一、比例的性质：
⑴ 比例的基本性质：
a c
ad bc b d
=?=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b
c d a c d c
b d b a d b
c a ?=??
?=?=??
?=??交换内项 交换外项 同时交换内外项
⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d
b d a c
=?=
⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=?=，推广：a c a kb c kd
b d b d
±±=?=
（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a
b d n b
+++=+++（...0b d n +++≠）
二、基本运算
分式的乘法：a c a c
b d b d
??=?
分式的除法：a c a d a d
b d b
c b c
?÷=?=?
乘方：()n n
n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=?=?
个个
n 个
＝(n 为正整数)
整数指数幂运算性质：
⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)
知识点睛
中考要求
分式的化简求值
负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1
n n a a
-=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则：
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，
a b a b
c c c
+±=
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，
a c ad bc ad bc
b d bd bd bd
±±=±=
分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．
结果以最简形式存在.
一、化简后直接代入求值
【例1】 先化简再求值：
2
11
1x x x
---，其中2x = 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年，湖南郴州
【解析】原式()()111x x x x x =
---()11
1x x x x -==- 当2x =时，原式112x =
=
【答案】12
【例2】 已知：22
21()111
a a a a a a a ---÷?-++，其中3a =
【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】
【解析】22
22
2
1(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷?=-=--++-
【答案】4-
【例3】 先化简，再求值：
22
144
(1)1a a a a a
-+-÷--，其中1a =- 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年，安徽省中考
【解析】()2114421a a a a a a --+-?
?-÷=?= 例题精讲
当1a =-时，原式11
2123a a -=
==---
【答案】1
3
【例4】 先化简，再求值：
22
91333x x x x x ??-? ?--+??其中1
3x =. 【考点】化简后直接代入求值
【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年，湖南省长沙市中考试题
【解析】原式()()()
331
33x x x x x +-=
?-+ 1
x
=
当1
3
x =时，原式3=
【答案】3
【例5】 先化简，再求值：211(1)(2)11
x x x -
÷+-+-，其中x =【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年，湖北省十堰市中考试题
【解析】原式()()()11
1121
x x x x x +-=
?+-+-+ ()()12x x x =-+-22x =-
当x 2
24=
-=．
【答案】4
【例6】 先化简，后求值：22
121
(1)24
x x x x -++÷--，其中5x =-． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年，广东省肇庆市中考试题
【解析】22121(1)24
x x x x -++÷
--=221(1)2(2)(2)x x x x x -+-÷-+- =2
1(2)(2)
2(1)x x x x x -+-?-- 2
x +
当5-=x 时，原式21x x =
+-521
512
+-=-=-. 【答案】
12
【例7】 先化简，再求值：532224x x x x -?
?--÷
?++?
?，其中3x ． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年，湖北省武汉市中考试题
【解析】原式2453(3)(3)2(2)
22(2)22(3)3
x x x x x x x x x x ---+-+=?=+++-=
÷+，当3x =时，原式=。
【答案】
【例8】 先化简，再计算：2
31124a a a +?
?+÷ ?--??
，其中3a =． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年，湖南省岳阳市中考试题
【解析】原式()()2223221a a a a a a +--??=+?
?--+?? ()()22121
a a a a a +-+=
?-+
2a =+
【答案】2a +
【例9】 当1
2x =-时，求代数式2222
6124111x x x x x x x x ??++-+-+÷ ?--+??
的值 【考点】化简后直接代入求值
【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】原式2224(1)1
(1)(1)2413x x x x x x x x x x -++=
?==+--+- 【答案】1
3
【例10】 先化简分式22
222936931
a a a a a a a a a ---÷-
+-+-，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a 值，代入求值．
【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星
【解析】原式()()()
()2
2
3332313a a a a a a a a a a a a +-+-=?-=+=--+
当0123a =，，
，时，原式0246=，，， 【答案】0，2，4，6
【例11】 先化简：22222a b ab b a a ab a ??
-+÷+ ?-??
，当1b =-时，再从22a -<<的范围内选取一个合适的整数a 代入
求值．
【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年，贵州省贵阳市中考试题
【解析】原式()()()()222
21
a b a b a ab b a b a a a b a a a b
a b +-+++=÷=?=-++ 在22a -<<中，a 可取的整数为101-，
，，而当1b =-时， ①若1a =-，分式22
2a b a ab
--无意义；
②若0a =，分式2
2ab b a
+无意义；
③若1a =，分式
1
a b
+无意义． 所以a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）
【答案】a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）
【例12】 已知212242
x
A B C x x x =
==
--+，，将它们组合成()A B C -÷或A B C -÷的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值其中3=x ．
【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2010年，河南省中考试题
【解析】选一：()()()21
221242222x x x A B C x x x x x x x +??-÷=-÷=?= ?
--++--?? 当3x =时，原式1
132=
=- 选二：()212121
24222x A B C x x x x x x x -÷=
-÷=-=--+--， 当3x =时，原式1
3
=
【答案】选一：当3x =时，原式1
132=
=- 选二：当3x =时，原式1
3
=
【例13】 先化简，再求值:
2
24125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a +++÷--÷-+，其中4a = 【考点】化简后直接代入求值
【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】原式2
22
4(3)5(2)(2)[2](34)(2)a a a a a a a a +++=÷--÷-+4(3)(2)(2)5(34)(2)2a a a a a a +-+-=÷-++ 4(3)2(34)(2)(3)(3)a a a a a a ++=?-+-+4(34)(3)
a a =-- 当4a =时，原式441
(34)(3)(344)(43)2
a a =
==--?-- 本题含分式乘方、加、减、乘、除混合运算；与分式四则混合运算类似，分式的四则混合运算 的顺序是:先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 【答案】1
2
【例14】 已知20102009x y ==，，求代数式22xy y x y
x x x ??--- ???÷的值． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年，顺义一模试题
【解析】22xy y x y
x x x ??--- ???
÷ 222x xy y x
x x y -+=-
2()x y x
x x y -=-
x y =-
当2010x =，2009y =时，原式=201020091x y -=-=．
【答案】1
【例15】 已知22a b ==，试求a b
b a
-的值． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年，湖北荆门市中考试题
∴4a b +=，a b -=1ab = 而a b b a -22()()a b a b a b ab ab -+-==
∴
a b b a -=
()()a b a b ab
+-==
【答案】
【例16】 先化简，再求值：
()()
x y
y x y x x y -++，其中11x y =，．
【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年，湖南湘潭市中考试题
【解析】原式()()
22
x y xy x y xy x y =
-++ ()22
x y xy x y -=+()()()
x y x y xy x y -+=+x y xy -=
当 11x y =，时，
1122
1
x y
xy
-
-=== 【答案】2
【例17】 化简，再求值：11-a b b a ??+ ?
+??ab a b
÷+.其中1a =, b =. 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2010年，黄石市中考试题
【解析】原式
()()()()()2b a a b a b a b b a ab a b b
++-+=?=-+-
∵1a b =，
∴原式1b =，
∴
===
【例18】 先化简，再求值：22
112b a b a b a ab b ??-÷ ?-+-+??
，其中11a b =+=【考点】化简后直接代入求值
【题型】解答
【关键词】2010年，宣武一模试题
【解析】原式()()()()
()()2
2a b a b a b a b a b a b b a b
+----=?
=
-++
当11a b =+=
=
=
【答案】
【例19】 先化简，再求值：222
11x y
x y x y x y ??+÷ ?-+-??
