二次函数(一)
章节 第三章
课题
二次函数(一) 课型17 复习课
教法
讲练结合
教学目标（知识、能力、教育）
1.理解二次函数的概念;掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律；
2.会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；
3.会用待定系数法求二次函数的解析式；
4. 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值
教学重点
二次函数的概念、图像和性质；二次函数解析式的确定。 教学难点 二次函数的图像与系数的关系以及抛物线的平移规律； 教学媒体 学案
教学过程 一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1．二次函数的定义：形如2
y ax bx c =++（ ）的函数为二次函数．
2．二次函数的图象及性质：
（1）二次函数2
y ax bx c =++的图象是一条 ．顶点为2424b ac b a
a ??
-- ???，，对称轴
2b x a =-
；当a ＞0时，抛物线开口向 ，图象有 ，且x ＞2b
a -，y 随x 的增大而 ，x ＜2
b a -，y 随x 的增大而 ；当a ＜0时，抛物线开口向 ，图象有 ，且x ＞
2b a -，y 随x 的增大而 ，x ＜2b
a -，y 随x 的增大而 ．
（3）当a ＞0时，当x=2b a -时，函数 为244ac b a -；当a ＜0时，当x=2b
a
- 时，函
数 为2
44ac b a
-
3. 二次函数表达式的求法：
（1）若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得2
y ax bx c =++；
（2）若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：2
()y a x h k =-+ 其中顶点为(h ，
k)对称轴为直线x=h ；
（3）若已知抛物线与x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式：12()()y a x x x x =--,
其中与x 轴的交点坐标为（x 1，0），（x 2，0）
（二）：【课前练习】
1. 下列函数中，不是二次函数的是（ ） A.2
22y x x =+；B.213
x
y x =-+
+；C.221y x x =-+； D.()22y x x x =-+ 2. 函数2
y x px q =++的图象是(3，2）为顶点的抛物线，则这个函数的解析式 是（ ）
A.2
611y x x =++；B.2
611y x x =--；C.2
611y x x =-+；D.2
67y x x =-+ 3. 二次函数y=1－6x －3x 2 的顶点坐标和对称轴分别是（ ）
A ．顶点（1，4）， 对称轴 x=1；
B ．顶点（－1，4），对称轴x=－1
C ．顶点（1，4）， 对称轴x=4；
D ．顶点（－1，4），对称轴x=4
4.把二次函数2
45y x x =-+化成()2
y x h k =-+的形式为 ，图象的开口
向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；当x 时
y 随着x 的增大而减小，当x 时，y 随着x 的增大而增大；当x = 时 函数有 值，其 值是 ；若将该函数经过
4.已知二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，试判断a b c 、、的符号
5. 已知抛物线y=x 2+(2n-1)x+n 2-1 (n 为常数).
(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；
(2)设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C. ①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长；
②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这 个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由. 解：(1)由已知条件，得n 2-1=0解这个方程，得n 1=1, n 2=-1
当n=1时，得y=x 2+x, 此抛物线的顶点不在第四象限.当n=-1时，得y=x 2-3x, 此抛物线的顶点在第四象限.∴所求的函数关系为y=x 2-3x. (2)由y=x 2-3x ，令y=0, 得x 2-3x=0，解得x 1=0,x 2=3 ∴抛物线与x 轴的另一个交点为(3,0)∴它的顶点为(32,94-), 对称轴为直线x=3
2
, 其大致位置如图所示，
①∵BC=1，由抛物线和矩形的对称性易知OB=
1
2
×(3-1)=1.∴B(1,0)∴点A 的横坐标x=1, 又点A 在抛物线y=x 2-3x 上，∴点A 的纵坐标y=12-3×1=-2. ∴AB=|y|=|-2|=2.∴矩形ABCD 的周长为：2(AB+BC)=2×(2+1)=6.
②∵点A 在抛物线y=x 2-3x 上，故可设A 点的坐标为(x,x 2-3x),∴B 点的坐标为(x,0). (0＜x ＜3
2
), ∴BC=3-2x, A 在x 轴下方，∴x 2-3x ＜0，
x
y
o
∴AB=|x 2-3x|=3x-x 2 ∴矩形ABCD 的周长P=2[(3x-x 2)+(3-2x)]=-2(x-12)2+132
∵a=-2＜0,∴当x=
12时，矩形ABCD 的周长P 最大值为13
2
. 此时点A 的坐标为A(12,5
4
-).
