A*算法求解八数码问题
1、八数码问题描述
所谓八数码问题起源于一种游戏:在一个3×3的方阵中放入八个数码1、2、3、4、5、6、
7、8，其中一个单元格是空的。将任意摆放的数码盘（城初始状态）逐步摆成某个指定
的数码盘的排列（目标状态），如图1所示
图1 八数码问题的某个初始状态和目标状态
对于以上问题，我们可以把数码的移动等效城空格的移动。如图1的初始排列，数码7右移等于空格左移。那么对于每一个排列，可能的一次数码移动最多只有4中，即空格左移、空格右移、空格上移、空格下移。最少有两种（当空格位于方阵的4个角时）。所以，问题就转换成如何从初始状态开始，使空格经过最小的移动次数最后排列成目标状态。
2、八数码问题的求解算法
2.1 盲目搜索
宽度优先搜索算法、深度优先搜索算法
2.2 启发式搜索
启发式搜索算法的基本思想是：定义一个评价函数f，对当前的搜索状态进行评估，找出一个最有希望的节点来扩展。
先定义下面几个函数的含义：
f*(n)=g*(n)+h*(n) (1)
式中g*(n)表示从初始节点s到当前节点n的最短路径的耗散值；h*(n)表示从当前节点n到目标节点g的最短路径的耗散值，f*(n)表示从初始节点s经过n到目标节点g的最短路径的耗散值。
评价函数的形式可定义如(2)式所示：
f(n)=g(n)+h(n) (2)
其中n是被评价的当前节点。f(n)、g(n)和h(n)分别表示是对f*(n)、g*(n)和h*(n)3个函数值的估计值。
利用评价函数f(n)=g(n)+h(n)来排列OPEN表节点顺序的图搜索算法称为算法A。在A 算法中，如果对所有的x，
h(x)<=h*(x) (3)
成立，则称好h(x)为h*(x)的下界，它表示某种偏于保守的估计。采用h*(x)的下界h(x)为启发函数的A算法，称为A*算法。
针对八数码问题启发函数设计如下：
f(n)=d(n)+p(n) (4)
其中A*算法中的g(n)根据具体情况设计为d(n)，意为n节点的深度，而h(n)设计为
图2 A*算法流程图
p(n)，意为放错的数码与正确的位置距离之和。
由于实际情况中，一个将牌的移动都是单步进行的，没有交换拍等这样的操作。所以要把所有的不在位的将牌，移动到各自的目标位置上，至少要移动从他们各自的位置到目标位置的距离和这么多次，所以最有路径的耗散值不会比该值小，因此该启发函数h(n)满足A*算法的条件。
3、A*算法流程图,如图2
4、A*算法总结
4.1，把起始状态添加到开启列表。
4.2，重复如下工作：
a) 寻找开启列表中f值最低的节点，我们称它为BESTNOE
b) 把它切换到关闭列表中。
c) 对相邻的4个节点中的每一个
*如果它不在开启列表，也不在关闭列表，把它添加到开启列表中。把BESTNODE 作为这一节点的父节点。记录这一节点的f和g值
*如果它已在开启或关闭列表中，用g值为参考检查新的路径是否更好。更低的g值意味着更好的路径。如果这样，就把这一节点的父节点改为BESTNODE，并且重新计算这一节点的f和g值，如果保持开启列表的f值排序，改变之后需要重新对开启列表排序。
d) 停止
把目标节点添加到关闭列表，这时候路径被找到，或者没有找到路径，开启列表已经空了，这时候路径不存在。
4.3，保存路径。从目标节点开始，沿着每一节点的父节点移动直到回到起始节点。这就是求得的路径。
5、数据结构
采用结构体来保存八数码的状态、f和g的值以及该节点的父节点；
struct Node{
int s[3][3];//保存八数码状态，0代表空格
int f,g;//启发函数中的f和g值
struct Node * next;
struct Node *previous;//保存其父节点
};
6、实验结果，如图3所示
图3 A*算法求解八数码问题实验结果
7、源代码
//-----------------------------------------------------------------------------
//代码：利用A*算法求解八数码问题。
//八数码问题的启发函数设计为：f(n)=d(n)+p(n),其中A*算法中的g(n)根据具体情况设计为d(n)，意为n节点的深度，而h(n)设计为p(n)，意为放错的数码与正确的位置距离之和。//后继结点的获取：数码的移动等效为空格的移动。首先判断空格上下左右的可移动性，其次移动空格获取后继结点。
//-----------------------------------------------------------------------------
#include
#include
#include
//八数码状态对应的节点结构体
struct Node{
int s[3][3];//保存八数码状态，0代表空格
int f,g;//启发函数中的f和g值
struct Node * next;
struct Node *previous;//保存其父节点
};
int open_N=0; //记录Open列表中节点数目
//八数码初始状态
int inital_s[3][3]={
2,8,3,
1,6,4,
7,0,5
};
//八数码目标状态
int final_s[3][3]={
1,2,3,
8,0,4,
7,6,5
};
//------------------------------------------------------------------------
//添加节点函数入口，方法：通过插入排序向指定表添加
//------------------------------------------------------------------------
void Add_Node( struct Node *head, struct Node *p)
{
struct Node *q;
if(head->next)//考虑链表为空
{ q = head->next;
if(p->f < head->next->f){//考虑插入的节点值比链表的第一个节点值小
p->next = head->next;
head->next = p;
}
else {
while(q->next)//考虑插入节点x，形如a<= x <=b
{
if((q->f < p->f ||q->f == p->f) && (q->next->f > p->f || q->next->f == p->f)){ p->next = q->next;
q->next = p;
break;
}
q = q->next;
}
if(q->next == NULL) //考虑插入的节点值比链表最后一个元素的值更大q->next = p;
}
}
else head->next = p;
}
//------------------------------------------------------------------------
//删除节点函数入口
//------------------------------------------------------------------------
void del_Node(struct Node * head, struct Node *p )
{
struct Node *q;
q = head;
while(q->next)
{
if(q->next == p){
q->next = p->next;
p->next = NULL;
if(q->next == NULL) return;
