承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：1323001
所属学校（请填写完整的全名）：华中科技大学武昌分校
参赛队员(打印并签名) ：1. 区稚华
2. 宋华
3. 吴郑伟
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：阎国辉
日期： 2006 年 9 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
出版社书号分配方案的优化模型
摘要: 如何合理有效地分配书号，对出版社的经济效益和发展战略具有举足轻重的作用。但通常出版社本身收集和积累的数据不完整，加上市场信息的不完全，在此情况下做出的分配方案缺少一定的科学性。本文建立了基于出版社资源配置，以最大经济效益为目的的线性规划优化模型，为出版社获得最大的经济效益和提高各分社人力资源的利用率，提供了较为科学的合理的书号分配方案。
根据附件提供的大量客观信息，并在一些合理假设条件下，比较客观分析了数据之间的联系，本文首先建立了反映数据之间关系的数学模型。其次，我们考虑并着重分析了各个数据对目标函数的影响。同时，我们也考虑了附件2中 “对教材评价” 、“印张” 、“课程名称” 、“满意度”等各因素对目标函数的影响，给出符合实际的假设。进而，通过对已有数据进行科学的采样以及拟合，科学地建立了用于反映数据变化趋势的模型。最后，在各参数均明确后，建立了以获得最大经济效益为目标的线性规划模型
72
66666666661
max [()]1
n
n n n n n n n n n n n n n M Z k M x j k x j k x k x P c q ==---+∑
，考虑到各分
社书申请的号数、各分社有限的人力资源、2006年的各课程市场份额等方面的影响，我们对目标函数建立了一系列的约束条件。 通过对上述问题的求解，给出一组确切的分配方案。由本模型为线性规划模型，具有原理简单，容易理解掌握和运用灵活等特点。
最后，考虑到出版社出版刊物的其它实际因素，结合对模型的讨论与评价向出版社提供了相关建议。
关键字： 书号 经济效益 Growth 模型 函数拟和 线性规划模型
一、问题的重述
出版社的资源主要包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等，它们都捆绑在书号上，经过各个部门的运作，形成成本（策划成本、编辑成本、生产成本、库存成本、销售成本、财务与管理成本等）和利润。
出版社每年需要针对分社提交的生产计划申请书、人力资源情况以及市场信息分析，将总量一定的书号数合理地分配给各个分社，使出版的教材产生最好的经济效益。事实上，由于各个分社提交的需求书号总量远大于总社的书号总量，因此总社一般以增加强势产品支持力度的原则优化资源配置。资源配置完成后，各个分社（分社以学科划分）根据分配到的书号数量，再重新对学科所属每个课程作出出版计划。
资源配置是总社每年进行的重要决策，直接关系到出版社的当年经济效益和长远发展战略。由于市场信息（主要是需求与竞争力）通常是不完全的，企业自身的数据收集和积累也不足。在信息不足的条件下，提出以量化分析为基础的资源（书号）配置方法，给出一个明确的分配方案，向出版社提供有益的建议。
二、合理的假设
1. 假设出版社主要以已有的数据资料（附件中的信息）为依据来对书号分配作出决策。（即只考虑附件中的各项数据）
2. 假设某教材的市场占有情况与销售额满足线性关系。
3. 附件4《各课程计划申请或实际获得的书号数列表》中的说明“假定同一课程不同书目价格差别不大，同时销售量相近”，我们假设同一课程中各书目价格相同，售量亦相同。因此将附件4中各课程相应的均价定为课程的单价。
4. 假设出版教材的成本分为前期成本（包括策划成本、编辑成本和校对成本），印刷成本（生产成本），后期成本（主要为库存成本）。
5. 附件4《各课程计划申请或实际获得的书号数列表》中的说明“该出版社在定价时保持对所有教材利润率统一，在此原则上制定教材单价”，由此我们假设各课程的教材的利润率相等， 利润售价-成本
利润率=
成本成本
。
6. 通过对出版社的调查，出版社在对将要出版的书进行成本预算时，预算的成本中一般不包括后期成本。由此假设在利润率公式中的成本为前期成本和印刷成本的总和，忽略后期成本。
7. 根据实际调查，书的页数
印张=
纸张开数
。假设库存的成本和需要的库存空间成正比，即可
得每本书的库存成本和每本书的印张数成正比。
8． 假设库存成本只与印张数有关，与时间无关。
9. 假设附录3中的计划销售量为实际生产量，库存量为实际生产量与实际销售量之差。
10. 假设A 社每年的总书号量一定，并假定2006年的总书号量为500(通过对附件4中的数据统计，发现01-05年每年72门课程总书号皆为500个)。对附件2《问卷调查数据》中，有一部分问卷涉及到的书目课程为“A 社所关注的72门课程”之外(即附件2中“Q2a 课程名称”为中文的课程)，我们作以下处理：把“72门课程”中的书目作为A 社所有出版书目的缩影，把对“72门课程”的分析结果应用于A 社所有出版书目的书号分配中。因此在数据处理中忽略“72门课程”之外的课程的数据。
11．假设书本的生产和销售是个较漫长的过程，即假设总体上每个书目在这个时间段的单位时间内都会印刷和销售，从而减少再版次数对目标模型造成的影响，即假定考虑再版次数对成本无影响。
三、符号说明
t 年份 (1t =、2、3、4、5、6; 对应01年－06年)；
n 课程数(1n =、2、3、4、5......71、72; 对应代表A 社关注的72门课程）； m 分社代号（m a b =、、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i ，例如：a 代表计算机学科分社）
； tn S 第t 年第n 个课程的书的实际销售量； tn
S ' 第t 年第n 个课程的书的计划销售量； tn j 第t 年销售计划准确度，即：tn tn tn
S j S =' ；
tn k 第t 年第n 个课程的每个书号的销售量；
n M 第n 个课程中书本的平均单价（附件4中的对应的课程均价）
； tn E 第t 年第n 个课程的销售总量； Z
06年A 社出版的所有教材的总利润；
n Z 06年分配到第n 个课程的书号所产生的利润； tn x 06年第n 个课程实际被分配到的书号数；
tm x 06年某分社实际被分配到的书号数；
x每年各个分社在有限人力资源限制下所能承受的最大书号量；
m
x' 06年各分社向总社申请的书号总量；
m
T t年第n个课程的市场总量；
tn
q A社的每本书的利润率；
p第n个课程的每本教材的平均印张数；
n
c每本书的库存成本与每本书的印张数的比值，即每印张需要的库存费；
α第n个课程的每本书出版所需要的前期成本和出版成本的总和；
n
α第n个课程在06年的所有书出版所需要的前期成本和出版成本的总和；
zn
β第n个课程的每本书出版所需要的后期成本；
n
β第n个课程的所有书在06年出版所需要的后期成本；
zn
Q第n个课程所有书目在t年的销售额；
tn
y由原有分配方案推算出来的第n个课程在t年的市场占有率；
tn
u第n个课程在t年满意度总和的平均值。
tn
四、问题的分析与模型的建立
问题是A社如何科学分配书号使得各分社出版的教材产生最好的经济效益，联系问题与附件4中的数据(01－05年五年间各门课程分得的书号个数)，我们作出以下推断：在过往五年中A社的书号分配方案缺乏足够的合理性、科学性，在此分配方案下尚未能产生最优的经济效益。我们通过对问题中数据进行合理科学的分析[1][2]，建立了新的分配方案。
由于所提供的数据具有以下特征：
a.数据庞大
b.数据包含的信息不足以直接作出最后决策
c.数据之间联系不够清晰
d.数据与最后决策的联系不明显。
为此我们对各附录的数据作以下分析，并以此为基础展开讨论、建立模型。
（ⅰ）附件2：问卷调查数据（五年）
我们认为该数据是市场对A社各种出版书目的客观评价，从中可以得知A社各课程的市场份额，市场对A社各课程的评价(满意度)等。
（ⅱ）附件3：各课程计划及实际销售数据表（5年）
由附件中每年各课程的计划销售量（实际生产量）与实际销售量，可以得出相应 课程的计划准确度和库存量。
（ⅲ）附件4：各课程计划申请或实际获得的书号数列表（6年）
由原有分配方案产生的各课程的书号及附件3所提供的数据，可以得出每个书号的销售量。
根据附件3中的‘计划销售量’、‘实际销售量’，我们给出了一个课程书目总销售量与此课程所到的书号数的函数。由假设3，我们可知同一课程不同书目的销售量相等。根据以上两点可将函数形式定义如下：
tn tn tn s k x （1）
其中系数tn k 表示为在第t 年第n 个课程每个书目的销售量。通过对tn k 变化趋势的拟和对比分析，给出了一个能较为合理反映 1n k ～5n k 变化曲线的Growth 模型[3][4]，并用其来预测06年的6n k 值。 第n 个课程的每本教材的平均印张数n p ，可由附件2求得，用于预测2006年第n 个
课程的每本教材的平均印张数。
第n 个课程在t 年满意度总和的平均值tn u ，从附件2中可以得出1n u ～5n u 的数据，由于对书本的满意度主要取决于该课程教材本身的价值量，而该课程教材的价值又取决
