本科毕业设计(论文) OFDM技术的研究与仿真
刘彦波
燕山大学
2009年6月
本科毕业设计(论文) OFDM的研究与仿真
学院(系)：电子工程系
专业：通信工程4班
学生姓名：刘彦波
学号：0513********
指导教师：肖丽萍
答辩日期：2009-6-17
燕山大学毕业设计(论文)任务书
燕山大学本科生毕业设计（论文)
摘要
本文介绍了OFDM的基本原理及应用然后用MATLAB软件对OFDM 技术进行仿真分析。
首先简单介绍了OFDM的基本原理、引用领域及发展现状、趋势。为之后的仿真平台构建奠定基础。
其次，对OFDM系统进行系统平台构建、写出系统流程图。通过阅读相关书籍和文献资料写出MATLAB语言的仿真程序，并进行调试和修改。通过软件仿真出OFDM系统在QPSK调制下和没有插入保护间隔的波形图。
最后，通过对QPSK调制和解调方式原理的学习，配合MATLAB的仿真图对仿真结果进行比较分析得出其对误码率的影响。
关键词正交频分复用；MATLAB；仿真；误码率
I
燕山大学本科生毕业设计（论文)
Abstract
This paper introduces the basic principles of OFDM and its application software and then analysis OFDM technology using the MATLAB simulation.
First of all, it introduced the basic principles of OFDM briefly, citing the development of the area and the status, trends. And it will do help for the foundation platform in future.
Secondly, we build the system of the OFDM system platform to write the system flow chart. Reading relevant books and literature, it's the way to write, debug and modify the simulation program. By simulating software of OFDM system in the QPSK modulation,we can drew the waveform which is not to insert the guard interval.
Finally, we analyze MATLAB simulation diagram of the simulation results to get the impact of the error rate by learning the way of QPSK modulation and demodulation principles.
Keywords OFDM; MATLAB; Simulation; BER
目录
摘要....................................................................................................................... I Abstract ................................................................................................................ I I 第1章绪论 (1)
1.1课题背景 (1)
1.2OFDM系统的概述 (1)
1.2.1 OFDM历史 (1)
1.2.2 OFDM现状 (2)
1.2.3 OFDM技术的应用 (3)
1.2.4 OFDM技术的优势和不足 (6)
1.3本论文的主要任务 (8)
