南阳理工学院本科生毕业设计（论文）
学院（部）：数理学院
专业：数学与应用数学
学生：童家祎
指导教师：宋苏罗
完成日期 2013 年 5 月
南阳理工学院本科生毕业设计（论文）
分块矩阵在行列式计算中的应用
The Application of Block Matrix in Computing Determinant
总计：毕业设计（论文）25页
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南阳理工学院本科毕业设计（论文）
分块矩阵在行列式计算中的应用
The Application of Block Matrix in Computing Determinant
学院（系）：数理学院
专业：数学与应用数学
学生姓名：童家祎
学号：101109071
指导教师（职称）：宋苏罗（教授）
评阅教师：
完成日期：2013.5
南阳理工学院
Nanyang Institute of Technology
分块矩阵在行列式计算中的应用
数学与应用数学童家祎
[摘要]分块矩阵是矩阵理论中的一个重要内容，在高等代数中有着很重要的应用．矩阵分块的思想来源于对矩阵运算复杂度和储存思想的考虑，矩阵分块能降低矩阵的阶数，使矩阵条理更清晰并简化运算．本文从研究行列式以及分块矩阵的基本性质入手，在查阅了大量文献的基础上，给出了与行列式计算有关的分块矩阵相关定理．将分块矩阵降阶的思想应用在行列式计算过程中，推导出了借助分块矩阵进行行列式计算的多种方法，最后通过具体的例子对比说明，很多时候借助分块矩阵计算行列式比用行列式的常规方法计算更简单、直观、清晰．
[关键词]分块矩阵；行列式；初等变换
The Application of Block Matrix in Computing Determinant Mathematics and Applied Mathematics Major TONG Jia-yi
Abstract: Block Matrix is an important content of Matrix theory, which has a significant usage in Advanced Algebra. The idea of Block Matrix comes from the consideration of the memory storage and the complexity of Matrix Manipulation. Block Matrix can reduce the exponent number of Matrix to make the consecution of Matrix clearer and the operation of Matrix easier. This article starts with basic properties of Matrix, and gives some main conclusions of Block Matrix on the basis of accessing a lot of literature. And then, we use the reduction thoughts of Block Matrix in process of determinant calculation to derive multiple methods of determinant calculation with the block matrix. At last, we use object lessons to compare, shows that computing the determinant by means of block matrix is often more simple, intuitive and clear than conventional methods of determinant calculation.
Key words: determinant; block matrix; elementary transformation
目录
0 引言 (1)
1 分块矩阵的概念 (1)
1.1 分块矩阵的定义 (1)
1.2 分块矩阵的运算 (2)
1.3 特殊的分块矩阵 (4)
2 分块矩阵的初等变换 (5)
3 分块矩阵的相关定理及其证明 (6)
4 利用分块矩阵计算行列式 (10)
4.1 利用定理1计算行列式 (10)
4.2 利用定理2计算行列式 (11)
4.3 利用定理3计算行列式 (13)
4.4 利用定理4计算行列式 (18)
4.5 利用定理5计算行列式 (19)
4.6 利用定理6计算行列式 (21)
结束语 (23)
参考文献 (24)
致谢 (25)
0 引言
矩阵是一个有力的数学工具，有着广泛的应用，同时矩阵也是代数特别是线性代数的一个主要研究对象．矩阵的概念和性质都较易掌握，但是对于阶数较大的矩阵的运算则会是一个很繁琐的过程，甚至仅仅依靠矩阵的基本性质很难计算，为了更好的处理这个问题矩阵分块的思想应运而生[]1．
行列式在代数学中是一个非常重要、又应用广泛的概念．对行列式的研究重在计算，但由于行列式的计算灵活、技巧性强，尤其是计算高阶行列式往往较为困难．行列式的计算通常要根据行列式的具体特点采用相应的计算方法，有时甚至需要将几种方法交叉运用，而且一题多种解法的情况很多，好的方法能极大降低计算量，因此行列式计算方法往往灵活多变．在解决行列式的某些问题时，对于级数较高的行列式，常采用分块的方法，将行列式分成若干子块，往往可以使行列式的结构清晰，计算简化．本文在广泛阅读文献的基础上，从温习分块矩阵的定义和性质出发，给出了分块矩阵的一些重要结论并予以证明，在此基础上讨论利用分块矩阵计算行列式的方法，并与其他方法相互比较，以此说明分块矩阵在行列式计算中的优势．
1 分块矩阵的概念
1.1 分块矩阵的定义
有时候，我们将一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样[]1．特别在运算中，把这些小矩阵当做数一样来处理．这就是所谓的矩阵的分块．把原矩阵分别按照横竖需要分割成若干小块，每一小块称为矩阵的一个子块或子矩阵，则原矩阵是以这些子块为元素的分块矩阵．这是处理级数较高的矩阵时常用的方法．
定义1[]2 设A 是n m ?矩阵，将A 的行分割为r 段，每段分别包含r m m m 21行，将
A 的列分割为s 段，每段包含s m m m 21列，则
??
