第4章 振动与波动
一、选择题
1. 已知四个质点在x 轴上运动, 某时刻质点位移x 与其所受合外力F 的关系分别由下列四式表示(式中a 、b 为正常数)．其中不能使质点作简谐振动的力是 [ ] (A) abx F = (B) abx F -=
(C) b ax F +-= (D) a bx F /-=
2. 在下列所述的各种物体运动中, 可视为简谐振动的是
[ ] (A) 将木块投入水中, 完全浸没并潜入一定深度, 然后释放 (B) 将弹簧振子置于光滑斜面上, 让其振动 (C) 从光滑的半圆弧槽的边缘释放一个小滑块 (D) 拍皮球时球的运动
3. 欲使弹簧振子系统的振动是简谐振动, 下列条件中不满足简谐振动条件的是 [ ] (A) 摩擦阻力及其他阻力略去不计 (B) 弹簧本身的质量略去不计 (C) 振子的质量略去不计
(D) 弹簧的形变在弹性限度内
4. 当用正弦函数或余弦函数形式表示同一个简谐振动时, 振动方程中不同的量是 [ ] (A) 振幅 (B) 角频率
(C) 初相位 (D) 振幅、圆频率和初相位
5. 如图4-1-5所示，一弹簧振子周期为T ．现将弹簧截去一半，仍挂上原来的物体, 则新的弹簧振子周期为 [ ] (A) T (B) 2T (C) 1.4T (D) 0.7T
6. 三只相同的弹簧(质量忽略不计)都一端固定, 另一端连接质
量为m 的物体, 但放置情况不同．如图4-1-6所示，其中一个平放, 一个斜放, 另一个竖直放．如果让它们振动起来, 则三者的 [ ] (A) 周期和平衡位置都不相同 (B) 周期和平衡位置都相同 (C) 周期相同, 平衡位置不同
(D) 周期不同, 平衡位置相同
7. 如图4-1-7所示，升降机中有一个作谐振动的单摆, 当升降机静止时, 其振动周期为2 s ， 当升降机以加速度上升时, 升降机中的观察者观察到其单摆的振动周期与原来的振动周期相比，将 [ ] (A) 增大 (B) 不变
(C) 减小 (D) 不能确定
图
4-1-6
图
4-1-7
图4-1-5
8. 在简谐振动的运动方程中，振动相位)(?ω+t 的物理意义是 [ ] (A) 表征了简谐振子t 时刻所在的位置 (B) 表征了简谐振子t 时刻的振动状态 (C) 给出了简谐振子t 时刻加速度的方向
(D) 给出了简谐振子t 时刻所受回复力的方向
9. 如图4-1-9所示，把单摆从平衡位置拉开, 使摆线与竖直方向成 θ 角, 然后放手任其作微小的摆动．若以放手时刻为开始观察的时刻, 用余弦函数表示这一振动, 则其振动的初相位为
[ ] (A) θ (B) 2π 或π2
3
(C) 0 (D) π
10. 两质点在同一方向上作同振幅、同频率的简谐振动．在振动过程中, 每当它们经
过振幅一半的地方时, 其运动方向都相反．则这两个振动的相位差为 [ ] (A) π (B)
π32 (C) π34 (D) π5
4 11. 在简谐振动的速度和加速度表达式中，都有一个负号, 这是意味着
[ ] (A) 速度和加速度总是负值
(B) 速度的相位比位移的相位超前 π2
1
, 加速度的相位与位移的相位相差π (C) 速度和加速度的方向总是相同 (D) 速度和加速度的方向总是相反
12. 一质点作简谐振动, 振动方程为)cos(?ω+=t A x ． 则在2
T
t =(T 为振动周期) 时, 质点的速度为
[ ] (A) ?ωsin A - (B) ?ωsin A (C) ?ωcos A - (D) ?ωcos A
13. 一物体作简谐振动, 其振动方程为)4πcos(+=t A x ω．则在2
T
t = (T 为周期)时, 质点的加速度为 (A) 222ωA -
(B) 222ωA (C) 223ωA - (D) 22
3
ωA 14. 一质点以周期T 作简谐振动, 则质点由平衡位置正向运动到最大位移一半处的最
短时间为 [ ] (A)
6T (B) 8T (C) 12
T (D) T 127
15. 某物体按余弦函数规律作简谐振动, 它的初相位为2
π
3, 则该物体振动的初始状
态为
[ ] (A) x 0 = 0 , v 0 > 0 (B) x 0 = 0 , v 0＜0 (C) x 0 = 0 , v 0 = 0 (D) x 0 = -A , v 0 = 0
图4-1-9
16. 一作简谐运动质点的振动方程为π)2
1
π2cos(5+
=t x , 它从计时开始, 在运动一个周期后
[ ] (A) 相位为零 (B) 速度为零
(C) 加速度为零 (D) 振动能量为零
17. 沿x 轴振动的质点的振动方程为)1π3cos(10
32
-?=-t x (SI), 则
[ ] (A) 初相位为1° (B) 振动周期为T ＝3 s (C) 振幅A = 3 m (D) 振动频率 2
3=
νHz 18. 有一谐振子沿x 轴运动, 平衡位置在x = 0处, 周期为T , 振幅为A ，t = 0时刻振子
过2
A
x =
处向x 轴正方向运动, 则其运动方程可表示为 [ ] (A) )21
cos(t A x ω= (B) )cos(2t A x ω=
(C) )3π2sin(--=T t A x ω (D) )3
π
2cos(-=T t A x ω
19. 一质点作简谐振动, 其速度随时间变化的规律为t A ωωcos -=v , 则质点的振动方程为
[ ] (A) t A x ωsin = (B) t A x ωcos = (C) π)sin(+=t A x ω (D) π)cos(+=t A x ω
20. 当一质点作简谐振动时, 它的动能和势能随时间作周期变化．如果ν是质点振动的频率, 则其动能变化的频率为
[ ] (A) ν4 (B) ν2 (C) ν (D)
2
ν
21. 已知一简谐振动系统的振幅为A , 该简谐振动动能为其最大值一半的位置是
[ ] (A)
1
2
A (B) 22A (C) 32A (D) A 22. 一弹簧振子作简谐振动, 其振动方程为: π)2
1
cos(+=t A x ω．则该物体在t = 0
时刻的动能与8
T
t = (T 为周期)时刻的动能之比为
[ ] (A) 1:4 (B) 2:1 (C) 1:1 (D) 1:2
23. 一作简谐振动的质点某时刻位移为x , 系统的振动势能恰为振动动能的n 倍, 则该振动的振幅为
[ ] (A) A n x =+
??
???11 (B) A n x =-
?? ?
?
?11 (C) A n x =-
11 (D) A n
x =+11
24. 一弹簧振子作简谐振动, 当其偏离平衡位置的位移大小为振幅的1/4时, 其动能为
振动总能量的 [ ] (A)
167 (B) 1615 (C) 169 (D) 16
13 25. 一长为l 、质量为m 的单摆, 与一劲度系数为k 、质量为m 的弹簧振子周期相等．则
k 、l 、m 、g 之间的关系为 [ ] (A) l
mg
k =
(B) g ml k = (C) gl m k = (D) 不能确定
26. 一轻质弹簧, 上端固定, 下端挂有质量为m 的重物, 其自由端
振动的周期为T ，如图4-1-26所示． 已知振子离开平衡位置为x 时其振动速度为v ，加速度为a ，且其动能与势能相等．试判断下列计算该振子劲度系数的表达式中哪个是错误的?