// free(p);
}
q = q->next;
}
}
//------------------------------------------------------------------------
//判断两个数组是否相等函数入口
//------------------------------------------------------------------------
int equal(int s1[3][3], int s2[3][3])
{
int i,j,flag=0;
for(i=0; i< 3 ; i++)
for(j=0; j< 3 ;j++)
if(s1[i][j] != s2[i][j]){flag = 1; break;}
if(!flag)
return 1;
else return 0;
}
//------------------------------------------------------------------------
//判断后继节点是否存在于Open或Closed表中函数入口
//------------------------------------------------------------------------
int exit_Node(struct Node * head,int s[3][3], struct Node *Old_Node)
{
struct Node *q=head->next;
int flag = 0;
while(q)
if(equal(q->s,s)) {
flag=1;
Old_Node->next = q;
return 1;}
else q = q->next;
if(!flag) return 0;
}
//------------------------------------------------------------------------
//计算p(n)的函数入口
//其中p(n)为放错位的数码与其正确的位置之间距离之和
//具体方法：放错位的数码与其正确的位置对应下标差的绝对值之和
//------------------------------------------------------------------------
int wrong_sum(int s[3][3])
{
int i,j,fi,fj,sum=0;
for(i=0 ; i<3; i++)
for(j=0; j<3; j++)
{
for(fi=0; fi<3; fi++)
for(fj=0; fj<3; fj++)
if((final_s[fi][fj] == s[i][j])){
sum += fabs(i - fi) + fabs(j - fj);
break;
}
}
return sum;
}
//------------------------------------------------------------------------
//获取后继结点函数入口
//检查空格每种移动的合法性，如果合法则移动空格得到后继结点
//------------------------------------------------------------------------
int get_successor(struct Node * BESTNODE, int direction, struct Node *Successor)//扩展BESTNODE，产生其后继结点SUCCESSOR
{
int i,j,i_0,j_0,temp;
for(i=0; i<3; i++)
for(j=0; j<3; j++)
Successor->s[i][j] = BESTNODE->s[i][j];
//获取空格所在位置
for(i=0; i<3; i++)
for(j=0; j<3; j++)
if(BESTNODE->s[i][j] == 0){i_0 = i; j_0 = j;break;} switch(direction)
{
case 0: if((i_0-1)>-1 ){
temp = Successor->s[i_0][j_0];
Successor->s[i_0][j_0] = Successor->s[i_0-1][j_0];
Successor->s[i_0-1][j_0] = temp;
return 1;
}
else return 0;
case 1: if((j_0-1)>-1){
temp = Successor->s[i_0][j_0];
Successor->s[i_0][j_0] = Successor->s[i_0][j_0-1];
Successor->s[i_0][j_0-1] = temp;
return 1;
}
else return 0;
case 2: if( (j_0+1)<3){
temp = Successor->s[i_0][j_0];
Successor->s[i_0][j_0] = Successor->s[i_0][j_0+1];
Successor->s[i_0][j_0+1] = temp;
return 1;
}
else return 0;
case 3: if((i_0+1)<3 ){
temp = Successor->s[i_0][j_0];
Successor->s[i_0][j_0] = Successor->s[i_0+1][j_0];
Successor->s[i_0+1][j_0] = temp;
return 1;
}
else return 0;
}
}
//------------------------------------------------------------------------
//从OPen表获取最佳节点函数入口
//------------------------------------------------------------------------
struct Node * get_BESTNODE(struct Node *Open)
{
return Open->next;
}
//------------------------------------------------------------------------
//输出最佳路径函数入口
//------------------------------------------------------------------------
void print_Path(struct Node * head)
{
struct Node *q, *q1,*p;
int i,j,count=1;
p = (struct Node *)malloc(sizeof(struct Node));
//通过头插法变更节点输出次序
p->previous = NULL;
q = head;
while(q)
{
q1 = q->previous;
q->previous = p->previous;
p->previous = q;
q = q1;
}
q = p->previous;
while(q)
{
if(q == p->previous)printf("八数码的初始状态：\n");
else if(q->previous == NULL)printf("八数码的目标状态：\n");
