函数与导数练习题（高二理科）
1．下列各组函数是同一函数的是 （ ）
①()f x =
()g x =()f x x =
与()g x =； ③0()f x x =与01
()g x x
=
；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--. A 、①② B 、①③ C 、③④ D 、①④ 2．函数2
4
++=
x x y 的定义域为 . 3．若)(x f 是一次函数，14)]([-=x x f f 且，则)(x f = .
4．如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，那么实数a 的取值围是（ ）
A 、3a -≤
B 、3a -≥
C 、a ≤5
D 、a ≥5 5．下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ）
A ．12
log (1)y x =+ B
．2
log y =C ．2
1log y x = D
．2
log (45)y x x =-+ 6．)(x f y =的图象关于直线1-=x 对称，且当0>x 时，,1
)(x
x f =则当2- 1 )(++= x ax x f 在区间),2(+∞-上为增函数，则a 的取值围是 . 8．偶函数)(x f 在0-，（∞）上是减函数，若)(lg -1)(x f f <，则实数x 的取值围是 ． 9．若=-=-33)2 lg()2lg(,lg lg y x a y x 则 （ ） A ．a 3 B ． a 2 3 C ．a D ． 2 a 10．若定义运算b a b a b a a b ≥?，则函数()212 log log f x x x =⊕的值域是（ ） A [)0,+∞ B (]0,1 C [)1,+∞ D R 11．函数]1,0[在x a y =上的最大值与最小值的和为3，则=a （ ） A ． 2 1 B ．2 C ．4 D ． 4 1 12．已知幂函数)(x f y =的图象过点=)9(),2,2(f 则. 13．已知1x 是方程3lg =+x x 的根，2x 是方程310=+x x 的根，则21x x +值为 . 14．函数?????+∞∈--∞∈-=--) ,2(,22] 2,(,2211x x y x x 的值域为 . 15．设12 32,2()((2))log (1) 2. x e x f x f f x x -??=?-≥??＜， 则的值为， . 16．若2)5(12-=-x f x ，则=)125(f . 17．根据表格中的数据，可以断定方程02=--x e x 的一个根所在的区间是（ ） x －1 0 1 2 3 x e 0.37 1 2.72 7.39 20.09 2+x 1 2 3 4 5 A ．18．若一次函数b ax x f +=)(有一个零点2，那么函数ax bx x g -=2)(的零点是 . 19．关于x 的方程0|34|2=-+-a x x 有三个不相等的实数根，则实数a 的值是 . 20．关于x 的方程a x lg 11 )21(-= 有正根，则实数a 的取值围是 . 21．设'()f x 是函数()f x 的导函数，将()y f x =和'()y f x =的图象画在同一个直角坐标系中，不可能 正确的是（ ） A B C D 22．函数231 ()23 f x x x =-在区间[0,6]上的最大值是 ． 23．曲线3x y =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 . 24．直线1 2 y x b = +是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数=b ． 25．已知函数()24(0)2(0)12(0)x x f x x x x ?->? ==??- ， （1）画出函数()f x 图像； （2）求()()() 21(),3f a a R f f +∈的值； （3）当43x -≤<时，求()f x 取值的集合. 26．已知函数.93)(23a x x x x f +++-= （1）求)(x f 的单调减区间； （2）若)(x f 在区间[－2，2]．上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 27．已知函数()32f x x ax bx c =-+++在(),0-∞上是减函数，在()0,1上是增函数，函数()f x 在R 上有三个零点，且1是其中一个零点． （1）求b 的值； （2）求()2f 的取值围； （3）试探究直线1y x =-与函数()y f x =的图像交点个数的情况，并说明理由． 28．已知函数()2 12 x x f x e ax =---，（其中a R ∈． 2.71828e =无理数） （1）若1 2 a =-时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； （2）当1 2 x ≥时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，试求a 的最大值． 29．设2()(1)x f x e ax x =++，且曲线)(x f y =在1=x 处的切线与x 轴平行． （1）求a 的值，并讨论)(x f 的单调性； （2）证明：当]2 ,0[π θ∈时，2)(sin )(cos <-θθf f ． 30．已知函数()ln ()1 a f x x a x =+∈+R ． （1）当2 9 = a 时，如果函数k x f x g -=)()(仅有一个零点，数k 的取值围； （2）当2=a 时，试比较)(x f 与1的大小； （3）求证：1 21 715131)1ln(++ +++>+n n （n *N ∈）． 《函数与导数练习题》参考答案 1．C ； 2．4{-≥x x 且}2-≠x ； 3．312-x 或12+-x ； 4．