[ ] (A) a mg
k = (B) 22x
m k v =
(C) x ma
k = (D) 2
2π4T
m k = 27. 简谐振动的振幅由哪些因素决定?
[ ] (A) 谐振子所受的合外力 (B) 谐振子的初始加速度 (C) 谐振子的能量和力常数 (D) 谐振子的放置位置
28. 设卫星绕地球作匀速圆周运动．若卫星中有一单摆, 下述哪个说法是对的? [ ] (A) 它仍作简谐振动, 周期比在地面时大 (B) 它仍作简谐振动, 周期比在地面时小 (C) 它不会再作简谐振动
(D) 要视卫星运动速度决定其周期的大小
29. 已知一单摆装置, 摆球质量为m ，摆的周期为T ．对它的摆动过程, 下述说法中错误的是
[ ] (A) 按谐振动规律, 摆线中的最大张力只与振幅有关, 而与m 无关 (B) T 与m 无关
(C) 按谐振动规律, T 与振幅无关 (D) 摆的机械能与m 和振幅都有关
图4-1-26
30. 弹簧振子在光滑水平面上作谐振动时, 弹性力在半个周期内所做的功为 [ ] (A) 2
kA (B)
221kA (C) 24
1
kA (D) 0
31. 如果两个同方向同频率简谐振动的振动方程分别为π)4
3
3cos(73.11+
=t x (cm)和 π)4
1
3cos(2+
=t x (cm)，则它们的合振动方程为 [ ] (A) π)433cos(73.0+=t x (cm) (B) π)41
3cos(73.0+=t x (cm)
(C) π)1273cos(2+=t x (cm) (D) π)12
5
3cos(2+=t x (cm)
32. 拍现象是由怎样的两个简谐振动合成的?
[ ] (A) 同方向、同频率的两个简谐振动
(B) 同方向、频率很大但相差甚小的两个简谐振动 (C) 振动方向互相垂直、同频率的两个简谐振动
(D) 振动方向互相垂直、频率成整数倍的两个简谐振动合成
33. 两个同方向、同频率、等振幅的谐振动合成, 如果其合成振动的振幅仍不变, 则此二分振动的相位差为 [ ] (A)
2π (B) 3π2 (C) 4
π (D) π 34. 二个相互垂直的振动方程分别为)cos(11αω+=t A x 和)cos(22αω+=t A y ．
其合振动的轨迹
[ ] (A) 不会是一条直线 (B) 不会为一个圆 (C) 不能是一封闭曲线
(D) 曲线形状要由相位差和两振动振幅而定
35. 下面的结论哪一个可以成立?
[ ] (A) 一个简谐振动不可以看成是两个同频率相互垂直谐振动的合振动 (B) 一个简谐振动只可以看成是两个同频率同方向谐振动的合振动 (C) 一个简谐振动可以是两个同频率相互垂直谐振动的合振动
(D) 一个简谐振动只可以是两个以上同频率谐振动的合振动
36. 一质点同时参与两个相互垂直的简谐振动, 如果两振动的振动方程分别为
π)π2cos(+=t x 和)π2sin(t y =, 则该质点的运动轨迹是
[ ] (A) 直线 (B) 椭圆 (C) 抛物线 (D) 圆
37. 将一个弹簧振子分别拉离平衡位置1 cm 和2 cm 后, 由静止释放（弹簧形变在弹
性范围内）, 则它们作谐振动的
[ ] (A) 周期相同 (B) 振幅相同
(C) 最大速度相同 (D) 最大加速度相同
38. 谐振子作简谐振动时, 速度和加速度的方向 [ ] (A) 始终相同 (B) 始终相反
(C) 在某两个
41周期内相同, 另外两个41
周期内相反 (D) 在某两个21周期内相同, 另外两个2
1
周期内相反
39. 下列说法正确的是
[ ] (A) 谐振子从平衡位置运动到最远点所需的时间为T 8
1
(B) 谐振子从平衡位置运动到最远点的一半距离所需时间为
8
T (C) 谐振子从平衡位置出发经历
T 12
1
，运动的位移是A 31
(D) 谐振子从平衡位置运动到最远点所需的时间为T 4
1
40. 关于振动和波, 下面几句叙述中正确的是 [ ] (A) 有机械振动就一定有机械波
(B) 机械波的频率与波源的振动频率相同
(C) 机械波的波速与波源的振动速度相同
(D) 机械波的波速与波源的振动速度总是不相等的
41. 关于波，下面叙述中正确的是
[ ] (A) 波动方程中的坐标原点一定要放在波源位置 (B) 机械振动一定能产生机械波
(C) 质点振动的周期与波的周期数值相等 (D) 振动的速度与波的传播速度大小相等
42. 按照定义，振动状态在一个周期内传播的距离就是波长．下列计算波长的方法中错误的是
[ ] (A) 用波速除以波的频率
(B) 用振动状态传播过的距离除以这段距离内的波数 (C) 测量相邻两个波峰的距离
(D) 测量波线上相邻两个静止质点的距离
43. 一正弦波在海面上沿一定方向传播, 波长为 , 振幅为A , 波的传播速率为u ． 假设海面上漂浮的一块木块随水波上下运动, 则木块上下运动的周期是
[ ] (A)
u π2λ
(B)
u
λ
(C) λπ2u (D) λu 1
44. 当x 为某一定值时, 波动方程)π(2cos λ
x
T t A x -=所反映的物理意义是
[ ] (A) 表示出某时刻的波形 (B) 说明能量的传播
(C) 表示出x 处质点的振动规律 (D) 表示出各质点振动状态的分布
45. 下列方程和文字所描述的运动中，哪一种运动是简谐振动? [ ] (A) x A t =1cos ω (B) x A t A t =+123cos cos ωω (C)
d d 22
22x t x =-ω
(D) 两个同方向、频率相近的谐振动的合成
46. 下列方程和文字所描述的运动中，哪一种运动是简谐波? [ ] (A) t x
A y ωλ
cos π2cos
=
(B) )sin(2
x cx bt A y ++=
(C) 波形图始终是正弦或余弦曲线的平面波 (D) 波源是谐振动但振幅始终衰减的平面波
47. 下列函数f ( x , t )可以用来表示弹性介质的一维波动, 其中a 和b 是正常数．则下列函数中, 表示沿x 轴负方向传播的行波是
[ ] (A) )sin(),(bt ax A t x f += (B) )sin(),(bt ax A t x f -= (C) )cos()cos(),(bt ax A t x f = (D) )sin()sin(),(bt ax A t x f =
48. 已知一波源位于x = 5 m 处, 其振动方程为: )cos(?ω+=t A y (m)．当这波源产生的平面简谐波以波速u 沿x 轴正向传播时, 其波动方程为
[ ] (A) )(cos u x t A y -
=ω (B) ])(cos[?ω+-=u x
t A y (C) ])5(cos[?ω++-=u x t A y (D) ])5
(cos[?ω+--=u
x t A y
49. 一平面简谐波的波动方程为)2π(sin 5.0x t y --=(m), 则此波动的频率、波速及各质点的振幅依次为 [ ] (A)
21，21，05.0- (B) 2
1
，1，05.0-
(C)
21，2
1
，0.05 (D) 2，2，0.05
50. 已知一列机械波的波速为u , 频率为ν, 沿着x 轴负方向传播．在x 轴的正坐标上有两个点x 1和x 2．如果x 1＜x 2 , 则x 1和x 2的相位差为 [ ] (A) 0 (B)
)(π221x x u -ν (C) π (D) )(π212x x u
-ν