三：【课后训练】
1. 把抛物线y=－1
2
（x －2）2－1经平移得到（ ）
A ．向右平移2个单位，向上平移1个单位；
B ．向右平移2个单位，向下平移1个单位
C ．向左平移2个单位，向上平移1个单位；
D ．向左平移2个单位，向下平移1个单位
2. 某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长的百分数都是x ，那么y 与x 的函数关系是（ ）
A ．y=x 2+a ；
B ．y= a （x －1）2；
C ．y=a （1－x ）2；
D ．y ＝a （l+x ）2 3. 设直线 y=2x —3，抛物线 y=x 2－2x ，点P （1，－1），那么点P （1，－1）（ ） A ．在直线上，但不在抛物线上； B ．在抛物线上，但不在直线上 C ．既在直线上，又在抛物线上； D ．既不在直线上，又不在抛物线上 4. 二次函数 y=2（x －3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A ．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为（3,5） B ．开口向下，对称轴x ＝3，顶点坐标为（3，5） C ．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,5) D ．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,－5）
5.已知 y ＝（a －3）x 2+2x －l 是二次函数；当a______时，它的图
象是开口向上的抛物线，抛物线与y 轴的交点坐标 ． （6题） 6.抛物线2
y ax bx c =++如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的解析式是 7.已知抛物线的对称轴为直线x=－2，且经过点（－l ，－1），（－4，0）两点．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式； （2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）这个函数有最大值还是最小值？ 这个值是多少？
8.已知抛物线与 x 轴交于点（1，0）和(2，0)且过点 (3，4)， （1）求抛物线的解析式． （2）顶点坐标和对称轴； （3）画出函数图象
（4）x 取什么值时，y 随x 的增大而增大；x 取什么值时，y 随x 增大而减小．
9.已知函数2
68y x x =-+
（1）用配方法将解析式化成顶点式。 （2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）x 取什么值时，y 随x 的增大而增大；x 取什么值时，y 随x 增大而减小 （4）求出函数图象与坐标轴的交点坐标
10.阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同， 抛物线的顶点坐标也将发生变化．
例如：由抛物线22221y x mx m m =-++-①，有y=2()21x m m -+-②，所以抛物线的顶点坐标为（m ，
2m －1），即 2 1 x m y m =??=-?③④
当m 的值变化时，x 、y 的值随之变化，因而y 值也随x 值的变化
.3.1二次函数与一元二次方程 班级 姓名 【学习目标】 1.经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，体会方程与函数之间的联系； 2.理解抛物线与x 轴公共点的个数与相应的一元二次方程根的对应关系； 3.会求抛物线与坐标轴的交点坐标. 【课前自习】 2 . 2.二次函数的顶点式是 ，其中顶点坐标是 ，对称轴是 . 3.解下列一元二次方程： ①0322 =--x x ②0962 =+-x x ③0322 =+-x x 4.对于任何一个一元二次方程02 =++c bx ax ，我们可以通过表达式 的值判断方程的根的情况如下：当 >0时，方程有 实数根； 当 =0时，方程有 实数根； 当 <0时，方程 实数根.
【课堂助学】 一、探索归纳： 2.对比《课前自习》第3题各方程的解，你发现什么？ 3.归纳： ⑴一元二次方程02 =++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数c bx ax y ++=2 与 x 轴交点的 . 的 ⑶二次函数c bx ax y ++=2 与y 轴交点坐标是 . 练习.判断下列函数的图象与x 轴是否有公共点，有几个公共点，并说明理由. ⑴x x y -=2 ； ⑵962 -+-=x x y ⑶11632 ++=x x y
二、典型例题： 例1、已知二次函数342+-=x x y .求该抛物线的图象与坐标轴的交点坐标. 归纳：⑴求抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点坐标只要令 ，转化为求对应 方程 的解；若对应方程的实数根为21x x 、，则抛物线与x 轴 的交点坐标是 ，特别当21 x x =时，这个交点就是抛物线的 . ⑵求抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点坐标只要令 ，该交点坐标是 . 这也是求任意函数的图象与坐标轴交点坐标的一般方法. 【课堂检测】 1.抛物线2 2x x y --=与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 . 2.抛物线c bx ax y ++=2的图象都在x 轴的下方，则函数值y 的取值范围是 . 3.抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴只有一个交点（-3，0），则它的顶点坐标是 . 4. 若抛物线42 ++=bx x y 与x 轴只有1个交点，求b 的值. . 求抛物线822 --=x x y 与x 轴的交点之间的距离. 【拓展提升】 利用下列平面直角坐标系求例①中抛物线342 +-=x x y 与坐标轴的交点围成的 △ABC 的周长和面积.