第2章OFDM基本原理 (9)
2.1多载波调制理论简介 (9)
2.2OFDM系统的基本模型 (11)
2.3OFDM系统调制解调的FFT实现 (12)
2.4OFDM系统正交性原理 (13)
2.5保护间隔和循环前缀 (15)
2.5.1 保护间隔插入的原理 (15)
2.5.2 插入保护间隔后的OFDM系统分析 (15)
2.6傅立叶变换的过采样 (18)
2.7OFDM信号的频谱特性 (19)
2.8OFDM系统的关键技术 (20)
2.9本章小结 (22)
第3章OFDM系统的仿真与分析 (23)
3.1OFDMD的系统仿真 (23)
3.1.1 MATLAB的简介 (23)
3.1.2 OFDM模型的参数选择 (25)
3.1.3 MATLAB仿真步骤 (26)
3.1.4 结果分析 (26)
3.2本章小结 (27)
结论 (29)
参考文献 (30)
致谢 (32)
附录1 (33)
附录2 (38)
附录3 (42)
附录4 (46)
第1章绪论
1.1 课题背景
在当今的人类社会，信息和通信两个词汇越来越多的出现在人们的生活当中。信息是一种希望传送、交换、存储的，具有一定意义的抽象内容，而通信则是信息的存储、传递和交换。在20世纪90年代，随着互联网技术的迅猛发展，对多媒体业务需求的增加，为了满足人们对信息需求日益增长而出现的第二代移动通信，数字信号处理技术其最基本的技术特征，它提供了更高的频谱效率和更先进的漫游技术。
进入新的世纪，通信技术有了突飞猛进的发展，伴随着人们对宽带业务和多媒体业务需求的增加，第三代移动通信成为了研究的重点。虽然第三代移动的传输速率相比第二代有了很大的提高但其数据传输速率也仅有2Mbit/s，第四代移动通信是以正交频分复用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM)为核心技术[7,8]。较之第三代移动通信系统，采用多种新技术的OFDM具有更高的频谱利用率和良好的抗多径干扰能力，它不仅仅可以增加系统容量，更重要的是它能更好的满足多媒体通信要求，将包括语音、数据、影像等大量信息的多媒体业务通过宽频信道高品质的传送出去。
1.2 OFDM系统的概述
1.2.1 OFDM历史
正交频分复用(OFDM)是一种特殊的多载波传输方案，它可以被看作一种调制技术，也可以被当作一种复用技术。选择OFDM的一个主要原因在于该系统能够很好地对抗频率选择性衰落或窄带干扰。正交频分复用(OFDM)最早起源于20世纪50年代中期，在60年代就已经形成了使用并行数据传输和频分复用的概念。1970年1月首次公开发表了有关OFDM的专利[12,15]。
在传统的并行数据传输系统中，整个信号频段被划分为N个相互不重叠的频率子信道。每个子信道传输独立的调制符号，然后再将N个子信道进行频率复用。这种避免信道频谱重叠看起来有利于消除信道间的干扰，但
是这样又不能有效利用宝贵的频谱资源。为了解决这种低效利用频谱资源的问题，在20世纪60年代提出一种思想，即使用子信道频谱相互覆盖的并行数据传输信号，其中每个子信道内承载的信号传输速率为b，而且要求各个子信道在频域距离也是b，从而可以避免使用高速均衡，并且可以对抗窄带脉冲噪声和多径衰落，而且还可以充分利用可用的频谱资源。
1971年，Weinstein和Ebert把离散傅里叶变换(DFT)应用到并行传输系统中，作为调制和解调过程的一部分。这样就不再利用带通滤波器，而是经过基带处理就可以实现FDM。而且，这样在完成FDM的过程中，不再要求使用子载波振荡器组以及相干解调器，可以完全依靠执行快速傅里叶变换(FFT)的硬件来实施[2]。
早在20世纪60年代，OFDM技术就已经被应用到多种高频军事系统中，其中包括KINEPLEX、ANDEFT以及KNTHRYN等。以KNTHR…YN 为例，其中可变速率的数据调制解调器可以最多使用34个并行低速调相子信道，每个子信道之间的间隔为82Hz。但是直到20世纪80年代中期，随着欧洲在数字音频广播(DAB)方案中采用OFDM，该方法才开始受到关注并且得到广泛的应用[3]。
