 讨论x
a
x x f +
=)(的单调性，求其单调区间． 解：x
a
x x f +
=)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2
22≠-=-=x x
a x x a x f (它与a x x g -=2
)(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立，
此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f >
-或)0(0)('
a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或
此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数，
)(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数，
即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ;
)(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a .
步骤小结：1、先求函数的定义域，
2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），
3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，
4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），
5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并．
[变式练习1] 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间．
解：x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞
)0(1)('>+=+
=x x
a x x a x f (它与a x x g +=)(同号) I ）当0≥a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立，
此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数， 即)(x f 的增区间为),0(+∞，不存在减区间; II) 当0?>>)0(0)('; a x x x f -<<0)0(0)('
此时)(x f 在),(+∞-a 为单调增函数，
)(x f 在),0(a -是单调减函数，
即)(x f 的增区间为),(+∞-a ;)(x f 的减区间为),0(a -．
[典例2] 讨论x ax x f ln )(+=的单调性． 解：x ax x f ln )(+=的定义域为),0(+∞
)0(11)('>+=+=x x
ax x a x f (它与1)(+=ax x g 同号) I ）
当0=a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立 （此时a
x x f 1
0)('-=?=没有意义）
此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞ II ）
当0>a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立， （此时a
x x f 1
0)('-
=?=不在定义域内，没有意义） 此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞
III)
当0 x x f 10)('- =?= 于是，当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号) 所以， 此时)(x f 在),0(a -为单调增函数，)(x f 在),1 (+∞- a 是单调减函数， 即)(x f 的增区间为)1,0(a -;)(x f 的减区间为),1 (+∞- a ． 小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性．即先求出)('x f 的零点，再其分区间然后定)('x f 在相应区间内的符号．一般先讨论0)('=x f 无解情况， 再讨论解0)('=x f 过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的），即根据)('x f 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性． [变式练习2] 讨论x ax x f ln 2 1)(2 += 的单调性． 解：x ax x f ln 2 1)(2 += 的定义域为),0(+∞ )0(1 1)('2>+= +=x x ax x ax x f , 它与1)(2+=ax x g 同号. 令)0(010)('2 >=+?=x ax x f ， 当0≥a 时，无解；当0 a a x -- =- = 1(另一根不在定义域内舍去) i)当0=a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立 （此时a x x f 1 0)('2 - =?=没有意义） 此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞ ii)当0>a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立， (此时 方程012 =+ax 判别式0 此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞ iii) 当0 当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号) )+∞是单调减函数， 即)(x f 的增区间为)1,0(a - ;)(x f 的减区间为),1 (+∞-a ． 小结：一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果．对于二次型函数（如1)(2 +=ax x g ）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论． [典例3] 求1)(2 3 2 --+=x ax x a x f 的单调区间． 解：1)(23 2 --+=x ax x a x f 的定义域为R ， )1)(13(123)('22+-=-+=ax ax ax x a x f I) 当0=a 时，?<-=01)('x f )(x f 在R 上单调递减，)(x f 减区间为R ，无增区间． II) 当0≠a 时032 >a ，)('x f 是开口向上的二次函数， 令)0(1 ,310)('21≠-===a a x a x x f 得, 因此可知（结合)('x f 的图象） i) 当0>a 时，21x x > a x a x f a x a x x f 31 10)(';3110)('< <-?<>- 或 所以此时，)(x f 的增区间为),31()1,(+∞--∞a a 和；)(x f 的减区间为)31 ,1(a a - ii) 当0 a x a x f a x a x x f 1 310)(';1 310)('- << ?