??
?
?? ??=rs r r s s A A A A A A A A A A
2
1
22221
11211
， 就称为分块矩阵，其中ij A 是j i m m ?矩阵（,,,2,1r i =s j ,,2,1 =）．
注：分块矩阵的每一行（列）的小矩阵有相同的行（列）数． 例如，对矩阵A 分块，
=?????
?
?
??-=210103
01012102102301A ???
?
??2221
1211
A A A A ， 其中
???? ??-=210111A ，???? ??=21002312A ，???
? ??=100121A ，????
??=21030122A ．
1.2 分块矩阵的运算
进行分块矩阵的加、减、乘法与转置运算时，可将子矩阵当做通常矩阵的元素看待． 加法运算 设n m ij a A ?=)(和n m ij b B ?=)(为同型矩阵（行数和列数分别相等），若用相同的分块方法，即
t s ij n m A A ??=)(，t s ij B B ?=)(，
其中ij A 、ij B 是j i n m ?矩阵，t j s i .,2,1,,,2,1 ==，且m m s i i =∑=1
，n n t
j j =∑=1
，则A 与B
可直接相加，即
=+B A t s ij ij B A ?+)(．
数乘运算 设分块矩阵t s ij n m A A ??=)(，k 为任意数，则分块矩阵与k 的数乘为
t s ij kA kA ?=)(．
乘法运算 一般地说，设sn ik a A )(=，nm kj b B )(=，将矩阵A 、B 分块，
??????? ??=st s s t t A A A A A A A A A A 2
1
22221
11211
，??
??
?
?
?
??=tr t t r r B B B B B B B B B B 2122221
11211
， 其中每个ij A 是j i n s ?小矩阵，每个ij B 是j i m n ?小矩阵，于是有
?????
?
?
??==sr s s r r C C C C C C
C C C AB C 2122221
11211， 其中ij C 是j i k m ?矩阵，=
ij C ∑=n
i ij
ij B
A 1
．
应该注意，在进行乘法运算求乘积AB 时，对矩阵A 、B 分块要求，矩阵A 的列的分法必须与矩阵B 的行的分法一致．
矩阵的乘法不适合交换律，即一般来说，没有BA AB =．分块矩阵是一类特殊的矩阵，它的乘法同样不适合交换律．
根据上文所述分块矩阵也是一个矩阵，因此有与一般矩阵的加法、数乘、乘法的运算性质相同．不过，分块矩阵运算时应注意以下几点：
(1) 进行加法运算时，对应子块的结构需相同；
(2) 进行数乘运算时，必须对每一子块都乘以相同的数； (3) 进行乘法运算时，不能随意交换两个相乘子块的顺序．
在具体运算过程中，我们要灵活地分块，目的是使运算更简便．而对于乘法，在矩阵A 与矩阵B 相乘时，对B 的一个分块方式，A 可以有几种分块方式都可与B 相乘，同样对A 的一个分块方式，B 也是如此．但不论怎样分块，始终坚持相乘的两个矩阵前一个矩阵列的分法与后一个矩阵行的分法一致，因为只有这样乘积才有意义．
例如，已知
????? ??=200010001A ，????
? ??=011010100101B ，
我们把B 分块为
???
?
??=????
? ??222122011010100101B B E E ， 其中2E 为二阶单位阵，这时若只考虑乘法的相容性，A 可以分块为
????? ??200010001、????? ??200010001或?
????
?
?200010001， 我们可以看到第一种分法中有单位块，而
???
? ?
?=222
A O
O E A ， 对于乘法运算显然更加简便，即
=AB ????? ??200010001????
?
??011010100101???
?
?????? ??=222122
222
B B E E A O
O E ???? ??=222221
2222B A B A E E ?
???
?
??=022*********． 设
??
??
?
??
??=st s s t t A A A A A A A A A A
2
1
2222111211 是一个分块矩阵，那么它的转置为
??
???
?
? ??'''''''''='st t t
s s A A A A A A A A A A 21222
12
121
11
． 分块矩阵的转置应遵守如下规则：
(1) A 的每一块都看成元素，对A 转置； (2) 对A 的每一块都转置．
1.3 特殊的分块矩阵
形式如
??????