1.2.2 OFDM现状
自从20世纪80年代以来，OFDM已经在数字音频广播(DAB)、数字视频广播(DVB)、基于IEEE802.11标准的无线本地局域网(WLAN)以及有线电话网上基于现有铜双绞线的非对称高比特率数字用户线技术(例如ADSL)中得到了应用。其中大都利用了OFDM可以有效地消除信号多径传播所造成的符号间干扰(151)这一特征。
DAB是在AM和FM等模拟广播基础上发展起来的，其中可以提供与CD相媲美的音质，以及其他的新型数据业务。1995年，由欧洲电信标准协会(ETSI)制定了DAB标准，这是第一个使用OFDM的标准。接着在1997年，基于OFDM的DVB标准也开始投入使用。在ADSL应用中，OFDM 被典型地当作离散多音调制(DMT modulation)，成功地用于有线环境中，可以在1MHz带宽内提供高达8Mbit/s的数据传输速率。1998年7月，经过多次的修改之后，IEEE802.11标准组决定选择OFDM作为WLAN(工作于
5GHz波段)的物理层接入方案，目标是提供6Mbit/S~54Mbit/S的数据速率，这是OFDM第一次被用于分组业务通信当中。而此以后，ETSI、BRAN以及MMAC也纷纷采用OFDM作为其物理层的标准[4]。
此外，OFDM还易于结合空时编码、分集、干扰(包括151和ICI)以及智能天线等技术，最大程度地提高物理层信息传输的可靠性。如果再结合自适应调制、自适应编码以及动态子载波分配、动态比特分配算法等技术，可以使其性能进一步得到优化。
1.2.3 OFDM技术的应用
从技术层面来看，第四代移动通信系统将有望以OFDM(Orthogonal Frequency Division Multiplexing)为核心技术，主要理由是无线电频率使用效益高、抗噪声能力强、适合高速数据传输等。然而OFDM仍有许多问题待解决，不过部分标准的制订工作已经接近尾声且即将商用化(如数字音频广播)，目前，OFDM技术已经广泛应用于无线局域网领域，但若要应用在移动通信领域仍需时日。
目前OFDM技术已经被广泛应用于广播式的音频、视频领域和民用通信系统中，主要的应用包括：非对称的数字用户环路(ADSL)、ETSI标准的数字音频广播(DAB)、数字视频广播(DVB)、高清晰度电视(HDTV)、无线城域网、无线局域网(WLAN)，甚至3G的CDMA也开始引入OFDM技术思想以提升其性能。
(1)高清晰度数字电视广播OFDM在数字广播电视系统中取得了广泛的应用，其中数字音频广播(DAB)标准是第一个正式使用OFDM的标准。另外，当前国际上全数字高清晰度电视传输系统中采用的调制技术中就包括OFDM技术，欧洲HDTV传输系统已经采用COFDM(coded OFDM：编码OFDM)技术。它具有很高的频谱利用率，可以进一步提高抗干扰能力，满足电视系统的传输要求。选择OFDM作为数字音频广播和数字视频广播(DVB)的主要原因在于：OFDM技术可以有效地解决多径时延扩展问题[5]。
因此不难看出，OFDM技术良好的性能使得它在很多领域得到了广泛的应用。欧洲的DAB系统使用的OFDM调制技术其试验系统已在运行，很快吸引了大量听众。它明显地改善了移动中接收无线广播的效果，用于DAB的
成套芯片的开发工作正在一项欧洲发展项目中进行，它将使OFDM接收机的价格大大降低，其市场前景非常看好。
(2)无线局域网大家知道，HiperLAN/2物理层应用了OFDM和链路自适应技术，媒体接入控制(MAC)层采用面向连接、集中资源控制的TDMA/TDD方式和无线ATM技术，最高速率达54Mbps，实际应用最低也能保持在20Mbps左右。另外，IEEE 802.11无线局域网工作于ISM免许可证频段，分别在5.8GHz和2.4GHz两个频段定义了采用OFDM技术的IEEE 802.11a 和IEEE 802.11g标准，其最高数据传输速率提高到54Mbps[6]。