2.1二次函数 一、课前热身 1.我们已经学过了一次函数，它是怎么下定义的？你能用类比的方法给二次函数下定义吗？例举几种你认为形式不同的二次函数. 2.函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)，问当a,b,c满足什么条件时： (1)它是二次函数；(2)它是一次函数；(3)它是正比例函数。 我达标 1. 在下列函数关系式中，不是二次函数的是（） A. y=－2x2 B. y=2(x－1)2+3 C. y=(x+3)2－x2 D. y=a(8－a) 2. 在一定条件下，若物体运动的路程s(m)与时间t(s)的关系式为s=5t2 +2t,则当t=4s时，该物体运动的路程为（） A. 28m B. 48m C.68m D. 88m 3. 函数y=－(x－2)2+2化为y=ax2+bx+c的形式是.其中二次项系数是,一次项系数是, 常数项是. 4. 请写出一个y关于x的二次函数，使得函数的二次项系数为1，且当x=1时，y=2. 5. 有n 系式是. 6. (1)二次函数y=ax2 +c中,当x=3时，y=26；当x=2时，y=11. (2)二次函数y=ax2 +bx+c中,当x=0时，y=2；当x=1时，y=3；当x=－1时，y=－5.
7．若函数 m m x m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为 . 8．观察下面的表格： 求a,b,c 的值，并在表格内的空格中填上正确的数. 9．如图，要建一个三面用木板围成的矩形仓库，已知矩形仓库一边靠墙（墙长16 m ），并在与墙平行的一边开一道1 m 宽的门，现在可围的材料为32 m 长的木板，若设与墙平行的一边长为x m ，仓库的面积为y m 2. （1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当x =4时，求y 的值.
【最新整理，下载后即可编辑】 【最新整理，下载后即可编辑】 第1课时 二次函数的概念 一、学习准备 1．函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。 2．一次函数的关系式为y= (其中k 、b 是常数，且k≠0)；正比例函数的关系式为y ＝ (其中k 是 的常数)；反比例函数的关系式为y= (k 是 的常数)。 二、解读教材——数学知识源于生活 3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树结 个橙子，如果果园橙子的总产量为y 个，那么y= 。 4．如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后,银 行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。那么你能写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)吗？ 。 5．能否根据刚才推导出的式子y=-5x 2+100x+60000和y=100x 2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？ 一般地，形如y ＝ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。它 例1 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2 32 1x y +- = (2)112+= x y (3)x y 222 += (4)1t s +=(5)22)3(x x y -+= (6)210r s π= 即时练习(1)2x y = (2)212= x y (3)) 1(+=x x y (4)1132 --=）（x y (5)c ax y -=2 (6)12+=x s 三、挖掘教材 6．对二次函数定义的深刻理解及运用 例2 若函数1232 ++=+-kx x y k k 是二次函数，求k 的值。 分析：x 的最高次数等于2，即k 2-3k+2=2，求出k 的值即可。 解： 即时练习：若函数1)3(232 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数，则k 的值为 。 四、反思小结 1．我们通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。 2．定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。 3．二次函数y=ax2+bx+c(a，b ，c 是常数，a≠0)的几种不同表示形式： (1) y=ax2 (a≠0)； (2) y=ax2+c (a≠0且c≠0)； (3) y=ax2+bx (a≠0且b≠0)。 4．二次函数定义的核心是关键字“二”，即必须满足自变量最高次项的指数为_____，且______项系数不为_____的整式。 第2课时 二次函数y ＝ax 2的图象与性质 一、学习准备 1．正比例函数y=kx(k ≠0)是图像是 。 2．一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像是 。 3．反比列函数y=k x (k ≠0)的图像是 。 4．当我们还不了解一种函数图像的形状时，只能用描点法研究，描点法的一般步骤 是： ， ， 。 二、解读教材 2值） （2）根据图像，进行小结：
一元二次不等式及其解法导学案 【使用说明及学法指导】 1.结合导学案，完成问题导学部分，并标记自己的疑难点； 2.若预习完可对合作探究部分认真审题，做不玩的正课时在做； 3.找出自己的疑惑和需要谈论的问题准备上课谈论质疑. 【学习目标】 1.复习二次函数图象； 2.根据二次函数图象解一元二次不等式；3.归纳一元二次不等式的解 法； 4.一元二次不等式的解法的综合运用. 【重难点】一元二次不等式的解法和综合运用 【问题导学】画二次函数图象应画清楚：1.开口方向，2.对称轴，3.顶点，4.与x 轴的交点（如果有的话） 情景：一名跳水运动员进行10米跳台跳水，在正常情况下，运动员必须在距水面5米以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误。那么他最多有多长时间完成规定动作？假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员距离水面的高度h(m)满足关系：2()5 6.510h t t t =-++ 1. 当x = 或 时，0y =，即2 230x x --=； 2. 当x ∈ 时，函数的图像位于x 轴的下方，则y 0，即2 23x x -- 0； （填≥、>、≤或<）. 所以不等式2 230x x --<的解集是 ； 3. 当x ∈ 时，函数的图像位于x 轴的上方，则y 0，即2 23x x -- 0； （填≥、>、≤或<）. 所以不等式2 230x x -->的解集是 ； 总结归纳：上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式2 0ax bx c ++>或2 0ax bx c ++<(0)a > 的解集； 问题3：完成下表格，并回答思考问题：