>或 所以此时，)(x f 的增区间为),1()31,(+∞--∞a a 和；)(x f 的减区间为)1 ,31(a a -． 小结：求函数单调区间可化为导函数的正负讨论（即分讨论其相应不等式的解区间），常见的是化为二次型不等式讨论，当二次函数开口定且有两根时，一般要注意讨论两根大小（分大、小、等三种情况）。含参二次不等式解时要先看能否因式分解，若能则是计算简单的问题，需看开口及两根大小，注意结合图象确定相应区间正负． [变式练习3] 求12 131)(2 3+++= x ax x x f 的单调区间． 解：)(x f 的定义域为R ，1)('2 ++=ax x x f )('x f 是开口向上的二次函数，42 -=?a I) 当220≤≤-?≤?a 时，0)('≥x f 恒成立 所以此时)(x f 在R 上单调递增，)(x f 增区间为R ，无减区间． II) 当220>-?a a 或时 令212221,2 4 ,240)('x x a a x a a x x f <-+-=---= =得 因此可知（结合)('x f 的图象）)(x f 与)('x f 随x 变化情况如下表 2 2)(x f 的减区间为)2 4 ,24( 22-+----a a a a 小结：三次函数的导函数是常见二次函数，当二次函数开口定时对其正负进行讨论的，要根据判别式讨论：无根的或两根相等的导函数只有一种符号，相应原函数是单调的较简单应先讨论；然后再讨论有两不等根的，结合导函数图象列变化表，注意用根的符号21,x x 代替复杂的式，最后结论才写回．个别点处导数为0不影响单调性．只有在某区间内导数恒为0时，相应区间内原函数为常数，一般中学所见函数除分段函数和常函数外不会出现此种情况． 总结：求单调区间要确定定义域，确定导函数符号的关键是看分子相应函数，因此讨论点有：第一是类型（一次与二次的根个数显然不同)；第二有没有根（二次的看判别式），第三是有根是否为增根（在不在定义根内；第四有根的确定谁大；第五看区间内导函数的正负号（二次函数要看开口）．确记要数形结合，多数考题不会全部讨论点都要讨论的，题中往往有特别条件，不少讨论点会同时确定（即知一个就同时确定另一个）．判别式与开口的讨论点先谁都可以，但从简单优先原则下可先根据判别式讨论，因为当导函数无根时它只有一种符号，相应原函数在定义域内（每个连续的区间）为单调函数较简单． 导数的应用—含参函数的单调性讨论 班级 姓名 1.已知函数()ln a f x x x =- ，求()f x 的单调区间. 解：()221+,a x a f x x x x +'∞=+=函数的定义域为（0，）， ()'0f x x a ==-令得： ()()()()()()000,(0,) 000,0(,)a a f f x a a f f f x a '-≤≥>∴+∞''-><><∴-+∞若即，则x 在上单调递增；若即，则由x 得x>-a 由x 得x<-a 在上单调递增 ,在0,-a 上单调递减. ()()() 0(0,)0(,)a f x a f x a ≥+ ∞<-+∞ 总之，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增,在0,-a 上单调递减. 2.已知函数f(x)= 2 1x 2 －a x+(a －1)ln x ，讨论函数()f x 的单调性,求出其单调区间. 解： ()f x 的定义域为(0,)+∞. 2' 11(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x --+--+-=-+==()()11=x x a x ---???? ()'1201,1f x x x a ===-令得: (1)100)(';10)('101<?>≤≤-x x f x x f a a 时，即若 单调递减在单调递增在此时)1,0(,),1()(+∞∴x f (2)时，即若101>>-a a ①若11a -=即2a =时，2 ' (1)()x f x x -=>0, 故()f x 在(0,)+∞单调递增. ②若0<11a -<,即12a <<时， 由'()0f x <得，11a x -<<；由' ()0f x >得，011x a x <<->或 故()f x 在(1,1)a -单调递减，在(0,1),(1,)a -+∞单调递增. ③若11a ->,即2a >时， 由' ()0f x <得，11x a <<-；由' ()0f x >得，011x x a <<>-或 故()f x 在(1,1)a -单调递减，在(0,1),(1,)a -+∞单调递增. 综上所述，当1a ≤，()f x 单调增区为 ),1(+∞,减区间是)1,0(; 当12a <<时，()f x 的减区间是(1,1)a -，增区间是(0,1),(1,)a -+∞； 当2a =时，()f x 在定义域上递增，单调增区为(0,)+∞ （不存在减区间）; 当2a >时，()f x 的减区间是(1,1)a -，在增区间是(0,1),(1,)a -+∞. 3.已知函数32 ()331,f x ax x x a R =+++∈,讨论函数)(x f 的单调性. 解： 因为3 2 ()331,f x ax x x a R =+++∈， 所以/ 2 ()3(21)f x ax x =++ (1) 当0a =时，/ ()3(21)f x x =+， 当1,2 x ≤-时，/ ()0f x ≤；当1,2 x ≥-时，/ ()0f x ≥； 所以函数()f x 在1(,]2-∞-上单调递增，在1[,)2 -+∞上单调递减； (2) 当0a >时，/ 2 ()3(21)f x ax x =++的图像开口向上，36(1)a ?=- I) 当136(1)0,a a ≥?=-≤时，时，/ ()0f x ≥，所以函数()f x 在R 上递增； II) 当0136(1)0,a a <时，时，方程/ ()0f x =的两个根分别为 12x x = =且12,x x < 所以函数()f x 在(-∞，)+∞上单调递增， 在上单调递减； (3) 当0a <时，/ 2 ()3(21)f x ax x =++的图像开口向下，且36(1)0a ?=-> 方程/ ()0f x =的两个根分别为12x x = =且12,x x > 所以函数()f x 在(-∞，)+∞上单调递减， 在11( ,a a --上单调递增。 综上所述，当0a <时，所以函数()f x 在11( a a -+--上单调递增， 在(-∞，)+∞上单调递减； 当0a =时，()f x 在1(,]2-∞-上单调递增，在1[,)2 -+∞上单调递减； 当01a <<时，所以函数()f x 在1(,)a ---∞，1()a -++∞上单调递增， 在上单调递减； 当1a ≥时，函数()f x 在R 上递增； 4.已知函数1()ln 1a f x x ax x -=-+-()a R ∈.讨论()f x 的单调性. 