技术的不断发展，引发了融合。一些4G及3.5G的关键技术，如OFDM 技术、MIMO技术、智能天线和软件无线电等，开始应用到无线局域网中，以提升WLAN的性能。如802.11a和802.11g采用OFDM调制技术，提高了传输速率，增加了网络吞吐量。802.11n计划采用MIMO与OFDM相结合，使传输速率成倍提高。另外，天线技术及传输技术，使得无线局域网的传输距离大大增加，可以达到几公里(并且能够保障100Mbps的传输速率)。
而对于今后要开展的在无线局域网中的多媒体业务来说，最高为54Mbps的数据传输速率还远远不够。为了进一步提升无线局域网的数据传输速率，实现有线与无线局域网的无缝结合，IEEE成立了IEEE 802.11n工作小组，以制定一项新的高速无线局域网标准。IEEE 802.11n计划将WLAN的传输速率从802.11a和802.11g的54Mbps增加至108Mbps以上，最高速率可达到320Mbps，成为802.11b/a/g之后的另一场重头戏。和以往的802.11标准不同，802.11n协议为双频工作模式(包含2.4GHz和5.8GHz两个工作频段)。这样802.11n保证了与以往的802.11a/b/g标准兼容。
(3)OFDM技术在4G中的应用空中接口物理层技术是无线通信系统的基础与标志，在系统演进中扮演着重要的角色。在2004年6法国的RANI Ad Hoc on LTE会议上RANI对各个公司提交的候选方案进行了概况和收敛。确定了六种备选的多址方式：
(1)FDD上行SC-FDMA，下行OFDMA；
(2)FDD上行OFDMA，下行OFDM；
(3)DDMC-WCDMA；
(4)TDDMC-TD-SCDMA ；
(5)TDD 上行OFDMA ，下行OFDMA ；
(6)TDD 上行SC-FDMA ，下行OFDMA 。
3GPP 组织就LTE 系统物理层下行传输方案很快达成一致，采用先进成熟的OFDM 技术；经过协商讨论最后上行方案选择了单载波SC-FDMA ，这样LTE 系统传输方案最终确定为下行OFDMA 和上行SC-FDMA 的空中接口技术[7]。
一个近似测量内接收机质量的参数是额外的信噪比损失，该参数反映了为获得相同性能，实际系统相对于理想系统需要的额外SNR ，即
()()22ideal n real loss real ideal N SNR SNR SNR δδ==
或者loss real ideal SNR SNR SNR =-。式中，ideal SNR 表示在理想的同步情况下接收机为了达到相同性能所需要的SNR 。
OFDM 系统内接收机所要完成的任务就是：将各种未知参数通过相应的算法求出精确解并进行补偿，将各种非理想因素进行处理变成近似理想状态。
相比较与WCDMA 5MHz 的频谱带宽，该系统的最大带宽为20MKz ，主要的技术参数如下：
一方面提高频谱效率，在20MKz 带宽下，空中接口峰值速率达到：下行100Mbit/s ；
另一放面严格的QOS 要求，保证良好的用户体验以及分组交换对于VOIP 等各种实时业务的支持。
(4)宽带无线接入中的OFDM 在BWA 领域，一些公司开发的技术虽然都基于OFDM ，但有各自的特色，形成一些专利技术，如Cisco 和Iospan 公司的Vector OFDM 。Wi-LAN 公司的Wideband OFDM 。Flarion 公司的flash-OFDM 。VOFDM 由Cisco 公司支持，WOFDM 则由Wi-LAN 公司提出，构成了的两大阵营宽带无线论坛和论坛，它们力图使自己OFDM 的模式成为标准。由Wi-LAN 公司倡导的论坛，有50多个成员，一些公司，如Breezccom ，start-up BeamReach Networks 和Nokia 参加，OFDM 论坛主要
是协调提交到IEEEE的OFDM提案。在Cisco倡导下，IEEE工业标准技术组织IEEE-ISTO成立了宽带Internet论坛，提供低成本宽带无线接入技术，号召采用基VOFDM于的标准作为解决方案。类似的还有C-OFDM、F-OFDM及OFDM等[8]。
1.2.4 OFDM技术的优势和不足