于各分社的人力资源等因素。由附件5，由于人力资源不变，由此可推得出06年第n 个课程满意度约为前5年相应课程的满意度平均值，它在一定程度上会影响到本书市场占有量。
由原有分配方案推算出来的第n 个课程在t 年的市场占有率tn y 是由附件2中相应课程（A 社出版）的个数与其所有个数的比值。通过利用Matlab[5][6]、SPSS[7]等工具对已知数据的拟和对比分析，建立了一个用于反映tn y 变化趋势的Growth 模型，并以此来预计06年的
6n y 。
第n 个课程在t 年的市场需求量tn T 是由附件3中tn S 除以相应tn y 求得。由于市场需求量不会受到该社书号分配方案所影响，因而这个数据是较为客观的。由于无法知道06年的实际销售量，我们借助于Matlab 、SPSS 等数学工具对已知数据进行拟和对比分析，建立了用于反映1n T 到5n T 变化趋势的三次拟和模型，并以此预测6n T 。
第t 年销售计划准确度
tn j 可从附件3中直接求得，并以此建立了用于反映其变化的
Growth 、三次拟和等模型，并用于预算
6n j ，且有6666
66n n n
n n n
s k x s j j '==。
每年各个分社在有限的人力资源限制下所能承受的最大书号量m x 为某分社各部门人员数与相应平均工作能力乘积的最小值，它是反映某个出版社所能承受最大书号量的
极限。
（6n k 、n p 、6n u 、6n y 、6n T 、6n j 的预测值见附录1）
4.1、2006年第n 个课程的所有书目销售额6n Q 的模型
由假设4，根据附件4的课程均价得知各个课程的书目单价n M ，而2006年各个课程的每个书号的销售额6n E 等于6n k 和n M 的乘积：
66n n n E k M =
而某个课程的06年的书目总销售额6n Q 等于该课程每个书号的销售额6n E 和该课程与06年分得的书号数6n x 的乘积，即：
66666n n n n n n Q E x k M x == （2）
4.2、06年第n 个课程中的所有书出版的前期成本和出版成本的总和zn α的模型 由假设5利润率的公式： n n
n
M q αα=
-
因而有 1
n
n M q α=
+ 则06年第n 个课程所有书出版所需要的前期成本和出版成本的总和为：
6
6661
n
zn n n n n n M s j k x q αα'==+ （3） 通过对数家出版社的实际调查得知一般出版社每本书的利润率约为:80%q =。
4.3、06年第n 个课程所有书出版所需要的后期成本zn β的模型
由假设7可知，第n 个课程的每本书出版所需要的后期成本n β 与每本书的平均印
张数n P 的关系式：
n
n cP β=
通过实际调查等手段，估算每印章的库存成本：0.1/c =元印张 由假设8可得库存成本：()zn
tn
tn n s s ββ'=-。 则06年第n 个课程的所有出版书所需要的后期成本zn β：
666661
(
)zn n n n n n n
k x k x P c j β=- （4）
4.4、建立模型
06年某个课程中的所有书的利润n Z 应为该课程所有书的销售额减去所有成本费用：
6()n n zn zn Z Q αβ=-+
将式（2）、（3）、（4）代入上式得：
66666666661
()(1)n n n n n n n n n n n n n n
M Z k M x k x k x k x P c q j j =---+
由此得到目标函数为：
72
666666661
661
max [()](1)n n n n n n n n n n n n n n
M Z k M x k x k x k x P c q j j ==-
--+∑
4.5、此模型约束方程如下： （1）由附件4中条件可知每个分社实际得到书号量至少为该分社申请总数的一半，同时根据附件5可得每年各个分社在有限人力资源限制下所能承受的最大书号，因而得以下约束方程：
10
611
2a n a n x x x ='≤≤∑ 206111
2b n b n x x x ='≤≤∑ 30621
1
2c n c n x x x ='≤≤∑
40
631
1
2d n d n x x x ='≤≤∑ 48641
1
2e n e n x x x ='≤≤∑ 546491
2f n f n x x x ='≤≤∑ 60655
12g n g n x x x ='≤≤∑ 66661
1
2h n h n x x x ='≤≤∑ 72667
1
2i n i n x x x ='≤≤∑
（2）各课程对应的市场占有量有限 66666(1)100
n
n n n n u k x T y ≤+
预测求得对上式解释如下：首先，如果只有6666n n n n k x T y ≤，而其中的6n y 又是根据原有方案的数据推得的，这样约束出来的值就和往年没有大的变化，因此没能充分考虑外部因素的影响。其次，由于实际上市场占有率每年都不会有太大变化（市场不会因为某个出版社采用的书号分配方案变化而变化），如何能反映其变化而又限制其在一定范围内，将满意度tn u 作为一个有效参数，它在一定程度上既能反映又能影响其市场占有率。tn u 一般为十几左右，那么相应的增长量大约为百分之十几左右，增长的这部分就可以直接看作A 社某课程的书的潜在市场。
五、模型的求解
用LINGO 编程[8]计算目标模型得以下值（程序代码见附录2）：
表1：06年书号分配如下可获得最大经济效益
x191168.1 x291409.7 x321326 x43-288.38 x53-149.03 x6825.408 x762695.3 x83391.99 x983372 x1043680.4计算机类5513631.49 x1144501.9 x1279209.8 x1323381.2 x1423708.8 x1533209.8 x1632476.5 x1732381.3 x1843464.5 x1934251.2 x2025816.6经管类3342401.6 x216868.59 x22193160.6 x233515982 x2445800.6 x25124943.2 x261710885 x2762571.2 x283686.51 x2912209.35 x306362.63数学类12045469.68 x41220016 x425-9795.6 x43418394 x4451549 x45320434 x467925479 x47612436
x487-720.96
两课类11187791.44
x4992086.6
x5022668.8
x515488.47
x5282516.3
x5328324.5
x543510041
机械能源类6126125.67
x552650.54
x562-609.76
x5774453
x5821207.2
x5922065.1
x6053731.9
化学化工类2011497.98
x614-124.6
x6241958.7
x6342995.8
x6446405.6
x652833.35
x6624676.9
地理地质类2016745.75
x6743085.4
x685623.19
x6941104.5
x703-131.14
x7125376.7
x7223120.7
环境类2013179.35
总计980561582.4
表1
由表1可得各分社书号的具体分配：
计算机学科分社获得55个书号，经管学科分社获得33个书号，数学学科分社120个书号，英语学科分社获得60个书号，两课学科分社111个书号，机械能源学科分社61个书号，化工化学学科20个书号，地理学科分社20个书号，环境学科分社20个书号。
总量500个书号分配如上，从附件2中可以看出除了该社关注的72门课程以外，还有很多其他课程，那么推理实际上A出版社的书号为500h个（h为大于1的系数）。
x h（例如计算机学科分社获得55h个书号）那么实际上分配到各个分社的书号为tm
六、结果分析
目标函数可简化为：
72
661
661
max [(1)](1)n n n n n n n n
M Z M P c k x q j j ==-
--+∑
记 66661
[(1)](1)n n n n n n n
M W M P c k q j j =-
--+ （5）
则目标函数可进一步化为：
72
661
max n n n Z W x ==∑
Z 为总利润，6n x 为该课程分得书号数，6n W 为相应课程每个书号出版的书所得利
润，数据可参考表1中的第3列。
若记661(1)(1)n n n n n n
M V M P c q j j =-
--+，式（5）可简化为：
6n n n W V k =
由上式知，n W 与n V 和6n k 分别成正比，这在一定程度上客观的反映了实际情况。
七、模型的检验
我们在建立模型的过程中，对多家出版社进行了询问与调查。得知要提高出版社的经济效益要做到以下几点：
1、以市场需求为导向，选择出版销售额大的书类；
2、提高书本自身的含金量；
3、控制必要成本；
4、做宣传和广告。
对于第一点，在问题中就反映为在把书号优先分配给所出版的书销售额大的分社，在目标函数中6n Q 函数比较好地反映了这方面的实际情况。
对于第二点，书本自身的含金量即为书的价值，书的价值主要取决于书本的内容和出版人员自身水平。在问题中反映为学生对书的满意度（满意度越大价值越大）取决于各分社的人力资源，在模型的建立中也体现了这一点。