，其中11x y =， 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2010年，广西桂林中考试题 【解析】原式2222222
x y x y x y
x y
x y x y ??+-=+÷ ?---?? 2222
2x y x y x y x y x y
++--=?- 222x x y xy
=
=
当11x y =， 原式
2
2
131
xy
=
==
=-
【答案】1
【例20】 求代数式()()2
2
2
2222222
2a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+?÷-++-的值，其中1a =，12b =-，2
3
c =- 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】()()2
2
2
22222222a b c
a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+?÷-++-
()()()()()
()()()()2
a b c a a b c a b c a b a b a a b a b c a b c a b -+-+--+-=??-+--++a b c a b --=+． ∴当1a =，12b =-，23c =-时，原式12123112
+
+
=
-1313263=?=． 【答案】13
3
1. 直接换元求值
【例21】 已知：2
2
44a b ab +=（0ab ≠），求22225369a b a b b
a b a ab b a b
--÷-
++++的值． 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2010年，石景山二模 【解析】由2244a b ab +=得2b a =
原式2a b
a b
-=+
当2b a =时，
原式42a a
a a
-=+1=-
【答案】1-
【例22】 已知x y z ，，满足235x y z z x =
=-+，则52x y
y z -+的值为（ ） A.1 B.13 C.13
- D.1
2
【考点】直接换元求值（分式） 【难度】4星 【题型】选择
【关键词】2007年，全国初中数学联赛试题
【解析】B ；由235x y z z x ==-+得3
32y x z x ==，，
∴
5531
2333x y x x y z x x --==++ 【答案】1
3
【例23】 已知：34x y =，求222
2222x y xy y x xy y x xy
-+÷-+-的值
【考点】直接换元求值（分式）
【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】2222
222()()()3
2()()4x y xy y x y x y y x y x x xy y x xy x y x x y y -++-+÷=÷==-+--- 【答案】
3
4
【例24】 已知：2
20x -=，求代数式222(1)11
x x x x -+
-+的值． 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】2星
【关键词】2010年，丰台一模
【解析】原式=22
(1)1)(1)1
x x x x x -++-+（
=2111x x x x -+
++ =211
x x x +-+ ．
∵220x -=，∴22x =．
∴原式=211
111
x x x x +-+==++．
【答案】1
【例25】 已知12=x y ，求2222222-?+-++-x x y y
x xy y x y x y
的值．
【考点】直接换元求值（分式）
【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年，海淀一模
【解析】y x y y x y x y xy x x
-++-?+-222222
2 2
2()()2()x x y x y y
x y x y x y -+=
?++--
22()x y x y x y =
+--
2()
()
x y x y +=
-．
当
2
1
=y x 时，x y 2=. 原式2(2)
6(2)
x x x x +=
=--.
【答案】6-
【例26】 已知221547280x xy y -+=，求x
y
的值. 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】221547280x xy y -+=，∴(37)(54)0x y x y ++=，∴370x y +=或540x y +=，
由题意可知:0y ≠，
73x y =-或45
x y =-. 【答案】4
5
-
【例27】 已知22690x xy y -+=，求代数式 22
35(2)4x y
x y x y +?+-的值.
【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2010年，海淀二模
【解析】22690x xy y -+=，2(3)0x y -=．
∴ 3x y =． ∴原式35(2)(2)(2)
x y
x y x y x y +=?++-
352x y
x y +=-
3(3)52(3)y y
y y
+=
-
145=
． 【答案】14
5
【例28】 已知x =，求35
1x x x ++的值．
【考点】条件等式化简求值 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】降次，整体置换
【解析】
21x -=21x x =+，0x ≠．
则()2
33245555111x x x x x x x x
x x x ++++=====
【例29】 已知20x y -=，求22
()2x y xy
y x x xy y -?-+的值．
【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2010年，东城二模
【解析】()x y xy
-?
=2222
2x y xy
xy x xy y -?-+ =2
()()()x y x y xy
xy x y -+?-
=
x y x y
+-. ∵20x y -=， ∴2x y =. ∴
x y x y +-=
2332y y y
y y y
+==-. ∴原式 3.=
【答案】3
【例30】 已知3a b =，23a c =
，求代数式a b c
a b c
+++-的值. 【考点】直接换元求值（分式）
【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】（法1）注意将未知数划归统一，2,33a a b c ==，123331233
a a a
a b c a b c a a a
++++==+-+- （法2）3a b =，223233a c b b =
=?=，32332a b c b b b a b c b b b ++++==+-+-
【答案】3
【例31】 已知
123a b c a c ==
++，求c
a b
+的值． 【考点】直接换元求值（分式）
【难度】4星 【题型】解答
【关键词】第8届，华罗庚金杯复赛
【解析】23b c a a c a +=??+=?22b c a c a +=???=?02b c a =???=?，所以220c a
a b a ==++．
【答案】2
【例32】 已知2232a b ab -=，0a >，0b >，求证：
25
2
a b a b +=- 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
【解析】由已知可得22230a ab b --=，则(3)()0a b a b -+=，所以3a b =或a b =-
∵0a >,0b >，∴3a b =，则
23255
a h
b b b ++===
【答案】
52
【例33】 已知：2232a b ab -=，求2a b
a b
+-的值. 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】清华附中暑假作业
【解析】变形可得：()(3)0a b a b +-=，所以a b =-或3a b =，所以
212a b a b +=--或5
2
. 【答案】12-或5
2
【例34】 已知2
2(3)0x y a b -+-=，求32223322232332a x ab y b xy
a x a
b y b xy
++++的值．
【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】第9届，华罗庚金杯总决赛1试 【解析】由已知可得：2y x =，3a b =，故原式7297
=. 【答案】
7297
【例35】 已知分式
1x y
xy
+-的值是m ，如果用x ，y 的相反数代入这个分式，那么所得的值为n ，则m 、n 是什么关系？
【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】由题可知：()()()1.1x y
m xy x y n x y +?=?-?
?-+-?=?---?
，
①②
由②得：11x y x y
n m xy xy
--+=
=-=---． ∴m n =-，∴0m n +=． 所以m n ，的关系为互为相反数．
【答案】m n ，的关系为互为相反数
【例36】 已知：233mx y +=，且()22201nx y x y -=≠≠-，．试用x y ，表示m n
． 【考点】直接换元求值（分式）
【题型】解答 【关键词】
【解析】∵0x ≠，∴由2
33mx y +=，得：()()231133y y y m x x
+--==． 由222nx y -=，得：()22
2122y y n x x ++==． ∵1y ≠-，∴0n ≠，
∴()()()231121y y y m n x x +-+=÷()()()
2
31121y y x x y +-=?
+()312x y -=． 【答案】
()312
x y -
【例37】 已知：230a b c -+=，3260a b c --=，且0abc ≠，求333
222
3273a b c ab bc a c
-++-的值. 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
【解析】由题意可知：2303260a b c a b c -+=??--=?
，解得43a c b c =??=?，33332223
32151
73453a b c c ab bc a c c -+-==-+- 【答案】1
3
-
【例38】 已知方程组:230
230x y z x y z -+=??-+=?
(0xyz ≠)，求：::x y z
【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】把z 看作已知数，解关于x 、y 的方程组，解得5y z =，7x z =，所以::7:5:1x y z =. 【答案】::7:5:1x y z =
【例39】 若4360x y z --=，270x y z +-=(0xyz ≠)，求222
222
522310x y z x y z +---的值.
【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】全国初数数学竞赛
【解析】由43627x y z x y z -=??+=?，得32x z
y z =??=?，代入得原式13=-.