小结1：利用二次函数的图像解一元二次不等式的步骤是： . 小结2：二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系是： . 例1：解下列不等式： （1）2340 x x -+>（3）2230 -+-> 4410 x x --≥（2）2 x x 解：解：解：
课型：新授课 主备：谢辉 审核：孙祥 时间：2012-1-26 学生姓名__________ 一、学习目标： 1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．体验数形结合思想； 2.通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x 轴的交点横坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。 二、学习重点和难点： 学习重点：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会数形结合思想。 2．能够利用二次函数的图象求相应的一元二次方程的近似根。 学习难点：利用二次函数的图象求相应的一元二次方程的近似根。 三、自学质疑与合作探究： 1.自学指导：预习课本P 23-24相关内容，建议你在学习本节时和八（上）探索2的近似值“类比．．”进行学习。 2．合作探究： 问题1：请你画出二次函数522-+=x x y 的图象 问题2：你能说出二次函数y=x 2+2x-5 的图象与一元二次方程x 2+2x-5=0的关系吗？ 问题3：二次函数y ＝x 2＋2x －5的图象与x 轴交点的函数值有何特征？交点附近点的函数值有何特征？ 问题4：从图象上来看，二次函数y ＝x 2＋2x －5的图象与x 轴交点的横坐标分别在哪两个整数之间？具备 问题．．3． 中发现的特征吗？ 问题5：为了进一步缩小探索的范围，如何在确定的两个整数之间继续取值，从而逐渐逼近使函数值y=0时的自变量x 的值，有何运算技巧吗？ 试试看！ 3．实践与探索： （1）你能仿照课本P23的方法确定方程x 2+2x-5=0的另一根x 2的近似值吗?试试看！(精确到0.1) （2）用求根公式求出方程x 2+2x-5=0的两根(精确到0.1)，与上述结果相同吗？请你算算看！ 四、自学检测：P24练习1、2
. 第1课时 二次函数的概念 一、学习准备 1．函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。 2．一次函数的关系式为y= (其中k 、b 是常数，且k≠0)；正比例函数的关系式为y ＝ (其中k 是 的常数)；反比例函数的关系式为y= (k 是 的常数)。 二、解读教材——数学知识源于生活 3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵 树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树结 个橙子，如果果园橙子的总产量为y 个，那么y= 。 4．如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。那么你能写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)吗？ 。 5．能否根据刚才推导出的式子y=-5x 2+100x+60000和y=100x 2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？ 一般地，形如y ＝ax 2 +bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。它就是二次函数的一般形式，理解并熟记几遍。 例1 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2 321x y +-= (2)112+=x y (3)x y 222 += (4)251t t s ++= (5) 22)3(x x y -+= (6)210r s π= 即时练习：下列函数中，哪些是二次函数？ (1) 2x y = (2)25213 2+-=x x y (3)) 1(+=x x y (4)1132 --=）（x y (5) c ax y -=2 (6)12+=x s 三、挖掘教材 6．对二次函数定义的深刻理解及运用 例2 若函数 12 32 ++=+-kx x y k k 是二次函数，求k 的值。 分析：x 的最高次数等于2，即k 2-3k+2=2，求出k 的值即可。 解： 即时练习：若函数1)3(2 32 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数，则k 的值为 。 四、反思小结 1．我们通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。 2．定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。 3．二次函数y=ax2+bx+c(a，b ，c 是常数，a≠0)的几种不同表示形式： (1) y=ax2 (a≠0)； (2) y=ax2+c (a≠0且c≠0)； (3) y=ax2+bx (a≠0且b≠0)。 4．二次函数定义的核心是关键字“二”，即必须满足自变量最高次项的指数为_____，且______项系数不为_____的整式。 第2课时 二次函数y ＝ax 2的图象与性质 一、学习准备 1．正比例函数y=kx(k ≠0)是图像是 。 2．一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像是 。 3．反比列函数y=k x (k ≠0)的图像是 。 4．当我们还不了解一种函数图像的形状时，只能用描点法研究，描点法的一般步骤是： ， ， 。 二、解读教材 5．试作出二次函数y ＝x 2的图象。 ②描点：（在右图坐标系中描点） ③连线：（应注意用光滑的曲线连接各点） （2）根据图像，进行小结： ①y ＝x 2的图像是 ，且开口方向是 。 ②它是 对称图像，对称轴是 轴。在对称轴的左侧（x>0）,y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧（x<0），y 随x 的增大而 。 ③图像与对称轴有交点，称为抛物线的顶点此时，坐标为（ ， ）。 ④因为图像有最低点，所以函数有最 值，当x=0时，y 最小= 。6．变式训练1 作出二次函数y ＝-x 2的图象。 小结：①y ＝-x 2的图像是 ，且开口向 。 ②对称轴是 ，在对称轴左右的增减性分别是：在对称轴左侧，y 随x ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大 。 ③顶点坐标是：（ ， ），且从图像看出它有最 点，所以函数有最 7．变式训练2 作出y ＝2x 2 ，y ＝0.5x 2 的图像。