else printf("八数码的中间态%d\n",count++);
for(i=0; i<3; i++)
for(j=0; j<3; j++)
{
printf("%4d",q->s[i][j]);
if(j == 2)printf("\n");
}
printf("f=%d, g=%d\n\n",q->f,q->g);
q = q->previous;
}
//------------------------------------------------------------------------
//A*子算法入口:处理后继结点
//------------------------------------------------------------------------
void sub_A_algorithm(struct Node * Open, struct Node * BESTNODE, struct Node * Closed,struct Node *Successor)
{
struct Node * Old_Node = (struct Node *)malloc(sizeof(struct Node));
Successor->previous = BESTNODE;//建立从successor返回BESTNODE的指针
Successor->g = BESTNODE->g + 1;//计算后继结点的g值
//检查后继结点是否已存在于Open和Closed表中，如果存在：该节点记为old_Node，比较后继结点的g值和表中old_Node节点
//g值，前者小代表新的路径比老路径更好，将Old_Node的父节点改为BESTNODE，并修改其f，g值，后者小则什么也不做。
//即不存在Open也不存在Closed表则将其加入OPen表，并计算其f值
if( exit_Node(Open, Successor->s, Old_Node) ){
if(Successor->g < Old_Node->g){
Old_Node->next->previous = BESTNODE;//将Old_Node的父节点改为BESTNODE
Old_Node->next->g = Successor->g;//修改g值
Old_Node->next->f = Old_Node->g + wrong_sum(Old_Node->s);//修改f值
//排序~~~~~~~~~~~~~~~~~~
del_Node(Open, Old_Node);
Add_Node(Open, Old_Node);
}
}
else if( exit_Node(Closed, Successor->s, Old_Node)){
if(Successor->g < Old_Node->g){
Old_Node->next->previous = BESTNODE;
Old_Node->next->g = Successor->g;
Old_Node->next->f = Old_Node->g + wrong_sum(Old_Node->s);
//排序~~~~~~~~~~~~~~~~~~
del_Node(Closed, Old_Node);
Add_Node(Closed, Old_Node);
}
}
else {
Successor->f = Successor->g + wrong_sum(Successor->s);
Add_Node(Open, Successor);
open_N++;
}
}
//------------------------------------------------------------------------
//A*算法入口
//八数码问题的启发函数为：f(n)=d(n)+p(n)
//其中A*算法中的g(n)根据具体情况设计为d(n)，意为n节点的深度，而h(n)设计为p(n)，//意为放错的数码与正确的位置距离之和
//------------------------------------------------------------------------
void A_algorithm(struct Node * Open, struct Node * Closed) //A*算法
{
int i,j;
struct Node * BESTNODE, *inital, * Successor;
inital = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node));
//初始化起始节点
for(i=0; i<3; i++)
for(j=0; j<3; j++)
inital->s[i][j] = inital_s[i][j];
inital->f = wrong_sum(inital_s);
inital->g = 0;
inital->previous = NULL;
inital->next = NULL;
Add_Node(Open, inital);//把初始节点放入OPEN表
open_N++;
while(1)
{
if(open_N == 0){printf("failure!"); return;}
else {
BESTNODE = get_BESTNODE(Open);//从OPEN表获取f值最小的BESTNODE，将其从OPEN表删除并加入CLOSED表中
del_Node(Open, BESTNODE);
open_N--;
Add_Node(Closed, BESTNODE);
if(equal(BESTNODE->s, final_s)) {//判断BESTNODE是否为目标节点
printf("success!\n");
print_Path(BESTNODE);
return;
}
//针对八数码问题，后继结点Successor的扩展方法：空格（二维数组中的0）上下左右移动，
//判断每种移动的有效性，有效则转向A*子算法处理后继节点，否则进行下一种移动
else{
Successor = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node)); Successor->next = NULL;
if(get_successor(BESTNODE, 0, Successor))sub_A_algorithm( Open, BESTNODE, Closed, Successor);
Successor = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node)); Successor->next = NULL;
if(get_successor(BESTNODE, 1, Successor))sub_A_algorithm( Open, BESTNODE, Closed, Successor);
Successor = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node)); Successor->next = NULL;
if(get_successor(BESTNODE, 2, Successor))sub_A_algorithm( Open, BESTNODE, Closed, Successor);