【答案】13-
【例40】 设自然数x 、y 、m 、n 满足条件5
8
x y m y m n ===，求的x y m n +++最小值．
【关键词】黄冈市初中数学竞赛
【解析】58x y =，58y m =，85m y =，864
525
n m y ==，从而y 是825200?=的倍数，当200y =
5864
12520032051211578525
x y m n y y y y +++=+++=+++=
【答案】1157
【例41】 设有理数a b c ，，都不为0，且0a b c ++=， 则222222222
111
b c a c a b a b c ++
+-+-+-的值为___________。 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】1996年，武汉市初中数学竞赛试题 【解析】由0a b c ++=，得2222a b c a ab b c +=-++=，，∴2222a b c ab +-=-.
同理，22222222b c a bc c a b ca +-=-+-=-，.故原式11102222a b c
bc ca ab abc
++=++==----
【答案】0
【例42】 已知实数a 、b 、c 满足11a b c ++=与
1111317a b b c c a ++=+++，则a b c
b c c a a b
++
+++的值是 ． 【考点】直接换元求值（分式）
【难度】5星 【题型】填空
【关键词】2008年，青少年数学国际城市邀请赛，个人赛 【解析】因为()11a b c =-+，所以，
所以，
()11111b c a b c b c b c -+==-+++． 故c a b a b b c c a ++
+++ 111111111a b b c c a
=-+-+-+++ 1
11113a b b c c a ??=++- ?+++??
139********=?-=．
【答案】92
17
【例43】 已知非零实数a b c ，
，满足0a b c ++=。求证： （1）3333a b c abc ++=
（2）9a b b c c a c
a b c
a b a b b c c a ---????++++= ???---????。
【关键词】2005年，北京市初二数学竞赛试题 【解析】（1）由0a b c ++=，得a b c +=-，
∴()3
3a b c +=-。于是3223333a a b ab b c +++=-，
故()()333333a b c ab a b ab c abc ++=-+=--=。
（2）∵2211a b b c c a c b c c a c
c c a b a b a
b a b ab -----????++?=++?
=+ ? ?--????， 同理221a b b c c a a a c a b b c bc ---??++?=+ ?-??，221a b b c c a b
b c a b c a ac ---??++?=+ ?-??。 ∴a b b c c a c a b c
a b a b b c c a ---????++++ ???---????
()333222222223111339a b c c a b abc
ab bc ac abc abc
++?=+++++=+=+=
【答案】9
2、设参辅助求值
【例44】 已知234
x y z
==，则
222x y z xy yz zx ++=++___________． 【考点】设参辅助求值（分式）
【难度】3星 【题型】填空
【关键词】“希望杯”试题
【解析】令2234x y z k x k ===?=，3y k =，4z k =，故原式222222491629
612826k k k k k k ++==
++； 【答案】29
26
【例45】 若a b c d b c d a ===，求a b c d
a b c d
-+-+-+的值.
【考点】设参辅助求值（分式） 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
【解析】设a b c d
k b c d a
====，则d ak =，2c dk ak ==，3b ck ak ==，4a bk ak ==
故41k =，故1k =±.
若1k =，则0a b c d a b c d -+-=+-+；若1k =-，则2a b c d
a b c d
-+-=-+-+.
【答案】0或2-
【例46】 化简：()()()()()()
(2)(2)(2)(2)(2)(2)y x z x z y x y x z y z x y z x y z x y z y z x y z x x y z ------++-++-+-+-+--+
【关键词】
【解析】设x y a -=，y z b -=，z x c -=
则有2()()x y z x y y z a b -+=---=-， 2()()x y z y z z x b c +-=---=-， 2()()y z x z x x y c a +-=---=-.
故原式()()()()()()ca ab bc a b b c b c c a c a a b ---=++------()()()
()()()
ca c a ab a b bc b c a b b c c a -+-+-=----
222()()()
()()()
c a b c a b ab a b a b b c c a ---+-=-
---()()()1()()()a b c a c b a b b c c a ---=-=---. 【答案】1
【例47】 已知222222()()()(2)(2)(2)b c c a a b b c a c a b a b c -+-+-=+-++-++-，
求分式222(1)(1)(1)
(1)(1)(1)
bc ca ab a b c ++++++的值.
【考点】设参辅助求值（分式） 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】
【解析】设,,a b x b c y c a z -=-=-=，则已知条件化为222222()()()x y z z x x y y z ++=-+-+-
展开并化简可得，2222220x y z xy yz zx ++---=. 又0x y z a b b c c a ++=-+-+-=， 故2222220x y z xy yz zx +++++=.
从而22200x y z x y z a b c ++=?===?==.
于是可得2
22(1)(1)(1)
1(1)(1)(1)
bc ca ab a b c +++=+++. 【答案】1
【例48】 已知232332234a b c b c a c a b +--+++==
，则2332a b c
a b c
-++-=____________. 【考点】设参辅助求值（分式） 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】五羊杯试题
【解析】设232332234a b c b c a c a b
k +--+++===，则有
232233324a b c k
b c a k c a b k
+-=??
-+=??++=?，求得911a k =，811b k =，111c k =.故2343231a b c a b c -+=-+-.
【答案】431
-
【例49】 已知345x y y z z x ==+++，则222
x y z xy yz zx
++++=__________.
【关键词】重庆市数学竞赛试题
【解析】由
345k x y y z z x ===+++，可得345x y k y z k x z k ?+=???+=???+=??，可得213x k y k z k ?
=??
?
=??
?=??
，则2221411x y z xy yz zx ++=++. 【答案】14
11
【例50】 设1x y z u +++=，()()()2:12:22:3(2):4x y y z z u u x +=+=+=+，
则733x y z u +++=___________．
【考点】设参辅助求值（分式） 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】“五羊杯”试题
【解析】令2222234
y z z u u x
x y k ++++====，则有
2 (1)22 (2)2
3 (3)2
4 (4)
x y k y z k z u k u x k +=??+=?
?
+=??+=? (1)2(2)?-可得，40 (5)x z -= (3)2(?-可得，42 (6)z x k -=
由(5)、(6)可得，215x k =
，8
15z k = 代入(1)、(3)可得，1115y k =，29
15u k =
又1x y z u +++=，故2811293
11515151510k k k k k +++=?=
故203
7332310
x y z u +++=?=．
【答案】2
【例51】 若
x y z x y z x y z z y x +--+-++==，求()()()
x y y z z x xyz
+++的值. 【考点】设参辅助求值（分式）
【难度】5星 【题型】解答
【关键词】天津市竞赛题
【解析】设
x y z x y z x y z
k z y x
+--+-++=== 则(1)x y k z +=+，(1)y z k x +=+，(1)x z k y +=+，三式相加可得2()(1)()x y z k x y z ++=+++，
若0x y z ++≠，则1k =，
()()()
8x y y z z x xyz
+++=； ()()()
x y y z z x +++
【答案】8或1-
【例52】 已知
x y y z u z u x =++++z u u x y x y z ==++++．求x y y z z u u x
z u u x x y y z
+++++++++++的值．
【考点】设参辅助求值（分式）
【难度】5星 【题型】解答 【关键词】
【解析】可得(13)()0k x y z u -+++=
⑴如果分子0x y z u +++≠，则由分母推得x y z u ===．此时， x y y z z u u x
z u u x x y y z
+++++++++++11114=+++=． ⑵如果分子0x y z u +++=，则()x y z u +=-+，()y z u x +=-+． 此时，
x y y z z u u x
z u u x x y y z
+++++++++++()()()()11114=-+-+-+-=-． 【答案】4或4-
【例53】 已知
x y z
b c a c a b a b c
==
+-+-+-，求()()()b c x c a y a b z -+-+-的值. 【考点】设参辅助求值（分式） 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】
【解析】设x y z
k b c a c a b a b c ===+-+-+-，则有
()2()()2()()x b c a k
y x a b k y c a b k z x a c k z a b c k
=+-?-=-??
=+-???-=-??=+-?