解：因为1()ln 1a f x x ax x -=-+ -的定义域为),0(+∞ 所以 2' 22 111()(0,)a ax x a f x a x x x x --+-=-+=∈+∞， 令 2 ()1,(0,)h x ax x a x =-+-∈+∞，则)()('x g x f 与同号 法一：根据熟知二次函数性质可知g(x)的正负符号与开口有关，因此可先分类型讨论： ① 当0a ＜时，由于 1 10a -＜<1，)(x h 开口向下,结合其图象易知 (0,1)x ∈，()0h x ＞,此时' ()0f x ＜，函数 ()f x 单调递减； (1,)x ∈+∞时，()0h x ＜，此时'()0f x ＞，函数()f x 单调递增. ②当0>a 时， )(x h 开口向上,但2x 是否在定义域需要讨论： 因 10011 ≥ 或所以 i) 当1≥a 时，由于 1 10a -＜<1，)(x h 开口向上,结合其图象易知 (0,1)x ∈，()0h x ＜，此时' ()0f x ＞，函数()f x 单调递增. (1,)x ∈+∞时，()0h x ＞,此时'()0f x ＜，函数 ()f x 单调递减； ii)当10< 2 a = 时，12,()0x x h x =≥恒成立， 此时' ()0f x ≤，函数 ()f x 在∞（0，+） 上单调递减； b) 当1 101102a a -＜＜时，＞＞，g(x)开口向上且在（0，∞+）有两根 (0,1)x ∈时，()0h x ＞，此时' ()0f x ＜，函数()f x 单调递减； 1 (1, 1)x a ∈-时()0h x ＜，此时'()0f x ＞，函数 ()f x 单调递增； 1 (1,)x a ∈-+∞时，()0h x ＞，此时' ()0f x ＜，函数()f x 单调递减； c) 当 121< 0<- ，g(x)开口向上且在（0，∞+）有两根 )11 ,0(-∈a x 时，()0h x ＞，此时'()0f x ＜，函数()f x 单调递减； )1,11 ( -∈a x 时()0h x ＜，此时'()0f x ＞，函数 ()f x 单调递增； ),1(+∞∈x 时，()0h x ＞，此时' ()0f x ＜，函数()f x 单调递减； 小结： 此法是把单调区间讨论化归为导函数符号讨论，而确定导函数符号的分子是常见二次型的，一般要先讨论二次项系数，确定类型及开口；然后由于定义域限制讨论其根是否在定义域内，再讨论两根大小注，结合g(x)的图象确定其在相应区间的符号，得出导函数符号。讨论要点与解含参不等式的讨论相应。 法二： ① 10011 ≥ 或 i)当0a ＜时，由于 1 10a -＜<1，)(x h 开口向下,结合其图象易知 (0,1)x ∈，()0h x ＞,此时' ()0f x ＜，函数 ()f x 单调递减； (1,)x ∈+∞时，()0h x ＜，此时'()0f x ＞，函数()f x 单调递增. ii)当1≥a 时，由于 1 10a -＜<1，)(x h 开口向上,结合其图象易知 (0,1)x ∈，()0h x ＜，此时' ()0f x ＞，函数()f x 单调递增. (1,)x ∈+∞时，()0h x ＞,此时'()0f x ＜，函数 ()f x 单调递减； ② 10011 <-a a 时 g(x)开口向上且),0(,21+∞∈x x i)当1 2 a = 时，12,()0x x h x =≥恒成立， 此时' ()0f x ≤，函数 ()f x 在∞（0，+） 上单调递减； ii)当1 101 102a a -＜＜时，＞＞，g(x)开口向上且在（0，∞+）有两根 (0,1)x ∈时，()0h x ＞，此时' ()0f x ＜，函数()f x 单调递减； 1 (1, 1)x a ∈-时()0h x ＜，此时'()0f x ＞，函数 ()f x 单调递增； 1 (1,)x a ∈-+∞时，()0h x ＞，此时' ()0f x ＜，函数()f x 单调递减； iii) 当 121< 0<- ，g(x)开口向上且在（0，∞+）有两根 )11 ,0(-∈a x 时，()0h x ＞，此时'()0f x ＜，函数()f x 单调递减； )1,11 ( -∈a x 时()0h x ＜，此时'()0f x ＞，函数 ()f x 单调递增； ),1(+∞∈x 时，()0h x ＞，此时' ()0f x ＜，函数()f x 单调递减； 5.设0a >，讨论函数2 ()ln (1)2(1)f x x a a x a x =+---的单调性． 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞ 212(1)2(1)1 ()2(1)2(1)a a x a x f x a a x a x x ---+'=+---=(x>0) 令2 ()2(1)2(1)1g x a a x a x =---+,则)('x f 与)(x g 同号 （1）当1=a 时，x x f x x f x g ln )(,01 )(',1)(=>= =在定义域),0(+∞上为增函数 (2) 当1≠a 时, 22 4(1)8(1)121644(31)(1)a a a a a a a ?=---=-+=-- ① 当? ≤?01 13 a ≤≤时，g(x)开口向上，图象在x 轴上方，所以0)(≥x g 所以()0f x '≥，则()f x 在(0,)+∞上单调递增 ② 当 ? >?01 3 1 > () f x '=，解得 ) 1(21,)1(2121a a a x a a a x -? +-= -?--= 由于210)(100)1(2x x x g a a a <-开口向上且， 因此可进一步分类讨论如下： i) 当1a >时，12 0)(0)1(2x ，x x g a a < ∵0x >，()0f x '>?10x x << ; ()0f x '<1x x >? 则()f x 在上单调递增， 在)+∞上单调递减 ii)当1 03 a << 时，()0f x '>?10x x <<或2x x >; ()0f x '<21x x x < 则()f x 在)+∞上单调 递增， 在上单调递减 综上所述，f(x)的单调区间根据参数a 讨论情况如下表： 6.已知函数f (x )=ln (1+x )-x +2 12 kx (k ≥0)，求f (x )的单调区间. 解：(1,)x ∈-+∞，(1)'()1x kx k f x x +-= +.()()' 12100,,0k f x x x k k -===≠令得: （1） 当0k =时，'()1x f x x =- +. 所以，在区间(1,0)-上，'()0f x >；在区间(0,)+∞上，'()0f x <. 故()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. （2）当2111k x k -≤-≤-即 时，考虑到k>0得，无解. （3）当21x x =即1k =时，2 '()01x f x x = >+ 故()f x 的单调递增区间是(1,)-+∞. （4）当21x x >即01k <<（ 0k ≥）时， 由' ()0f x <得，10k x k -<< ；由' ()0f x >得，110k x x k --<<>或 故()f x 的单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞，单调递减区间是1(0,)k k -. （5）当21x x <即1k >（ 0k ≥）时， 由' ()0f x <得， 10k x k -<<；由'()0f x >得，110k x x k --<<>或 故()f x 的单调递增区间是1(1, )k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)k k -. 