Successor = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node)); Successor->next = NULL;
if(get_successor(BESTNODE, 3, Successor))sub_A_algorithm( Open, BESTNODE, Closed, Successor);
}
}
}
}
//------------------------------------------------------------------------
//main()函数入口
//定义Open和Closed列表。Open列表：保存待检查节点。Closed列表：保存不需要再检查的节点
//------------------------------------------------------------------------
void main()
{
struct Node * Open = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node));
struct Node * Closed = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node));
Open->next = NULL ; Open->previous = NULL;
Closed->next =NULL; Closed->previous = NULL;
A_algorithm(Open, Closed);
}
用A*算法解决八数码问题 一、 题目：八数码问题也称为九宫问题。在3×3的棋盘，有八个棋子，每个 棋子上标有1至8的某一数字，不同棋子上标的数字不相同。棋盘上还有 一个空格，与空格相邻的棋子可以移到空格中。要解决的问题是：任意给 出一个初始状态和一个目标状态，找出一种从初始转变成目标状态的移动 棋子步数最少的移动步骤。 二、 问题的搜索形式描述 状态：状态描述了8个棋子和空位在棋盘的9个方格上的分布。 初始状态：任何状态都可以被指定为初始状态。 操作符：用来产生4个行动（上下左右移动）。 目标测试：用来检测状态是否能匹配上图的目标布局。 路径费用函数：每一步的费用为1，因此整个路径的费用是路径中的步数。 现在任意给定一个初始状态，要求找到一种搜索策略，用尽可能少的步数 得到上图的目标状态算法介绍 三、 解决方案介绍 1.A*算法的一般介绍 A*（A-Star)算法是一种静态路网中求解最短路最有效的方法。对于 几何路网来说，可以取两节点间欧几理德距离（直线距离）做为估价值，即 ()()()()()()**f g n sqrt dx nx dx nx dy ny dy ny =+--+--； 这样估价函数f 在g 值一定的情况下，会或多或少的受估价值h 的制约，节点距目标点近，h 值小，f 值相对就小，能保证最短路的搜索向终点的 方向进行。明显优于盲目搜索策略。
A star算法在静态路网中的应用 2.算法伪代码 创建两个表，OPEN表保存所有已生成而未考察的节点，CLOSED表中记录已访问过的节点。算起点的估价值，将起点放入OPEN表。 while(OPEN!=NULL) { 从OPEN表中取估价值f最小的节点n; if(n节点==目标节点) {break;} for(当前节点n 的每个子节点X) { 算X的估价值; if(X in OPEN) { if( X的估价值小于OPEN表的估价值 ) {把n设置为X的父亲; 更新OPEN表中的估价值; //取最小路径的估价值} } if(X inCLOSE) { if( X的估价值小于CLOSE表的估价值 ) {把n设置为X的父亲; 更新CLOSE表中的估价值; 把X节点放入OPEN //取最小路径的估价值} } if(X not inboth) {把n设置为X的父亲; 求X的估价值; 并将X插入OPEN表中; //还没有排序}
用A算法解决八数码 问题
用A*算法解决八数码问题 一、 题目：八数码问题也称为九宫问题。在3×3的棋盘，有八个棋子，每个 棋子上标有1至8的某一数字，不同棋子上标的数字不相同。棋盘上还有一个空格，与空格相邻的棋子可以移到空格中。要解决的问题是：任意给出一个初始状态和一个目标状态，找出一种从初始转变成目标状态的移动棋子步数最少的移动步骤。 二、 问题的搜索形式描述 状态：状态描述了8个棋子和空位在棋盘的9个方格上的分布。 初始状态：任何状态都可以被指定为初始状态。 操作符：用来产生4个行动（上下左右移动）。 目标测试：用来检测状态是否能匹配上图的目标布局。 路径费用函数：每一步的费用为1，因此整个路径的费用是路径中的步数。 现在任意给定一个初始状态，要求找到一种搜索策略，用尽可能少的步数得到上图的目标状态算法介绍 三、 解决方案介绍 1.A*算法的一般介绍 A*（A-Star)算法是一种静态路网中求解最短路最有效的方法。对 于几何路网来说，可以取两节点间欧几理德距离（直线距离）做为估价 值，即 ()()()()()()**f g n sqrt dx nx dx nx dy ny dy ny =+--+--； 这样估价函数f 在g 值一定的情况下，会或多或少的受估价值h 的制 约，节点距目标点近，h 值小，f 值相对就小，能保证最短路的搜索向终点的方向进行。明显优于盲目搜索策略。
A star算法在静态路网中的应用 2.算法伪代码 创建两个表，OPEN表保存所有已生成而未考察的节点，CLOSED表中记录已访问过的节点。算起点的估价值，将起点放入OPEN表。 while(OPEN!=NULL) { 从OPEN表中取估价值f最小的节点n; if(n节点==目标节点) {break;} for(当前节点n 的每个子节点X) { 算X的估价值; if(X in OPEN) { if( X的估价值小于OPEN表的估价值 ) {把n设置为X的父亲; 更新OPEN表中的估价值; //取最小路径的估价值} } if(X inCLOSE) { if( X的估价值小于CLOSE表的估价值 )
实验报告 一、实验问题 八数码问题求解 二、实验软件 VC6.0 编程语言或其它编程语言 三、实验目的 1. 熟悉人工智能系统中的问题求解过程； 2. 熟悉状态空间的盲目搜索和启发式搜索算法的应用； 3. 熟悉对八数码问题的建模、求解及编程语言的应用。 四、实验数据及步骤 （一、）实验内容 八数码问题：在3×3的方格棋盘上，摆放着1到8这八个数码，有1个方格是空的，其初始状态如图1所示，要求对空格执行空格左移、空格右移、空格上移和空格下移这四个操作使得棋盘从初始状态到目标状态。 2 8 3 1 2 3 1 4 8 4 7 6 5 7 6 5 (a) 初始状态(b) 目标状态 图1 八数码问题示意图 （二、）基本数据结构分析和实现 1.结点状态 我采用了struct Node数据类型 typedef struct _Node{