故[]()()()()()()()b c x c a y a b z c a a b x c a y a b z -+-+-=--+-+-+- ()()()()2()()2()()0c a y x a b z x a b c a k a c a b k =--+--=--+--=. 【答案】0
【例54】 已知a ，b ，c 都是互不相等的非零实数，x ，y 中至少有一个不为零，且bx cy cx ay ax by
a b c
+++==
. 求证：0a b c ++=. 【考点】设参辅助求值（分式） 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】
【解析】设bx cy cx ay ax by
k a b c +++===，则有
(1) (2) (3)bx cy ak cx ay bk ax by ck +=??
+=??+=?
不妨设0x ≠，由(1)、(2)消去y 可得 ()()
22 (4)ab c x a bc k -=-
由(2)、(3)消去y 可得 ()()
22 (5)bc a x b ca k -=- 由(4)、(5)消去k 可得
()()()2
2220ab c b ca a bc x ??--+-=????
故()()()2
2220ab c b ca a bc --+-=
()()()()222
0a a b c a b b c c a ??++-+-+-=??
由0a ≠，a ，b ，c 互不相等可知，0a b c ++=． 【答案】0
【例55】 已知9p q r ++=，且
2
22p q r
x yz y zx z xy
==---，则 px qy rz
x y z
++++的值等于（ ）
A. 9
B.10
C. 8
D. 7
【考点】设参辅助求值（分式）
【难度】5星 【题型】选择
【关键词】第11届，“希望杯”试题
【解析】设2
22p q r
k x yz y zx z xy
===---，又9p q r ++=， 故()
2229k x y z xy yz zx ++---=
又()
333px qy rz k x xyz y xyz z xyz ++=-+-+-()
3333k x y z xyz =++-
()()222k x y z x y z xy yz zx =++++---
()9x y z =++，故
9px qy rz
x y z
++=++，选A ．
【答案】A
【例56】 已知2220(0)x yz y zx z xy
xyz a b c
---==≠≠，求证：222a bc b ca c ab x y z ---==. 【考点】设参辅助求值（分式） 【难度】6星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略
【答案】设222x yz y zx z xy
k a b c ---===，则2x yz ka -=，2y zx kb -=，2z xy kc -=，所以
2222
22()()()()k a bc x yz y zx z xy -=----
4222223322x x yz y z y z xy xz x yz =-+-++- 333(3)x x y z xyz =++-.
因为0x ≠，0k ≠，所以23332
3a bc x y z xyz
x k
-++-=. 同理可得22333
23b ca c ab x y z xyz y z k --++-==，从而222a bc b ca c ab
x y z
---==.
中考专题训练——分式化简求值 1、先化简，再求值：??? ? ?+---÷--11211222x x x x x x ，其中21=x 2、先化简，再求值：324 44)1225(222+=++-÷+++-a a a a a a a ，其中 3、先化简，再求值：4 12)211(22-++÷+-x x x x ，其中3-=x
4、先化简，再求值：（x 2＋4x －4）÷ x 2－4 x 2＋2x ，其中x ＝－1 5、先化简，再求值：22122 121x x x x x x x x ---??-÷ ?+++??，其中x 满足012=--x x . 6、先化简，再求值：1221214322+-+÷??? ??---+x x x x x x ，其中x 是不等式组? ??<+>+15204x x 的整数解．
7、化简求值：a b a b a b ab a b ab a 12252962 222-???? ??---÷-+-，其中a ，b 满足{ 42=+=-b a b a 8、先化简，再求值：1 1121122++???? ??---+÷x x x x x x ，其中x 的值为方程152-=x x 的解. 9、先化简，再求值：2344(1)11 x x x x x ++--÷++，其中x 是方程12025x x ---=的解。
10、先化简，再求值：,2222444222-+÷??? ? ??--+--a a a a a a a 其中3-=a 11、先化简，再求值：11)1211( 2+÷---+a a a a ，其中13+=a . 12、先化简，再求值： 2244(1),442x x x x -÷--+-其中222-=x
专题训练(一) 分式化简求值常见题型归纳 ? 类型一 代入求值型 一、直接代入型 1．先化简，再求值：? ????a 2 a －1＋11－a ·1a ，其中a ＝－12. 二、选择代入型 2．先化简：x 2 ＋x x 2－2x ＋1÷? ?? ??2x －1－1x ，再从－2＜x ＜3的范围内选取一个你喜欢的x 值代 入求值． 3．若a 满足－3≤a≤3，请你选取一个合适的数a 使得代数式a 2 －1a ÷? ?? ?? 1－1a 的值是一 个奇数． 三、整体代入型 4．已知x ，y 满足x ＝5y ，求分式x 2 －2xy ＋3y 2 4x 2＋5xy －6y 2的值． 5．已知a ＋b b ＝52，求a －b b 的值． 6．若1a －1b ＝12，求a －b ab －ab a － b 的值． 7．已知1x ＋1y ＝5，求2x －3xy ＋2y x ＋2xy ＋y 的值． 8．已知a 满足a 2 ＋2a －15＝0，求1a ＋1－a ＋2a 2－1÷（a ＋1）（a ＋2）a 2 －2a ＋1的值． 9．已知t ＋1t ＝3，求t 2 ＋? ????1t 2的值． 10．已知x ＋1x ＝4，求x 2 x 4＋x 2 ＋1的值． ? 类型二 设比例系数或用消元法求值 11．已知2a －3b ＋c ＝0，3a －2b －6c ＝0，abc ≠0，则a 3 －2b 3 ＋c 3 a 2 b －2b 2 c ＋3ac 2＝________． 12．已知x 2＝y 3＝z 4≠0，求xy ＋yz ＋zx x 2＋y 2＋z 2的值．
? 类型三 利用非负数的性质挖掘条件求值 13．已知x 2 －4x ＋4与|y －1|互为相反数，则式子? ????x y －y x ÷(x ＋y)的值为________． 14．已知??????x －12x －3＋? ?? ??3y ＋1y ＋42 ＝0，求32x ＋1－23y －1的值． ? 类型四 值恒不变形 15．已知y ＝x 2 ＋6x ＋9x 2－9÷x ＋3x 2－3x －x ＋3，试说明不论x 为任何使原式有意义的值，y 的 值均不变． 详解详析 1．解：原式＝????a 2a －1－1a －1·1a ＝a 2－1a －1·1a ＝（a ＋1）（a －1）a －1 ·1a ＝a ＋1a . 当a ＝－1 2时，a ＋1a ＝－1 2＋1－1 2 ＝－1. 2．解：原式＝x （x ＋1）（x －1）2÷2x －（x －1）x （x －1）＝x （x ＋1）（x －1）2·x （x －1）x ＋1＝x 2 x －1. 由题意，可取x ＝2代入上式，得x 2x －1＝22 2－1 ＝4.(注意：x 不能为0和±1) 3．解：原式＝a ＋1.由原代数式有意义，得a ≠0且a ≠1，又代数式的值是奇数，且－3≤a ≤3，所以a ＝±2. 4．解：由已知可得y ≠0，将分式的分子、分母同除以y 2 ，得原式＝????x y 2 －2·x y ＋34·????x y 2＋5·x y －6. 又已知x ＝5y ，变形得x y ＝5，将其代入原式，得????x y 2 －2·x y ＋34·????x y 2 ＋5·x y －6＝52－2×5＋34×52＋5×5－6＝18 119. 5．[解析] 由a －b b ＝a ＋b －2b b ＝a ＋b b －2，再将已知条件代入该式即可求解．
中考专题训练——分式化简求值 1、先化简，再求值：??? ??+---÷--11211222x x x x x x ，其中2 1 =x 2、先化简，再求值：32444)1225( 222+=++-÷+++-a a a a a a a ，其中 3、先化简，再求值：4 1 2)211(2 2-++÷+-x x x x ，其中3-=x 4、先化简，再求值：（x 2＋4x －4）÷ x 2－4 x 2＋2x ，其中x ＝－1 5、先化简，再求值：22 122 121x x x x x x x x ---??-÷ ?+++??，其中x 满足012=--x x . 6、先化简，再求值：1221214 32 2+-+÷??? ??---+x x x x x x ，其中x 是不等式组???<+>+1 5204x x 的整数解． 7、化简求值：a b a b a b ab a b ab a 12252962 222-??? ? ??---÷-+-，其中a ，b 满足{ 42=+=-b a b a 8、先化简，再求值：1 1 121122++???? ??---+÷x x x x x x ，其中x 的值为方程152-=x x 的解. 9、先化简，再求值：2344(1)11x x x x x ++--÷++，其中x 是方程12025 x x ---=的解。 10、先化简，再求值：,2222444222-+÷??? ? ??--+--a a a a a a a 其中3-=a 11、先化简，再求值：11 )1211( 2+÷ ---+a a a a ，其中13+=a . 12、先化简，再求值：2244 (1),442x x x x -÷--+-其中222-=x 13、先化简，再求值：x x x x x x --÷--+224)1151(，其中43-=x ． 14、先化简，再求值：222 221(),11a a a a a a a -+-÷-+- 其中a 是方程2 702 x x --=的解.