? ?
?l A O A O A
2
1
的矩阵，其中i A 是i i n n ?矩阵),,2,1(l i =，通常称为准对角矩阵．
准对角矩阵具有如下性质： (1) 设
=A ??????
?
?
?l A O A O A
2
1
， 则有
l A A A A 21=；
(2) A 可逆?i A 可逆),,2,1(l i =，且
??????
?
?
?=----112
1
11l A A A A ； (3) 对于两个有相同分块的准对角矩阵
=A ?????
??
?
?l A O A O A
2
1，??????
?
?
?=l B O B O B B
2
1
， 如果它们相应的分块是同级的，那么显然有
???????
?
?=l l B A O B A O B A AB
2
21
1，??????
?
?
?+++=+l l B A O B A O
B A B A
2
21
1 它们还是准对角矩阵．
2 分块矩阵的初等变换
与普通矩阵的初等变换类似，分块矩阵的初等变换有三种： (1) 互换分块矩阵二个块行（列）的位置；
(2) 用一个可逆矩阵左乘（右乘）分块矩阵的某一块行（列）； (3) 将分块矩阵某一块行（列）的k （矩阵）倍加到另一块行（列）． 定义2[]3 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵． 现将某个单位矩阵如下进行分块，
???
? ?
?n m E O O E ， 对它进行两行（列）对换；矩阵的某行（列）乘以行列可逆阵P ；某一行（列）乘以矩阵Q 加到另一行（列）上，就可得到如下三种分块初等矩阵：
(1) 分块初等对换阵
???
? ??O E E O m
n ； (2) 分块初等倍乘阵
???? ?
?n E O O P
，????
??P O O E m
； (3) 分块初等倍加阵
???? ?
?n m
E O Q E ，???
? ??n m E Q
O E ． 与初等矩阵和初等变换的关系一样，用上面这些矩阵左乘任一个分块矩阵
???
? ??D C B A ， 只要分块乘法能够进行，其结果就等于对它进行相应的初等变换：
(1) ????
??=???? ???
??? ??B A D C D C B A
O E E O n m ； (2) ???? ??=????
?????? ?
?D C PB PA D C B A E O O P n ； (3) ???
? ??++=????
?????? ?
?PA D PA C B A D C B A E P O E n m ． 同样，用它们右乘任一矩阵，也有相应的结果．我们通过验证，当用分块初等矩阵
左乘（右乘）一个分块矩阵，就相当于对该分块矩阵作了一次相应的分块矩阵的初等行（列）变换．
分块矩阵的初等行（列）变换具有直观的优点，用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵能得到矩阵间的等式，从而有利于计算矩阵行列式的值．
3 分块矩阵的相关定理及其证明
定义3]2[ 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列)(n k ≤．位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式．当n k <时，在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式．
引理（拉普拉斯定理）设在行列式D 中任意取定了k )11(-≤≤n k 个行．由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D ．
定理1 设A 是m 阶方阵，B 是n m ?阶矩阵，C 是n 阶矩阵，则
C A C
O B A
=．
证明 利用拉普拉斯定理，只要将行列式
C
O B A
按后n 行展开，在其所有的n 阶子式中，除C 外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而C 的余子式为A ，且C 位于整个矩阵的第n m m m +++,,2,1 行，第
n m m m +++,,2,1 列，即可得
C A C
O B A
=．
类似地行列式的形式为
C
B O A
时，由行列式的转置值不变，因此仍有
C A C A C B O
A =''='
''．
通过上面的定理，我们自然想到，若是将行列式
C
O B A
换成
O
C B A
又会有怎样的结论，它的值等于B C 吗？
定理2 设A 、B 、C 均为n 阶方阵，则
B C O
C B A
n 2
)1(-=．
证明 将拉普拉斯定理应用于上式的后n 行， 在其所有n 阶子式中，除C 外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而C 的余子式为B ，且C 位于整个矩阵的第
n n n n +++,,2,1 行， 第n ,,2,1 列，因此
C B O
C B A
s )1(-=，
其中偶数+=+???+++++???+++=2)21()()2)(1(n n n n n n s ，即
B C O
C B A
n 2
)1(-=．
定理3 ??
?
???=D C B A P 是分块n 阶矩阵，其中A 为r 阶方阵，B 为s r ?阶阵，C 为r s ?阶阵，D 为s 阶方阵．
(1) 若A 可逆，则B CA D A P 1--=； (2) 若D 可逆，则B CD A D P 1--=． 证明 (1) 当0≠A 时，有
???