int digit[ROW][COL]; int dist; // distance between one state and the destination一 个表和目的表的距离 int dep; // the depth of node深度 // So the comment function = dist + dep.估价函数值 int index; // point to the location of parent父节点的位置 } Node; 2.发生器函数 定义的发生器函数由以下的四种操作组成： (1)将当前状态的空格上移 Node node_up; Assign(node_up, index);//向上扩展的节点 int dist_up = MAXDISTANCE; (2)将当前状态的空格下移 Node node_down; Assign(node_down, index);//向下扩展的节点 int dist_down = MAXDISTANCE; (3)将当前状态的空格左移 Node node_left; Assign(node_left, index);//向左扩展的节点 int dist_left = MAXDISTANCE; (4)将当前状态的空格右移 Node node_right; Assign(node_right, index);//向右扩展的节点 int dist_right = MAXDISTANCE; 通过定义结点状态和发生器函数，就解决了8数码问题的隐式图的生成问题。接下来就是搜索了。 3.图的搜索策略 经过分析，8数码问题中可采用的搜速策略共有：1.广度优先搜索、2.深度优先搜索、2.有界深度优先搜索、4.最好优先搜索、5.局部择优搜索，一共五种。其中，广度优先搜索法是可采纳的，有界深度优先搜索法是不完备的，最好优先和局部择优搜索法是启发式搜索法。 实验时,采用了广度(宽度)优先搜索来实现。 （三、）广度(宽度)优先搜索原理 1. 状态空间盲目搜索——宽度优先搜索 其基本思想是，从初始节点开始，向下逐层对节点进形依次扩展，并考察它是否为目标节点，再对下层节点进行扩展（或搜索）之前，必须完成对当层的所有节点的扩展。再搜索过程中，未扩展节点表OPEN中的节点排序准则是：先进入的节点排在前面，后进入的节点排在后面。其搜索过程如图（1）所示。
1、程序源代码 #include
实验三：A*算法求解8数码问题实验 一、实验目的 熟悉和掌握启发式搜索的定义、估价函数和算法过程，并利用A*算法求解N数码难题，理解求解流程和搜索顺序。 二、实验内容 1、八数码问题描述 所谓八数码问题起源于一种游戏:在一个3×3的方阵中放入八个数码1、2、3、4、5、6、7、8，其中一个单元格是空的。将任意摆放的数码盘（城初始状态）逐步摆成某个指定的数码盘的排列（目标状态）， 如图1所示 图1 八数码问题的某个初始状态和目标状态 对于以上问题，我们可以把数码的移动等效城空格的移动。如图1的
初始排列，数码7右移等于空格左移。那么对于每一个排列，可能的一次数码移动最多只有4中，即空格左移、空格右移、空格上移、空格下移。最少有两种（当空格位于方阵的4个角时）。所以，问题1 就转换成如何从初始状态开始，使空格经过最小的移动次数最后排列成目标状态。 2、八数码问题的求解算法 2.1 盲目搜索 宽度优先搜索算法、深度优先搜索算法 2.2 启发式搜索 启发式搜索算法的基本思想是：定义一个评价函数f，对当前的搜索状态进行评估，找出一个最有希望的节点来扩展。 先定义下面几个函数的含义： f*(n)=g*(n)+h*(n) (1) 式中g*(n)表示从初始节点s到当前节点n的最短路径的耗散值；h*(n)表示从当前节点n到目标节点g的最短路径的耗散值，f*(n)表示从初始节点s经过n到目标节点g的最短路径的耗散值。 评价函数的形式可定义如(2)式所示： f(n)=g(n)+h(n) (2) 其中n是被评价的当前节点。f(n)、g(n)和h(n)分别表示是对f*(n)、g*(n)和h*(n)3个函数值的估计值。
A*算法求解八数码问题 1、八数码问题描述 所谓八数码问题起源于一种游戏:在一个3×3的方阵中放入八个数码1、2、3、4、5、 6、7、8，其中一个单元格是空的。将任意摆放的数码盘（城初始状态）逐步摆成某个 指定的数码盘的排列（目标状态），如图1所示 图1 八数码问题的某个初始状态和目标状态 对于以上问题，我们可以把数码的移动等效城空格的移动。如图1的初始排列，数码7右移等于空格左移。那么对于每一个排列，可能的一次数码移动最多只有4中，即空格左移、空格右移、空格上移、空格下移。最少有两种（当空格位于方阵的4个角时）。所以，问题就转换成如何从初始状态开始，使空格经过最小的移动次数最后排列成目标状态。 2、八数码问题的求解算法 2.1 盲目搜索 宽度优先搜索算法、深度优先搜索算法 2.2 启发式搜索 启发式搜索算法的基本思想是：定义一个评价函数f，对当前的搜索状态进行评估，找出一个最有希望的节点来扩展。 先定义下面几个函数的含义：
f*(n)=g*(n)+h*(n) (1) 式中g*(n)表示从初始节点s到当前节点n的最短路径的耗散值；h*(n)表示从当前节点n到目标节点g的最短路径的耗散值，f*(n)表示从初始节点s经过n到目标节点g 的最短路径的耗散值。 评价函数的形式可定义如(2)式所示： f(n)=g(n)+h(n) (2) 其中n是被评价的当前节点。f(n)、g(n)和h(n)分别表示是对f*(n)、g*(n)和h*(n)3个函数值的估计值。 利用评价函数f(n)=g(n)+h(n)来排列OPEN表节点顺序的图搜索算法称为算法A。在A算法中，如果对所有的x， h(x)<=h*(x) (3) 成立，则称好h(x)为h*(x)的下界，它表示某种偏于保守的估计。采用h*(x)的下界h(x)为启发函数的A算法，称为A*算法。 针对八数码问题启发函数设计如下： f(n)=d(n)+p(n) (4) 其中A*算法中的g(n)根据具体情况设计为d(n)，意为n节点的深度，而h(n)设计为
人工智能实验一报告题目：采用A*算法解决八数码问题 姓名： XXX 学号： 10S003028 专业：计算机科学与技术 提交日期： 2011-05-04
目录 1问题描述........................................................................................................................... - 2 - 1.1待解决问题的解释............................................................................................... - 2 - 1.2问题的搜索形式描述............................................................................................ - 2 - 1.3解决方案介绍（原理）........................................................................................ - 3 - 2算法介绍........................................................................................................................... - 4 - 2.1A*搜索算法一般介绍............................................................................................ - 4 - 2.2 算法伪代码........................................................................................................... - 4 - 3算法实现........................................................................................................................... - 5 - 3.1 实验环境与问题规模........................................................................................... - 5 - 3.2 数据结构............................................................................................................... - 5 - 3.3 实验结果............................................................................................................... - 6 - 3.4系统中间及最终输出结果.................................................................................... - 6 - 4参考文献........................................................................................................................... - 7 - 5附录—源代码及其注释................................................................................................... - 7 -
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《八数码问题》实验报告 一、实验目的： 熟练掌握启发式搜索A *算法。 二、实验内容： 使用启发式搜索算法求解8数码问题。编制程序实现求解8数码问题A *算法，采用估价函数 ()()()()w n f n d n p n ??=+??? ， 其中：()d n 是搜索树中结点n 的深度；()w n 为结点n 的数据库中错放的棋子个数；()p n 为结点n 的数据库中每个棋子与其目标位置之间的距离总和。 三、实验原理： 1. 问题描述： 八数码问题也称为九宫问题。在3×3的棋盘，摆有八个棋子，每个棋子上标有1至8的某一数字，不同棋子上标的数字不相同。棋盘上还有一个空格（以数字0来表示），与空格相邻的棋子可以移到空格中。 要求解决的问题是：给出一个初始状态和一个目标状态，找出一种从初始转变成目标状态的移动棋子步数最少的移动步骤。 所谓问题的一个状态就是棋子在棋盘上的一种摆法。解八数码问题实际上就是找出从初始状态到达目标状态所经过的一系列中间过渡状态。 2. 原理描述： 启发式搜索 （1）原理 启发式搜索就是在状态空间中的搜索对每一个搜索的位置进行评估，得到最好的位置，再从这个位置进行搜索直到目标。这样可以省略大量无谓的搜索路径，提高了效率。在启发式搜索中，对位置的估价是十分重要的。采用了不同的估价可以有不同的效果。 （2）估价函数
计算一个节点的估价函数，可以分成两个部分： 1、 已经付出的代价（起始节点到当前节点）； 2、 将要付出的代价（当前节点到目标节点）。 节点n 的估价函数)(n f 定义为从初始节点、经过n 、到达目标节点的路径的最小代价 的估计值，即)(* n f = )(* n g + )(* n h 。 )(*n g 是从初始节点到达当前节点n 的实际代价； )(*n h 是从节点n 到目标节点的最佳路径的估计代价。 )(*n g 所占的比重越大，越趋向于宽度优先或等代价搜索；反之，)(*n h 的比重越大， 表示启发性能就越强。 （3）算法描述： ① 把起始节点S 放到OPEN 表中，并计算节点S 的)(S f ； ② 如果OPEN 是空表，则失败退出，无解； ③ 从OPEN 表中选择一个f 值最小的节点i 。如果有几个节点值相同，当其中有一个 为目标节点时，则选择此目标节点；否则就选择其中任一个节点作为节点i ； ④ 把节点i 从 OPEN 表中移出，并把它放入 CLOSED 的已扩展节点表中； ⑤ 如果i 是个目标节点，则成功退出，求得一个解； ⑥ 扩展节点i ，生成其全部后继节点。对于i 的每一个后继节点j ： 计算)(j f ；如果j 既不在OPEN 表中，又不在CLOCED 表中，则用估价函数f 把 它添入OPEN 表中。从j 加一指向其父节点i 的指针，以便一旦找到目标节点时记住一个解答路径；如果j 已在OPEN 表或CLOSED 表中，则比较刚刚对j 计算过的f 和前面计算过的该节点在表中的f 值。如果新的f 较小，则 (I)以此新值取代旧值。 (II)从j 指向i ，而不是指向他的父节点。 (III)如果节点j 在CLOSED 表中，则把它移回OPEN 表中。 ⑦ 转向②，即GOTO ②。 （3）算法流程图：
1、程序源代码 #include <> #include<> struct node{ int a[3][3];//用二维数组存放8数码 int hx;//函数h（x）的值，表示与目标状态的差距struct node *parent;//指向父结点的指针 struct node *next;//指向链表中下一个结点的指针 }; //------------------hx函数-------------------// int hx(int s[3][3]) {//函数说明：计算s与目标状态的差距值 int i,j; int hx=0; int sg[3][3]={1,2,3,8,0,4,7,6,5}; for(i=0;i<3;i++) for(j=0;j<3;j++) if(s[i][j]!=sg[i][j]) hx++; return hx; } //-------------hx函数end----------------------// //-------------extend扩展函数----------------// struct node *extend(node *ex) { //函数说明：扩展ex指向的结点，并将扩展所得结点组成一条//单链表，head指向该链表首结点，并且作为返回值 int i,j,m,n; //循环变量 int t; //临时替换变量 int flag=0; int x[3][3];//临时存放二维数组 struct node *p,*q,*head; head=(node *)malloc(sizeof(node));//head p=head; q=head; head->next=NULL;//初始化 for(i=0;i<3;i++)//找到二维数组中0的位置 { for(j=0;j<3;j++)