对于第三点，建模过程中把出版成本细分成三部分，对各部分进行求解，说明了该模型对成本有比较明确的认识。
对于第四点，在问题中反映为提高销售成本能一定程度地提高出版的经济效益。但由于附件中的各项数据较难推测出销售成本。该点在模型的建立中忽略不计。
从以上分析可以看出本文提出的模型还是比较符合实际情况。但由于数据量不足和市场预测未必完全符合事实，因此，模型结果可能会与实际情况有一定的偏差。
八、模型的评价
1．模型的特点 1）本文建立的最优模型能与实际紧密联系，结合实际情况对所提出的问题进行求解，使模型更贴近实际，其通用性、推广性较强。 2）模型采用计算机模拟与实际问题相结合，既有利于加速模型的解决，又直观醒目。 3）解决问题建立在对大量数据分析的基础之上，同时又对数据做了科学的处理，提高了模型的精确性。
4）模型原理简单明了，容易理解与掌握并易于灵活运用。
5）建模的方法和思想具有普遍性，特别是在处理信息不足问题的同类模型中，此模型有较大的参考价值。
2．模型的不足
1）用增长模型
01()
()b b t Y e +=无法精确预测参数6n k 。 2）模型的约束条件可能有理想条件，未能完全反映现实情况。
3）在本文模型中系数q 和c 的灵敏度较大，但只能通过对某些出版社的调查大致给出，与实际情况可能有较大出入。
4）模型单一追求经济效益，没有与出版社还承担一定社会义务这一事实相联系。
九、给出版社的一份建议
书籍是人类社会进步的阶梯，书是人类的精神食粮，一本好书乃一位挚友。 书是推进科技进步的原动力，更是发展人类文明的载体。 可见书对个人对社会的影响广大且深远，而各类出版社特别是教材类出版社正是对大众的阅读取向有指导性作用，对国民的综合素质提高有决定性作用；因此教材类出版社在社会中扮演着重要角色。 鉴于此，我们认为总出版社的书号分配方案主要应以经济效益和社会效应为综合考虑因素。
在涉及经济因素方面，我们对书号分配方案建立了数学模型。利用这些模型，就可以方便地获得了比较科学的书号分配方案,在此建议出版社领导对其属下的九个分社书号分配具体为55、33、120、60、111、61、20、20、20个书号（假设每年书号总数为500），基于本模型，我们有理由相信如此的分配方法会对贵社带来更大的经济效益和市场份额，亦易于做出长远的发展战略计划。
出版社在追求经济效益的同时也应综合考虑社会效应。例如，在获得的分配方案中，化学化工类、地理地质类、环境类三个分社所得的书号数相对较少，而且比较往年数据亦可体现其下降趋势，由此反映的事实为：由于种种因素的影响，此三类课程需求量明
显减少，如果出版社仅以经济利益为目的，势必造成恶性循环，并最终影响到相关学科的健康发展。因此我们建议，即使在放弃一定经济利益的条件下，也应适度加大此类书号的分配个数。
参考书目
[1] 李英，《决策统计分析》，天津：天津大学出版社，2005年3月版；
[2] 高红卫，《线性规划方法应用详解》，北京：科学出版社，2004年7月版； [3] 姜启源等，《数学模型》，北京：高等教育出版社，2003年8月版； [4] 梁国业等，《数学建模》，北京：冶金工业出版社，2004年9月版；
[5] 胡守信等，《基于MATLAB 的数学实验》，北京：科学出版社，2004年6月版； [6] 苏金明等，《MATLAB 工具箱应用》，北京：电子工业出版社，2004年1月版； [7] 猫猫，《SPSS 教程》，https://www.doczj.com/doc/7d1329829.html,, 2006年9月16日 ；
[8] 朱德通，《最优化模型与实验》，上海：同济大学出版社，2003年4月版。
附录1：2006年部分相关数据的预测值
6n k
n M
6n j
n p
6n y
6n T
6n u
1 292.36 25.8 0.697
2 28.69274 0.4198 8.24E+0
3 11.59617 2 379.93 25.5 0.6826 22.2733
4 0.155
5 2.98E+04 11.49149 3 276.17 28.0 0.699
6 22.4416
7 0.1053 3.78E+03 9.375 4 238.65 26.0 0.5645 21.00333 0.2516 3.02E+03 12.12 5 157.59 24.7 0.552 9.691667 0.085
8 5.74E+03 10.83333 6 263.4
9 25.6 0.5969 24.82907 0.1665 2.29E+04 11.84952 7 474.85 27.0 0.7586 48.73086
0.2982 1.88E+04 11.032 8 65.562 22.9 0.7796 21.3 0.0406 1.21E+04 11.55 9 384.14 25.9 0.859 22.61626 0.215 1.95E+04 11.46504 10 390.72 24.5 0.9095 11.55453 0.442 6.95E+03 11.575 11 1338.1 26.4 0.6738 26.20303 0.708 7.11E+03 11.74046 12 2046.7 27.3 0.6913 19.27708 0.265 9.99E+03 11.45608 13 457.6 24.9 0.8152 23.89929 0.121 1.40E+04 12.05603 14 956.23 27.5 0.7003 42.18671 0.084 3.03E+04 11.15385 15 437.47 23.5 0.8292 20.29 0.026 1.72E+04 11.36167 16 625.78 23.5 0.6989 20.01629 0.2788 8.24E+03 11.58645 17 958.15 25.7 0.641 16.79166 0.8 6.80E+03 11.55967 18 576.51 32.9 0.7103 28.39534 0.202 1.71E+04 11.20451 19 3364.4 31.5 0.6057 20.64939 0.523 2.96E+04 11.65816 20 1166.8 35.3 0.6725 23.68451 0.702 6.22E+03
12.27679
21754.4621.0 0.621317.569280.3521 1.60E+0411.85018 22959.120.2 0.699319.927250.995 2.33E+0411.67381 23863024.8 0.636823.00540.965 3.72E+0511.63699 241189.219.6 0.759812.3681717.05E+0311.57524 251560.918.6 0.690410.390410.9752 1.38E+0411.76014 262438.223.3 0.715118.428650.988.39E+0411.76869 27683.3513.1 0.79959.3484261 3.82E+0311.73333 28577.6718.4 0.628115.820890.0065 2.24E+0512.00214 29520.6122.5 0.603921.330550.351 1.55E+0411.49772 302633.325.7 0.576210.646840.553 4.62E+0411.59318 31836.3134.4 0.850518.406090.13 1.99E+0511.70502 32514.418.7 0.682211.354060.2518.13E+0310.75 331387.133.0 0.648619.40.0072 1.07E+0512.575 34327.0120.6 0.766316.788910.39058.21E+0311.22007 35534.3227.9 0.695216.339470.612 5.28E+0311.69181 36279.521.4 0.667611.002530.50218.73E+0311.90692 3710211.4 0.76558.0880.045 5.02E+0310.9125 38940.1131.3 0.764423.651280.2713 1.48E+0411.20659 39364.6723.5 0.650723.738020.38217.16E+0311.57246 40353.5432.3 0.624830.141250.1421 4.87E+0312.60667 417165.314.7 0.715712.479560.2551 4.42E+0411.71638 428086.918.8 0.55615.356660.4621 1.07E+0511.59202 437480.126.6 0.631712.816640.40927.15E+0411.60452 444656.416.7 0.598612.947540.4383 1.00E+0511.63187 452446513.4 0.626311.36930.4938.69E+0411.59953 466502.914.8 0.779411.745670.4331 1.02E+0511.67512 474294.117.5 