长铁一中导学·学案 《26.1 二次函数》学案 科目数学年级初三班级姓名 课型新课主备人湛洁审核人胡烨导学时间第13周 学习目标知识 1．知道二次函数的一般表达式；会利用二次函数的概念分析解题； 2．列二次函数表达式解实际问题． 能力 从实际问题中感悟变量间的二次函数关系，揭示二次函数概念.经历观察、思考、交流、归纳、辨析、实践运用等过程，体会函数中的常量与变量，深刻领悟二次函数意义. 情感 使学生进一步体验函数是描述变量间对应关系的重要数学模型，培养学生合作交流意识和探索能力。 教材分析重点理解二次例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式；难点能列出实际问题中二次函数解析式 导学操作过程设计（含导学方法、学法指导、课练、作业安排等） 复习 巩固 导入 新课 回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？ 自主探究合作交流一、用函数关系式表示下列问题中变量之间的关系： 1.正方体的棱长是x，表面积是y,写出y关于x的函数关系式； 2.n边形的对角线条数d与边数n有什么关系？ 3.某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都必上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 二、观察所列函数关系式，看看有何共同特点? 共同特点：经化简后都具有的形式。 三、二次函数概念：一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________． 注：函数y=ax2+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？ 四、尝试应用： 例1．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项系数．（1）2 2x y=（2）y＝3x2＋2x（3）y＝3x2－1 （4）5 3 22- - =x x y （5）y＝x (x－5)＋2 （6）1 22 3+ - =x x y（7） x x y 1 2- =（8）2 2 )3 (x x y- - = 归纳：①函数表达式右边的各项是关系，各项系数前面的“-”是性质符号。 ②二次函数的几种常见形式： ③所缺项的系数看做. 例2: （1）已知4 2 )2 (- + - =m m x m y是关于x的二次函数，求m的值. 注意:二次函数的二次项系数必须是的数。
26.1.1 二次函数 1. 了解二次函数的有关概念． 2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。 3. 确定实际问题中二次函数的关系式。 一、知识链接： 1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。 2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数 二、自主学习： 1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。 分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = . 2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________． 3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。 4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？ 。 5.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 三、合作交流： （1）二次项系数a 为什么不等于0？ 答： 。 （2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？ 答： . 四、跟踪练习 1．观察：①2 6y x =；②2 35y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④3 2y x x =-；⑤ 213y x x =-+；⑥()2 21y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。（只填序号） 2.2 (1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________． 5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
新人教版九年级数学上册学案：22-1二次函数 学习目标 1、学习利用二次函数解决实际问题 2、学习分析问题解决问题的能力 学习内容 基本要求 1.体现学习的主要内容； 2.典型例题； 3.精选练习； 4.课堂达标检测。 学习的主要内容学习笔记 一、前置练习 1.抛物线的顶点坐标是( ). (A)(-1,-3) (B)(1,3) (C)(-1,8) (D)(1,-8) 2.在同一直角坐标系中，抛物线与坐标轴的交点个数 是( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 3.已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如图所示， 则有（） (Ａ) a＜0,b＜0,c＞0 (Ｂ) a＜0,b＜0,c＜0 (C) a＜0,b＞0,c＞0 (D) a＞0,b＜0,c＞0 4、已知实数 y x y x x y x+ = - + +则 满足,0 3 3 ,2的最大值为 . 5、二次函数y=x2-4x-5的图像与x轴的交点A(m,0),B(n,0) ()()3 1 2- + =x x y 5 4 2- + =x x y