综上知: 当0k =时，()f x 得单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞； 当1k =时，()f x 的单调递增区间是(1,)-+∞； 当01k <<时，()f x 的单调递增区间是(1,0)-和1( ,)k k -+∞，单调递减区间是1(0, )k k - 当1k >时，()f x 的单调递增区间是1(1, )k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)k k -. 导数应用：含参函数的单调性讨论(二) 对函数(可求导函数)的单调性讨论可归结为对相应导函数在何处正何处负的讨论，若有多个讨论点时，要注意讨论层次与顺序，一般先根据参数对导函数类型进行分类，从简单到复杂。 一、典型例题 例1、已知函数3 2 ()331,f x ax x x a R =+++∈,讨论函数)(x f 的单调性. 分析：讨论单调性就是确定函数在何区间上单调递增，在何区间单调递减。而确定函数的增区间就是确定0)('>x f 的解区间；确定函数的减区间就是确定0)(' 2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0 〖专题5〗导数的应用—含参函数的单调性讨论 “含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点．从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视． 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论． 二、典例讲解 [典例1]讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间． 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立， 此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)(' a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或 此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数， )(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ; )(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并． [变式练习1]讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间． 利用导数求函数的单调区间 一学习目标： 1结合实例，找出函数的单调性与导数的关系； 2会利用导数研究函数的单调性，会求简单函数的单调区间。 二重点、难点： 重点：求函数的单调区间. 难点：求含参数函数的单调区间。. 三教材分析 本节课主要对函数单调性求法的学习； 它是在学习导数的概念的基础上进行学习的，同时又为导数的应用学习奠定了基础，所以他在教材中起着承前启后的重要作用；（可以看看这一课题的前后章节来写） 它是历年高考的热点、难点问题 四教学方法 开放式探究法、启发式引导法、小组合作讨论法、反馈式评价法 五教学过程 预习学案: 1.函数单调性的定义是什么？函数的单调区间怎样求？ 2.讨论以下问题 （1）求函数y=x的导数，判断其导数的符号； （2）求函数y=x2的导数，判断其导数的符号. 3.根据上述问题，思考导数的符号与函数的单调性之间的关系，并加以总结： 设函数y=f(x)在区间（a,b）内可导： 如果在(a,b)内，______________,则f(x)在此区间是增函数； 如果在(a,b)内，______________,则f(x)在此区间是减函数. 4.根据上述总结，思考一下，函数在某个区间上是单调递增函数，是不是其导数就一定大于零呢？如果函数在某个区间上是单调递减函数，是不是其导数就一定小于零?能否举个例子说明一下？ 小测验： 1.当0>x 时，()x x x f 4+ =的单调减区间 2.函数53 123++-=x x y 的单调增区间为_______________,单调减区间为______________. 利用导数求函数的单调区间（讲授学案）——冯秀转 题型：求函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间; (1)x x y 23+= (2)()221 ln x x x f -= 注意：求函数单调区间时必须先考虑函数的定义域. （小结）求函数单调区间的步骤： 练习：求()x e x x f 2=的单调区间。 用导数求函数的单调性 南江县第四中学 何其孝 指导老师：范永德 一、第一段：点明课题、展示目标、自主学习 1、展示学习目标 （1）理解)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性； （2）掌握用导数求函数的单调区间。 2、板书课题：用导数求函数的单调性 3、学生围绕学习目标看教材第89-93页，进行自主学习。（约10分钟） 二、第二段：合作探究、启发点拨 1、探究1：怎样从导数的几何意义，判断)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性？点拨：以直代曲 探究2：用导数求函数单调性的步骤 点拨：(1)求定义域 (2)求导函数(x)f ' (3)求)0(0(x)f <>'，判断函数的单调性 (4)写出f(x)的单调区间 2、应用举例 例 判断下列函数的单调性，写出f(x)区间 (1) )(0,x x,-sinx f(x)π∈= (2) 12432f(x)23+-+=x x x 解：f′(x)=6x2 + 6x -24 当f′(x)＞0，解得：2 1712171+->-- 导数应用：含参函数的单调性讨论(一) 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈?Y Y Y Y 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 二、典例讲解 例1 讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间 例2．讨论x ax x f ln )(+=的单调性 小结： 导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性。即先求出)('x f 的零点，再其分区间然后定)('x f 在相应区间的符号。一般先讨论0)('=x f 无解情况，再讨论解 0)('=x f 过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 围扩 大而出现有根，但根实际上不在定义域的），即根据)('x f 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性。 变式练习2. 讨论x ax x f ln 2 1)(2 += 的单调性 小结： 一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果。 对于二次型函数（如1)(2 +=ax x g ）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。 例3． 