OFDM存在很多技术优点见如下，在3G、4G中被运用，作为通信方面其有很多优势：
(1)在窄带带宽下也能够发出大量的数据。OFDM技术能同时分开至少1000个数字信号，而且在干扰的信号周围可以安全运行的能力将直接威胁到目前市场上已经开始流行的CDMA技术的进一步发展壮大的态势，正是由于具有了这种特殊的信号“穿透能力”使得OFDM技术深受欧洲通信营运商以及手机生产商的喜爱和欢迎，例如加利福尼亚Cisco系统公司、纽约Flarion工学院以及朗讯工学院等开始使用，在加拿大Wi-LAN工学院也开始使用这项技术[9]。
(2)OFDM技术能够持续不断地监控传输介质上通信特性的突然变化，由于通信路径传送数据的能力会随时间发生变化，所以OFDM能动态地与之相适应，并且接通和切断相应的载波以保证持续地进行成功的通信。
(3)该技术可以自动地检测到传输介质下哪一个特定的载波存在高的信号衰减或干扰脉冲，然后采取合适的调制措施来使指定频率下的载波进行成功通信。
(4)OFDM技术特别适合使用在高层建筑物、居民密集和地理上突出的地方以及将信号散播的地区。高速的数据传播及数字语音广播都希望降低多径效应对信号的影响。
(5)OFDM技术的最大优点是对抗频率选择性衰落或窄带干扰。在单载波系统中，单个衰落或干扰能够导致整个通信链路失败，但是在多载波系统中，仅仅有很小一部分载波会受到干扰。对这些子信道还可以采用纠错码来进行纠错。
(6)可以有效地对抗信号波形间的干扰，适用于多径环境和衰落信道中的高速数据传输。当信道中因为多径传输而出现频率选择性衰落时，只有落
在频带凹陷处的子载波以及其携带的信息受影响，其他的子载波未受损害，因此系统总的误码率性能要好得多。
(7)通过各个子载波的联合编码，具有很强的抗衰落能力。OFDM技术本身已经利用了信道的频率分集，如果衰落不是特别严重，就没有必要再加时域均衡器。通过将各个信道联合编码，则可以使系统性能得到提高。
(8)OFDM技术抗窄带干扰性很强，因为这些干扰仅仅影响到很小一部分的子信道。
(9)信道利用率很高，这一点在频谱资源有限的无线环境中尤为重要；当子载波个数很大时，系统的频谱利用率趋于2Baud/Hz。(baud即波特；1 Baud =log2M(bit/s)，其中M是信号的编码级数
虽然OFDM有上述优点，但是同样其信号调制机制也使得OFDM信号在传输过程中存在着一些劣势：
(1)对相位噪声和载波频偏十分敏感这是OFDM技术一个非常致命的缺点，整个OFDM系统对各个子载波之间的正交性要求格外严格，任何一点小的载波频偏都会破坏子载波之间的正交性，引起ICI，同样，相位噪声也会导致码元星座点的旋转、扩散，从而形成ICI。而单载波系统就没有这个问题，相位噪声和载波频偏仅仅是降低了接收到的信噪比SNR，而不会引起互相之间的干扰[9]。
(2)峰均比过大OFDM信号由多个子载波信号组成，这些子载波信号由不同的调制符号独立调制。同传统的恒包络的调制方法相比，OFDM调制存在一个很高的峰值因子。因为OFDM信号是很多个小信号的总和，这些小信号的相位是由要传输的数据序列决定的。对某些数据，这些小信号可能同相，而在幅度上叠加在一起从而产生很大的瞬时峰值幅度。而峰均比过大，将会增加A/D和D/A的复杂性，而且会降低射频功率放大器的效率。同时，在发射端，放大器的最大输出功率就限制了信号的峰值，这会在OFDM 频段内和相邻频段之间产生干扰。
(3)所需线性范围宽由于OFDM系统峰值平均功率比(PAPR)大，对非线性放大更为敏感，故OFDM调制系统比单载波系统对放大器的线性范围要求更高。
1.3 本论文的主要任务
熟悉并掌握OFDM的基本原理和技术，并对其调制解调过程进行MATLAB仿真，编写其中的各种实现模块的程序，描述出各种信号波形，以及不同的信道条件对误码率的影响。
首先，要了解OFDM调制解调的基本原理及其框图，对OFDM系统的传输环境进行分析。而后在搭建整个OFDM系统结构框图的基础上对OFDM系统进行MATLAB仿真，形象具体地研究OFDM系统实现过程和工作原理。完成(信号生成、噪声生成、循环前缀、调制、解调等设计)，最后对系统的关键技术进行讨论。