51. 已知一平面余弦波的波动方程为)01.05.2π(cos 2x t y -=, 式中 x 、y 均以cm 计．则在同一波线上, 离x = 5 cm 最近、且与 x = 5 cm 处质元振动相位相反的点的坐标为
[ ] (A) 7.5 cm (B) 55 cm (C) 105 cm (D) 205 cm
52. 两端固定的一根弦线, 长为2 m, 受外力作用后开始振动．已知此弦产生了一个波腹的波, 若该振动的频率为340 Hz, 则此振动传播的速度是
[ ] (A) 0 (B) 170 m ?s -1 (C) 680 m ?s -1 (D) 1360 m ?s -1
53. 一波源在XOY 坐标系中(3, 0)处, 其振动方程是)π120cos(t y =(cm)，其中 t 以s 计, 波速为50 m ?s -1 ．设介质无吸收, 则此波在x ＜3 cm 的区域内的波动方程为 [ ] (A) )50π(120cos x t y +
=(cm) (B) π]2.7)50π(120cos[-+=x
t y (cm) (C) )50π(120cos x t y -=(cm) (D) π]2.1)50
π(120cos[-+=x
t y (cm)
54. 若一平面简谐波的波动方程为)cos(cx bt A y -=, 式中A 、b 、c 为正值恒量．则 [ ] (A) 波速为c (B) 周期为
b 1 (C) 波长为
c π2 (4) 角频率为b
π
2
55. 一平面简谐横波沿着Ox 轴传播．若在Ox 轴上的两点相距8
λ（其中λ为波长）, 则在波的传播过程中, 这两点振动速度的
[ ] (A) 方向总是相同 (B) 方向有时相同有时相反 (C) 方向总是相反 (D) 大小总是不相等
56. 一简谐波沿Ox 轴正方向传播，t ＝0时刻波形曲线如图4-1-56所示，其周期为2 s ．则P 点处质点的振动速度v 与时间t 的关系曲线为 [ ]
57. 当波动方程为)01.05.2π(cos 20x t y +=(cm) 的平面波传到x =100 cm 处时, 该处质点的振动速度为
[ ] (A) )π5.2sin(50t )s cm (-1? (B) )π5.2sin(50t -)s cm (-1
? (C) )π5.2sin(π50t )s cm (-1? (D) )π5.2sin(π50t -)s cm (-1
?
58. 平面简谐机械波在弹性介质中传播时, 在传播方向上某介质元在负的最大位移处, 则它的能量是
[ ] (A) 动能为零, 势能最大 (B) 动能为零, 势能为零 (C) 动能最大, 势能最大 (D) 动能最大, 势能为零
59. 一平面简谐波在弹性介质中传播, 在介质元从最大位移处回到平衡位置的过程中 [ ] (A) 它的势能转换成动能 (B) 它的动能转换成势能
(C) 它从相邻的一段介质元中获得能量, 其能量逐渐增大 (D) 它把自己的能量传给相邻的一介质元, 其能量逐渐减小
60. 已知在某一介质中两列相干的平面简谐波的强度之比是42
1
=I I ，则这两列波的振幅之比
2
1
A A 是 [ ] (A) 4 (B) 2 (C) 16 (D) 8
61. 一点波源发出的波在无吸收媒质中传播, 波前为半球面, 该波强度I 与离波源距离r 之间的关系是 [ ] (A) r I 1∝
(B) 3
1r I ∝ (C) r I 1∝ (D) 21r I ∝
62. 当机械波在介质中传播时, 某一介质元的最大形变发生在(其中A 是振幅)
[ ] (A) 介质质元离开其平衡位置的最大位移处
A
ωs
D ωs
ω-ω-s
图4-1-56
(B) 介质质元离开平衡位置A 2
2
处 (C) 介质元在其平衡位置处 (D) 介质元离开平衡位置
A 2
1
处
63. 假定汽笛发出的声音频率由 400 Hz 增加到1200 Hz, 而波幅保持不变, 则1200 Hz 声波对400 Hz 声波的强度比为
[ ] (A) 1:3 (B) 3:1 (C) 1:9 (D) 9:1
64. 为了测定某个音叉C 的频率, 另选取二个频率已知而且和C 音叉频率相近的音叉A 和B, 音叉A 的频率为400 Hz, Ｂ的频率为397 Hz, 并进行下列实验: 使A 和C 同时振动每秒听到声音加强二次; 再使B 和C 同时振动, 每秒钟听到声音加强一次, 由此可知音叉C 的振动频率为
[ ] (A) 401 Hz (B) 402 Hz (C) 398 Hz (D) 399 Hz
65. 人耳能分辨同时传来的不同声音, 这是由于
[ ] (A) 波的反射和折射 (B) 波的干涉
(C) 波的独立传播特性 (D) 波的强度不同
66. 两列波在空间P 点相遇, 若在某一时刻观察到P 点合振动的振幅等于两波的振幅之和, 则这两列波
[ ] (A) 一定是相干波 (B) 不一定是相干波
(C) 一定不是相干波 (D) 一定是初相位相同的相干波
67. 有两列波在空间某点P 相遇, 某时刻观察到P 点的合振幅等于两列波的振幅之和, 由此可以判定这两列波
[ ] (A) 是相干波 (B) 相干后能形成驻波
(C) 是非相干波 (D) 以上三种情况都有可能
68. 已知两相干波源所发出的波的相位差为 , 到达某相遇点P 的波程差为半波长的两倍, 则P 点的合成情况是 [ ] (A) 始终加强 (B) 始终减弱
(C) 时而加强, 时而减弱, 呈周期性变化
(D) 时而加强, 时而减弱, 没有一定的规律
69. 两个相干波源连线的中垂线上各点 [ ] (A) 合振动一定最强 (B) 合振动一定最弱
(C) 合振动在最强和最弱之间周期变化
(D) 只能是在最强和最弱之间的某一个值
70. 两初相位相同的相干波源, 在其叠加区内振幅最小的各点到两波源的波程差等于 [ ] (A) 波长的偶数倍 (B) 波长的奇数倍
(C) 半波长的偶数倍 (D) 半波长的奇数倍
71. 在驻波中, 两个相邻波节间各质点的振动是
[ ] (A) 振幅相同, 相位相同 (B) 振幅不同, 相位相同
(C) 振幅相同, 相位不同 (D) 振幅不同, 相位不同
72. 两列完全相同的余弦波左右相向而行, 叠加后形成驻波．下列叙述中, 不是驻波特性的是
[ ] (A) 叠加后, 有些质点始终静止不动 (B) 叠加后, 波形既不左行也不右行
(C) 两静止而相邻的质点之间的各质点的相位相同
(D) 振动质点的动能与势能之和不守恒
73. 平面正弦波)π3π5sin(4y t x +=与下面哪一列波相叠加后能形成驻波?
[ ] (A) )2325π(
2sin 4x t y += (B) )2325π(2sin 4x t y -= (C) )2325π(2sin 4y t x += (D) )2
325π(2sin 4y
t x -=
74. 方程为)π100cos(
01.01x t y -=m 和)π100cos(01.02x t y +=m 的两列波叠加后, 相邻两波节之间的距离为
[ ] (A) 0.5 m (B) 1 m (C) π m (D) 2π m
75. 1S 和2S 是波长均为λ的两个相干波的波源，相距
λ4
3
，1S 的相位比2S 超前2π．若两波单独传播时，在过1S 和2S 的直线上各点的强度相同，不随距离变化，且两波的强度都是0I ，则在1S 、2S 连线上1S 外侧和2S 外侧各点，合成波的强度分别是 [ ] (A) 04I ，04I ; (B) 0，0;
(C) 0，04I ; (D) 04I ，0．
76. 在弦线上有一简谐波，其表达式为
?