求1)(232--+=x ax x a x f 的单调区间 1.3.1函数的单调性与导数 [学习目标] 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数的最高次数一般不超过三次). 知识点一函数的单调性与其导数的关系 在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系： 思考以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1＜x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易，如何利用导数来判断函数的单调性？ 答案根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减. 知识点二利用导数求函数的单调区间 利用导数确定函数的单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求出函数的导数f′(x). (3)解不等式f′(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f′(x)＜0，得函数的单调递减区间. 知识点三导数绝对值的大小与函数图象的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些.也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度. 如图，函数y ＝f (x )在(a,0)和(0，b )内的图象“陡峭”，在(－∞，a )和(b ，＋∞)内的图象“平缓”. 题型一 利用导数确定函数的单调区间 例1 求下列函数的单调区间. (1)f (x )＝3x 2－2ln x ；(2)f (x )＝x 2·e － x ； (3)f (x )＝x ＋1x . 解 (1)函数的定义域为D ＝(0，＋∞).∵f ′(x )＝6x －2x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝33，x 2＝－ 3 3(舍去)，用x 1分割定义域D ，得下表： ∴函数f (x )的单调递减区间为? ???0， 33，单调递增区间为??? ?3 3，＋∞. (2)函数的定义域为D ＝(－∞，＋∞).∵f ′(x )＝(x 2)′e － x ＋x 2(e － x )′＝2x e － x －x 2e － x ＝e － x (2x －x 2)，令f ′(x )＝0，由于e － x ＞0，∴x 1＝0，x 2＝2，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表： ∴f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2). (3)函数的定义域为D ＝(－∞，0)∪(0，＋∞). ∵f ′(x )＝1－1 x 2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表： 含参不含参函数单调性 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期: 利用导数研究函数单 调性 不含参函数单调性 【题型一】因式分解 【例1】 求函数的单调区间。 【变式1】求函数421()342 f x x x x = -+的单调区间。 【例2】 求函数2()322 x x e f x e x =-+的单调区间。 【变式1】求函数2()ln 7ln f x x x x x x =-+的单调区间。 【例3】 求函数()2()2x x x f x x e e -= +-的单调区间。 【变式1】求函数22 ln 3()ln 224 x x x f x ex x ex =--+的单调区间。 3227()154()32f x x x x x R = +-+∈ 【例4】 求函数()2 ()ln 22 x f x x x e x =+-+的单调区间。 【变式1】求函数()()ln 1x f x e x =-+的单调区间。 【例5】 求函数2()ln f x x x x =-的单调区间。 【变式1】求函数ln 1()x e x e f x e +-= 的单调区间。 【变式２】求函数2()mx f x e x mx =+-的单调区间。 【例6】 求函数2311()26 x f x e x x x =-+ -的单调区间。 【变式1】求函数2 ()cos 12 x f x x =+-的单调区间。 【例7】 求函数()2311()123x f x x ex e x = -+-的单调区间。 【变式1】求函数()41()24x f x x e x x =--+，112，??∈ ???x 的单调区间。 利用导数研究函数的单调性 考点一 函数单调性的判断 知识点： 函数()f x 在某个区间(),a b 内的单调性与其导数的正负关系 （1）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递增； （2）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递减； （3）若 ，则()f x 在(),a b 是常数函数. 1、求下列函数的单调区间. （1）()ln f x x e x =+ （2）2 1()ln 2 f x x x =- （3）()()3x f x x e =- （4）()2x f x e x =- （5）()3ln f x x x =+ （6）ln ()x f x x = （7）2()(0)1 ax f x a x =>+ （8）32333()x x x x f x e +--= 2、讨论下列函数的单调性. （1）()ln (1),f x x a x a R =+-∈ （2）3(),f x x ax b a R =--∈ （3）2 ()ln ,2 x f x a x a R =-∈ （4）32(),,f x x ax b a b R =++∈ （5）2()(22),0x f x e ax x a =-+> （6）2 1()2ln (2),2 f x x a x a x a R =-+-∈ （7）2()1ln ,0f x x a x a x =-+-> （8）221 ()(ln ),x f x a x x a R x -=-+∈ 3、已知函数32(),f x ax x a R =+∈在4 3 x =-处取得极值. （1）确定a 的值； （2）若()()x g x f x e =，讨论函数()g x 的单调性. 4、设2()(5)6ln ,f x a x x a R =-+∈，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线与y 轴相交于点()0,6. （1）确定a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间. 5、（2016全国卷2节选）讨论2()2 x x f x e x -=+的单调性， 并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>. 6、(2016年全国卷1节选)已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-.讨论()f x 的单调性. 1．