0.70117.230290.48037.27E+0411.42789 481227.824.2 0.571917.083680.5725 2.94E+0411.76202 49637.7822.5 0.681919.23270.9852 1.07E+0411.23403 50454.8632.3 0.6972160.4285 1.69E+0310.71429 51401.0220.8 0.629420.758580.6623 6.09E+0311.66432 52860.0621.6 0.680922.416140.8497 1.31E+0411.49612 531490.723.0 0.757517.0981 3.70E+0311.31821 541204.735.4 0.749324.459270.6421 6.22E+0311.3906 551258.920.0 0.591910.316670.8102 1.74E+0310.5 561066.423.6 0.588226.875560.6012 3.47E+0311.16825 57520.6125.6 0.851519.722220.5902 2.51E+0311.71111 58259.5628.0 0.689717.666670.0652 1.34E+039.291667 59968.7418.9 0.656814.961 1.64E+0312.08667 60489.826.7 0.802824.579421 2.55E+0311.64437 61223.6321.5 0.57718.51 1.32E+0311.68 62621.4232.4 0.638718.841580.961 2.61E+0311.95858 63571.9224.0 0.740321.411761 4.29E+0311.69412 64791.5623.8 0.862223.289611 4.61E+0311.68442
65272.618.2 0.699215.85250.3025 1.74E+0310.23333 661556.222.7 0.6794241 4.21E+0311.488 67591.737.5 0.679434.356911 3.02E+0311.54355 68443.1922.2 0.62920.107761 3.35E+0311.36613 69594.0720.7 0.645518.665381 5.42E+0311.5483 70389.1622.7 0.587122.133771 2.37E+0312.02165 71688.1524.3 0.841523.573750.7725 1.88E+0311.07833 721685.832.2 0.611417.147981 3.06E+0311.35221
附录2：LINGO编程程序源代码
SETS:
var/1..72/:a,b,c,x;
!num/1..72/:a,b,c;
nam/1..9/:y;
endsets
data:
a,b= 1168.1 , 9 ,
1409.7 , 9 ,
1326 , 2 ,
-288.38 , 3 ,
-149.03 , 3 ,
25.408 , 8 ,
2695.3 , 6 ,
391.99 , 3 ,
3372 , 8 ,
3680.4 , 4 ,
4501.9 , 4 ,
9209.8 , 2 ,
3381.2 , 2 ,
3708.8 , 2 ,
3209.8 , 3 ,
2476.5 , 3 ,
2381.3 , 3 ,
3464.5 , 4 ,
4251.2 , 3 ,
5816.6 , 2 ,
868.59 , 6 ,
3160.6 , 19 ,
15982 , 26 ,
5800.6 , 4 ,
4943.2 , 12 , 10885 , 17 , 2571.2 , 6 , 686.51 , 3 , 209.35 , 12 , 362.63 , 6 , 9706.2 , 20 , 1513.7 , 2 , 5108.6 , 1 , 1685.2 , 11 , 2611.7 , 4 , 850.74 , 8 , 293.64 , 3 , 7354.1 , 3 , 788.37 , 5 , 625.65 , 3 , 20016 , 2 ,
-9795.6 , 5 , 18394 , 4 , 1549 , 5 , 20434 , 3 , 25479 , 4 , 12436 , 6 ,
-720.96 , 7 , 2086.6 , 9 , 2668.8 , 2 , 488.47 , 5 , 2516.3 , 8 , 8324.5 , 2 , 10041 , 4 , 650.54 , 2 ,
-609.76 , 2 , 4453 , 2 , 1207.2 , 2 , 2065.1 , 2 , 3731.9 , 5 ,
-124.6 , 4 , 1958.7 , 4 , 2995.8 , 4 , 6405.6 , 4 , 833.35 , 2 , 4676.9 , 2 , 3085.4 , 4 , 623.19 , 5 , 1104.5 , 4 ,
-131.14 , 3 ,
5376.7 , 2 ,
3120.7 , 2 ;
y=114 ,114, 120, 102, 111, 72, 44, 63, 72; enddata
max=@sum(var(i)|i#LE#72:
a(i)*x(i));
@for(var:@gin(x));
@for(var(i)|i#LE#72: x(i)>b(i));
@sum(var(i)|i#LE#10:x(i)) @sum(var(i)|i#LE#20 #and# i#GE#11:x(i)) @sum(var(i)|i#LE#30 #and# i#GE#21:x(i)) @sum(var(i)|i#LE#40 #and# i#GE#31:x(i)) @sum(var(i)|i#LE#48 #and# i#GE#41:x(i)) @sum(var(i)|i#LE#54 #and# i#GE#49:x(i)) @sum(var(i)|i#LE#60 #and# i#GE#55:x(i)) @sum(var(i)|i#LE#66 #and# i#GE#61:x(i)) @sum(var(i)|i#LE#72 #and# i#GE#67:x(i)) @sum(var(i):x(i))<500; @sum(var(i)|i#LE#10:x(i))>55; @sum(var(i)|i#LE#20 #and# i#GE#11:x(i))>33; @sum(var(i)|i#LE#30 #and# i#GE#21:x(i))>111; @sum(var(i)|i#LE#40 #and# i#GE#31:x(i))>59; @sum(var(i)|i#LE#48 #and# i#GE#41:x(i))>36; @sum(var(i)|i#LE#54 #and# i#GE#49:x(i))>38; @sum(var(i)|i#LE#60 #and# i#GE#55:x(i))>20; @sum(var(i)|i#LE#66 #and# i#GE#61:x(i))>20; @sum(var(i)|i#LE#72 #and# i#GE#67:x(i))>20; 荆楚理工学院 课程设计成果 学院:_______计算机工程学院__________ 班级: 14计算机科学与技术一班 学生姓名: 志杰学号: 2014407020137 设计地点（单位）_____B5101_________ ____________ 设计题目:克鲁斯卡尔算法求最小生成树__________________________________ 完成日期：2015年1月6日 指导教师评语: ______________ _________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________ __________ _ 成绩(五级记分制):_____ _ __________ 教师签名:__________ _______________ 注：介于A和C之间为B级，低于C为D级和E级。按各项指标打分后，总分在90～100为优，80～89为良，70～79为中，60～69为及格，60分以下为不及格。 目录 1 需求分析 (1) 1.1系统目标 (1) 1.2主体功能 (1) 1.3开发环境 (1) 2 概要设计 (1) 2.1功能模块划分 (1) 2.2 系统流程图 (2) 3 详细设计 (3) 3.1 数据结构 (3) 3.2 模块设计 (3) 4测试 (3) 4.1 测试数据 (3) 4.2测试分析 (4) 5总结与体会 (6) 5.1总结： (6) 5.2体会： (6) 参考文献 (7) 附录全部代码 (8) 写人的作文范文五篇 胡老师爱笑，每次见她都面带笑容。胡老师给我们讲得最多的就是好好学习。下面由橙子为您整理出的写人的作文范文，一起来看看吧。 写人的作文范文1 从初为人师至今，十六个年头，一起共过事的老师不下百人，其间不少优秀的老师，给我影响至深。调至沙溪中学工作已一年有余，在一起工作的老师中，有一个跟我同年的老师，让我不由的竖起了大拇指。 36岁，中等身高，微胖，正匆匆走向办公室的他，赵庚，学校教导主任。初次接触，便仿佛认识多年朋友，热情，友善。