八数码问题算法 文献综述报告 摘要：随着计算机和网络的大范围普及，电脑游戏也普遍存在于人们的生活中，但是大部分的人都只是看重游戏的娱乐价值（启发思维，培养观察能力、耐心等），而不在乎其本质，比如说它有着什么样的数据结构，它的核心算法是什么等等这些问题。本文就目前一个很经典的算法问题——八数码问题来分析其核心的算法，并且借助前人得出的研究，进一步分析和设计算法。 关键词：八数码；拼图游戏；广度优先搜索；深度优先搜索；A*搜索 1引言 从古至今，“游戏”这个词对于人们来说都不陌生，从古代的斗禽，蹴鞠等到现在的一系列的电脑游戏。尤其是如今的电脑游戏，不胜其数，种类繁多，不亦乐乎，拼图游戏就是其中的一种。所谓的拼图游戏就是把一副完整的图片通过规则的或者不规则的切割后打乱成零片，玩家只需把零片拼凑回原形即可。在这个过程中，要发生无数次的状态改变，在电脑上也如此。不同的是，电脑上的拼图游戏需要一个“看不见”的存储空间来存储这一个个不同的状态。这就必须涉及到数据的存贮方式。尤其是算法，它是拼图游戏的核心，它决定了计算机怎样解决这个问题，同时还影响着这个游戏程序的存储方式。但是，并不是一个能玩的游戏都具有理想的算法和数据结构。因此，对一个游戏的算法进行分析优化并设计出一个理想的算法显得更加重要。此拼图游戏是建立在一个3*3 的方格棋盘上，把棋盘上的打散的八块图片分别用数字1-8标识，棋盘上空的那块标识为0，那么拼图游戏就可以转化成我们算法中极为极为经典的八数码问题。 2 八数码问题的研究现状 2.1 八数码问题的概念 八数码问题也称为九宫问题。在3×3的棋盘，摆有八个棋子，每个棋子上标有1至8的某一数字，不同棋子上标的数字不相同。棋盘上还有一个空格，与空格相邻的棋子可以移到空格中。要求解决的问题是：给出一个初始状态和一个目标状态，找出一种从初始转变成目标状态的移动棋子步数最少的移动步骤。所谓问题的一个状态就是棋子在棋盘上的一种摆法。棋子移动后，状态就会发生改变。解八数码问题实际上就是找出从初始状态到达目标状态所经过的一系列中间过渡状态。 2.2 八数码问题的状态空间法表示 2.2.1状态描述 八数码问题的一个状态就是八个数字在棋盘上的一种放法。每个棋子用它上面所标的数字表示，并用0表示空格，这样就可以将棋盘上棋子的一个状态存储在一个一维数组p[9]中，存储的顺序是从左上角开始，自左至右，从上到下。把
八数码问题A*算法的实现及性能分析 计算机科学与技术学院 专业：计算机科学与技术 161210404 杨凯迪
目录 一、8数码问题 (3) 1.问题描述 (3) 2.八数码问题形式化描述 (3) 3.解决方案 (4) 二、A*算法 (4) 1.A*搜索算法一般介绍 (4) 2. A*算法的伪代码 (5) 3. 建立合适的启发式 (6) 三、算法实现及性能比较 (7) 四、算法性能分析 (8) 五、结论 (9) 六、参考文献 (10) 附录 (10)
一、8数码问题 1.问题描述 八数码问题是指这样一种游戏：将分别标有数字1，2，3，…，8 的八块正方形数码牌任意地放在一块3×3 的数码盘上。放牌时要求不能重叠。于是，在3×3 的数码盘上出现了一个空格。现在要求按照每次只能将与空格相邻的数码牌与空格交换的原则，不断移动该空格方块以使其和相邻的方块互换，直至达到所定义的目标状态。空格方块在中间位置时有上、下、左、右4个方向可移动，在四个角落上有2个方向可移动，在其他位置上有3个方向可移动，问题描述如图1-1所示 初始状态过渡状态最终状态 图1-1 八数码问题执行过程 2.八数码问题形式化描述 初始状态： 初始状态向量：规定向量中各分量对应的位置，各位置上的数字。把3×3的棋盘按从左到右，从上到下的顺序写成一个一维向量。我们可以设定初始状态：<1,5,2,4,0,3,6,7,8> 后继函数： 按照某种规则移动数字得到的新向量。例如： <1,5,2,4,0,3,6,7,8> <1,0,2,4,5,3,6,7,8> 目标测试： 新向量是都是目标状态。即<1,2,3,4,5,6,7,8,0>是目标状态？ 路径耗散函数： 每次移动代价为1，每执行一条规则后总代价加1。
八数码问题的A*算法解决方案及判定方法 设计说明：1。数据结构和表示： 程序用1、2、3、4分别表示将右、上、左、下的数字块移动到空格之中。采用典型的树+链表结构，每种局面产生一个BoardState类。出于避免走法顺序列表被过多复制的考虑，在树结构中保存局面的继承关系。每种新的局面产生后，引用估值函数产生f的值，再根据大小将其插入链表之中，以便实现“优先展开f 值小的节点”。Solve()函数在成功解决问题之后保存一个走法序列供输出并返回零，而失败则返回失败处的节点层数。(具体的判断方法见后文) 2。A* A*算法的核心是f=g+h，而由于每个BoardState对象保存了层数信息，所以g就是m_nDepth。关于关键的h，本程序采用的是“曼哈顿距离”，即每个不在目标位置上的数字块到目标位置的最少步数之总和(空位0不计)。由于任何一步中该距离只可能减少1，所以该h值作为当前局面到目标局面的不超过任何可能值的估计是非常好的。该值大于由不在目标位置上的块个数值(记为h')，而又满足h函数的基本条件，所以其性能远优于h'。程序的输出结果中包含展开的节点总数。将Evaluate()改为m_nDepth+h'，则可以看出展开的节点总数大于应用h时的情况。 3。终止情况的判断 这是一个很棘手的问题。最开始的程序中没有考虑终止情况，所以对于难度较大或者根本无解的问题其计算规模经过20步以上的指数增长将变得无法承受。翻阅资料并自行设计一些通过随机反向走法产生的可解局面(甚至包括20步以上的可解局面)研究知，A*由于其苛刻的展开节点的条件，将使每层平均的展开数大大降低，且层数越大则平均每层接点展开数b*越低，一般情况下,超过5层即有b*<1.4，在20层以上b*< 1.2。这些可以帮助我们粗略判定一些难解问题甚至无解问题。实验了几个难解局面(在没有终止判定的情况下这几种局面在我的P4机器上运行了30分钟也没有产生结果)后发现，其b*在层数n=7或8时即超过了1.4，而且随着层数而增长。本程序中为保险起见，仅在大于10层且b*>1.4时进行无解判定。实验表明，这种方法对随机生成的有解局面不造成任何影响，而一些公认的“难解”局面被判定为无解 4。有待进一步讨论的问题
八数码问题详解（用bfs实现） 八数码问题也称为九宫问题。在3×3的棋盘，摆有八个棋子，每个棋子上标有1至8的某一数字，不同棋子上标的数字不相同。棋盘上还有一个空格，与空格相邻的棋子可以移到空格中。要求解决的问题是：给出一个初始状态和一个目标状态，找出一种从初始转变成目标状态的移动棋子步数最少的移动步骤。所谓问题的一个状态就是棋子在棋盘上的一种摆法。棋子移动后，状态就会发生改变。解八数码问题实际上就是找出从初始状态到达目标状态所经过的一系列中间过渡状态。 如图： 对这道题用bfs解决个人认为是个不错的方法，首先因为它有九个格子，那么便可以用state 数组记录他的的九个格子的数值，其中空格为0，后者由于它只有九个数，因此共有9！=362880种可能性，用bfs解决较快。 下面给出bfs实现的三种代码(这里的三种指的是对是否访问过已知节点的三种判断方法): 1.//用一套排列的编码和解码函数解决同一状态的再次访问 //用统一的编码与解码函数避免同种状态的再次出现 #include