设函数． （1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值； （2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围； （3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由． 2．已知函数是的导函数，为自然对数的底数．（1）讨论的单调性； （2）当时，证明：； （3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由． 3．已知函数（其中，）. （1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围； （2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）. 4．已知函数，其中为常数. （1）讨论函数的单调性； （2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有. 5．已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数. （1）求的值； （2）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；（3）讨论关于的方程的根的个数. 6．已知函数()()ln ,x f x ax x F x e ax =-=+，其中0,0x a ><. （1）若()f x 和()F x 在区间()0,ln3上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围； （2）若21,a e ? ? ∈-∞- ??? ，且函数()()12ax g x xe ax f x -=-+的最小值为M ，求M 的最小值. 7．已知函数()ln x m f x e x +=-. （1）如1x =是函数()f x 的极值点，求实数m 的值并讨论的单调性()f x ； （2）若0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围（注：已知常数a 满足ln 1a a =）. 8．已知函数()()2 ln 12x f x mx mx =++-，其中01m <≤． （1）当1m =时，求证：10x -<≤时，()3 3 x f x ≤； （2）试讨论函数()y f x =的零点个数． 9．已知e 是自然对数的底数,()()()1 2ln ,13x F x e x x f x a x -=++=-+. （1）设()()()T x F x f x =-,当112a e -=+时, 求证：()T x 在()0,+∞上单调递增； （2）若()()1,x F x f x ?≥≥,求实数a 的取值范围. 10．已知函数()2x f x e ax =+- （1）若1a =-，求函数()f x 在区间[1,1]-的最小值； （2）若,a R ∈讨论函数()f x 在(0,)+∞的单调性； （3）若对于任意的1212,(0,),,x x x x ∈+∞<且 [][]2112()()x f x a x f x a +<+都有成立，求a 的取值范围。 用导数求函数的单调区间——含参问题 一、问题的提出 应用导数研究函数的性质：单调性、极值、最值等，最关键的是求函数的单调区间，这是每年高考的重点，这也是学生学习和复习的一个难点。其中，学生用导数求单调区间最困难的是对参数分类讨论。尽管学生有分类讨论的意识，但是找不到分类讨论的标准，不能全面、准确分类 二、课堂简介 请学生求解一下问题，写出每一题求单调区间的分类讨论的特点。 例1、 求函数R a a x x x f ∈-= ),()(的单调区间。 解：定义域为),0[+∞ ,23)('x a x x f -=令,0)('=x f 得,3 a x = (1) 0≤a ,0)('≥x f 恒成立，)(x f 在),0[+∞上单调递增； (2) 0>a ,令0)('>x f 得∴> 3a x )(x f 在)3,0[a 上单调递减，在),3 [+∞a 上单调递增。 所以，当0≤a 时，)(x f 在),0[+∞上单调递增；当0>a 时，)(x f 在)3 ,0[a 上单调递减，在),3 [+∞a 上单调递增。 分类讨论特点：一次型，根3 a 和区间端点0比较 例2、 求函数R a x a ax x x f ∈+-+-=,1)1(2131)(23的单调区间。 解：定义域R ),1)](1([1)('2---=-+-=x a x a ax x x f 令,0)('=x f 得1,121=-=x a x (1) 211>>-a a 即，令0)('>x f 得∴<->11x a x 或)(x f 在)1,(-∞上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞-a 上单调递增。 (2) 21 1==-a a 即，0)('≥x f 恒成立，所以)(x f 在R 上单调递增。 (3) 211<<-a a 即，令0)('>x f 得∴>-<11x a x 或)(x f 在)1,(--∞a 上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞上单调递增。 所以，当2>a 时，)(x f 在)1,(-∞上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞-a 上单调 课题：导数在函数中的应用 ——利用导数讨论函数的单调性 一．复习回顾 1.导数与函数的单调性:一般地，在某个区间(ab)内： （1）如果f′(x)>0，函数f (x)在这个区间内单调递增; （2）如果f′(x)<0，函数f (x)在这个区间内单调递减; （3）如果f′(x)=0，函数f (x)在这个区间内是常数函数． ------利用导数的正负研究函数的增减 2.利用导数讨论函数单调性的方法 （1）直接解不等式：f′(x)>0和f′(x)<0； （2）利用f′(x)的图像（示意图）； （3）列表法； 注：考虑f′(x)＝0的根； 二．新课讲解 （一）讨论函数的单调性 【例1】 （2018年全国I卷）已知函数 f(x)＝aex －ln x－1 （1）设x＝2是f(x)的极值点．求a，并求f(x)的单调区间； （二）讨论含参数函数的单调性 【解法技巧】考虑f′(x)=0的根 1. 若f′(x)=0在区间D上无解，则f′(x)恒正或恒负，f(x)在D上单调； 2. 根有没有，要不要，比大小。 【例2】求f(x)＝ex－ax的单调区间； 【例3】已知函数f(x)＝1 2x2－(a＋1)x＋a ln x (1)当a＜1时，讨论f(x)的单调性； 【变式】已知函数f(x)＝1 2x2－(a＋1)x＋a ln x，讨论f(x)的单调性； 三．归纳总结----导数讨论含参数函数单调性的思路： 1. 若f′(x)=0在区间D上无解，则f′(x)恒正或恒负，f(x)在D上单调； 2. f′(x)=0根有没有，要不要，比大小； ①若f′(x)=0在R上无解或在R上有解但明显解不在定义域D内则f(x)在D上单调； ②若f′(x)=0在R上有解但解是否在定义域D内需讨论，ⅰ若解都不在定义域D内，则f(x)在D上单调； ⅱ若有解在定义域D内，则利用f′(x)的图像或列表分析； 四．课后作业： 1.