(m 第二十二章二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数 活动1知识准备 1.y＝3x－1是函数；y＝1 2x既是一次函数，又是函数. 2.对于函数y＝（m＋1）x m2－2，当m＝时，该函数是正比例函数. 活动2教材导学 二次函数的概念 （1）正方形的边长是x cm，面积是y cm2，则y关于x的函数关系式是 .因为x2是二次项，所以它（填“是”或“不是”）一次函数. （2）用一根长800 cm的木条做一个长方形的窗框，若其中一边长为x cm，则它的面积y cm2与x cm之间的函数关系式为，要使自变量x有现实意义，它的取值范围是. （3）以上两个函数有什么共同特点？ ?知识点一二次函数的定义 一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数.其中，x 是自变量， a，b，c分别是函数解析式的, 和. ?知识点二用二次函数表示变量之间的关系 在一般情况下，二次函数自变量的取值范围是. 在实际问题中，自变量的取值要使有意义. 探究问题一二次函数的判别 例1下列函数中，哪些是关于x的二次函数？ （1）y＝9x2－x；（2）y＝－1 3x 2；（3）y＝4－x＋x3；（4）y＝1 x2＋x 2； （5）y＝（x－1）2－（x＋1）（x－2）；（6）y＝ax2＋4x＋1. [归纳总结] 判断一个函数是否是二次函数，首先要把它化为，然后再判断含有自变量的代数式是否同时满足以下三个条件：（1）；（2）；（3）是自变量的二次式. 探究问题二用二次函数表示变量之间的关系 例2[教材问题1变式题]暑假期间，九（8）班n名同学约定每两个同学之间通电话一次. （1）写出互通电话的次数m与n之间的函数解析式，并指出m是n的什么函数； （2）当n＝10时，互通电话的次数是多少？ 二次函数与一元二次方程教学案 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）： 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数： ① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ， ，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离 21AB x x =-= . ② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点. 1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 例：二次函数ｙ＝ｘ2－3ｘ＋2与x 轴有无交点?若有，请说出交点坐标；若没有，请说明理由: ⑵ 根据图象的位置判断二次函数中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑶ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑴一元二次方程02=++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数 c bx ax y ++=2与 x 轴交点的 . ⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为 21x x 、） ⑶二次函数c bx ax y ++=2与y 轴交点坐标是 . 【例1】 已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=． ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； ⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式； ②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立； ⑶在⑵条件下，若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，，且在实数范 围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求 二次函数 1. 了解二次函数的有关概念． 2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。 3. 确定实际问题中二次函数的关系式。 一、知识链接： 1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。 2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数 二、自主学习： 《 1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。 分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = . 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________． 3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。 4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处 。 5.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 、 三、合作交流： （1）二次项系数a 为什么不等于0 答： 。 （2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗 答： . 四、跟踪练习 1．观察：①2 6y x =；②2 35y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④3 2y x x =-；⑤ 213y x x =-+；⑥()2 21y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。（只填序 号） ？ 2.2 (1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________． 5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿 北京第十八中学高三数学第一轮复习 4 一元二次不等式和二 次函数教学案（教师版） 一、课前检测 1.若0a <，则关于x 的不等式22450x ax a -->的解集是（ B ） （A ）5x a >或x a <- （ B ） x a >-或5x a < （C ）5a x a -<< （ D ） 5a x a <<- 2.一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 （ A ） （A ）0a < （ B ）0a > （C ）1a <- （D ）1a > 3. 解不等式0≤x 2-x -2≤4 答案：}3212|{≤≤-≤≤-x or x x 4. 