A ； 5． D ；6．2 1+-x ； 7．21> a ； 8．),10()10 1 ,0(+∞?； 9．a 3； 10．A ； 11．B ； 12．3； 13．3； 14．]0,2(-； 15．2； 16．0； 17．C ； 18．2 1 -和0； 19．1； 20．)10,101(； 21．D ； 22．3 32 ； 23．38； 24．12ln -； 25．（1）如右图所示。 （2）32)1(4)1(24222+--=+-=+a a a a f ， 11)5())3((=-=f f f 。 （3）{}|59y y -<≤。 26． 27．（1）∵()32f x x ax bx c =-+++，∴()232f x x ax b '=-++． ∵()f x 在(),0-∞上是减函数， 在()0,1上是增函数，∴当0x =时，()f x 取到极小值，即()00f '=． ∴0b =． （2）由（1）知，()32f x x ax c =-++， ∵1是函数()f x 的一个零点，即()10f =，∴1c a =-． ∵()2320f x x ax '=-+=的两个根分别为10x =，223 a x = ． ∵()f x 在()0,1上是增函数， 且函数()f x 在R 上有三个零点，∴2213a x =>，即3 2 a >． ∴()()52841372 f a a a =-++-=->-．故()2f 的取值围为5,2??-+∞ ??? ． （3）由（2）知()321f x x ax a =-++-，且3 2 a > ． 要讨论直线1y x =-与函数()y f x =图像的 交点个数情况，即求方程组32 1, 1y x y x ax a =-??=-++-?解的个数情况．由3211x ax a x -++-=-， 得()() ()321110x a x x ---+-=．即()() ()()()2111110x x x a x x x -++--++-=． 即()()()2 1120x x a x a ??-+-+-=?? ．∴1x =或()()2120x a x a +-+-=． 由方程()()2120x a x a +-+-=， （*） 得()()2 214227a a a a ?=---=+-． ∵3 2 a > ， 若0?<，即2270a a +-< ，解得 3 12 a <<．此时方程（*）无实数解． 若0?=，即2270a a +-= ，解得1a =．此时方程（* ）有一个实数解1x =． 若0?>，即2270a a +-> ，解得1a >．此时方程（*）有两个实数解，分别 112a x --= ，212 a x -=． 且当2a =时，10x =，21x =． 综上所述，当 3 12 a <<时，直线1y x =-与函数()y f x =的图像有一个交点． 当1a =或2a =时，直线1y x =-与函数()y f x =的图像有二个交点． 当1a >且2a ≠时，直线1y x =-与函数()y f x =的图像有三个交点． 28．（1）当12a =-时，()()2111,222x x x f x e x f x e x '=-+-=-+，从而得()()111,12 f e f e '=-=-， 故曲线()y f x =在点()() 1,1f 处的切线方程为1 1()(1)2 y e e x -+=--， 即11022 e x y ??- --= ???. （2）由()0f x ≥，得221 1 1121,,22x x e x ax e x x a x --≤--≥∴≤，令()2112,x e x g x x --=则 ()()22 1 11 2,x e x x g x x --+'= 再令21()(1)1,2x x e x x ?=--+则 ()()1(1),,02x x x e x x ??''=-≥∴>，即()x ?在 1,2?? +∞???? 上单调递增. 所以()x ?17028??? ≥= > ???，因此()()100,2x g x x ??? ??'>?>∈+∞? ????? ?， 故()g x 在1 ,2??+∞???? 上单调递增. 则()()12 min 1 1 1981242 e g x g x g --? ?≥===?? ??? ?? ， 因此 max a =94 . 30．（1）当2 9 = a 时，)1(29ln )(++=x x x f ，定义域是),0(+∞， 2 2)1(2) 2)(12()1(291)(+--=+-= 'x x x x x x x f ， 令0)(='x f ，得21=x 或2=x ． 当210< < ∴函数)(x f 在)21,0(、),2(+∞上单调递增，在)2,2 1 (上单调递减． )(x f ∴的极大值是2ln 3)21(-=f ，极小值是2ln 23 )2(+=f ． 当0+→x 时，-∞→)(x f ； 当+∞→x 时，+∞→)(x f ， ∴当)(x g 仅有一个零点时，k 的取值围是2ln 3->k 或2ln 2 3 +< k ． （2）当2=a 时，12ln )(++ =x x x f ，定义域为),0(+∞．令11 2ln 1)()(-++=-=x x x f x h ， 0)1(1)1(21)(2 22>++=+- ='x x x x x x h ，)(x h ∴在),0(+∞上是增函数． ①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ； ②当10< （3）根据（2）的结论，当1>x 时，11 2 ln >++ x x ，即11ln +-> x x x ．令k k x 1+=， 则有121 1ln +> +k k k ， ∑∑==+>+∴n k n k k k k 111211ln ．∑=+=+n k k k n 1 1ln )1ln( ， 1 21 5131)1ln(++ ++> +∴n n ．
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