? ??-=???? ?????? ?
?---B CA D O B A D C B A I CA O I
11
两边取行列式可得
=P A B CA D 1--．
(2) 当0≠D 时，有
???
?
?
?-=???? ?????? ??---D C O C BD A D C B A I O BD I 11 两边取行列式可得
P =D B CD A 1--．
将定理3中条件特殊化，可得到如下推论．
推论1 设A 、B 、C 、D 分别是r ，s r ?，r s ?，s 矩阵，则有 (1) CB D D C B E r -=； (2)
BC A E C
B A s
-=．
证明 (1) 只需在定理3中令r E A =，即有
CB D CB
D O
B E D C
B E r r -=-=．
(2) 只需在定理3中令s E B =，即有
BC A E C
O BC A E C
B A s
s
-=-=．
推论2 设B 、C 分别是s r ?，r s ?，则有
BC E CB E E C
B E r s s
r -=-=．
证明 只需在定理3中令r E A =，s E B =，则有
BC E CB E E C
B E r s s
r -=-=．
定理4[]5,4 设A 、B 、C 、D 都是n 阶方阵，则 (1) 当0≠A 且CA AC =时，=D C B A CD AB -； (2) 当A 0≠且BA AB =时，
=D C B A CB DA -； (3) 当0≠D 且CD DC =时，
=D
C B A BC A
D -；
(4) 当0≠D 且BD DB =时，
=D
C
B A B
C DA -．
证明 由A 、B 、C 、D 均为n 阶方阵，当0≠A 且CA AC =时，利用定理3得
=D
C
B A A B CA D 1--B ACA AD 1--=B CAA AD 1--= CB AD -=，
即
=D
C
B A CB AD -，
(2)、(3)、(4)类似可得．
定理5[]7,6 设A 、B 都是n 阶方阵，则有
B A B A A
B
B A -+=．
证明 根据分块矩阵性质有
B
A O
B B A A A
B B B A A B
B A -+=++=
B A B A -+=．
定理6[]8 设A 为n 阶可逆方阵，α与β均为n 维列向量，则
)1(1βαβα-+=+A A A T T ．
证明 因
???
?
??-+=????
??-???? ?
?-10110
T T
T A A
E
βαββ
αα， (1) ???
?
??+=???? ??-???? ??--αβαβαβ11
10110A A
A A E
T T T ， (2) (1)式、(2)式两边各取行列式，又
11
01
=-=
-T
E E βα，
从而有
)1(1
1αβαββ
α
-+=+=-A A A A T T T
．
4 利用分块矩阵计算行列式
在行列式计算的过程中，若是该行列式的结构符合上述定理条件的要求，就可按照该定理进行矩阵分块，利用定理的结论计算行列式．其中的关键是如何对行列式进行分块，什么样的行列式能进行分块．我们在运用分块矩阵计算行列式时，要仔细观察行列式的结构，先确定运用哪个公式来进行计算，再对行列式进行相应的分块．在计算的过程中，也可能遇到可以运用分块矩阵计算的行列式，因此不仅要牢记公式，也要学会灵活运用．
4.1 利用定理1计算行列式
能够利用定理1求解的行列式的类型为
C
O B A 或C
B O A ，
下面给出具体例子．
例1 计算行列式
5
3
00
12000215
311210241210--=H ． 解 方法1（利用定理1） 对行列式H 分块，
C
O B A H =
，
其中????? ??-=531102210A ，?
???? ??-=211241B ，????
??=5312C ．
根据定理1，有
75
3125
311
02
210
=-==C A H ．
方法2（化三角形法） 将行列式H 化为上三角形．
5
3
00
12000215311210241210--=H 53
000
1200021531
1210222321----= 5
3
12000412103
67402
2321----=2
70
12000413214100
36740
223
21-----= 7=．
方法3（降阶法）
53000
12000215311210241210--=H 5
3
0120012104121153
01200215341212-?
--?-=
5
3
012001210412115
3
0012001041
041212-?
----?
-=
5
301201215
3
120
10
412---?-=
5
3125
3122-
?
=
7=．
显然方法1更简单，利用定理1计算例1极大简化了计算．
4.2 利用定理2计算行列式
对于可以利用定理2计算的行列式，其结构特点是
O
C B A
型．下面是利用定理2计算行列式的具体例子．
例2 计算行列式
=
H 0
00000000000062
61
5133323126232221
1615131211b
a a
b a b a a a a a a a a a a a a a a a ．
解 方法1（利用定理2）
利用定理2结论，对行列式H 分块，
O
C B A
H =
，
其中
????? ??=3332
31
232221
131211a a a a a a a a a A ，?????