第2章OFDM基本原理
正交频分复用(OFDM)的基本原理就是把高速的数据流通过串并变换，分配到传输速率相对较低的若干个子信道中进行传输。由于每个子信道中的符号周期会相对增加，因此可以减轻由无线信道的多径时延扩展所产生的时间弥散性对系统造成的影响。并且还可以在OFDM符号之间插入保护间隔，令保护间隔大于无线信道的最大时延扩展，这样就可以最大限度地消除由于多径而带来的符号间干扰(151)。而且，一般都采用循环前缀作为保护间隔，从而可以避免由多径带来的信道间干扰(ICI)。
2.1 多载波调制理论简介
单载波系统如图2-1所示。其中g(t)是匹配滤波器，单载波系统在传输信息速率不是太大，多径效应干扰不是很严重时，可通过在接收端使用合适的均衡器以使系统正常工作。但是对于宽带业务来说，由于数据传输的速率较高，时延扩展造成数据符号之间的相互交叠，从而产生了符号之间的串扰(ISI)，这对均衡提出了更高的要求，需要引入复杂的均衡算法，还要考虑到算法的可实现性和收敛速度。从另一个角度去看，当信号的带宽超过和接近信道的相干带宽时，信道的时间弥散将会造成频率选择性衰落，使得同一个信号中不同的频率成分体现出不同的衰落特性，这是我们不希望看到的。因此多载波传输技术的运用就是必然的趋势[10]。
正交频分复用(OFDM)是一种多载波调制(MCM)技术。其主要思想是将信道在频域上划分为多个子信道，使每一个子信道的频谱特性都近似平坦，使用多个互相独立的子信道传输信号并在接收机中予以合并，实现信号的频率分集。
图2-1 单载波系统基本结构
图2-2 多载波系统基本机构图 图2-2中给出多载波系统的基本结构示意图[11]。在数据传输速率很高的情况下，在传输信道上有频率选择性衰落或多径衰落，多径时延扩展容易导致ISI 。多载波传输把数据流分解为若干个子比特流，这样每个子数据流将具有低得多的比特速率，用这样的低比特率形成的低速率多状态符号再去调制相应的子载波，从而构成多个低速率符号并行发送的传输系统，可以有效地抑制这些干扰。在单载波系统中，一次深度衰落或者干扰就可以导致整个链路失效，但是在多载波系统中，某一时刻只会有少部分的子信道会受到深衰落的影响。多载波传输技术有多种提法，如正交频分复用(OFDM)、离散多音调制(DMT)和多载波调制(MCM)或者多路副载波调制(MSM)，这几种提法在一般情况下是等同的，只是在OFDM 中各个子载波保持正交，而在MCM/MSM 中这一条并不总能成立。
传统的频分复用(FDM)系统将整个频带划分为若干个互不重叠的子信道来并行传输数据，为避免子信道之间的相互干扰，予信道之间要留有保护频带。在接收端用带通滤波器组对数据信息进行分离和提取。这种方法的优点是简单，而最大的缺点就是频谱的利用率低，且多个滤波器的实现也有不少困难。
01N j t ω--
OFDM 系统的每个子载波之间相互正交，各子载波之间有1/2重叠，即每个子载波的频点和相邻载波的零点相互重叠。在接收端可以通过相关解调技术分离出来，避免使用带通滤波器组，同时使频谱效率提高近一倍。
2.2 OFDM 系统的基本模型
OFDM 系统的基本原理见图2-3所示：
设基带调制信号的带宽为B ，码元调制速率为R ，码元周期为s t ，且信
道的最大迟延扩展m s t > 。OFDM 的基本原理是将原信号分割为N 个子信号，分割后码元速率为R/N ，周期为s s T Nt =，然后用N 个子信号分别调制N 个相互正交的子载波。由于子载波的频谱相互重叠，因而可以得到较高的频谱效率。当调制信号通过陆地无线信道到达接收端时，由于信道多径效应带来的码间串扰的作用，子载波之间不能保持良好的正交状态。因而，发送前就在码元间插入保护时间。如果保护间隔δ大于最大时延扩展m ，则所有时延小于δ占的多径信号将不会延伸到下一个码元期间，因而有效地消除了码间串扰[12]。
在发射端，发射数据经过常规QAM 调制形成速率为R 的基带信号。这里要求码元波形是受限的，并且数据要成块处理。然后经过串并变换成为N 个子信号，再去调制相互正交的N 个子载波，最后相加形成OFDM 发射信号。