中考专题复习分式的化简求值与分式方程 分式化简技巧 1. 在分式的运算中，有整式时，可以把整式看做分母为1的式子，然后 再计算。 2. 要注意运算顺序，先乘方、同级运算从左到右依次进行。 3. 如果分式的分子分母是多项式，可先分解因式，再运算。 4. 注意分式化简题不能去分母. 类型一、分式化简 1、计算： 2、化简: 3、化简，： ， 类型二、化简求值 4、先化简，再求值：，其中。2、 5、先化简，再求值：，其中x=． 6、先化简，在求代数式的值．，其中 7、已知.将他们组合成（A－B）÷C或A－B÷C的形式，请你从中任选一种进行计算.先化简，再求值，其中. 类型二、化简求值与不等式组
，其中x是不等式组 的整数解． 9、化简代数式，并判断当x满足不等式组 时该代数式的符号. 类型三、化简，选取合适的数求值 10、先化简：，再用一个你最喜欢的数代替计算结果 11、先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值。 12、先化简：，再选取一个合适的值代13、先化简代数式，再从－2,2,0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值。 14、先化简：().再从1，2，3中选一个你认为合适的数作为a的值代入求值. 类型四、化简求值，整体代入
16、先化简，再求值：(－)÷，其中x满足x2－x－1＝0． 17、 先化简，再求值：，其中满足. 18、已知：，求的值． 19、先化简，再求值：，其中a满足： 分式方程技巧： 解分式方程的步骤： 1、去分母---------化分式方程为整式方程两边同乘以最简公分母 2、解整式方程-------去括号、移项、合并同类项、系数化为1 3、检验-------带入最简公分母，若为零，则为増根，应舍去。 1、解方程： 2.
化简求值题 1． 先化简，再求值： 12112---x x ，其中x ＝－2． 2、先化简，再求值： ，其中a=﹣1． 3、先化简，再求值： ，其中x=． 4、先化简，再求值： ，其中． 5先化简，再求值 ，其中x 满足x 2﹣x ﹣1=0． 6、化简： b a b a b a b 3a -++-- 7、先化简，再求值： ，其中a=． 8、先化简211111 x x x x -÷-+-（ ），再从﹣1、0、1三个数中，选择一个你认为合适的数作为x 的值代入求值．
9、先化简，再求值：（ +1）÷，其中x=2． 10、先化简，再求值：3x –3 – 18x 2 – 9 ，其中x = 10–3 11、先化简下列式子，再从2，﹣2，1，0，﹣1中选择一个合适的数进行计算． ． 12、先化简，再求值： 12-x x (x x 1--2),其中x =2. 13、先化简，再求值： ，其中． 14、先化简22( )5525x x x x x x -÷---，然后从不等组23212x x --≤??
16、先化简，再求值：232( )111 x x x x x x --÷+-- ，其中x = 17先化简。再求值： 2222121111a a a a a a a +-+?---+，其中12 a =-。 18． 先化简，再求值：? ????1＋ 1 x －2÷ x 2 －2x ＋1 x 2－4，其中x ＝－5． 19. 先化简再计算：22121x x x x x x --??÷- ?+?? ，其中x 是一元二次方程2220x x --=的正数根. 20 化简，求值： 111(1 1222+---÷-+-m m m m m m ） ，其中m =． 21、（1）化简： ÷． （2）化简：22a b ab b a (a b )a a ??--÷-≠ ??? 22、先化简，再求值： ，其中． 3
中考化简求值专题 一、考点分析 1、分式的化简 2、分式的混合运算 3、分式的求值 4、不等式的解法 5、二次根式的化简 （注意：此类要求的题目，如果没有化简，直接代入求值一分也不得。） 二、解题基本方法 1、分解因式： （1）提公因式法： （2）公式法： 1）平方差公式： 2）完全平方公式： 2、分式的通分：异分母的分式相加减关键在于找最简公分母再通分。 （温馨提醒：有时候通分需要把其中两项看成整体要简单一些） 3、不等式的解法：利用数轴和口诀法确定不等式的解集 4、二次根式的化简：将结果化成最简二次根式 三、解题技巧： 1、要善于观察题目的特征，若分子，分母是多项式则应先将其分解因式，再把除法转化为乘法，再约分化简。 2、注意规范解题格式： 如“解：原式=”和“当......时，原式=”的写出等，中考注重过程评价，通常算对一个就给一个的分。 四、例题讲解 例1、先化简，再求值： 其中a ，b 满足 答案： ) (c b a m mc mb ma ++=++) )((22b a b a b a -+=-2 222)(b ab a b a +±=±???=-=+2 4b a b a a b a b a b ab a b ab a 12252962222----÷-+-）（a b a b a b a b a b b a a b a 12)2)(2(25)2()3(22-??????-+---÷--=解：原式a b a a b b a a b a 129)2()3(222 ---÷--=
变式练习1： 先化简，再求值： 其中 是不等式 的负整数解。 答案： 变式练习2：先化简，再求值： ，其中x 是不等式组的整数解． a a b a b b a b a a b a 1)3)(3(2)2()3(2-+--?--=a a b a b a 1)3()3(-+--=b a b a a a a b a a b a b a b a 32)3(2)3(3)3()3(+-=+-=++-+--=???=-=+24b a b a ???==∴13b a 31-1332-13=?+=???==∴时，原式当b a 4442122+--÷??? ??---+x x x x x x x x 173>+x 4)2()2(4222--?-+--=x x x x x x x 4)2()2(42 --?--=x x x x x x x 2-=1-=∴x 2->x 解得1 73>+x 由444)2()1()2)(2(2-+-?---+-=x x x x x x x x x 解：原式是不等式的负整数解，又x 31-2-1-1==-=时，原式当x
分式的化简 一、比例的性质： ⑴比例的基本性质：a c ad bc b d = ?=，比例的两外项之积等于两内项之积. 知识点睛 中考要求
⑵更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=?? 交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c = ?= ⑷合比性：a c a b c d b d b d ±±= ?=，推广：a c a kb c kd b d b d ±±=?= （k 为任意实数） ⑸等比性：如果....a c m b d n = ==，那么......a c m a b d n b +++=+++（...0b d n +++≠） 二、基本运算 分式的乘法：a c a c b d b d ??= ? 分式的除法：a c a d a d b d b c b c ?÷ =?=? 乘方：()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=?=?64748 L L L 1424314243个个 n 个 ＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)
⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1 n n a a -= (0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c c c +±= 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±± =±= 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 结果以最简形式存在. 一、分式的化简求值 【例1】 先化简再求值： 2 11 1x x x ---，其中2x = 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2010年，湖南郴州 例题精讲