??=a a a
a a a B 000261615
，????
?
??=b a a b a b
C 62
61
51
000， 因此=H =-B C 9)1(33b a -．
方法2（降阶法）
=
H 0
00000000000062
61
5133323126232221
1615131211b
a a
b a b a a a a a a a a a a a a a a a 0
0000000062
61
51333231
26232221b
a a
b a b
a a a a a a a a a a -= 0
000062
3332262322
b
a b a a a a a a a ab
-=0
033
2623
2b
a a a a a a
b -= a
a a a
b 0
26
3
-=33b a -=．
方法3（定义法）
这是一个六阶行列式，在展开式中应有!6项，但是由于其有很多零元素，所以不等于零的项就大大减少了，展开式中一般形式是
654321654321j j j j j j a a a a a a ，
显然，如果41≠j ，那么11j a 这一项就为零，因此只考虑41=j 的那些项；同理，只考虑
14=j 的那些项，
而由于第五行只有非零元素51a 和b ，所以只考虑25=j ，同理有52=j ，63=j ，36=j ．根据定义即可计算P ，
即
=H 33)456123()1(b a τ-33339)1(b a b a -=-=．
从上面的例子我们看到，将方法2、3与方法1比较，方法2解题步骤更多更复杂，而方法3比较抽象，要有很好的观察力，显然利用分块矩阵来解题时，行列式的结构很清楚明了，解题过程也更简单．
4.3 利用定理3计算行列式
下面是利用定理3计算行列式的例子． 例3 计算n 2阶行列式
b c
b c d a d
a H
=
，
其中0≠a ．
解 方法1（利用定理3） 对行列式分块，令
D
C
B A H =
，
其中
????? ??=a a A ，????? ??=b b B ，????? ??=c c C ，????
? ??=d d D ．
A 、
B 、
C 、
D 均为n 阶方阵，0≠=n a A 得A 可逆．
因为
?????
?
?--=----d ca b d ca b D CA B 111
，
所以
n n cd ab d ca b a D CA B A H )()(11-=-=-=--．
方法2（降阶法）
b c b c d a d a H
=
1
21
200
0000
---=n n b
c b c
d a d
a d c
b b
c b c d
a d
a a
2
222---=n n b c
b c
d a d
a cd
b c
b c d a d a ab
== n cd ab )(-．
方法3（化三角形法）
利用行列式的性质，将H 化为上三角形，即
b c b c d a d a H
=
1
--=
cda b b c d a d
a
1
1
0----=
cda b cda d d
a d
a
n n cda b a )(1--=n cd ab )(-=．
从上面例子可以看到，行列式H 是一个高阶抽象行列式，比较上面三种方法，显然方法1更为简单，而且在利用定理3将行列式进行分块之后，该行列式的结构便十分清晰，计算过程也很简单明．
例4[]9 计算行列式
n
n a a a a D ++++=
111
1
1
11
11111111
1111132
1
，
其中n i a ,,2,1,01 =≠．
解 方法1（利用定理3）
对该行列式先加边，再将加边后的行列式的第1行乘1-加到其余各行， 得
n
n a a a a D ++++=
11111011
111011111011111011111132
1
n
a a a 000
1
00
00100
0100011111121 ----=
，
令
)1(=A ，)1,,1,1( =B ，??
??
?
??
??---=111
C ，??????
?
?