????
?-??? ??
+?=-3π420π100cos 100.221x t y (SI) 为了在此弦线上形成驻波，并且在x ＝0处为一波腹，此弦线上还应有一简谐波，其表达
式为
[ ] (A) ??
?
???+
??? ??
-?=-3π20π100cos 10
0.22
2x t y (SI)
(B) ??
????+??? ??
-?=-3π420π100cos 10
0.22
2x t y (SI) (C) ?????
?-??? ??-?=-3π20π100cos 100.22
2x t y (SI)
(D) ??
????-??? ??
-?=-3π420π100cos 100.22
2x t y (SI) 二、填空题
1. 一质点沿x 轴作简谐振动，平衡位置为x 轴原点，周期为T ，振幅为A ．
(1) 若t = 0 时质点过x = 0处且向x 轴正方向运动，则振动方程为x = ． (2) 若t = 0时质点在2
A
x =
处且向x 轴负方向运动，则质点方程为x = ． 2. 据报道，1976年唐山大地震时，当地居民曾被猛地向上抛起2 m 高．设此地震横波为简谐波，且频率为1Hz ，波速为3 km ?s -1, 它的波长是 ，振幅是 ．
3. 一质点沿x 轴作简谐振动, 其振动方程为: π)3
1
π2cos(4-
=t x (cm)．从t ＝0时刻起, 直到质点到达 2-=x cm 处、且向 x 轴正方向运动的最短时间间隔为 ．
4. 一个作简谐振动的质点,其谐振动方程为π)2
3
cos(π10
52
+
?=-t x (SI)．它从计时开始到第一次通过负最大位移所用的时间为 ．
5. 一单摆的悬线长l =1.3 m, 在顶端固定点的铅直下方0.45 m 处有一小钉，如图4-2-5所示．设两方摆动均较小，则单摆的左右两方角振幅之比
2
1
θθ的近似值为 ． 6. 一质点作简谐振动, 频率为2 Hz ．如果开始时质点处于平衡位置, 并以-1
s m π?的速率向x 轴的负方向运动, 则该质点的振动方程为 ．
7. 一谐振动系统周期为0.6 s, 振子质量为200 g ．若振子经过平衡位置时速度为
-1s cm 12?，则再经0.2 s 后该振子的动能为 ．
8.劲度系数为100N ?m -1的轻质弹簧和质量为10g 的小球组成一弹簧振子． 第一次将小球拉离平衡位置4cm, 由静止释放任其振动; 第二次将小球拉离平衡位置2cm 并给以2 m.s -1的初速度任其振动．这两次振动的能量之比为 ．
.0 图4-2-5
9. 如图4-2-9所示，将一个质量为20 g 的硬币放在一个劲度系数为-1
m N 40?的竖直放置的弹簧上, 然后向下压硬币使弹簧压缩1.0 cm, 突然释放后, 这个硬币将飞离原来位置的高度为 ．
10. 质量为0.01 kg 的质点作简谐振动, 振幅为0.1m, 最大动能为0.02 J ．如果开始时质点处于负的最大位移处, 则质点的振动方程为 ．
11. 一物体放在水平木板上，这木板以Hz 2=ν的频率沿水平直线作简谐运动，物体和水平木板之间的静摩擦系数50.0=s μ，物体在木板上不滑动的最大振幅max A = ．
12. 如果两个同方向同频率简谐振动的振动方程分别为π)3
1
10sin(31+
=t x cm 和)π6
1
10sin(42-
=t x cm, 则它们的合振动振幅为 ．
13. 已知由两个同方向同频率的简谐振动合成的振动，其振动的振幅为20 cm, 与第一个简谐振动的相位差为
6
π
．若第一个简谐振动的振幅为cm 3.17cm 310=, 则第二个简谐振动的振幅为 cm ，两个简谐振动的相位差为 ．
14. 已知一平面简谐波的方程为: )π(2cos λ
νx
t A y -
=, 在ν
1
=
t 时刻λ4
1
1=
x 与 λ4
3
2=
x 两点处介质质点的速度之比是 ． 15. 一观察者静止于铁轨旁, 测量运行中的火车汽笛的频率．若测得火车开来时的频率为2010 Hz, 离去时的频率为1990 Hz, 已知空气中的声速为330 m.s -1, 则汽笛实际频率ν是 ．
16. 已知一入射波的波动方程为)4
π4πcos(
5x
t y +=(SI), 在坐标原点x = 0处发生反射, 反射端为一自由端．则对于x = 0和x = 1 m 的两振动点来说, 它们的相位关系是相位
差为 ．
17. 有一哨子, 其空气柱两端是打开的, 基频为5000 Hz, 由此可知，此哨子的长度最接近 cm ．
18. 一质点同时参与了两个同方向的简谐振动，它们的振动方程分别为
)4
π
cos(05.01+=t x ω
(SI)
图4-2-9
)12
π
19cos(05.02+
=t x ω(SI) 其合成运动的运动方程为=x ．(SI)
19. 已知一平面简谐波沿x 轴正向传播，振动周期T = 0.5 s ，波长λ = 10 m , 振幅A = 0.1m ．当t = 0时波源振动的位移恰好为正的最大值．若波源处为原点，则沿波传播方向距离波源为
2λ处的振动方程为 ．当2T t =时，4
λ
=x 处质点的振动速
度为 ．
20. 图4-2-20表示一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，波的振幅为 0.2 m ，周期为4 s ．则图中P 点处质点的振动方程为 ．
21. 一简谐波沿BP 方向传播，它在B 点引起的振动方程为t A y π2cos 11=．另一简谐波沿CP 方向传播，它在C 点引起的振动方程为()ππ2cos 22+=t A y ．P 点与B 点相距0.40 m ，与C 点相距0.50 m ，如图4-2-21所示．波速均为u ＝0.20 m ?s -1．则两波在P 的相位差为 ．
22. 如图4-2-22所示，一平面简谐波沿Ox 轴正方向传播，波长为λ，若1P 点处质点的振动方程为)π2cos(1?ν+=t A y ，则2P 点处质点的振动方程为 ，与1P 点处质点振动状态相同的那些点的位置是 ．
23. 一个点波源位于O 点，以O 为圆心作两个同心球面，它们的半径分别为1R 和2R ．在两个球面上分别取相等的面积1S ?和2S ?，则通过它们的平均能流之比
2
1
P P ＝_______． 24. 一列平面简谐波在截面积为S 的圆管中传播, 其波的表达为)π2(cos λ
ωx
t A y -=，管中波的平均能量密度是w , 则通过截面积S 的平均能流是 ．
A
图4-2-20 图4-2-21
P
B
1
r 2
r ..
.