专项辅导（4） 化简求值题及答案 化简求值题在中考数学中占有十分重要的地位,纵观近几年省的中考数学试题,都出现了此类题目,所占分值为8分,可见此类题目的重要性!在难度上化简求值题并不难,侧重于对基础知识的考查.进行适当的练习能够对此类题目更好的掌握,在考试中不至于失分! (2008.)1.先化简,再求值: ,1 12112a a a a a a ÷+---+其中21-=a . (2009.)2.先化简,2 21111 2 -÷??? ??+--x x x x 然后从1,1,2-中选取一个合适的数作为x 的值代入求值. (2010.)3.已知,2 ,42,212+=-=-= x x C x B x A 将它们组合成 ()C B A ÷-或C B A ÷-的形式,请你从中任选一种进行计算,先化 简,再求值,其中.3=x
(2011.)4.先化简,1441112 2 -+-÷??? ? ?--x x x x 然后从-2≤x ≤2的围选取一个合适的整数作为x 的值代入求值. (2012.)5.先化简,42442 2??? ? ?-÷-+-x x x x x x 然后从5-＜x ＜5的围选 取一个合适的整数作为x 的值代入求值. 以下题目选取的是九年级上册数学中的化简求值题.请认真完成! 6.先化简,再求值:,221 122y xy x y y x y x ++÷???? ? ?+ --其中y x ,的值分别为.23,23-=+=y x
7.先化简,再求值:,121112 ++÷??? ? ? +-a a a a 其中.23=a 8.先化简,再求值:,1 121112-÷ ??? ??+-+-+x x x x x x 其中2=x . 9.先化简,再求值:,244442232??? ? ??+ -????? ??++-x y x xy y xy x y y x 其中y x ,的值分别为.1 212?????+=-=y x 10.(2009.)先化简,再求值: ),2(4 24 42+?-+-x x x x 其中.5=x
中考化简求值专题复习教学设计 西平罗乡中心学校 牛树芳 学校： 班级： 姓名： 学习目标： 1：掌握分式的化简求值。一是使分式有意义时,求解相关字母的取值范围；二是运用“整体法”“化归法”对分式化简求值。 2：利用分式的基本性质对分式进行通分和约分，进而把分式化为最简。 3：重点掌握分式化简基本技能、基本计算。 一、知识要点： （1）当 时，分式无意义；当 时，分式的值为零。 （2）分式的分子与分母都 同一个不等于零的整式，分式的值不变。 （3）通分的关键是确定几个分式的 。 （4）同分母分式相加减， 不变，把 相加减。 （5）异分母分式相加减，先 ，变为同分母的分式，然后再加减。 （6)分式乘分式，用分子的积作为积的 ，分母的积作为积的 。 （7）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式 。 （8）平方差公式： ，完全平方和公式： ，完全平方差公式： 。 二、基础闯关： 1、化简：22193m m m -=-+ 2、先化简，再求值： 232224x x x x x x ??-+ ?+--??，其中x=3 3、先化简,再求值：222344322+-++÷+++a a a a a a a ，其中a=5．
三、互动探究 1、先化简，再求值：（+）÷，其中x=﹣1． 2、化简求值：，a取﹣1、0、1、2中的一个数． 四、畅谈收获： 1.您有什么收获或者还有什么疑惑？ 五、中考链接（练习） 1、（2014?抚顺）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=（+1）0+（）﹣1?tan60°．2．（2014?泰州）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x满足x2﹣x﹣1=0．3．（2014?凉山州）先化简，再求值：÷（a+2﹣），其中a2+3a﹣1=0． 4．（2014?烟台）先化简，再求值：÷（x﹣），其中x为数据0，﹣1，﹣3，1，2的极差
2021河南中考数学总复习重点必刷题 分式化简求值 1. 先化简，再求值： x 2?4x+4x+1÷(3x+1?x +1)，请从不等式组{7?3x ≥12x +7≥3 的整数解中选择一个合适的值代入求值． 2. 先化简：(2x ? x 2+1x )÷x 2?2x+1x ，然后选择一个适当的数作为x 的值代入求值． 3. 先化简，再求值：(2x x+1?x x?1)÷1x ?1，其中 x =√2+1. 4. 已知分式(a 2?a a 2?2a+1+21?a )÷a?2a 2?1． (1)化简这个分式． (2)当a =?2021时，求这个分式的值． 5. 先化简(x 2x+1?1)÷x 2?12x 2+x ，然后从?√3 8. 先化简，再求值：x 2?1x 2+x ÷(x ? 2x?1x )，其中x 取最接近√5的整数． 9. 已知分式1?m m 2?1÷(1+1 m?1)． (1)请对分式进行化简； (2)如图，若m 为正整数，则该分式的值对应的点落在数轴上的第________段上．（填写序号即可） 10. 先化简，再求值：m m 2?9÷(1+3m?3)，其中m =?4． 11. 先化简： x 2?4x+4x 2+x ÷(3x+1?x +1)÷2?x x+2，再从不等式组{3(x +1)>x ?1，x+7 2≥2x ?1的整数解中选取一个适当的数代入求值． 12. 先化简：(x ?2x+3x+2)÷(1+1 x 2?4)，然后在?2，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求值． 13. 先化简，再求值： (1x ?1)×x+1x?1? 1?x 2x ，其中x =?2. 分式的化简 一、比例的性质： ⑴ 比例的基本性质： a c ad bc b d =?=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=?? 交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c =?= ⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=?=，推广：a c a kb c kd b d b d ±±=?=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b +++=+++（...0b d n +++≠） 二、基本运算 分式的乘法：a c a c b d b d ??=? 分式的除法：a c a d a d b d b c b c ?÷=?=? 乘方：()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=?=?个 个n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数) ⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a -=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 知识点睛 中考要求 分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c c c +±= 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减， a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±±=±= 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 结果以最简形式存在. 一、分式的化简求值 【例1】 先化简再求值：21 1 1x x x ---，其中2x = 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2010年，湖南郴州 【解析】原式()()111x x x x x =---()11 1x x x x -==- 当2x =时，原式11 2x == 【答案】1 2 【例2】 已知：22 21()111a a a a a a a ---÷?-++，其中3a = 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】22 2221 (1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷?=-=--++- 【答案】4- 【例3】 先化简，再求值： 22144 (1)1a a a a a -+-÷--，其中1a =- 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2010年，安徽省中考 【解析】()()2221144211122a a a a a a a a a a a a --+-?? -÷=?= ?----??- 例题精讲 中考复习分式化简求 值练习题 Revised on November 25, 2020 1． 