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax （a ∈R ） 解析：原不等式变形为ax 2+（a －2）x －2≥0. ①a =0时，x ≤－1； ②a ≠0时，不等式即为（ax －2）（x +1）≥0， 当a ＞0时，x ≥ a 2或x ≤－1； 由于a 2－（－1）=a a 2+，于是 当－2＜a ＜0时， a 2≤x ≤－1； 当a =－2时，x =－1； 当a ＜－2时，－1≤x ≤a 2. 综上，当a =0时，x ≤－1；当a ＞0时，x ≥a 2或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，a 2≤x ≤－1； 当a =－2时，x =－1；当a ＜－2时，－1≤x ≤ a 2. 二、典型例题分析 题型1：已知不等式的解集，求参数的取值范围 例1.已知关于x 的不等式20x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤，求实数,m n 之值． 解析：不等式20x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤ ∴125,1x x =-=是20x mx n -+=的两个实数根， ∴由韦达定理知：5151m n -+=??-?=?∴45m n =-??=-? ． 例2．例4．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|24}x x <<，求不等式20cx bx a ++<的解集为． 解法一：∵(2)(4)0x x --<即2680x x -+->的解集为11{| }24 x x or x ><， ∴不妨假设1,6,8a b c =-==-，则20cx bx a ++<即为28610x x -+-<，解得11{|}42 x x <<． 解法二：由题意：00364 188 a c b b a c c a a c ??<即231048 x x -+>， 解得11{| }24 x x x ><或． 变式训练：已知一元二次不等式2(2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R ，求m 的取值范围． 课 题： 2.1二次函数所描述的关系 【温故】 1.函数的定义是怎样下的？ 2.大家还记得我们学过哪些函数吗？我们学过那些关于函数的生活实际问题呢？ 【互助】 1. 某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子． (1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ (2)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ (3)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式． （4）大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y 是否是x 的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？ 如果你是果园的负责人，你最关心的问题是什么?（在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？）你能根据表格中的数据作出猜测吗？ 2.设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利 息税)．在这个关系式中，y 是x 的函数吗？ 一般地，形如 (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数(quadratic function)． 例题解析： 例1．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）1)1(32+-=x y (2)x x y 1 + = (3)223t s -= (4) x x y -= 2 1 (5) 2 r v ∏= 例2、用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m2)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？ 【达标】 1.下列函数中,哪些是二次函数？ (1）v=10πr2 (3) s=3+t2 (5) y=(x+3)2-x2 (6) y=2(x-1)2; 2.如果函数y= +kx+1是二次函数,求k 的值. 4.如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数,求k 的值. Y/个 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X/棵 .1).2(2 x x y +=. 1).4(2x x y -=232 k k x -+232 k k x -+ 一元二次函数在给定区间上的值域学案 主备人：武丹、朱玉国 时间：2013年10月 日 一 、教学目标： 1、知识与技能：会求二次函数在给定区间上的值域，能够根据参数情况进行分类讨论。 2、过程与方法：培养学生的观察能力，引导学生会用数形结合的方法研究问题。在具体实际问题中了 解如何分类讨论，讨论的理由依据是什么。 3、情感态度与价值观：通过引导探究，激发学生的求知欲和研究问题的兴趣。 二、教学重点：让学生掌握研究二次函数图像和性质的重要方法。 学习难点：分类讨论的数学思想具体应用 三、导课： 1.由右边函数)(x f y =图像可知，],[b a x ∈时 (____)f y =大 (____) f y =小 则)(x f y =值域是_______________________________ 2.由右边函数)(x f y =图像可知，]5.2,3[-∈x 时， (____)f y =大 (____) f y =小 则)(x f y =值域是_______________________________ 总结：通过此题我们可以得到： 当函数在具体区间上图像清楚时，我们可以根据函数的图像求得函数的值域。 四：自主探究 例1.已知2 )(x x f =，画出它的图像，利用图像指出]3,1[∈x ，(____)f y =大，(____)f y =小 画图位置： 由此得到函数2)(x x f =在]3,1[∈x 值域 变形1：问2)(x x f =，]1,3[--∈x ，值域是 变形:2：问2)(x x f =，]3,1[-∈x ，值域是 变形3：问2)(x x f =，]1,3[-∈x ，值域是 例2：求函数42)(2+-=x x x f ， []5,1-∈x 的值域。 练习：求函数54)(2-+-=x x x f ， )5,1(∈x 的值域。 第1课时 二次函数的概念 【学习目标】 1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；2．