C
x
1
2
图4-2-22
25. 两相干波源1S 和2S 的振动方程分别是t A y ωcos 1=和π)2
1(cos 2+=t A y ω．1
S 距P 点3个波长，2S 距P 点4
21
个波长．两波在P 点引起的两个振动的相位差的绝对值是 ．
26. 如图4-2-26所示，1S 和2S 为同相位的两相干波源，相距为L ，P 点距1S 为r ；波源1S 在P 点引起的振动振幅为1A ，波源2S 在P 点引起的振动振幅为2A ，两波波长都是λ，则P 点的振幅A ＝ ．
27. 21S S 、为振动频率、振动方向均相同的两个
点波源，振动方向垂直纸面，两者相距λ2
3
为波长)(λ，如图
4-2-27所示．已知1S 的初相位为
π2
1
． (1) 若使射线C S 2上各点由两列波引起的振动均干涉相消，则2S 的初相位应为_______________________．
(2) 若使21S S 连线的中垂线M N 上各点由两列波引起的振
动均干涉相消，则2S 的初相位应为________________________________________．
三、计算题
1. 如图 4-3-1所示，将一个盘子挂在劲度系数为k 的弹簧下端，有一个质量为m 的物体从离盘高为h 处自由下落至盘中后不再跳离盘子，由此盘子和物体一起开始运动(设盘子与弹簧的质量可忽略,取平衡位置为坐标原点，选物体落到盘中的瞬间为计时零点）．求盘子和物体一起运动时的运动方程．
2. 一质量为10 g 的物体在x 方向作简谐振动，振幅为24 cm ，周期为4 s ．当t =0时该物体位于x = 24 cm 处．求：
(1) 当t =0.5 s 时物体的位置及作用在物体上力的大小．
(2) 物体从初位置到x ＝－12 cm 处所需的最短时间，此时物体的速度．
3. 作简谐振动的小球，速度的最大值为-1
m ax s cm 3?=v ，振幅为cm 2=A ．若令速度具有正最大值的某时刻为计时点，求该小球运动的运动方程和最大加速度．
4如图4-3-4所示，定滑轮半径为R ，转动惯量为J ，轻弹簧劲度系数为k ，物体质量为m
，将物体从平衡位置拉下一极小距离后放手，不计
图
4-3-1
图4-3-4
1
2
图4-2-26
?
??M
N
1S 2
S C
图4-2-27
一切摩擦和空气阻力，试证明该系统将作谐振动并求其振动周期．
5. 如图 4-3-5所示，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k ＝241
-m N ?，重物的质量m ＝6 kg ．最初重物静止在平衡位置上，一水平恒力F ＝10 N 向左作用于物体，（不计摩擦），使之由水平位置向左运动了0.05 m ，此时撤去力F ．当重物运动到左方最远位置时开始计时，求该弹簧振子的运动方程．
6. 已知某质点振动的初始位置为2
0A
x =，初始速度00>v (或说质点正向x 正向运动)，求质点振动的初相位．
7. 如图4-3-7所示，一半径为R 的匀质圆盘绕边缘上一点作微角摆动, 如果其周期与同样质量单摆的周期相同, 求单摆的摆线长度．
8. 某人欲了解一精密摆钟的摆长, 他将摆锤上移了1 mm, 测出此钟每分钟快0.1s ．这钟的摆长是多少?
9. 已知一简谐振子的振动曲线如图3-4-9所示，求其运动方程．
10. 如图4-3-10所示，一劲度系数为k 的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端连结一质量为m 1的物体，放在光滑的水平面上．将一质量为m 2的物体跨过一质量为
R 的定滑轮与1m 相连，求此系统的振动圆频率．
11. 一个质量为m 的小球在一个光滑的半径为R 的球形碗底作微小振动，如图4-3-11所示．设0=t 时，0=θ，小球的速度为0v ，
图4-3-5
图4-3-7
图4 -3-9 图4-3-10
s
/t cm
/x 0
m
向右运动．试求在振幅很小情况下，小球的振动方程．
12. 如图4-3-12所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距离为12cm 的两点A 、B ，历时2s ，并且在A 、B 两点处具有相同的速度；再经过2 s 后，质点又从另一方向通过B 点．试求质点运动
的周期和振幅．
13. 如图4-3-13所示，在一轻质刚性杆AB 的两端，各附有一质量相同的小球，可绕通过AB 上并且垂直于杆长的水平轴O 作振幅很小的振动．设OA = a , OB = b , 且b > a ，试求振动周期．
14. 有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分别为
(cm)
2ππ2cos 3(cm)
π)π2cos(421??? ?
?
+=+=t x t x (1) 求它们的合振动方程；
(2) 另有一同方向的简谐振动(cm))π2cos(233?+=t x ，问当3?为何值时，3
1x x +的振幅为最大值？当3?为何值时，31x x +的振幅为最小值?
15. 一质量为0m 的全息台放置在横截面均匀的密封气柱上(见图4-3-15)．平衡时气柱高度为h ．今地基作上、下振动，规律为t A x ωcos G =，其中A 为振幅，ω为振动圆频率．忽略大气压强和阻尼，试求全息台振动的振幅．
16. 假设地球的密度是均匀的，如果能沿着地球直径挖通
一穿过地球的隧道，试证明落入隧道的一个质点的运动是简谐运动，并求出其振动周期．
17. 已知波线上两点A 、B 相距1 m, B 点的振动比A 点的振动滞后12
1s, 相位落后
30, 求此波的波速．
18. 一简谐波，振动周期2
1
=
T s ，波长λ =10 m ，振幅A = 0.1 m. 当t = 0时刻，波源振动的位移恰好为正方向的最大值．若坐标原点和波源重合，且波沿Ox 轴正方向传播，求:
(1) 此波的表达式；
图
4-3-12
图4-3-13
图4-3-15
(2) 41T t =
时刻，41λ
=x 处质点的位移； (3) 42T t =时刻，4
1λ
=x 处质点振动速度．
19. 一列平面简谐波在介质中以波速u = 5m ?s -1沿x 轴正向传播，原点O 处质元的振动曲线如图4-3-19所示．
(1) 画出x ＝25 m 处质元的振动曲线． (2) 画出t ＝3 s 时的波形曲线．
20. 如图4-3-20所示为一平面简谐波在t ＝0时刻
的波形图，设此简谐波的频率为250 Hz ，且此时质点
P 的运动方向向下，求
(1) 该波的波动方程．
(2) 在距原点O 为100 m 处质点的振动方程与振动速度表达式．
21. 已知一平面简谐波的方程为 (SI))24(πcos x t A y +=
(1) 求该波的波长λ，频率ν和波速度u 的值；
(2) 写出t = 4.2 s 时刻各波峰位置的坐标表达式，并求出此时离坐标原点最近的那个波峰的位置；
(3) 求t = 4.2 s 时离坐标原点最近的那个波峰通过坐标原点的时刻t ．
22. 已知一平面简谐波在介质中以速度1
s m 10-?=v 沿x 轴负方向传播，若波线上点
A 的振动方程为)π2cos(2a t y A +=ν，已知波线上另一点
B 与点A 相距cm 5．试分别
以B A 及为坐标原点列出波函数，并求出点B 的振动速度的最大值．
23. 有一平面波沿x 轴负方向传播，s 1=t 时的
波形如图4-3-23所示，波速1
s m 2-?=u ，求该波的波函数． 24. 将一振源与一螺旋弹簧相连，振源在弹簧中
激起一连续的正弦纵波．设振源的频率为25 Hz ，弹簧中相邻的两密部中心之间的距离为24cm ，而且弹簧中某一圈的最大纵向位移为30 cm ．假如取波的传播方向为x 轴，波源为坐标原点，且0=t 时，波源具有正的最大位移．试求在0>x 的区域此简谐波的波函数．
25. 有两个扬声器B A 和，向各个方向均匀地发射声波，由A 输出的声功率是W 100.84-?，
由B 输出的声功率是W 105.134-?，二者在频率为173 Hz 时为同相位振动．设
)
m
图4-3-20
声速为1s m 346-?.