在一起工作中发现，他对于每一个新的同事，都是如此。 个子不大的他有一颗博爱的心，记得有一次，学校老师分组到各个村组走访扶贫户，我跟赵庚一组，在走访的过程，我们一家一家的找，一家一家的了解情况，其中有户，家庭条件相当艰苦，家中一共三人，老俩口七十多岁，儿子四十多岁没成家，都没有文化。儿子劳动能力差，农活基本上是七十多岁的老父亲带着儿子做，生活全都是靠自己种养来解决。看到此景，赵庚眼睛湿润了，当得知老奶奶几十年都没有赶过集的时候，泪滴夺眶而出。走的时候，他将身上的钱留给了老人家。他说，我们来走访，解决不了他的实际问题，留点钱给他们吧，回去后再把情况反映给有关部门。在平时的生活中，在谁需 要帮忙的时候，总能看到他的身影。 他家在学校附近，却总在校住宿，学校有什么事情，总能第一时间赶到解决。工作兢兢业业，上个学期，学校请产假，请陪护假的老师比较多，他也是其中一个，学校里老师们的担子突然变重了，在他小孩子出生回家后，便投入到工作中，二十多天的陪护假，请了七天便回到了工作岗位。家庭工作，在他忙碌的身影中，处理的井井有条。 热情，友善，富有爱心和责任心的他，是我和学生眼中当之无愧的好老师。 写人的作文范文2 自从了解了吴邵萍老师的事迹后，我深受感动。回想起来我身边也有许许多多像吴邵萍老师那样的好老师。就拿我们班的语文老师，陈凤老师来说吧： 我们的陈凤老师长着一双水汪汪的迷人的大眼睛，还有一张小巧玲珑的嘴巴和一双细巧的手，她还长着一排洁白的牙齿，可就是她那牙齿的中间有两颗丑陋的大门牙，也正是这两颗大门牙显得她格外可爱，和蔼可亲。 我们的陈凤老师在工作上可是很严肃的。每天上班她来的总是最早，批改作业时也从不马虎，不放过任何一个字体。布置作业，评讲作业还有早读课她都抢先上，更认真的是她竟然不顾自己的身体疲惫不堪地带着病上课。这让我们都很担心她的身体。果然她有一天坚持不住了，去了医院。 我们的陈凤老师对待学生也是很温柔的，让我们感觉她就是我们的母亲，就是我们最亲密的家人。就拿我来说吧：记得有一次，我因 写人的作文的题材 【篇一：写人作文题目集锦】 写人 （一）老师 我的第一个老师我的启蒙老师 我的小学老师老师，印在我记忆的深处我们的楷模我最钦佩的老师我最喜爱的老师一位循循善诱的老师恩师严师 猜猜他（她）是谁我们的好班长我们班的状元一个后来居上的同学同桌“小不点儿”我你他他（她）笑了（三）朋友 最亲密的伙伴我的小伙伴新结识的伙伴诤友患难之交棋友（四）我 我我的小传我在妈妈的眼里我学会了 我们的语文老师“中国通” 体育老师辅导老师 “一字师” 他就是雷锋“内务部长” 记一位富有创造精神的同学新同学小淘气 同桌a、b、c 班里的“笑星” 他（她）变了我的童年伙伴陌生的小伙伴挚友知音忘年交我的自画像我的“犟脾气”妈妈教我做家务我喜爱 我的乐趣我的课余爱好我爱我的我的乐园我忘不了我的第一次我漫步在 （五）我的一家 我的一家幸福的家庭 温馨的世界我的（填入亲属称谓）闲不住的爷爷爷爷的背奶奶的习惯爷爷（奶奶）小时候的故事爱管闲事的姥姥我的爸爸爸爸是个大忙人爸爸的脾气妈妈，我为你自豪妈妈的心事念母亲我的舅舅弟弟是个机灵鬼（六）邻居 邻居邻里之间（七）榜样 榜样我所敬佩的人他（她）有颗金子般的心闪光的足迹 （八）平凡的人 一个平凡的人我投他（她）一票一个珍惜时间的人一个助人为乐的人大忙人笑了（九）三百六十行 爱唠叨的奶奶古怪的外祖父可怜天下父母心我有个好爸爸健忘的爸爸爸爸的手妈妈的白发妈妈笑了母亲的手 孪生兄弟（姐妹）表姐（表兄）左邻右舍 远亲不如近邻镜子 甘为他人作衣裳妙手回春 谢谢您，百衣天使绿衣使者的一天她永远满面春风送奶人 感谢你，“马路天使” 记事 （一）往事 往事愉快的回忆追求彩色的梦这不是梦那年我七岁我十四岁小 小的“荒唐”也许，是自己错了秘密我做过的一件事一件小事一件令 人遗憾的事一件笑掉大牙的事我的苦恼（二）走过的路 我走过的路暑假生活一页走进考场的时候我闯过了这个难关（三）难忘的一天 难忘的一天难忘的十四岁生日玩的最开心的一次（四）明天 明天假如我是?? 二十年后再相会寓言一则（五）家里的事 发生在家里的一件事 童年趣事红领巾的回忆初中生活回眸 生活中的一次闪失 爸爸（妈妈），其实我是爱你的原来如此 一件难忘的事一件发人深省的事一桩蠢事 一件没有料到的事被老师批评后记一段有意义的生活暑假里经历 的一件事 当我接到录取通知书的时候得了一百分之后我的生日 我最快乐的一天我的一个星期天小舟起航的联想欢度2009年国庆 节太空奇遇童话一则家里的喜事 乔迁之喜喜迎门 荧光屏前家庭里的风波（六）校园剪影 校园剪影校园小景校园早春图书馆一瞥 书声当五心红旗冉冉升起的时候校门口课间十分钟（七）班级记 事 夸夸我们的班级学习雷锋好事多一场激烈的争论（八）生动的一课 一堂的课给我印象最深的一堂课记一堂实验课课余生活记趣（九）运动会花絮 （十）有意义的活动 记一次有意义的活动访敬老院动物园参观记扫烈士陵园逛书店 （十一）社会见闻 新闻一则家乡一角走亲访友小记这是我亲眼看到的难忘的瞬间鞭 炮声声抛梁 #include { int u, v, w; }EG[5010]; bool cmp(eage a, eage b) //排序调用 { return a.w < b.w; } int Find(int x) //寻找根节点，判断是否在同一棵树中的依据 { if(parent[x] == -1) return x; return Find(parent[x]); } void Kruskal() //Kruskal算法，parent能够还原一棵生成树，或者森林{ memset(parent, -1, sizeof(parent)); sort(EG+1, EG+m+1, cmp); //按权值将边从小到大排序 ans = 0; for(int i = 1; i <= m; i++) //按权值从小到大选择边 { int t1 = Find(EG[i].u), t2 = Find(EG[i].v); if(t1 != t2) //若不在同一棵树种则选择该边，合并两棵树 { ans += EG[i].w; parent[t1] = t2; printf("最小生成树加入的边为:%d %d\n",EG[i].u,EG[i].v); } } } int main() { printf("输入顶点数和边数:"); while(~scanf("%d%d", &n,&m)) { for(int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d%d%d", &EG[i].u, &EG[i].v, &EG[i].w); Kruskal(); printf("最小生成树权值之和为:%d\n", ans); } return 0; } 写人的作文 要点：（1）抓住人物的外貌。 （2）用一件或几件事来反映人物的特点。（语言、动作、神态、心理写具体） （3）题目要有趣。 我的表妹 我的表妹叫贾梦佳，已经度过了两个生日，长得有些胖，但又十分可爱。她有些顽皮，又有点懂事。最喜欢说：“不和你玩了！”但尽管只是说说而已。我非常喜欢这个可爱的表妹。(外貌) 说到顽皮。有一次，我和表妹一起玩橡皮泥。她趁我离开，立即把橡皮泥放在地上，用手用力地捏，又踩了几脚。把可怜的橡皮泥“虐待”了一通。这还不算过分的，她竟然觉得不过瘾。把几个橡皮泥用力和在了一起，拿起旁边的儿童剪刀，在那儿剪了几个不像样的洞。拿起了我的水杯，把橡皮泥塞了进去。然后若无其事地坐在一旁玩橡皮泥。那时我还没留意到呢。第二天早上去上学的时候，我拿起水杯看了看。——妈呀，一堆五彩缤纷的橡皮泥正挤在里面呢。害得我一个早上都没有喝水。（用一件事写出了“顽皮”的特点） 懂事么，还是有一点的。上次妈妈分糖的时候，本来说好了每人两个。可是弟弟耍赖，偷吃了一个。大家都愤怒地瞪着他。他望了望手里的糖，还又哭又闹地再要一颗。妈妈拿他没办法，只好给他一颗了。可是，最后我只分到了一颗。我正要去找弟弟拿糖时，他却把糖吃完了。我很伤心。这时，表妹走过来，说：“表姐，我给你这颗糖。我还小，吃少一点没关系的。你拿去吧！”我听了，先吃了一惊。随即摆摆手，连忙说不要，大的应该让小的，你吃吧！表妹又说：“可是我不喜欢吃这颗糖，给你吃吧，我吃那颗就够了。”我正要反驳，表妹却扔下那颗糖，一溜烟地跑走了。我呆住了，久久没反应过来……（用一件事写出了“懂事”的特点） 这就是我的表妹！ 高材生赵望 瓜子脸上镶嵌着一对不大不小的眼睛，高高的鼻子，浓浓的眉毛，一张粉红色的小嘴，蓬乱的头发显示出他超群的智慧，这就是我们班的高材生赵望。(外貌) 在我们班，说起赵望无人不举起大拇指，他的智慧可以说是无人能拟。数学是他的特长，在这小学六年的数学竞赛中，这小子总是拿第一，像一座泰山压在我们身上，让我们都喘不过气来。去年，在“希望杯”数学竞赛中，虽然我俩都获得了三等奖，可他的成绩一直都是那么优秀，使我有一种感觉好像自己是瞎猫碰上了死耗子。唉，没办法，我在他面前总是变得那么的不自信。（用一件事写出了“智慧”的特点） 最让我佩服的还是他的速算能力。有一次，数学老师给我们发卷子进行小测，碰巧我有计算器，所以我觉得做的比他们谁都快，但当我在做最后一道题时，赵望已经交卷了。当时我开玩笑地说：“哇噻，你出生时你妈是不是往你脑袋里移植了一个计算芯片呀！”后来，我才发现他的成功不只是依靠聪明，而是来自于勤奋。他告诉我，每天晚上他都坚持做四、五道数奥题……，只要努力，就一定有收获。这真是印证了一句话：成功等于百分之一的灵感加上百分之九十九的心血。