?=n a a a D
2
1， 由于01≠a ，且B 可逆，从而
==
D
C
B A D n n n
i a a a a a B CA D A 211
111
)(∑=--+=-
矩阵与行列式的关系 矩阵是一个有力的数学工具，有着广泛的应用，同时矩阵也是代数特别是线性代数的一个主要研究对象．矩阵的概念和性质都较易掌握，但是对于阶数较大的矩阵的运算则会是一个很繁琐的过程，甚至仅仅依靠矩阵的基本性质很难计算，为了更好的处理这个问题矩阵分块的思想应运而生[]1． 行列式在代数学中是一个非常重要、又应用广泛的概念．对行列式的研究重在计算，但由于行列式的计算灵活、技巧性强，尤其是计算高阶行列式往往较为困难．行列式的计算通常要根据行列式的具体特点采用相应的计算方法，有时甚至需要将几种方法交叉运用，而且一题多种解法的情况很多，好的方法能极大降低计算量，因此行列式计算方法往往灵活多变．在解决行列式的某些问题时，对于级数较高的行列式，常采用分块的方法，将行列式分成若干子块，往往可以使行列式的结构清晰，计算简化．本文在广泛阅读文献的基础上，从温习分块矩阵的定义和性质出发，给出了分块矩阵的一些重要结论并予以证明，在此基础上讨论利用分块矩阵计算行列式的方法，并与其他方法相互比较，以此说明分块矩阵在行列式计算中的优势． 1.1 矩阵的定义 有时候，我们将一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样[]1．特别在运算中，把这些小矩阵当做数一样来处理．这就是所谓的矩阵的分块．把原矩阵分别按照横竖需要分割成若干小块，每一小块称为矩阵的一个子块或子矩阵，则原矩阵是以这些子块为元素的分块矩阵．这是处理级数较高的矩阵时常用的方法． 定义1[]2 设A 是n m ?矩阵，将A 的行分割为r 段，每段分别包含r m m m 21行，将 A 的列分割为s 段，每段包含s m m m 21列，则 ?? ? ? ? ? ? ??=rs r r s s A A A A A A A A A A 21 2222111211 ， 就称为分块矩阵，其中ij A 是j i m m ?矩阵（,,,2,1r i =s j ,,2,1 =）． 注：分块矩阵的每一行（列）的小矩阵有相同的行（列）数． 例如，对矩阵A 分块， = ?? ? ? ? ? ? ? ?-=21010301012102102301A ??? ? ??22211211 A A A A ， 其中
分块矩阵的应用 引言 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生矩阵分块，就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的?就如矩阵的元素（数）一样,特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处因为在分块之后，矩阵间的相互关系可以看得更清楚，在实际操作中与其他方法相比，- 般来说,不仅非常简洁，而且方法也很统一，具有较大的优越性，是在处理级数较高的矩阵时常用的方法?比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A、C都是n阶矩阵, A B 其中A 0,并且AC CA，则可求得AD BC ;分块矩阵也可以在求解线性 C D 方程组应用? 本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利
1 分块矩阵的定义及相关运算性质 1.1 分块矩阵的定义 矩阵分块 , 就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的 . 就如矩阵的元素 （ 数） 一 样,特别是在运算中 , 把这些小矩阵当作数一样来处理 . 定义1设A 是一个m n 矩阵，若用若干横线条将它分成r 块，再用若干纵线条将它 A 11 ... 分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，即A .... A r1 . 1.2 分块矩阵的相关运算性质 1. 2.1 加法 A A ij r s ， B B ij r s ， 其中 A ij ， B ij 的级数相同， A B A ij B ij r s 1.2.2 数乘 kA 1.2.3 乘法 1.2.4 转置 A A ji s r 1.2.5 分块矩阵的初等变换 分块矩阵A 的下列三种变换称为初等行变换: A 1s ... ，其中 A ij 表示的是一个矩阵 . A rs 设 A a ij B mn b ij m n ，用同样的方法对 A,B 进行分块 设是任 A a ij mn A ij r s ,k 为任意数， 定义分块矩阵 A A ij r s 与 k 的数乘为 设 A a ij ,B sn n m 分块为 A A ij nm r l ,B B ij l r ，其中 A ij 是 s i n j 矩阵， B ij 是 n i m j 矩阵， 定义分块矩阵A A j rl 和B B ij l r 的乘积为 r C ij A i1 B 1j A i2 B 2j ... A il B lj , i 1,2,...t; j 1,2,3,..., l a ij s n 分块为 A sn A ij r s ，定义分块矩阵 A A ij r s 的转置为 rs
分块矩阵的应用 引言 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生. 矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处.因为在分块之后,矩阵间的相互关系可以看得更清楚,在实际操作中与其他方法相比,一般来说,不仅非常简洁,而且方法也很统一,具有较大的优越性,是在处理级数较高的矩阵时常用的方法.比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A 、C 都是n 阶矩阵，其中0A ≠，并且AC CA =，则可求得A B AD BC C D =-；分块矩阵也可以在求解线性 方程组应用. 本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利.