在接收端，输入信号分为N 个支路，分别用N 个子载波混频和积分，恢复出子信号，再经过并串变换和常规QAM 解调就可以恢复出数据。由于子载波的正交性，混频和积分电路可以有效地分离各个子信道。
?⊕(
)t
D N 1t ω-
1N j t
ω--信道
图2-3 OFDM 系统基本原理模型
2.3 OFDM 系统调制解调的FFT 实现
OFDM 系统的一个重要优点就是可以利用离散傅里叶变换(DFT)实现调制和解调，从而避免了直接生成N 个载波时由于频率偏移而产生的交调，而且采用快速傅里叶变换(FFT)技术实现，可以大大简化系统实现的复杂度，且便于利用VLSI 技术。本节将简述其原理。
多载波信号()S t 可以写为如下复数形式：
()()1
0i N j t i i S t d t e ω-==∑ (2-1)
其中t o i ωωω=+ 为第i 个载波频率，()t d t 为第i 个载波上的复数信号，若设定在一个符号周期内()i d t 为定值(即非滚降QAM)，有
()i i d t d = (2-2)
设信号采样频率为1/T ，则有
()()01
0N j i kT t i s kT d e ωω-+==∑ (2-3)
一个符号周期τ内含有N 个采样值，即有
NT τ= (2-4)
不失一般性，令00ω=，则
()()()1
1200N N j i f kT i kT i i i i s kT d e d e πω--====∑∑ (2-5) 若取1
1f NT
τ== ，则有 ()120N k j i N i i s kT d e
π-==∑ (2-6)
将其与IDFT 形式(系数忽略)
()120N k j i N i i g kT G e NT π-=?? ???
=∑ (2-7) 进行比较，可以看出两式等价。
由此可知，若选择载波频率间隔为1τ，则OFDM 信号不但保持了正交性，而且可以用DTF 来定义。
由于OFDM 采用的基带调制为离散傅里叶变换，所以我们可以认为数
据的编码映射是在频域进行，经过IFFT 转化为时域信号发送出去，接收端通过FFT 恢复出频域信号。
为了使信号在IFFT(FFT)前后功率不变，DFT 按下式定义：
(
)()102DTF: exp (0k N-1) N n n X k x n j k N π-=??=-≤≤ ??
? (2-8) (
)()102IDFT: exp (01) N k k x n X k j n n N N π-=??=≤≤- ???
(2-9) 2.4 OFDM 系统正交性原理
OFDM 系统的正交性原理可以从几个方面来理解。例如，上节进行了公式推导，并给出了结论，即如果正确的选择载波频率间隔(取为1/N 了)，则OFDM 信号可以保持其正交性。下面，为了更直观的理解OFDM 系统的正交性原理，我们给出一个OFDM 符号包括4个子载波的实例，如图2-3所示。其中所有的子载波都具有相同的幅值和相位，但在实际应用中，根据数据符号的调制方式，每个子载波的幅值和相位都可能是不同的。从图2-3中可以看到，每个子载波在一个OFDM 符号周期内都包含整数倍个周期，而且各个相邻子载波之间相差一个周期。这一特性可以用来解释子载波之间的正交性，即：
{0 1 m=00 m 01
exp()T
m j t dt T ω≠=? (2-10)
例如对第j 个子载波进行解调，然后在时间长度T 内进行积分，即：
1001001?exp(2)exp(2)1 =exp(2)N T j i i N T i j j j i d j t dt d j dt T T T i j d j t dt d T T
πππ-=-==-?-=∑?∑? (2-11) 根据上式可以看到，对第j 个子载波进行解调可以恢复出期望符号j d 。而对其他载波来说，由于在积分间隔内，频率差别()i j T -可以产生整数倍个周期，所以其积分结果为零。
这种正交性还可以从频域的角度来理解。我们知道每个OFDM 符号在