我想如果我们每个人都能持之以恒，努力勤奋的话，也一定能取得优异的成绩。（用一件事写出了“勤奋”的特点） 这就是我们班的高材生赵望，一个聪明而又勤奋的人。（总写赵望聪明、勤奋的特点） 我家的“老小孩” 我的外公，他长着圆圆的脸蛋，一双黑溜溜的眼睛，高挺的鼻梁，脸上布满了小溪似的皱纹。外公虽然已经老了，但是他像一个永远长不大的孩子。请你听我说一说吧。(外貌)第一点：贪吃！外公是一个名副其实的馋鬼。有一次我发现外公鬼鬼祟祟的上街，走两步就东张西望。我立刻跟踪外公，不知走了多久“崇山峻岭”才来到目的地。我一看门牌，差点晕过去-----竟然是“肯德基”！外公进去了，我也跟了进去。哇！我差点吐血：外公竟然在吃鸡腿，真可以称得上是狼吞虎咽。看外公那狼狈相，像是几天没吃东西了，连骨头都舔的津津有味，差点没把手指也吃了。（用一件事写出了“贪吃”的特点） 第二点：贪玩！有一次，外公缠着我去公园，为了不使他老人家生气，我只好答应了。到了公园，外公硬拉着我去游乐坊，我只好服从命令了。到了那，我跟外公说：“您到外面等吧！”外公 1.无向网图及边集数组存储示意图 vertex[6]= 2.Kruskal 方法构造最小生成树的过程 (a)一个图 (b)最小生成树过程1 V0 V1 V2 V3 V4 V5 下标 0 1 2 3 4 5 6 7 8 from 1 2 0 2 3 4 0 3 0 to 4 3 5 5 5 5 1 4 2 weight 12 17 19 25 25 26 34 38 46 V1 V0 V4 V5 V2 V3 V1 V0 V5 V2 V3 V4 (c)最小生成树过程2 （d)最小生成树过程3 (e)最小生成树过程4 3.伪代码 1）初始化辅助数组parent[vertexNum];num=0; 2) 依次考查每一条边for(i=0; i 写人作文范文三篇 写人作文范文三篇写人作文1 每当我站在阳台上，看着小区二期的那一栋栋楼房时，我的脑海里便想起了在二期工地干活的一位工人——张叔叔。 张叔叔大概三十多岁，生活十分艰苦，是从农村来到柳州找工作时被聘到我们小区二期的工地里干活的。你瞧!他的那一头浓密乌黑的头发显得多精神呀!方方正正的脸上有粗而弯的眉毛和一双炯炯有神的眼睛。眼睛下面是一个不是很挺起的鼻子，还有那一张能说会道的嘴巴。每天，张叔叔都会穿着一身非常朴素的衣服，干干净净的。见到谁都是先给一个咧嘴的微笑，让人觉得他十分可亲。而在工作上，张叔叔也是认真负责的。他从来不抱怨工地里吃的怎样、穿的怎样、住的怎样，只是默默无闻的自己的工作岗位上辛勤的耕耘着。天天都数他开工最早、收工最晚，可在发工钱是他却从不计较多少。张叔叔这种对待工作认真负责的态度，使我十分敬佩、喜欢他。 记得有一次，妈妈到二期工地上找到张叔叔，请他为我们家再二期买的车库埋水管。张叔叔想也没想就一口答应了，马上提着工具箱向我家的车库走去。可是此时天色已晚，妈妈想让张叔叔明天再来埋水管。但张叔叔说什么也不肯，硬是要现在动工，说是怕明天耽误我们时间。妈妈无可奈何了，只好提着充饱电的充电灯，和张叔叔一起来到我家的车库。在昏暗的充电灯下，张叔叔开始动工埋水管了。他 拿着笨重的锄刀，一下一下的砸着坚硬的水泥地，试图开凿出一个坑。随着时间的流逝，水泥地渐渐砸出了一个坑。但张叔叔却已经精疲力竭了。他头上渗出了细细的汗珠，干了一天活的双手已磨出了鲜血，可他全然不顾，仍然卖力的捶砸着。终于，那个坑足够埋下水管了，张叔叔松了一口气。然后，他拿出水管埋在地下，并娴熟的把另一根管子和水管接起来。很快，一大堆工序就全部完成了。张叔叔打开水龙头示范给妈妈看后，便整理好工具箱要走了。妈妈让张叔叔去我们家吃饭，可张叔叔婉转的拒绝了，头也不回的背着工具箱走了。我望着张叔叔渐渐远去的背影，心中油然升起了一种敬佩之情，并愈加喜欢张叔叔了。最近，张叔叔还被评为工地了“工作模范”了! 现在，张叔叔在我们小区里已经算是个小有名气“名人”了。人们只要一提起张叔叔，准会啧啧赞叹，说他是个认真工作、乐于助人的好工人! 写人作文2 爸妈离婚那年我四岁，我和哥哥被丢弃在奶奶家。哥哥只比我大三岁，但他却十分的懂事。也许从那时起，爸妈就不再是我的保护伞，而哥哥却用他小小的肩膀为我撑起一把伞。 我很胆小，小时睡觉总怕黑，哥哥总给我讲故事。一个故事他会反复讲好几遍，听烦了听腻了，我有时也闹，但哥哥总是很耐心的哄我。有一次，我吵着要妈妈，哥哥哭着说：“妈妈不要我们了。”我不出一声，就那么看着哥哥哭。从那以后，我再也不找妈妈，因为我不想让哥哥哭。 哥哥上学很早，而且也很用功。从上学那天起他就名列前茅，很 2015年中考满分作文（写人篇）集锦 1.2015年新疆统考中考范文 【题目】请在下面两个题目中，任选一题，按要求作文。 总要求：文中不能出现真实的地名、校名、人名。 题一：请以“阅读，让我长大”为题目，写一篇文章。 要求：（1）要有自己的亲身经历或体验，不得抄袭；(2)除诗歌外，文体不限；(3)不少于600字；(4)字迹工整，不写错别字。 题二：请以“触动心灵的”为题，写一篇文章。 要求：（1）先将题目补写完整，如“故事”“歌声”“友情”等，再写作文； （2）用你最擅长的文体表达积极真挚的情感； （3）不少于600字； （4）字迹工整，不写错别字。 【范文】 触动心灵的背影 背影，《背影》，不同的背影，同样饱含深情。 ——题记 初次翻开语文书，一幅图片吸引了我的目光，那是一个笨拙的身影，正在艰难地攀爬着高高的铁道月台。于是我开始品读文章，那是朱自清的《背影》。 正当我想要温习功课时，“吱呀”一声门开了，爸爸轻轻地走过来，手中捧着杯子，热腾腾地冒着气。“爸，怎么不敲门就进来了，真是的！”我不满地向他埋怨道。“我，我给你倒杯水，怕你渴了。”说完，他放下杯子转身离开，那背影在灯光的包围下，有些似曾相识。《背影》读过一遍，却不太理解“背影”背后的含义，老师在课堂上的讲解让我明白了些：朱自清的父亲为了不让儿子受苦，宁愿自己艰难地爬上铁道对面的月台买橘子，那是爱子情深。我总觉得朱自清太矫揉造作，为一个父亲的背影流了两次泪。可我却不知道，有一天我也会为了那个背影流下泪来。 一个冬夜，凛冽的寒风呼啸而过，路上行人稀少，寂寞而冷清。枯叶从树上飘落，打了个旋儿，还未回到树根就被寒风吹得无影无踪。我坐在公交车上，颠簸着到了站。只看见路灯下有个背影，穿着单薄的衣衫，在寒风中瑟缩着，呵出的白气如一缕青烟，又化作一只蝴蝶，飞走了。旁边还有我再熟悉不过的“小毛驴”。不知为何，两行清泪顺着眼角流下，流进嘴里，咸咸的却暖暖的。我站在暗处，他却发现我了。我用手一抹，向他奔去。“爸！”坐在电动车上，我搂着爸爸的腰，却发现他早已被寒风冻得冰凉了。“爸，你怎么穿这么少？”“哦，走得急，怕错过你的车。没关系，我不冷。”一句话让我心头一热。车在街道的路灯下穿行，昔日顶天立地的背影何时变得不再挺拔？泪又来了，溢满眼眶，再也抑制不住，湿了爸爸的衣衫。流吧，让我温热的泪给爸爸带来些许温暖。 语文书中，那幅画依然吸引着我。再读《背影》，我终于读懂了那种爱，藏匿在深情的背影中。图片上父亲艰难的背影，爸爸灯光下的背影，不同的背影，却同样饱含深情。再读《背影》，我也终于理解了朱自清情不自禁的泪流。读懂《背影》，我在成长。“吱呀”一声，门又开了，我轻轻走进爸爸房间，手里捧着一杯热茶，热气氤氲，温暖着爸爸和我…… 2.2015年辽宁锦州中考范文 【题目】题目（一）：请以“交流”为话题，写一篇文章。 #include { printf("请输入有边的2个顶点\n"); scanf("%d %d",&n,&m); while(n < 0 || n > G->vexnum || m < 0 || n > G->vexnum) { printf("输入的数字不符合要求请重新输入:\n"); scanf("%d%d",&n,&m); } G->arc[n][m].adj = G->arc[m][n].adj = 1; getchar(); printf("请输入%d与%d之间的权值:\n", n, m); scanf("%d",&G->arc[n][m].weight); } printf("邻接矩阵为:\n"); for ( i = 1; i <= G->vexnum; i++) { for ( j = 1; j <= G->vexnum; j++) { printf("%d ",G->arc[i][j].adj); } printf("\n"); } } void sort(edge edges[],MGraph *G)//对权值进行排序{ int i, j; for ( i = 1; i < G->arcnum; i++) { for ( j = i + 1; j <= G->arcnum; j++) { if (edges[i].weight > edges[j].weight) { Swapn(edges, i, j); } } } printf("权排序之后的为:\n"); for (i = 1; i < G->arcnum; i++) { 一人一事 沐浴阳光 在回家的路上，我常常会看到一位修车的叔叔，即使再热的天气里，他也是坐在那里，帮别人修着车子。他的摊位几乎占据了整个人行道，与现代的的城市文明有点格格不入。 他上身穿着暗黑色的短袖军服，下面穿着一条早已看不出什么颜色的长裤，脚蹬着一双黑布鞋。他瘦得皮包骨头，肤色黝黑，感觉脏兮兮的。所以每次从那经过，都不禁加快脚步。 一天中午，我骑着自行车去上学。