（2018-2019潮州高三期末）已知函数f(x)＝2( x－1) ln x＋a (x2－x－1＋1 x). （1）当 a＝0讨论f(x)的单调性 2. (2017·全国卷Ⅲ) 已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性； 3. (2016·全国卷Ⅰ) 已知函数f(x)＝(x－2)ex－a (x－1)2 （1）讨论f(x)的单调性； 导数专题------求函数的单调区间 1.设()()2 56ln f x a x x =-+,其中a R ∈,曲线 ()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点 ()0,6.(1)确定a 的值; (2)求函数()f x 的单调区间与极值. 2.设函数()()2 1x f x x e kx =--(k ∈R ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间; 3.已知函数ln ()x x k f x e +=（k 为常数， 2.71828e =???是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间； 4. 的单调区间求设函数)(,0,ln )(22x f a ax x x a x f >+-= 的单调区间和极值。）求函数（处的切线的斜率；，在点（（时，求曲线当（设函数)(2))1(1)1)1(. 0),(,)1(3 1 ).5223x f f x f y m m R x x m x x x f ==>∈-++-= 。 的单调区间和极小值点求函数其中 （已知函数 ) ( .0 , ln ) 1( 2 1 ) .62 x f a x a x a x x f> + + - = 的单调区间。 ）求 （ 处的切线方程 ， 在点（ 时，求曲线当 已知函数 ) ( 2 )) 1( 1 ) ( 2 )1( , 2 ) 1 ln( ) ( .72 x f f x f y k x k x x x f = = + - + = 8. 的单调区间。 （ 求 已知函数) ), .( )1 ( ln ) (2x f R a ax x x a x f∈ - - - = 的单调区间。 讨论 已知函数) ( ), 1 (, ln ) ( .9x f x ax x x x f> - = 〖专题5〗 导数的应用—含参函数的单调性讨论 “含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点．从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视． 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论． 二、典例讲解 [典例1] 讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间． 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立， 此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)(' a x x a x x f < <<<-?≠<00)0(0)('或 此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数， )(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ; )(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并． [变式练习1] 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间． 导数讨论含参函数的单调性 【思想方法】 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 【典例讲解】 例1 讨论x a x x f +=)(的单调性，求其单调区间 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号)I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立，此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数，即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)('， a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或，此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调 增函数，)(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(a --∞和 ),(+∞a ;)(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间 解：x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(1)('>+=+ =x x a x x a x f (它与a x x g +=)(同号) I ）当0≥a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立，此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数， 即)(x f 的增区间为),0(+∞，不存在减区间; II) 当0?>>)0(0)(';a x x x f -<<0)0(0)(' 此时)(x f 在),(+∞-a 为单调增函数，)(x f 在),0(a -是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(+∞-a ;)(x f 的减区间为),0(a -. 例2．讨论x ax x f ln )(+=的单调性 解：x ax x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(11)('>+=+ =x x ax x a x f (它与1)(+=ax x g 同号) 第十三讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值 【套路秘籍】 一．函数的单调性 在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 二．函数的极值 (1)一般地，求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时： ①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )； ②求方程f ′(x )＝0的根； ③考查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 三．函数的最值 (1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值． (2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． 