先化简，再求值：12112---x x ，其中x ＝－2． 2、先化简，再求值： ，其中a=﹣1． 3、先化简，再求值：，其中x=． 4、先化简，再求值：，其中． 5先化简，再求值，其中x 满足x 2﹣x ﹣1=0． 7、先化简，再求值：，其中a=． 8、先化简211111 x x x x -÷-+-（），再从﹣1、0、1三个数中，选择一个你认为合适的数作为x 的值代入求值． 9、先化简，再求值：（ +1）÷，其中x=2． 10、先化简，再求值：3x –3 – 18x 2 – 9 ，其中x = 错误!–3 11、先化简下列式子，再从2，﹣2，1，0，﹣1中选择一个合适的数进行计算．． 12、先化简，再求值：12-x x (x x 1--2),其中x =2. 13、先化简，再求值： ，其中． 14、先化简22()5525x x x x x x -÷---，然后从不等组23212 x x --≤?? 16、先化简，再求值：232()111x x x x x x --÷+--，其中32x =．17先化简。再求值： 2222121111a a a a a a a +-+?---+，其中12 a =-。 18． 先化简，再求值：? ?? ??1＋1x －2÷x 2 －2x ＋1x 2－4，其中x ＝－5． 19. 先化简再计算：22121x x x x x x --??÷- ?+??，其中x 是一元二次方程2220x x --=的正数根. 20 化简，求值： 111(1 1222+---÷-+-m m m m m m ） ，其中m =3． 22、先化简，再求值：，其中． 23请你先化简分式2223691,x 1211 x x x x x x x +++÷+--++再取恰的的值代入求值. 24、先化简再求值()1 21112222+--++÷-+a a a a a a 其中a=3+1 26．先化简，再求值：(x x －2－2)÷x 2－16x 2－2x ，其中x ＝3－4． 27、 先化简，再求值：x 2＋4x ＋4x 2－16÷x ＋22x －8－2x x ＋4 ，其中x ＝2. 28、先化简，再求值：232()224 x x x x x x -÷-+-，其中34x =-． 29.先化简，再求值：2()11a a a a a +÷--，其中2 1.a =+ 30、先化简，再求值：2211( )11a a a a ++÷--，其中2a = 33先化简，再求值：() 22111a a a ??-+÷+ ?+??，其中21a =-． 34化简：． 35．先化简，再求值：2121-1a a a ++-，其中2 1=a ． 36、.先化简x 2＋2x ＋1x 2－1－x x －1 ，再选一个合适的x 值代入求值. 精品文档 初二数学分式化简求值练习题及答案 2、先化简，再求值: 12?2，其中x,,2( x?1x?1 ，其中a=,1( 3、先化简，再求值: 4、先化简，再求值: 5先化简，再求值 6、化简: 7、先化简，再求值: ，其中 ( ，其中x=( ，其中x满足x,x,1=0( 2 a?3ba?b ? a?ba?b ，其中a=( 先化简 x11 ?)?2，再从,1、0、1三个数中，选择一个你认x?1x?1x?1 为合适的数作为x的值代入求值( 1 / 26 精品文档 9、先化简，再求值:先化简下列式子，再从2，,2，1，0，,1中选择一个合适的数进行计算( 12、先化简，再求值: 13、先化简，再求值: ，其中 ( ( 3 18 +1)?，其中x=2( x?1x ,其中x=2. xx?1 ??x?2?3xx2x ?)?14、先化简?2 x?1x?1x? 12a?1a2?2a?111a????值:2，其中。 2a?1a2?aa?1 1x,2x，1 18(先化简，再求值:??1，x,2?x2,4x,,5( ?? x2?1?2x?1?2 2 / 26 精品文档 ??x?19. 先化简再计算:2?，其中x是一元二次方程x?2x?2?0的正数根. x?x?x? 2 m2?2m?1m?1 20 化简，求值: )其中m=( ? aa?? x?3x2?6x?91 ?2?,再取恰的x的值代入求值.3请你先化简分式2 x?1x?2x?1x?1 2a?2a2?1 ??a?1??224、先化简再求值其中a=+1 a?1a?2a?1 25、化简 ，其结果是 ( x2,16x 26(先化简，再求值:?，其中x3,4( x,2x,2x x2，4x，4x，22x 27、先化简，再求值:,x,2. x,162x,8x，4 28、先化简，再求值:?2，其中x?4( x?2x?2x? 4 2aa 3 / 26 分式的化简求值中考真题专项练习 1．（2018·福建，19，8分）化简求值：m m m m 1 1122 -÷??? ??-+，其中1 3+=m 2.（2018·广东，18，6分）先化简，再求值：.2 3 41642222=--?+a a a a a a ，其中 3．（2018·山东泰安，19，6分）先化简，再求值： 1442-+-m m m ÷(1 3-m －m －1)，其中m ＝2－2． 4.（2018眉山市，20，6分）先化简，再求值：22122()121 x x x x x x x x ----÷+++，其中x 满足x 2－2x －2＝0． 5.（2018·达州市改编，18，6分） 化简代数式：2 3-111 x x x x x x ÷-+-（），再从-2，-1, 0，1中取一个合适的整数值代入，求出代数式的值. 6．(2018·泸州改编，19，6分) 先化简，再求值：2221(1)11 a a a a +++÷--．其中2-=x 7．（2018·舟山市，17，6） 化简并求值：b a ab a b b a +? ??? ??-，其中ａ＝1，b ＝2； 8．(2018·广安，18，6分)先化简，再求值：1a a +÷(a －1－211 a a -+)，并从－1，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值． 9.(2018·临沂市改编，20，7分)化简：22 214244x x x x x x x x +--??-÷ ?--+?? ,并从0，1，2这三个数中，选一个合适的数代入求值． 10．(2018·常德，19，6分)先化简，再求值：(13x +＋269x -)÷2169x x -+，其中x ＝1 2 ． 中考数学复习 分式化简求值 1、（2015浙江丽水） 分式x --11可变形为（ ） A.11--x B.x +11 C.x +-11 D.1 1-x 2、（2015绍兴，第6题，4分）化简 x x x －＋－1112 的结果是（ ） A . 1+x B . 11+x C . 1-x D . 1-x x 3、（2015?山东临沂,第16题3分）计算：a a a a 2422＋－＋＝________. 4、(2013年临沂) 化简212(1)211 a a a a +÷+-+-的结果是 ________. 5、分式乘除运算： （1）y a 86·2 232a y ； （2）22－＋a a ·a a 212＋； （3）3x 2y ÷x y 26； （4）4412＋－－a a a ÷4122－－a a ； （5）b a b a ＋－·ab a b a a －－22 24； （6）y x y xy x ＋＋－24422÷（422y x －） 6、计算： （1）ab b a ＋－bc c b ＋； （2）a 3＋a a 515－； （3）12－x ＋x x －－11； （4）252－－x x －2－x x －x x －＋21； （5）31－x －31＋x （6）422－a a －2 1－a ； （7）先化简（1＋ 11－x ）÷1 2－x x ，再选择一个恰当的x 值代入并求值. 7、（2015?广东佛山,第17题6分）计算： ﹣． 8、 (2015·河南，第16题8分)先化简，再求值：b a b ab a 22222－＋－÷）－（a b 11，其中15+=a ，15-=b . 9、（2015?山东莱芜,第18题6分）先化简，再求值： ）＋－－（2122x x ÷2 4＋－x x ，其中34＋＝－x . 10、（2015?山东威海，第1 9题7分）先化简，再求值：）－－＋（1111x x ÷1 242－＋x x ，其中x =﹣2+． 中考数学化简求值专项训练 注意：此类题目的要求，如果没有化简，直接代入求值一分不得！！ 考点：①分式的加减乘除运算（注意去括号，添括号时要变号，分子相减时要看做整体） ②因式分解（十字相乘法，完全平方式，平方差公式，提公因式） ③二次根式的简单计算（分母有理化，一定要是最简根式） 类型一：化简之后直接带值，有两种基本形式： 1.含根式，这类带值需要对分母进行有理化，一定要保证最后算出的值是最简根式 2.常规形，不含根式，化简之后直接带值 1. 化简，求值： 111(1 1222+---÷-+-m m m m m m ）, 其中m =3． 