(1) 试确定C 点的两个讯号的相位差，C 点在AB 连线上，与B 相距m 0.3，与A 相距m 0.4．
(2) 扬声器B 被断开，试求扬声器A 在点C 的声强．扬声器A 被断开，试求扬声器B 在点C 的声强．
(3)若两个扬声器都连通，试求在点C 的声强和声强级．
26. 一面积为2m 1的窗子临街而开，街道的噪声在窗口的声强为db 60.试问通过声波进入窗口的声功率是多少?
27. 如图4-3-27所示，S 为点波源，振动方向垂直于纸面，1S 和2S 是屏AB 上的两个狭缝，1S 2S ＝a ．1SS ⊥AB ，并且1SS ＝b ．x 轴以2S 为坐标原点，并且垂直于AB ．在AB 左侧，波长为1λ；在AB 右侧，波长为2λ．求x 轴上干涉加强点的坐标．
28. 一弦上的驻波方程式为
I)(S )π550cos()π6.1cos (1000.32t x y -?=
(1) 若将此驻波看作传播方向相反的两列波叠加而成,求两列波的振幅及波速； (2) 求相邻波节之间的距离； (3) 求s 10
00.33
-?=t 时，位于m 625.0=x 处质点的振动速度．
29. 如图4-3-29所示，一圆频率为ω、振幅为A 的平面简谐波沿x 轴正方向传播，设在 t = 0时刻该波在原点O 处引起的振动使介质元由平衡
位置向y 轴的负方向运动．M 是垂直于x 轴的波密介质反射面．已知λ47'=OO ，'PO 4λ
= (λ为该波波长)；设反射波不衰减，求：
(1) 入射波与反射的波动方程；
(2) P 点的振动方程．
30. 一沿弹性绳的简谐波的波动方程为??
?
??-=210π2cos x t A y (SI)，波在m 11=x 的固定端反射.设传播中无能量损失，反射是完全的．试求：
(1) 该简谐波的波长和波速； (2) 反射波的波动方程；
S
图4-3-27
图4-3-29
(3) 驻波方程，并确定波节的位置．
31. 在弦线上有一简谐波，其表达式是]3
π)1002.0(
π2[cos 100.221+-?=-x t y (SI)．为了在此弦线上形成驻波，并且在0=x 处为一波腹，求此弦线上还应有的另一列
简谐波的表达式．
机械振动测验 一、填空题 1、所谓振动，广义地讲，指一个物理量在它的①平均值附近不停地经过②极大值 和③极小值而往复变化。 2、一般来说，任何具有④弹性和⑤惯性的力学系统均可能产生机械振动。 3、XXXX在机械振动中，把外界对振动系统的激励或作用，①激励或输入：而系 统对外界影响的反应，称为振动系统的⑦响应或输出。 4、常见的振动问题可以分成下而几种基本课题：1、振动设计2、系统识别3、环 境预测 5、按激励情况分类，振动分为：①自由振动和②强迫振动；按响应情况分类，振 动分为：③简谐振动、④周期振动和⑤瞬态振动。 6、①惯性元件、②弹性元件和③阻尼元件是离散振动系统三个最基本的元件。 7、在系统振动过程中惯性元件储存和释放①动能，弹性元件储存和释放②势能， 阻尼元件③耗散振动能量。 8、如果振动时系统的物理量随时间的变化为简谐函数，称此振动为①简谐振 动。 9、常用的度量振动幅值的参数有：1、峰值2、平均值3、均方值4、均方根值。 10、系统的固有频率只与系统的①质量和②刚度有关，与系统受到的激励无关。 二、试证明：对数衰减率也可以用下式表示，式中％是经过〃个循环后的振幅。
利用前面给出的解 x =而一m sin皿」+ 0)可得到衰减率为 对数衰减率为 8 = 1叫=叫克=-: 气 ”=&星.…JC L=2^O今 K 知X” X” 〃1叫=/浴=1』书］/=_LiJ邑 m 口顷〃
吉轿大拳龙年工犊拳院.玉魔平 3. 有阻尼自山振动 ?对数衰减率 ?测定阻尼白山振动的 振幅衰减率是计算系 统阻尼比的一个常用 的易行方法。 ?在振动试验中，可以 测 出系统阻尼白山振 动 时的响应，求出对 数 衰减率，进而得到 系统的阻尼比。 例 2.5-2 证明对数衰减率也可用下式表示; 式中％是经过〃个循环后的振阳。并画出不同￡值下振幅减小 到50%的循坏数常。 触g 任意两相邻振幅比是 客0 孙 的 一?一——J .?.?.??,—. 勒一的一 *3 比值札/粉可以写成； 求图示振动系统的固有频率和振型。已知以=必=川，k 】=y=kq=k 。In DAE 29 札一 从此可得到要求证明的公式】 Q 2 C 4 Q. 5 。8 1. 更厄比5>￡ x I X —= ；iJ=> H = —In —1 S ' 8羽 气骨 ?*? 有
第10章振动与波动 一.基本要求 1. 掌握简谐振动的基本特征，能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。 2. 掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。 3. 能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程，并能理解其物理意义。 4. 掌握描述谐振动的旋转矢量法，并用以分析和讨论有关的问题。 5. 理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。 6. 理解机械波产生的条件。 7. 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。 8. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。 9. 理解惠更斯原理和波的叠加原理。掌握波的相干条件。能用相位差或波程差概念来分析和确定相干波叠加后振幅加强或减弱的条件。 10. 理解驻波形成的条件，了解驻波和行波的区别，了解半波损失。 二. 内容提要 1. 简谐振动的动力学特征作谐振动的物体所受到的力为线性回复力，即 取系统的平衡位置为坐标原点，则简谐振动的动力学方程（即微分方程）为 2. 简谐振动的运动学特征作谐振动的物体的位置坐标x与时间t成余弦（或正弦）函数关系，即 由它可导出物体的振动速度) =t A v - ω + ω sin(? 物体的振动加速度) =t A a2 cos(? - + ω ω 3. 振幅A 作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值，振幅的大小由初始条件
确定，即 4. 周期与频率 作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T 称为周期，单位时间内完成的振动次数γ称为频率。周期与频率互为倒数，即 ν = 1T 或 T 1=ν 5. 角频率(也称圆频率）ω 作谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与周期、频率的关系为 ω π=2T 或 πν=ω2 6. 相位和初相 谐振动方程中（?+ωt ）项称为相位，它决定着作谐振动的物体的状态。t=0时的相位称为初相，它由谐振动的初始条件决定，即 应该注意，由此式算得的?在0~2π范围内有两个可能取值，须根据t=0时刻的速度方向进行合理取舍。 7. 旋转矢量法 作逆时针匀速率转动的矢量，其长度等于谐振动的振幅A ，其角速度等于谐振动的角频率ω，且t=0时，它与x 轴的夹角为谐振动的初相?，t=t 时刻它与x 轴的夹角为谐振动的相位?ω+t 。旋转矢量A ?的末端在x 轴上的投影点 的运动代表着质点的谐振动。 8. 简谐振动的能量 作谐振动的系统具有动能和势能，其 动能 )(sin ?+ωω==t A m m E k 22222 12 1v 势能 )(cos ?+ω==t kA kx E p 2222 12 1 机械能 22 1 kA E E E p k =+= 9. 两个具有同方向、同频率的简谐振动的合成 其结果仍为一同频率的简谐振动，合振动的振幅 初相 2 2112211?+??+?= ?cos cos sin sin tan A A A A （1）当两个简谐振动的相差),,,( Λ210212±±=π=?-?k k 时，合振动振幅最大，为 21A A +，合振动的初相为1?或2?。