1 分块矩阵的定义及相关运算性质 1.1分块矩阵的定义 矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理. 定义1设A 是一个m n ?矩阵，若用若干横线条将它分成r 块，再用若干纵线条将它 分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，即1111...............s r rs A A A A A ???? =?????? ，其中ij A 表示的是一个矩阵. 1.2分块矩阵的相关运算性质 1. 2.1加法 设() ij m n A a ?=() ij m n B b ?=，用同样的方法对,A B 进行分块 () ij r s A A ?=，() ij r s B B ?=， 其中ij A ，ij B 的级数相同， 则 ()ij ij r s A B A B ?+=+. 1.2.2数乘 设是任() () ,ij ij m n r s A a A k ??==为任意数，定义分块矩阵() ij r s A A ?=与k 的数乘为 () ij r s kA kA ?= 1.2.3乘法 设() () ,ij ij s n n m A a B b ??==分块为()(),ij ij r l l r A A B B ??==，其中ij A 是i j s n ?矩阵，ij B 是 i j n m ?矩阵，定义分块矩阵() ij r l A A ?=和()ij l r B B ?=的乘积为 () 1122...,1,2,...;1,2,3,...,ij i j i j il lj C A B A B A B i t j l =+++==.、 1.2.4转置 设() ij s n A a ?=分块为() ij r s A A ?=，定义分块矩阵() ij r s A A ?=的转置为 () ji s r A A ?''= 1.2.5分块矩阵的初等变换 分块矩阵A 的下列三种变换称为初等行变换：
分块矩阵及其应用 徐健,数学计算机科学学院 摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量， 而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理. 关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩 On Block Matrixes and its Applications Xu Jian, School of Mathematics and Computer Science Abstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content. In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc. Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix
分类号密级 U D C 编号 本科毕业论文(设计) 题目分块矩阵的若干性质及其应用 学院数学与经济学院 专业名称应用统计学 年级 学生姓名 2017 年 4 月
文献综述 一、概述 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。分块矩阵是矩阵的一种特殊形式，对于一些高阶矩阵，形式表达上就比较抽象，运算上就更为繁杂，然而通过矩阵分块的方法达到降阶的目的。分块矩阵的若干性质及其应用是一个应用型的课题，是通过对分块矩阵的若干性质的掌握并应用于现实生活上的实际问题，它的应用范围非常广，远远不止于本文所列出的这几个方面，还有更广阔的应用有待于我们更加深入地去研究与探索。 二、正文 通过阅读居余马著作的《线性代数》一书中了解到，“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。但是追根溯源，矩阵最早是出现在我国的《九章算术》中，在《九章算术》方程一章中，就提出了解线性方程各项系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状，随后移动，就可以求出这个方程。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。 现阶段，分块矩阵的性质及其应用在各个方面都起着至关重要的作用，分块矩阵的应用非常广泛和深刻，特别是在高等代数和线性代数中的应用更加广阔，例如在计算行列式以及矩阵的秩等方面，都有着很重要的应用。但国内一些专家对其研究主要还是在证明和计算方面。 林瑾瑜在《分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用》中，从行列式计算中的经常用到的性质出发，推导出分块矩阵的若干性质，并举例说明这些性质在行列式计算和证明问题中的应用。 蔡铭晶在《例说分块矩阵的应用》中论述了分块矩阵的概念，举例说明和分析了分块矩阵在线性代数中的应用，包括利用分块矩阵求逆矩阵、求高阶行
第八讲 矩阵的分块法 一、矩阵的分块法 用处：（1）将高阶矩阵用低阶矩阵表示 （2）把每一小块看成元素一样按矩阵的运算来进行运算 （3）分块之后使得矩阵的一些运算简化 分块的标准：（1）能分出一些零子块 （2）能分出一些单位矩阵 （3）分成数量矩阵 二、分块矩阵的运算 简单解释一下即可，不做要求 三、分块对角矩阵 1、定义 2、对应的行列式的求法 3、逆矩阵的求法 例题1、设???? ? ??--=320210002A ，求A ，1-A 四、线性方程组的矩阵表示 1、一般表示 ?????=++=++m n mn m n n b x a x a b x a x a 1 111111 系数矩阵n m m m n a a a a A ?????? ??=11111
未知量矩阵???? ? ??=n x x X 1 常数项矩阵???? ? ??=m b b b 1 2、线性方程组的矩阵表示 将上面的方程组用矩阵表示： ???? ? ??=????? ??????? ??m n m m n b b x x a a a a 1111111 b AX = 例题：设?????=--=-+-=+-02212321 321321x x x x x x x x x ，写出矩阵表达式。 对角矩阵的行列式值和逆矩阵的求法要求必须会。 练习题 1、 求逆矩阵101210002A ?? ?= ? ??? 2、 求逆矩阵1200250000620032A ?? ? ?= ? ??? 3、求x 和y ，使2180341x y -??????+= ??? ?-?????? . 4、 求x ，y 和z ，使110101************x y z --?????? ??? ?-= ??? ? ??? ?-??????