探索并归纳二次函数的定义；3．能够表示简单变量之间的二次函数关系。 【学习重点】掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。 【课时类型】概念课 【学习过程】 一、学习准备 1．函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。 2．一次函数的关系式为y= (其中k 、b 是常数，且k≠0)；正比例函数的关系式为y ＝ (其中k 是 的常数)；反比例函数的关系式为y= (k 是 的常数)。 二、解读教材——数学知识源于生活 3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树结 个橙子，如果果园橙子的总产量为y 个，那么y= 。 4．如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。那么你能写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)吗？ 。 5．能否根据刚才推导出的式子y=-5x 2+100x+60000和y=100x 2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？ 一般地，形如y ＝ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。它就是二次函数的一般形式，理解并熟记几遍。 例1 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2321x y +-= (2)112+=x y (3) x y 222+= (4)251t t s ++= (5)22)3(x x y -+= (6)210r s π= 即时练习：下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2x y = (2)252132+-=x x y (4) 1132--=）（x y (5)c ax y -=2 三、挖掘教材 6．对二次函数定义的深刻理解及运用 《一元二次不等式及其解法》导学案 问题1.方程2 50x x -=的根情况如何？ 问题2. 二次函数2 5y x x =-的图象开口方向、与x 轴的交点坐标分别是什么？并作出它的草图. （1）开口方向： ； （2）与x 轴的交点坐标： ； 问题3. 根据草图填空： （1）当x = 或 时，0y =，即2 50x x -=； （2）当x ∈ 时，函数的图象位于x 轴的下方，则y 0，即2 5x x - 0；（填≥、 >、≤或<）.所以不等式250x x -<的解集是 ； （3）当x ∈ 时，函数的图象位于x 轴的上方，则y 0，即2 5x x - 0；（填≥、 >、≤或<）. 所以不等式250x x ->的解集是 ； 问题4：如何获得不等式2 560x x -+≥的解集呢？ 问题5：如何将上述方法推广到求解一般的一元二次不等式2 0ax bx c ++>或 20ax bx c ++<(0)a >的解集呢？关键要考虑哪些方面？ 规律：有根大于取两边，有根小于取中间；无根大于全实数，无根小于是空集。 六、知识运用 1、求不等式2 610x x --≤的解集. 2：求不等式2340x x -++≥ 的解集 课堂练习：求下列不等式的解集： （1）24410x x -+> （2）2230x x -+-> （3）2 9x ≥ （4）23710x x -≤ （5）2 961x x -≥+ （6）(9)0x x -> （7）2632 >+-x x （8）2|2|2 <-x 3、 (9)1()()0a x x a --> 问题7：（1）利用二次函数的图象解一元二次不等式的步骤是什么？ （2）二次函数、一元二次方程与一元二次不等式之间有什么关系？ 知识点二、三个“二次”之间的关系 例1、若不等式的值。求的解为b a x bx ax ,,21022 <<<+- 不等式2 2ax bx ++>的解集是 ，则a b +的值是_________ 专题训练1：二次函数2()y a x h k =++的图象与性质 1、二次函数2(3)2y x =--+的顶点坐标是 ，函数有最 值 . 2、将抛物线21 2 y x =向右平移2个单位，在向下平移一个单位，所得的抛物线是（ ） A 、21(2)12y x =-- B 、21(2)12y x =-+ C 、21(2)12y x =++ D 、21 (2)12 y x =+- 3、对于抛物线21 (1)32 y x =-++，下面的结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直 线3x =③顶点坐标为（-1,3）；④当1x >时，y 随x 的增大而减小.其中正确的个数 为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 4、如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的 对称轴相同，则下列结论不正确的是（ ） A 、k n = B 、h m = C 、k n > D 、0,0h n >< 5、已知二次函数2(2)(0)y a x c a =-+>，若自变量x 分别取2,3,0时，对应的函数值分别为123,,y y y ，则下列关于123,,y y y 的大小关系正确的是（ ） A 、321y y y << B 、123y y y << C 、 213y y y << D 、312y y y << 6、若二次函数2()y a x m n =-+的图象如图所示，则一次函数y mx n =+的 图象不经过（ ） A 、第四象限 B 、第三象限 C 、第二象限 D 、第一象限 7、已知函数23y x x m =-+（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1,0），则关于x 的一元二次方程230x x m -+=的两个实数根是（ ） A 、121,1x x ==- B 、121,2x x == C 、121,0x x == D 、121,3x x == 8、已知抛物线221y ax x =-+与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是 （ ） A 、第四象限 B 、第三象限 C 、第二象限 D 、第一象限 9、如图，是二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分，且过点(3,0)A ， 二次函数图象的对称轴是直线1x =，下列结论正确的是（ ） A 、24b ac > B 、0ac > C 、0a b c -+> D 、420a b c ++<二次函数导学案
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