忽然，只听“嘭”的一声响。我急忙下车一看，只见我的前车胎瞬间扁了下去。这下我可急了。心想，公交车太慢；跑过去又怕晚点。这可怎么办呢？我便焦急地向四处看。忽然想起那位修车的叔叔就在附近。无奈之下，只好去找他看看。 正在这时，天下起了小雨。我推着车子向叔叔那跑去。到了面前，看到修车的叔叔正要收拾工具准备回家。我急忙喊道：“叔叔，等一下，我车子坏了。” 叔叔抬头看了看窘迫的我，又看了看天，说道：“好吧，我给你看看。” “谢谢。”我高兴地说。 看着叔叔认真帮我修着车子，雨滴一点点浸透了他身上的衣服。我想起之前头脑里那些不该有的想法，便有些不好意思。 叔叔用他那粗黑的手卸下自行车带，用手指仔仔细细地摸了一圈外胎内测，发现一颗小小的铁钉子。他肯定地说：“是铁钉扎带了。”他又给内胎充气，后将内胎缓缓放入盛满水的脸盆中，他发现内胎被铁钉扎破的小洞。他便拿出工具一丝不苟地补这个洞。 雨水滴落在他的脸上，我更加愧疚了。 不一会儿，他便站起身，对我说：“修好了。” 此时的我突然注意到，他的背竟然有点驼。以前听爸爸说起过这位修车的叔叔，他是一个下岗工人。我瞬间感到了他生活的的辛苦，也想到了自己的父亲和他渐渐变白的鬓角，鼻子陡然一阵酸。 他在收拾工具。这时，雨停了，太阳也出来了。阳光是那么的明媚，那么的温暖。 我歉意地说：“谢谢叔叔。”一摸口袋，瞬间不知所措了。 叔叔看到我有些不对劲，就问道：“怎么了？” “我，我……”我尴尬得不知说什么好，“我，我没带钱！” “哦，没事，一点小毛病，不用给钱了。快走吧，别晚了上学。” “谢谢叔叔!” 一股暖流温暖了全身。啊，我沐浴了温暖的阳光。 写人作文的方法及范文 1）、以写人为主的记叙文主要着重以下几个方面： 通过人物语言描写 人物的语言要符合人物的年龄、经历、身份、文化教养等特点，力求反映人物的特征、反映出人物的思想感情，表现人物的性格特征。人物语言要简洁，避免有话必录和拖泥带水。 通过人物心理描写，是对人物内心活动的描写。深入描写人物的内心活动是展示人物形象的重要手段，事出必有因，任何心理活动的引起是有原因的，把心理活动的起因写清楚，一定要把心理活动的过程展现出来。不然，人物的形象无论如何都会显得苍白无力。心理活动的展现和其它事物的发展一样，都是有层次的。我们把人物心理活动的层次逐渐写出来，人物形象的展示也会越来越具体。写心理活动时，有一点要特别注意：用第一人称写人时，可以写“我”的心理活动，但不能写别人的心理活动。因为别人心里是怎样想的，“我”是无法知道的呀！在现实生活中，不同人物之间的性格特征，或同一人物在不同环境下内在性格的变化，常常处在不协调的矛盾状态之中。为了显示人物性格的差异，写作文就必须通过对比加以表现，将他们面对相同事物作出不同的反应抖落出来，从而突出人物的形象。 通过对比描写来突出人物形象要注意以下几点： ①运用对比描写，不应该勉强凑合，主要看作文的材料是否适合采用对比的 写法。如果材料本身需要用对比的写法，那么作者才可以通过对比来写人， 完成自己的写作意图。如果材料的本身不适合采用对比的手段，那么也不 要人为的牵强附会，为对比而对比。 ②两个人进行对比，不能割裂开来无写一个，后写一个，互不相干，而是围 绕中心事件叙述，刻画两个人不同的思想性格。 通过多侧面描写来丰满人物形象。写人，如果从一个侧面去描写，人物形象往往单薄。如果从多个侧面去描写，人物形象就容易丰满。多侧面地描写人物形象，这个“侧面”的选择不是随心所欲的，而是从众多的材料中选择整理出各具代表性若干侧面，分工而双合作地表现人物形象。 通过多侧面描写来丰满人物形象，我们可以称它是“众星拱月”。“月”就是人物，“星”就是侧面，“拱”就是多侧面表示人物形象的过程。不过应该看到，“众星拱月”的“众星”也不是平分秋色的，它们之间也有主次、详略的区别。所以在写“众星”的时候，是没有必要平均使用力量的。 写一群人，比写一个人、两个人难一些，难就难在要通过一定的材料组织，巧妙地将一群人凝聚在一起，从而反映各自的思想、性格、面貌。那么，怎样组织材料才能把一群人凝聚在一起呢？应该抓住贯串各个人物之间的线索。写人物群像，是不是每个人在文章中所占据的位置都一样呢？不是的。在一群人中，有的在文章中担任“主角”，有的在文章中担任“配角”，谁主谁次，是根据表现文章中心思想的需要来决定的。 人体是靠骨架支撑的，文章也是一样的道理。如果把文章的中心思想比作“灵魂”，材料比作“血肉”，那么，结构就是灵魂和血肉的“骨架”。 因此，同学们在有了写人的材料以后，就应该进一步考虑它的结构。 写人的结构方式主要有以下两种： 第一种，总分总式。 这是最常见最朴素的写人结构。它的特点是有一个点明题意的开头（a），简洁醒目，作为文章的总起部分。主干部（b、c、d）也可以说是文章的分述 范文赏析（写人） 妈妈的手 在手的世界中，有勤劳的手，懒惰的手，致富的手，灵巧的手，然而，我写的却是妈妈一双勤劳的手。她的手不怎么大，长期的劳动使茧皮爬上了手指，使手背上长了一层浅黑色的皮。 当鸡叫三遍的时候，妈妈的手已经开始工作了：忙着做早点。临近中午，她的手又工作了：忙着做午饭。下午，她的手又开始工作了：忙着做晚饭。夜晚，当明月高悬的时候，妈妈的手又工作了：忙着洗衣服。总之，妈妈的手时时刻刻工作着。 妈妈的手既是勤劳的手，又是充满母爱的手。记得一个寒冬的下午，天气比较冷。我在做作业，妈妈在做针线活。 夜深了，天气变得更冷了，我的手直打颤，不敢写了，怕把作业做坏。这时，妈妈走到了我身旁，关心地对我说：“冷吗？”我轻轻地把我的手夹在她的两手之中。顿时，我觉得无比暖和。在她的鼓励下，我终于认真地完成了作业。 记得还有一个隆冬的早晨，天气很冷。为了御寒，我和伙伴们到小河边滑冰。我一不小心，双脚跌进了石灰坑。我好不容易把脚提出来，可皮靴里已塞满了石灰。“不能穿了”，我果断地把皮靴脱掉，准备要妈妈给我洗，又一想：妈妈会批评我的。最后，我想出了一个两全其美的办法，把皮靴藏到门缝里，等天气暖和一点再洗。第二天，天气稍微暖和一点，我就去洗皮靴。但门缝里皮靴的影子都没有。我着急得差点哭起来，过了一会儿，镇静下来，就到别处去找。刚找到后门，就听见熟悉的“唰、唰、唰”声。这不是妈妈的手工作时的声音吗？我随着声音走去，在天井里，我发现了妈妈，她正在为我洗皮靴。她的手冻得红红的，裂开了几条缝。虽然天冷，但是从妈妈的两颊中仍然掉下几颗晶莹的汗珠，我走到她的身边，夺下刷皮靴的刷子，一边说：“妈妈，我来洗。”妈妈关心地说：“还是我来洗吧。”我怎么也不答应，可是，她已经把皮靴和刷子夺去了。最终，还是妈妈洗了。她洗完后，又一丝不苟地烤皮靴，当我重新穿上皮靴时，眼睛已被泪水模糊了。 啊！我要赞美，赞美妈妈的手，更要赞美您――妈妈。 【点评：】《妈妈的手》作者写妈妈的勤劳品质，不是像许多同学那样，就“勤劳”写“勤劳”，而是选择一个侧面，从“手”的角度，具体而集中地表现了妈妈勤劳的特点：吃的，是妈妈这双手做好；穿的，是妈妈这双手缝成；温暖，是妈妈这双手送来；懒惰，是妈妈这双手驱走……,由于作者巧妙地选择“妈妈的手”这个角度来寄托自己的情感，因而文章中“我”对妈妈无限敬爱之情就表现得非常充分。 我的语文老师 瞧，这位身穿黑华达呢中山装，戴着黑色宽边眼镜，脸上带着微笑的中年教师，他就是我们敬佩的语文老师――陈老师。陈老师知识渊博，教学经验丰富，上起课来总是那么轻松、活泼、生动、有趣。我们尤其爱听他的作文课。他讲起课来总是那么风趣、 我的妈妈 “世上只有妈妈好。”每当我听到这道歌，就会想到我亲爱的妈妈。我的妈妈很平凡。 记的有一次，我突然感觉头痛的很厉害，浑身上下软软的，没有力气，躺在床上，昏昏欲睡。妈妈看我的精神萎靡不振，就给我量体温。竟然39度！我发烧了！妈妈显得非常焦急。她赶忙给我拿药，然后把药吹凉了，一口一口地喂给我吃。然后不停地在我的额头上敷凉毛巾，帮我降温。她折腾了整整一天。到了晚上，我慢慢退烧了。看到妈妈因劳累而略显苍白的脸，我的心里酸酸的。 啊！妈妈的爱多么伟大啊！我长大了一定要回报她。 【教师点评】现在很多的儿童一生下来就被众多人多爱所包围，而自己却感受不到，这是多么的悲哀。而此文的小作者却认真地观察着生活，用心感受到了那份无私的母爱，而且怀有一颗感恩之心。这是多么的令人欣慰。希望每个学生在写作的道路上既学会作文，又学会做人。 我的妈妈 我有一个疼爱我的好妈妈。 有一次，我发高烧。妈妈发现我脸色不对，她马上从柜子里拿出药箱，从里面找出体温计。妈妈把体温计放到我的腋窝下，让我夹好，过了5分钟，妈妈拿出体温计，“啊，39.2度”。妈妈立刻给我吃了退烧药，又给我端来温开水，用小勺一勺一勺给我喂水。妈妈喂完水后，到网上查了治感冒偏方。妈妈用梨、冰糖和川贝母粉熬水。水熬 了大约二十分钟就熬好了。妈妈把熬好的水端到我的面前，让我把药水喝了。药水有点甜，我很喜欢喝。 第二天，我的病很快就好了。我爱我的好妈妈。 【教师点评】此文与上篇文章选材相同，然而在具体描写时却有所不同。特别是到网上查偏方，然后煮水这一情节，不但有新意，而且能够使人感受到妈妈的那颗深深的慈母心。著名哲学家莱布尼茨说过“世界上没有两片相同的叶子。”作文亦是如此。同样的选材，到了不同作者的手中，也能写出不一样的精彩。 爱我的爸爸 由于妈妈工作很忙，所以平时都是爸爸照顾我。 记得有一年过端午节，妈妈出差不在家。为了让我吃上可口的“豆沙粽”，爸爸亲自动手包粽子。只见他用汤匙在盆子里挖些糯米，用手把粽叶卷好，将糯米倒进去，再把豆沙摁进糯米中间，然后用五彩线系好，把包好的粽子连成一串。