2. 化简，求值：13x -·32269122x x x x x x x -+----，其中x ＝－6． 3. 化简，求值：222211y xy x x y x y x ++÷??? ? ??++-，其中1=x ，2-=y 4. 化简，求值：2222(2)42x x x x x x -÷++-+，其中12 x =. 5. 化简，求值：)11(x -÷1 1222-+-x x x ，其中x =2 6. 化简，求值：2224441x x x x x x x --+÷-+-，其中32 x =． 7. 化简，求值：6 2296422+-÷++-a a a a a ，其中5-=a ． 8. 化简，求值：232()111x x x x x x --÷+--，其中3x = 类型二：带值的数需要计算，含有其它的知识点，相对第一种，这类型要稍微难点 1.含有三角函数的计算。需要注意三角函数特殊角所对应的值.需要识记，熟悉三角函数 例题 1. 化简，再求代数式2221111 x x x x -+---的值，其中x=tan600-tan450 2. 先化简222112()2442x x x x x x -÷--+-，其中2x =（tan45°-cos30°） 3. 222112()2442x x x x x x -÷--+-，其中2x =（tan45°-cos30°） 2.带值为一个式子，注意全面性，切记不要带一半。 1. 化简：x x x x x x x x x 416)44122(2222+-÷+----+, 其中22+=x 2 . 化简，再求值： ，其中a=﹣1． 3. 化简：再求值：????1－1a －1÷a 2－4a ＋4a 2－a ，其中a ＝2＋ 2 . 中考分式化简求值（较难） 一．解答题（共30小题） 1．（2011?阜新）先化简，再求值：（﹣2）÷，其中x=﹣4．2．（2015?青海）先化简再求值：，其中．3．（2015?枣庄）先化简，再求值：（+2﹣x）÷，其中x满足x2﹣4x+3=0．4．（2015?甘南州）已知x﹣3y=0，求?（x﹣y）的值． 5．（2015?东莞）先化简，再求值：，其中．6．（2015?永州）先化简，再求值：?（m﹣n），其中=2． 7．（2015?上海）先化简，再求值：÷﹣，其中x=﹣1．8．（2015?苏州）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=﹣1．9．（2015?黔东南州）先化简，再求值：÷，其中m是方程x2+2x ﹣3=0的根． 10．（2015?乌鲁木齐）先化简，再求值：（+）÷，其中a满足a2﹣4a﹣1=0． 11．（2014?泰州）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x满足x2﹣x﹣1=0． 12．（2014?荆州）先化简，再求值：（）÷，其中a，b满足+|b ﹣|=0． 13．（2014?凉山州）先化简，再求值：÷（a+2﹣），其中a2+3a﹣1=0．14．（2014?德州）先化简，再求值：÷﹣1．其中a=2sin60°﹣tan45°，b=1． 15．（2014?重庆）先化简，再求值：÷（﹣）+，其中x的值为方程2x=5x ﹣1的解． 16．（2014?重庆）先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x是方程﹣=0的解． 17．（2014?盘锦）先化简，再求值．（﹣）÷，其中m=tan45°+2cos30°．18．（2014?黄石）先化简，再求值：（1﹣）÷（x﹣），其中x=+3．19．（2014?铁岭）化简方程：（﹣x+2）÷，其中x=3tan30°﹣（3.14﹣π）0．20．（2013?枣庄）先化简，再求值：÷（m+2﹣）．其中m是方程x2+3x﹣1=0的根． 分式的化简求值练习50题 1、先化简，再求值：（1﹣ ）÷，其中12x =． 2、先化简，再求值：2121(1)1a a a a ++-+ ，其中1a =． 3、先化简，再求值：22(1)2()11x x x x x +÷---，其中x = 4、先化简，再求值:211(1)x x x -+÷，其中12x = 5先化简，再求值22122()121 x x x x x x x x ----÷+++，其中x 满足x 2﹣x ﹣1=0． 6、先化简22144(1)11 x x x x -+-÷--，然后从－2≤x ≤2的范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值. 7、先化简，再求值：2222211221 a a a a a a a a -+--÷+++，其中2a =a ． 8、先化简211111 x x x x -÷-+-（），再从﹣1、0、1三个数中，选择一个你认为合适的数作为x 的值代入求值． 9、先化简，再求值：2(1)11 x x x x +÷--，其中x =2． 10、先化简，再求值：231839 x x ---，其中3x =。 11、先化简242()222x x x x x ++÷--，再从2，﹣2，1，0，﹣1中选择一个合适的数进行计算．． 12、先化简，再求值：21(2)1x x x x --- ,其中x =2. 13、先化简，再求值：211()1211 x x x x x x ++÷--+- ，其中x = 14、先化简22()5525x x x x x x -÷---，然后从不等组23212 x x --≤?? 中考复习分式化简求值 练习题 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8- 1． 先化简，再求值： 1 2 112 ---x x ，其中x ＝－2． 2、先化简，再求值：，其中a=﹣1． 3、先化简，再求值： ，其中x=． 4、先化简，再求值： ，其中 ． 5先化简，再求值，其中x 满足x 2﹣x ﹣ 1=0． 7、先化简，再求值：，其中a=． 8、先化简2 11 111 x x x x -÷-+-（ ），再从﹣1、0、1三个数中，选择一个你认为合适的数作为x 的值代入求值． 9、先化简，再求值：（ +1）÷ ，其中x=2． 10、先化简，再求值：3 x –3 – 18 x 2 – 9 ，其中x = 错误!–3 11、先化简下列式子，再从2，﹣2，1，0，﹣1中选择一个合适的数进行计算． ． 12、先化简，再求值：12-x x (x x 1 --2),其中x =2. 13、先化简，再求值：，其中． 14、先化简2 2( )5525x x x x x x -÷---，然后从不等组23212 x x --≤?? 18． 先化简，再求值：? ? ? ??1＋1x －2÷x 2－2x ＋1x 2 －4，其中x ＝－5． 19. 先化简再计算：22121x x x x x x --??÷- ?+?? ，其中x 是一元二次方程2 220x x --=的正数根. 20 化简，求值： 111(1 122 2+---÷-+-m m m m m m ） ，其中m =3． 22、先化简，再求值：，其中． 23请你先化简分式22 23691 ,x 1211x x x x x x x +++÷+--++再取恰的的值代入求值. 24、先化简再求值()1 21 112222+--++÷-+a a a a a a 其中a=3+1 26．先化简，再求值：(x x －2－2)÷x 2－16 x 2－2x ，其中x ＝3－4． 27、 先化简，再求值：x 2＋4x ＋4x 2－16÷x ＋22x －8－2x x ＋4，其中x ＝2. 28、先化简，再求值：2 32()224 x x x x x x -÷-+-，其中34x =-． 29.先化简，再求值：2( )11a a a a a +÷--，其中2 1.a =+ 30、先化简，再求值：2211 ()11a a a a ++÷--，其中2a = 33先化简，再求值：()2 2111a a a ??-+÷+ ?+? ?，其中21a =-． 34化简：． 35．先化简，再求值：212 1-1a a a ++-，其中2 1=a ． 36、.先化简x 2＋2x ＋1x 2 －1－x x －1 ，再选一个合适的x 值代入求值. 40先化简，再把 x 取一个你最喜欢的数代入求值：2 )22444(22-÷+-++--x x x x x x x 41．先化简，再选择一个你喜欢的数代入求值。2011a a 2-2a+1÷(a+1 a 2-1+1) 43、先化简：（ ）÷ ．再从1，2，3中选一个你认为合适 的数作为a 的值代入求值． 45、先化简，再求值，（ + ）÷ ，其中x=2． 47、先化简再求值：，其中x=tan60°﹣1．分式的化简求值经典练习题(带答案)
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