【套路修炼】 考向一 单调区间 【例1】求下列函数的单调区间： （1）3 ()23f x x x =-； （2）2 ()ln f x x x =-. （3）)f (x )＝2x －x 2. 【答案】见解析 【解析】（1）由题意得2 ()63f x x '=-. 令2 ()630f x x '=->，解得2x <- 或2 x >. 当(,2x ∈-∞- 时，函数为增函数；当)2 x ∈+∞时，函数也为增函数. 令2 ()630f x x '=-<，解得22x - <<.当(22 x ∈-时，函数为减函数. 利用导数求函数单调性题型全归纳 一.求单调区间 二.函数单调性的判定与逆用 三.利用单调性求字母取值范围 四.比较大小 五.证明不等式 六.求极值 七.求最值 八.解不等式 九.函数零点个数（方程根的个数） 十.探究函数图像 一.求单调区间 例1. 已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，求函数)(x f 的单调区间 解： ()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++. 则令()()g x f x '=，因为当0,1a a >≠，所以2 ()2ln 0x g x a a '=+> 所以()f x '在R 上是增函数,又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+, 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+ 减区间为：(0)-∞， 变式：已知()x f x e ax =-，求()f x 的单调区间 解：' ()x f x e a =-，当0a ≤时，' ()0f x >，()f x 单调递增 当0a >时，由' ()0x f x e a =->得：ln x a >，()f x 在(ln ,)a +∞单调递增 由' ()0x f x e a =-<得：ln x a <，()f x 在(ln )a -∞，单调递增 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为：-∞+∞（，），无单调递减区间 当0a >时，()f x 的单调递增区间为：(ln ,)a +∞，递减区间为：(ln )a -∞， 二.函数单调性的判定与逆用 例2.已知函数32 ()25f x x ax x =+-+在1132 （，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减 函数，求正整数a 的取值集合 解：2 ()322f x x ax '=+- 导数应用：含参函数的单调性讨论 (一) 一、思想方法： f '( x) 0 x A B ... f ( x) 增区间为 和 A, B ... f '( x) 0 x C D ... f ( x) 增区间为 和 C, D ... x D 时f '( x) 0 f (x)在区间 D 上为增函数 x D 时f '( x) 0 f (x)在区间 D 上为减函数 x D 时f '( x) f (x)在区间 D 上为常函数 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 二、典例讲解 例 1 讨论 f (x) x a 的单调性，求其单调区间 x 步骤小结： 1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负） ， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界） ， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习 1 : 讨论 f ( x) x a ln x 的单调性，求其单调区间 例 2．讨论 f ( x) ax ln x 的单调性 小结： 导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性。即先求出 f ' ( x) 的零点，再其分区间然后定 f ' ( x) 在相应区间的符号。一般先讨论 f ' ( x) 0 无解情况，再讨论解 f ' (x) 0 过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域的），即根据 f ' (x) 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个 数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性。 变式练习 2. 讨论 f (x) 1 ax2 ln x 的单调性 2 小结： 一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii) 可合并为一类结果。 对于二次型函数（如g( x) ax 21）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。 例3．求f ( x) a 2 x3ax 2x 1 的单调区间 利用导数研究函数的单调性之二阶求导型 一、解答题（题型注释） 1．已知函数ax x xe x f x --=ln )(2． （1）当0=a 时，求函数)(x f 在]1,2 1[上的最小值； （2）若0>?x ，不等式1)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围； （3）若0>?x ，不等式e x x e x e e x x f 1111 1)1(2+ -+≥-恒成立，求a 的取值范围． 1．（1） ln 22 e +； （2）2a ≤；（3）11(1)e e a e e ≤---． 【解析】 试题分析：（1）由0=a 时，得出x xe x f x ln )(2-=，则21 ()(21)x f x x e x '=+- ，再求导()f x ''，可得函数)(/ x f 在),0(+∞上是增函数，从而得到函数()f x 的单调性，即可求解函数)(x f 在]1,2 1[上的最小值； （2）由（1）知函数)(/ x f 在),0(+∞上是 增函数，且00>?x ，使得0()0f x '=，得01 )12(0 200 =-- +a x e x x ，即022000(2)1x ax x x e =+-，设022000()1ln 2x f x x x e =--，利用函数0()f x 的单调性， 即可求解求a 的取值范围；（3）根据题意，转化为1 1ln x e x e a x x x e +-≤--对任意0>x 成 立，令e x e e x x x x x g 11ln )(+---=，所以()g x '，可得出()g x 的单调性，求解出()g x 的最小值，即可a 的取值范围． 试题解析：（1）0=a 时，x xe x f x ln )(2-=，x e x x f x 1)12()(2/-+=∴， 01 )44()(22//>++=?x e x x f x ，所以函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数，导数应用：含参函数的单调性讨论(二)
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