第9章《振动》习题解答 9.2.1 一刚体可绕水平轴摆动.已知刚体质量为m ，其重心C 和轴O 间的距离为h ，刚体对转动轴线的转动惯量为I.问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐运动？如果是，求固有频率，不计一切阻力. 【解】 刚体受力如图所示，规定逆时针为转动正方向，φ为与OC 铅垂线（为平衡位置）的夹角，由对O 的转动定理； 因φ很小故sin φφ= 9.2.2 轻弹簧与物体的连接如图所示，物体质量为m ，轻弹簧的劲度系 数为1k 和2k ，支承面是理想光滑面，求系统振动的固有频率. 【解】 以物体m 为隔离体,水平方向受12,k k 的 弹性力12,,F F 以平衡位置为原点建立坐标系O x -，水平向右为x 轴正方向。设m 处于O 点对两弹簧的伸长量为0，即两个弹簧都处于原长状态。m 发生一小位移x 之后，弹簧1k 的伸长量为x ，弹簧2k 被压缩长也为x 。 故物体受力为：1212---()x F k x k x k k x ==+ （线性恢复力） m 相当于受到刚度系数为12k k k =+的单一弹簧的作用 由牛顿第二定律： 9.2.3 一垂直悬挂的弹簧振子，振子质量为m ，弹簧的劲度系数为1k .若在振子和弹簧1k 之间串联另一弹簧，使系统的频率减少一半.串联上的弹簧的劲度系数2k 应是1k 的多少倍？ 【解】 未串时：平衡位置 1 mg k = 串联另一刚度系数为2k 的弹簧： 此时弹簧组的劲度系数为?k = 已知： 2ωω=' 解得：211 3 k k =
9.2.4 单摆周期的研究.（1）单摆悬挂于以加速度a 沿水平方向直线行驶的车厢内.（2）单摆悬挂于以加速度a 上升的电梯内.（3）单摆悬挂于以加速度a ( 振动与波动习题与答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 第10章 振动与波动 一. 基本要求 1. 掌握简谐振动的基本特征，能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。 2. 掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。 3. 能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程，并能理解其物理意义。 4. 掌握描述谐振动的旋转矢量法，并用以分析和讨论有关的问题。 5. 理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。 6. 理解机械波产生的条件。 7. 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。 8. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。 9. 理解惠更斯原理和波的叠加原理。掌握波的相干条件。能用相位差或波程差概念来分析和确定相干波叠加后振幅加强或减弱的条件。 10. 理解驻波形成的条件，了解驻波和行波的区别，了解半波损失。 二. 内容提要 1. 简谐振动的动力学特征 作谐振动的物体所受到的力为线性回复力，即 取系统的平衡位置为坐标原点，则简谐振动的动力学方程（即微分方程）为 2. 简谐振动的运动学特征 作谐振动的物体的位置坐标x 与时间t 成余弦（或正弦）函数关系，即 由它可导出物体的振动速度 )sin(?+ωω-=t A v 物体的振动加速度 )cos(?+ωω-=t A a 2 3. 振幅A 作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值，振幅的大小由初始条件确定，即 4. 周期与频率 作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T 称为周期，单位时间内完成的振动次数γ称为频率。周期与频率互为倒数，即 ν= 1T 或 T 1=ν 5. 角频率(也称圆频率）ω 作谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与周期、频率的关系为 ω π = 2T 或 πν=ω2 6. 相位和初相 谐振动方程中（?+ωt ）项称为相位，它决定着作谐振动的物体的状态。t=0时的相位称为初相，它由谐振动的初始条件决定，即 应该注意，由此式算得的?在0~2π范围内有两个可能取值，须根据t=0时刻的速度方向进行合理取舍。 机械振动测验 一、 填空题 1、 所谓振动，广义地讲，指一个物理量在它的①平均值附近不停地经过②极大 值和③极小值而往复变化。 2、 一般来说，任何具有④弹性和⑤惯性的力学系统均可能产生机械振动。 3、 XXXX 在机械振动中，把外界对振动系统的激励或作用，①激励或输入；而 系统对外界影响的反应，称为振动系统的⑦响应或输出。 4、 常见的振动问题可以分成下面几种基本课题：1、振动设计2、系统识别3、 环境预测 5、 按激励情况分类，振动分为：①自由振动和②强迫振动；按响应情况分类， 振动分为：③简谐振动、④周期振动和⑤瞬态振动。 6、 ①惯性元件、②弹性元件和③阻尼元件是离散振动系统三个最基本的元件。 7、 在系统振动过程中惯性元件储存和释放①动能，弹性元件储存和释放②势 能，阻尼元件③耗散振动能量。 8、 如果振动时系统的物理量随时间的变化为简谐函数，称此振动为①简谐振动。 9、 常用的度量振动幅值的参数有：1、峰值2、平均值3、均方值4、均方根值。 10、 系统的固有频率只与系统的①质量和②刚度有关，与系统受到的激励无 关。 二、 试证明：对数衰减率也可以用下式表示，式中n x 是经过n 个循环后的振幅。 1 ln n x x n δ= 三、 求图示振动系统的固有频率和振型。已知12m m m ==，123k k k k ===。 北京理工大学1996年研究生入学考试理论力学（含振动理论基础）试题 自己去查双（二）自由度振动 J，在平面上在弹簧k的限制下作纯滚动，如图所示，四、圆筒质量m。质量惯性矩 o 求其固有频率。 五、物块M质量为m1。滑轮A与滚子B的半径相等，可看作质量均为m2、半径均 为r的匀质圆盘。斜面和弹簧的轴线均与水平面夹角为β，弹簧的刚度系数为k。 又m1 g>m2 g sinβ , 滚子B作纯滚动。试用能量法求：（1）系统的微分方程；（2）系统的振动周期。 机械振动 一、选择题 1. 下列4种运动（忽略阻力）中哪一种是简谐运动 （ C ） ()A 小球在地面上作完全弹性的上下运动 ()B 细线悬挂一小球在竖直平面上做大角度的来回摆动 ()C 浮在水里的一均匀矩形木块，把它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动 ()D 浮在水里的一均匀球形木块，把它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动 解析：A 小球不是做往复运动，故A 不是简谐振动。B 做大角度的来回摆动显然错误。D 由于球形是非线性形体，故D 错误。 2．如图1所示，以向右为正方向，用向左的力压缩一弹簧，然后松手任其振动。若从松手时开始计时，则该弹簧振子的初相位应为 图 一 （ D ） ()0A ()2 πB ()2 π-C ()πD 解析： 3.一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻质弹簧下面，其振动周期为T 。若将此轻质弹簧分割成3等份，将一质量为2m 的物体挂在分割后的一根弹簧上，则此弹簧振子的周期为 （ B ） ()63T A ()36T B ()T C 2 ()T D 6 解析：有题可知：分割后的弹簧的劲度系数变为k 3，且分割后的物体质量变为m 2。故由公式k m T π2=，可得此弹簧振子的周期为3 6T 4．两相同的轻质弹簧各系一物体（质量分别为21,m m ）做简谐运动（振 幅分别为21,A A ）,问下列哪一种情况两振动周期不同 （ B ） ()21m m A =，21A A =,一个在光滑水平面上振动，另一个在竖直方向上 振动 ()B 212m m =，212A A =,两个都在光滑的水平面上作水平振动 ()C 21m m =，212A A =，两个都在光滑的水平面上作水平振动 ()D 21m m =，21A A =，一个在地球上作竖直振动，另一个在月球上作 竖直振动 机械振动和机械波练习题 一、选择题 1．关于简谐运动的下列说法中，正确的是[ ] A．位移减小时，加速度减小，速度增大 B．位移方向总跟加速度方向相反，跟速度方向相同 C．物体的运动方向指向平衡位置时，速度方向跟位移方向相反；背向平衡位置时，速度方向跟位移方向相同 D．水平弹簧振子朝左运动时，加速度方向跟速度方向相同，朝右运动时，加速度方向跟速度方向相反 2．弹簧振子做简谐运动时，从振子经过某一位置A开始计时，则[ ] A．当振子再次与零时刻的速度相同时，经过的时间一定是半周期 B．当振子再次经过A时，经过的时间一定是半周期 C．当振子的加速度再次与零时刻的加速度相同时，一定又到达位置A D．一定还有另一个位置跟位置A有相同的位移 3．如图1所示，两木块A和B叠放在光滑水平面上，质量分别为m和M，A与B之间的最大静摩擦力为f，B与劲度系数为k的轻质弹簧连接构成弹簧振子。为使A和B在振动过程中不发生相对滑动，则[ ] 4．