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八数码问题求解--实验报告解析 实验报告 一、实验问题 八数码问题求解 二、实验软件 VC6.0 编程语言或其它编程语言 三、实验目的 1. 熟悉人工智能系统中的问题求解过程; 2. 熟悉状态空间的盲目搜索和启发式搜索算法的应用; 3. 熟悉对八数码问题的建模、求解及编程语言的应用。 四、实验数据及步骤 (一、) 实验内容 八数码问题:在3×3的方格棋盘上，摆放着1到8这八个数码，有1个方格是空的，其初始状态如图1所示，要求对空格执行空格左移、空格右移、空格上移和空格下移这四个操作使得棋盘从初始状态到目标状态。 2 8 3 1 2 3 1 4 8 4 7 6 5 7 6 5 (a) 初始状态 (b) 目标状态 图 1 八数码问题示意图 (二、)基本数据结构分析和实现 1.结点状态 我采用了struct Node数据类型
typedef struct _Node{ int digit[ROW][COL]; int dist; // distance between one state and the destination一个表和目的表的距离 int dep; // the depth of node深度 // So the comment function = dist + dep.估价函数值 int index; // point to the location of parent父节点的位置 } Node; 2.发生器函数 定义的发生器函数由以下的四种操作组成: (1)将当前状态的空格上移 Node node_up; Assign(node_up, index);//向上扩展的节点 int dist_up = MAXDISTANCE; (2)将当前状态的空格下移 Node node_down; Assign(node_down, index);//向下扩展的节点 int dist_down = MAXDISTANCE; (3)将当前状态的空格左移 Node node_left; Assign(node_left, index);//向左扩展的节点 int dist_left = MAXDISTANCE; (4)将当前状态的空格右移 Node node_right; Assign(node_right, index);//向右扩展的节点
基于人工智能的状态空间搜索策略研究 ——八数码问题求解 （一）实验软件 或编程语言或其它编程语言 （二）实验目的 1. 熟悉人工智能系统中的问题求解过程； 2. 熟悉状态空间的盲目搜索和启发式搜索算法的应用； 3. 熟悉对八数码问题的建模、求解及编程语言的应用。 （三）需要的预备知识 1. 熟悉或编程语言或者其它编程语言； 2. 熟悉状态空间的宽度优先搜索、深度优先搜索和启发式搜索算法； 3. 熟悉计算机语言对常用数据结构如链表、队列等的描述应用； 4. 熟悉计算机常用人机接口设计。 （四）实验数据及步骤 1. 实验内容 八数码问题：在3×3的方格棋盘上，摆放着1到8这八个数码，有1个方格是空的，其初始状态如图1所示，要求对空格执行空格左移、空格右移、空格上移和空格下移这四个操作使得棋盘从初始状态到目标状态。 43 74 65 图1 八数码问题示意图 请任选一种盲目搜索算法（深度优先搜索或宽度优先搜索）或任选一种启发式搜索方法（A 算法或 A* 算法）编程求解八数码问题（初始状态任选），并对实验结果进行分析，得出合理的结论。 2. 实验步骤 （1）分析算法基本原理和基本流程； 程序采用宽度优先搜索算法，基本流程如下：
（2）确定对问题描述的基本数据结构，如 Open 表和 Closed 表等；
（3）编写算符运算、目标比较等函数； （4）编写输入、输出接口； （5）全部模块联调； （6）撰写实验报告。 （五）实验报告要求 所撰写的实验报告必须包含以下内容： 1. 算法基本原理和流程框图； 2. 基本数据结构分析和实现； 3. 编写程序的各个子模块，按模块编写文档，含每个模块的建立时间、功能、输入输出参数意义和与其它模块联系等； 4. 程序运行结果，含使用的搜索算法及搜索路径等； 5. 实验结果分析； 6. 结论； 7. 提供全部源程序及软件的可执行程序。 附：实验报告格式 一、实验问题 二、实验目的 三、实验原理 四、程序框图 五、实验结果及分析 六、结论
（一）问题描述 在一个3*3的方棋盘上放置着1,2,3,4,5,6,7,8八个数码,每个数码占一格,且有一个空格。这些数码可以在棋盘上移动，其移动规则是：与空格相邻的数码方格可以移入空格。现在的问题是：对于指定的初始棋局和目标棋局，给出数码的移动序列。该问题称八数码难题或者重排九宫问题。 （二）启发式搜索 由八数码问题的部分状态图可以看出，从初始节点开始，在通向目标节点的路径上，各节点的数码格局同目标节点相比较，其数码不同的位置个数在逐渐减少，最后为零。所以，这个数码不同的位置个数便是标志一个节点到目标节点距离远近的一个启发性信息，利用这个信息就可以指导搜索。即可以利用启发信息来扩展节点的选择，减少搜索范围，提高搜索速度。 启发函数设定。对于八数码问题，可以利用棋局差距作为一个度量。搜索过程中，差距会逐渐减少，最终为零，为零即搜索完成，得到目标棋局。 （三）搜索过程描述 搜索采用广度搜索方式，利用待处理队列辅助，逐层搜索（跳过劣质节点）。搜索过程如下： （1）、把原棋盘压入队列； （2）、从棋盘取出一个节点； （3）、判断棋盘估价值，为零则表示搜索完成，退出搜索； （4）、扩展子节点，即从上下左右四个方向移动棋盘，生成相应子棋盘； （5）、对子节点作评估，是否为优越节点（子节点估价值小于或等于父节点则为优越节点），是则把子棋盘压入队列，否则抛弃； （6）、跳到步骤（2）；
下一步可以通过启发搜索算法构造搜索树。 局部搜索树样例： 算法的评价： 1、可以改变数码规模（N），来扩展成N*N的棋盘，即扩展为N数码问题的求解过程。 2、内存泄漏。由于采用倒链表的搜索树结构，简化了数据结构，但有部分被抛弃节点的内存没有很好的处理，所以会造成内存泄漏； 3、采用了屏蔽方向，有效防止往回搜索（节点的回推），但没能有效防止循环搜索，所以不能应用于复杂度较大的八数码问题；
一、实验内容和要求 八数码问题：在3×3的方格棋盘上，摆放着1到8这八个数码，有1个方格是空的，其初始状态如图1所示，要求对空格执行空格左移、空格右移、空格上移和空格下移这四个操作使得棋盘从初始状态到目标状态。 例如： 图1 八数码问题示意图 请任选一种盲目搜索算法（广度优先搜索或深度优先搜索）或任选一种启发式搜索方法（全局择优搜索，加权状态图搜索，A 算法或A* 算法）编程求解八数码问题（初始状态任选）。选择一个初始状态，画出搜索树，填写相应的OPEN 表和CLOSED表，给出解路径，对实验结果进行分析总结，得出结论。 二、实验目的 1. 熟悉人工智能系统中的问题求解过程； 2. 熟悉状态空间的盲目搜索和启发式搜索算法的应用； 3. 熟悉对八数码问题的建模、求解及编程语言的应用。 三、实验算法 A*算法是一种常用的启发式搜索算法。 在A*算法中，一个结点位置的好坏用估价函数来对它进行评估。A*算法的估价函数可表示为： f'(n) = g'(n) + h'(n) 这里，f'(n)是估价函数，g'(n)是起点到终点的最短路径值（也称为最小耗费或最小代价），h'(n)是n到目标的最短路经的启发值。由于这个f'(n)其实是无法预先知道的，所以实际上使用的是下面的估价函数： f(n) = g(n) + h(n) 其中g(n)是从初始结点到节点n的实际代价，h(n)是从结点n到目标结点的最佳路径的估计代价。在这里主要是h(n)体现了搜索的启发信息，因为g(n)是已知的。用f(n)作为f'(n)的近似，也就是用g(n)代替g'(n)，h(n)代替h'(n)。这样必须满足两个条件：（1）g(n)>=g'(n)（大多数情况下都是满足的，可以不