爸爸包的粽子真好看，三角形的叫“羊角粽”，方块状的叫“水立方”……各式各样，有趣极了。 吃着爸爸亲手包的粽子，我的心里美滋滋的。因为，我感受到了父亲给予我的那份真挚的爱。 【教师点评】一株茉莉也许没有沁人心脾的芳香，但它永远会让你感到清新，感到幽雅。父爱就是这样，犹如茉莉一样静静地开放。小作者用平实的语言，描写了父亲包粽子的动作。全文没有对话描写，使人感觉不免有些许遗憾。但细细想来，这难道不就是真正的父爱吗？它如大海般深沉而宽广。 Kruskal 算法构造最小生成树 构造赋权图(,,)G V E W =，其中12{,,,}n V v v v = 为顶点集合,其中i v 表示第i 个顶点，12{,,,,}i E e e e = 为边的集合，()ij n n W w ?=为邻接矩阵，其中 i j i j ij i j v v v v w v v ∈??=?∞??顶点与之间的距离，当（，） E ，与之间没有边时 科茹斯克尔（Kruskal ）算法如下： （1）选1e E ∈（E 为边的集合），使得1e 是权重最小的边。 （2）若12,,e i e e …，已选好，则从12{,,e }i E e e -…，中选取1i e +，使得 i ）121{,,e }i e e +…，中无圈，且 ii ）是1i e +是12{,,e }i E e e -…，中权重最小的边。 （3）直到选得1V e - 为止。(V 是集合V 中元素的个数) 例：已知9个村庄之间的两两距离见表5，要架设通讯线路把9个村庄连接起来，求所需要通讯线的最小长度。 表5 10个村庄的两两距离数据（单位：km ） (,,)G V E W =，其中129{,, ,}V v v v = 为顶点集合,其中i v 表示第i 个村庄，12{,,,,}i E e e e = 为边的集合，99()ij W w ?=为邻接矩阵，其中 i j i j ij i j v v v v w v v ∈??=?∞??村庄与之间的距离，当（，） E ，与之间没有通讯路线时 科茹斯克尔（Kruskal ）算法如下： （1）选1e E ∈（E 为边的集合），使得1e 是距离最小的边。 小学生写人作文优秀范文6篇合集 我有一个调皮的表弟,,今年三岁.他的个子很矮,可是很帅.他的头发乌黑乌黑的,眼 睛水汪汪的,头两边长着两只小耳朵.他的鼻梁很低,鼻子下面长着一张像樱桃一样小巧 的嘴巴.下面就是小编给大家整理的小学生写人作文优秀范文6篇合集，希望大家喜欢! 我的好姐妹 我的好姐妹叫瑶瑶。从小和我一起长大，她现在上三年级，我和她一样喜欢贴画。喜欢溜冰，喜欢画画，喜欢.......太多太多了。 好久没见没见到瑶瑶了，特别想她，礼拜三约她来我们家玩，我们玩的很开心， 尤其是成语接龙，不仅能轻松的学到知识，而且又能娱乐。还有贴画，也是我们特别 喜欢玩的，贴画上有模拟的服装店，食品店，饰品店，游乐园。我们还经常一起写作业，我比她高一年级，不会的题她问我，我都像个小老师一样耐心的给她讲解，直到 她听懂为止。我们还有一个共同的梦想，就是长大后当一名医生。救死扶伤。 我们好想快快长大，早点实现我们的梦想，瑶瑶我愿你一辈子都是我的好姐妹。 我的表弟 我有一个调皮的表弟,他叫涵涵,今年三岁.他的个子很矮,可是很帅.他的头发乌黑乌 黑的,眼睛水汪汪的,头两边长着两只小耳朵.他的鼻梁很低,鼻子下面长着一张像樱桃一 样小巧的嘴巴. 我的表弟喜欢把玩具弄得七零八落.他还很爱乱画画.他画的画大家都看不懂,还追 着我们问画得好不好看.他还常常把书倒过来看,装模作样地读.你可别和他多说话,他会 问你上百个为什么?我想他将来学习一定会比我好! 我的表弟可爱吧?你们也和我一样喜欢他吗? 我的姥姥 姥姥今年已经62岁了，她的身体有点胖，体重有140斤。从小我就跟姥姥一起 生活，爸爸和妈妈去上班以后，家里就剩我和姥姥。每天早晨起来我都会看到姥姥那 灿烂的微笑，像早晨的太阳一样温暖。她的性格很开朗，遇到我调皮的时候都没有打 过我。姥姥喜欢豫剧和韩剧，闲的时候都会看电视。姥姥还很会做饭，她每天都千方 百计的想办法给我做好吃的，把我养的棒棒的。如今我已经渐渐长大，可以帮姥姥做 一些力所能及的事了。 写人作文之写人的中考满分作文 写人的中考满分作文 【篇一：2015年中考满分作文集锦：写人篇】 2015年中考满分作文（写人篇）集锦 1.2015年新疆统考中考范文 【题目】请在下面两个题目中，任选一题，按要求作文。 总要求：文中不能出现真实的地名、校名、人名。 题一：请以“阅读，让我长大”为题目，写一篇文章。 要求：（1）要有自己的亲身经历或体验，不得抄袭；(2)除诗歌外，文体不限；(3)不少于600字；(4)字迹工整，不写错别字。 题二：请以“触动心灵的”为题，写一篇文章。 要求：（1）先将题目补写完整，如“故事”“歌声”“友情”等，再写作文； （2）用你最擅长的文体表达积极真挚的情感； （3）不少于600字； （4）字迹工整，不写错别字。 【范文】 触动心灵的背影 背影，《背影》，不同的背影，同样饱含深情。 ——题记 初次翻开语文书，一幅图片吸引了我的目光，那是一个笨拙的身影，正在艰难地攀爬着高高的铁道月台。于是我开始品读文章，那是朱自清的《背影》。 正当我想要温习功课时，“吱呀”一声门开了，爸爸轻轻地走过来，手中捧着杯子，热腾腾地冒着气。“爸，怎么不敲门就进来了，真是的！”我不满地向他埋怨道。“我，我给你倒杯水，怕你渴了。”说完，他放下杯子转身离开，那背影在灯光的包围下，有些似曾相识。《背影》读过一遍，却不太理解“背影”背后的含义，老师在课堂上的讲解让我明白了些：朱自清的父亲为了不让儿子受苦，宁愿自己艰难地爬上铁道对面的月台买橘子，那是爱子情深。我总觉得朱自清太矫揉造作，为一个父亲的背影流了两次泪。可我却不知道，有一天我也会为了那个背影流下泪来。 一个冬夜，凛冽的寒风呼啸而过，路上行人稀少，寂寞而冷清。枯叶从树上飘落，打了个旋儿，还未回到树根就被寒风吹得无影无踪。我坐在公交车上，颠簸着到了站。只看见路灯下有个背影，穿着单薄的衣衫，在寒风中瑟缩着，呵出的白气如一缕青烟，又化作一只蝴蝶，飞走了。旁边还有我再熟悉不过的“小毛驴”。不知为何，两行清泪顺着眼角流下，流进嘴里，咸咸的却暖暖的。我站在暗处，他却发现我了。我用手一抹，向他奔去。“爸！”坐在电动车上，我搂着爸爸的腰，却发现他早已被寒风冻得冰凉了。“爸，你怎么穿这么少？”“哦，走得急，怕错过你的车。没关系，我不冷。”一句话让我心头一热。车在街道的路灯下穿行，昔日顶天立地的背影何时变得不再挺拔？泪又来了，溢满眼眶，再也抑制不住，湿了爸爸的衣衫。流吧，让我温热的泪给爸爸带来些许温暖。 语文书中，那幅画依然吸引着我。再读《背影》，我终于读懂了那种爱，藏匿在深情的背影中。图片上父亲艰难的背影，爸爸灯光下的背影，不同的背影，却同样饱含深情。再读《背影》，我也终于理解了朱自清情不自禁的泪流。读懂《背影》，我在成长。“吱呀”一声， 一、树及生成树的基本概念 树是无向图的特殊情况，即对于一个N个节点的无向图，其中只有N-1条边，且图中任意两点间有且仅有一条路径，即图中不存在环，这样的图称为树，一般记为T。树定义有以下几种表述： (1)、T连通、无圈、有n个结点，连通有n－1条边；(2)、T无回路，但不相邻的两个结点间联以一边，恰得一个圈；(3)、T连通，但去掉任意一边，T就不连通了（即在点集合相同的图中，树是含边数最少的连通图）；(4)、T的任意两个结点之间恰有一条初等链。 例如：已知有六个城市，它们之间要架设电话线，要求任 意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。若用 六个点v1…v6代表这六个城市，在任意两个城市之间架设电话 线，即在相应的两个点之间连一条边。这样，六个城市的一个 电话网就作成一个图。任意两个城市之间均可以通话，这个图 必须是连通图，且这个图必须是无圈的。否则，从圈上任意去 掉一条边，剩下的图仍然是六个城市的一个电话网。图5-6是 一个不含圈的连通图，代表了一个电话线网。 生成树（支撑树） 定义：如果图G’是一棵包含G的所有顶点的树，则称G’是G的一个支撑树或生成树。例如,图5-7b是图5-7a的一个支撑树。 定理：一个图G有生成树的条件是G是连通图。 证明:必要性显然； 充分性:设图G是连通的，若G不含圈，则按照定义，G是一个树，从而G是自身的一个生成树。若G含圈，则任取G的一个圈，从该圈中任意去掉一条边，得到图G的一生成子图G1。若G1不含圈，则G1是G的一个生成树。若G1仍然含圈，则任取G1的一个圈，再从圈中任意去掉一条边，得到图G的一生成子图G2。依此类推，可以得到图G的一个生成子 图G K，且不含圈，从而G K是一个生成树。 寻找连通图生成树的方法： 破圈法：从图中任取一个圈，去掉一条边。再对剩下的图 重复以上步骤，直到不含圈时为止，这样就得到一个生成树。 取一个圈(v1,v2,v3,v1)，在一个圈中去掉边e3。在剩下的图 中，再取一个圈（v1,v2,v4,v3,v1），去掉边e4。再从圈（v3,v4,v5,v3） 中去掉边e6。再从圈(v1,v2,v5,v4,v3,v1）中去掉边e7， 这样，剩下的图不含圈，于是得到一个支撑树，如图所示。 避圈法：也称为生长法，从图中某一点开始生长边，逐步扩展成长为一棵树，每步选取与已入树的边不构成圈的那些边。Kruskal算法求最小生成树
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