分块矩阵行列式计算的若干方法 摘要:矩阵是线性代数中研究的重要对象，也是数字计算中的一个重要工 具，矩阵运算具有整体性和简洁性的特点。我们应该充分注意矩阵运算的一些特殊规律。为了研究问题的需要，适当的对矩阵进行分块，把一个大矩阵看成是由一些小矩阵块为元素组成的，这样可使矩阵的结构看的更清楚，表达和运算更简便的特点。矩阵分块的思想在线性代数证明以及应用中是十分有用的。运用矩阵分块的思想，可使解题更简洁，思路更开阔。本文就将分块矩阵的思想运用到行列式的计算当中来，利用分块矩阵来计算行列式，并且得出一些简便的方法。借助准三角形分块矩阵的行列式值的结果简化高阶行列式的计算。例如，本文讨论了利用分块矩阵计算行列式的︱H ︱= B C D A 方法，即（1）当矩阵A 或 B 可逆时； （2）当矩阵A=B,C=D 时；（3）当A 与C 或者B 与C 可交换时；（4）当矩阵H 被分成 两个特殊矩阵的和时等一些方法去探究分块矩阵行列式计算求值的若干方法。 关键词:分块矩阵；准三角形分块矩阵；可逆矩阵；行列式；计算；单位 矩阵
Several Measures Of Block Matrix In Computing Determinant Zhouxu (Hunan Normal University Mathematics and Applied Mathematics Grade 2004) Abstract ：Matrix is the important object which in the linear algebra studies, is also a important tool in the digital computation . The matrix operation with integrity and simplicity of the characteristics. We should pay attention to some special rules of the matrix operation fully.In order to study the issue of the need, we carries on the piecemeal suitably to the matrix,regard a big matrix as some small ones,which integrate it, This will enable the matrix structure more clearly,with the characteristics of expression and computing easier.The thought of dividing matrix into blocks is very important in proving and applying the linear https://www.doczj.com/doc/741124380.html,e the thought of dividing matrix to blocks can help us to solve problems more pithily and think methods more widely.This thesis uses the blocking matrix method into the calculation of determinant,tries to solve the linear equations . Severa1 more general results are proved through the way aided by the result of the determinants for quasi-triangle piece matrices ，which does not change the nature of the determinnts ，For example, this article discussed the methods of computing ︱H ︱= B C D A with using block matrix. That is:(1)A and B are invertible matrixes;(2)A=B and C=D;(3)AC=CA or BC=CB;(4)matrix H is divided into two particular matrix , And some other ways to explore block matrix determinant for Calculating its value Key words ：block matrix; quasi —triangle piece matrices ；inverse matrices ； determinants ； computation ；unit matrix
分块矩阵的方法、技巧与应用 内容摘要有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的 一样。特别在运算中，把这些小矩阵当作数一样处理。这就是矩阵的分块。设A 是一个m*n 矩阵 11 121212221 2 n n m m mn a a a a a a A a a a ?????? =???? ?? 用若干横线将它分成s 块，若干竖线将它分成r 块,于是有*r s 的分块矩阵 1112121 2121 2 s s r r rs A A A A A A A A A A ?????? =???? ?? 其中 ij A 表示一个矩阵。 关键词矩阵，分块矩阵，逆矩阵，准对角矩阵 1. 导言 在理论研究及一些实际问题中，经常遇到阶数很高或结构特殊的矩阵。对于这些矩阵，在运算时常常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更清晰明朗，从而使矩阵的相关计算简单化，而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题。本文将主要介绍分块矩阵的一些初等变换的方法技巧，就分块矩阵的加法与数量乘法、乘法、转置、初等变换等运算性质，以及分块矩阵在矩阵求逆、行列式展开等方面进行一些基本研究。 2. 1.分块矩阵的简介 矩阵分块为矩阵运算带来便利，最常用的矩阵分块是2*2块
A B C D ?? ??? ， 其中A 为*m m 矩阵块，D 为*n n 矩阵块。 例:在矩阵 2 1210000010012101 10 1E A A E ?? ? ?? ?== ? ?-?? ??? 中,2E 代表2级单位矩阵,而 11211A -??= ???,0000O ??= ??? 在矩阵 11 1221221032120124111 15 3B B B B B ?? ? -?? ?== ? ?-?? ?-?? 中, 111012B ?? = ?-?? ,123201B ??= ???, 211011B ??= ?--?? ,224120B ?? = ??? . 在计算AB 时,把A ,B 都看成事由这些小矩阵组成的,即按2阶矩阵来运算,于是 2 11 1211 12 12212211121 112220E B B B B AB A E B B A B B A B B ??????== ??? ? ++??????