若单摆的摆长不变，摆球的质量增为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减少为原来的二分之一，则单摆的振动跟原来相比 [ ] A．频率不变，机械能不变B．频率不变，机械能改变 C．频率改变，机械能改变D．频率改变，机械能不变 5．一质点做简谐运动的振动图象如图2所示，质点在哪两段时间内的速度与加速度方向相同[ ] A．0～0.3s和0.3～0.6s B．0.6～0.9s和0.9～1.2s C．0～0.3s和0.9～1.2s D．0.3～0.6s和0.9～1.2s 6．如图3所示，为一弹簧振子在水平面做简谐运动的位移一时间图象。则此振动系统[ ] A．在t1和t3时刻具有相同的动能和动量 B．在t3和t4时刻振子具有相同的势能和动量 C．在t1和t4时刻振子具有相同的加速度 D．在t2和t5时刻振子所受回复力大小之比为2∶1 7．摆A振动60次的同时，单摆B振动30次，它们周期分别为T1和T2，频率分别为f1和f2，则T1∶T2和f1∶f2分别等于[ ] A．2∶1，2∶1B．2∶1，1∶2 C．1∶2，2∶1 D．1∶1，1∶2 8．一个直径为d的空心金属球壳内充满水后，用一根长为L的轻质细线悬挂起来形成一个单摆，如图4所示。若在摆动过程中，球壳内的水从底端的小孔缓慢泄漏，则此摆的周期[ ] B．肯定改变，因为单摆的摆长发生了变化 C．T1先逐渐增大，后又减小，最后又变为T1 D．T1先逐渐减小，后又增大，最后又变为T1 9．如图5所示，AB为半径R=2m的一段光滑圆糟，A、B两点在同一水平高度上，且AB弧长20cm。将一小球由A点释放，则它运动到B点所用时间为[ ] 一、 选择题 1、一质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线如图所示，若质点的振动按余弦函数描述，则其初相为 [ D ] （A ） 6π (B) 56π (C) 56π- (D) 6π- (E) 23 π- 2、已知一质点沿y 轴作简谐振动，如图所示。其振动方程为3cos()4 y A t π ω=+，与之对应的振动曲线为 [ B ] 3、一质点作简谐振动，振幅为A ，周期为T ，则质点从平衡位置运动到离最大 振幅 2A 处需最短时间为 [ B ] （A ）;4T (B) ;6T (C) ;8 T (D) .12T 4、如图所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m 的物体，再用此弹簧改系一质量为m 4的物体，最后将此弹簧截断为两个弹簧后并联悬挂质量为m 的物体， 此三个系统振动周期之比为 (A);2 1 : 2:1 (B) ;2:21:1 [ C ] (C) ;21:2:1 (D) .4 1 :2:1 5、一质点在x 轴上作简谐振动，振幅cm A 4=，周期s T 2=，其平衡位置取坐标原点。若0=t 时刻质点第一次通过cm x 2-=处，且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过cm x 2-=处的时刻为 (A);1s (B) ;32s (C) ;34 s (D) .2s [ B ] 6、一长度为l ，劲度系数为k 的均匀轻弹簧分割成长度分别为21,l l 的两部分， 且21nl l =，则相应的劲度系数1k ，2k 为 [ C ] （A ）;)1(,121k n k k n n k +=+= （B ）;11,121k n k k n n k +=+= (C) ;)1(,121k n k k n n k +=+= (D) .1 1 ,121k n k k n n k +=+= 7、对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的 [ C ] （A ） 物体处在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值； （B ） 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零； （C ） 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零； （D ） 物体处于负方向的端点时，速度最大，加速度为零。 8、 一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为 A 2 1 ，且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 ［ B ］ 大学物理1复习题答案 一、单选题（在本题的每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号，填入题干的括号内） 1．一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和 T 2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为'T 1和'T 2。则有 ( B ) A ．'T T >11且 'T T >22 B ．'T T =11且 'T T >22 C ．'T T <11且 'T T <22 D ．'T T =11且 'T T =22 2．一物体作简谐振动，振动方程为cos 4x A t ?? =+ ?? ? πω，在4 T t = （T 为周期）时刻，物体的加速度为 ( B ) A. 2ω 2ω C. 2ω 2ω 3．一质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为/2A -，且向x 轴的正方向 运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 ( D ) A A A A A A C) A x x A A x A B C D 4. 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动方程为 )cos(1αω+=t A x ．当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二 个质点正在最大正位移处．则第二个质点的振动方程为 ( B ) A. )π21cos( 2++=αωt A x B. )π21 cos(2-+=αωt A x ． C. )π2 3 cos( 2-+=αωt A x D. )cos(2π++=αωt A x ． 5．波源作简谐运动，其运动方程为t y π240cos 10 0.43 -?=，式中y 的单位为m ，t 的单 位为s ，它所形成的波形以s m /30的速度沿一直线传播，则该波的波长为 ( A ) A ．m 25.0 B ．m 60.0 C ．m 50.0 D ．m 32.0 6．已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒。则此简谐振动的振动方程为： ( B ) A ．cos x t ππ??=+ ???2 2233 B ．cos x t ππ??=+ ??? 42233 C ．cos x t ππ??=- ???22233 D ．cos x t ππ??=- ??? 42233 二． 填空题（每空2分） 1． 简谐运动方程为)4 20cos(1.0π π+ =t y （t 以s 计，y 以m 计） ，则其振幅为 0.1 m,周期为 0.1 s ；当t=2s 时位移的大小为205.0m. 2．一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长2cm ，则该简谐振动 的初相为4 0π ?=，振动方程为_)4 cos(2π π+ =t y 。 3. 平面简谐波的波动方程为()x t y ππ24cos 08.0-=，式中y 和x 的单位为m ，t 的单位为s ，则该波的振幅A= 0.08 ，波长=λ 1 ，离波源0.80m 及0.30m 两处的相位差=?? -Л 。 4. 一简谐振动曲线如图所示，则由图可确定在t = 2s 时刻质点的位移为___0 ___，速度为：πω3=A ． t 第5章振动和波动 5-1一个弹簧振子0.5kg m =，50N m k =，振幅0.04m A =，求 (1)振动的角频率、最大速度和最大加速度； (2)振子对平衡位置的位移为x =0.02m 时的瞬时速度、加速度和回复力； (3)以速度具有正的最大值的时刻为计时起点，写出振动方程。 解：（1）)s rad (105 .050 === m k ω (2) 设 当(3) 5-2 解： ν= 5-3式中1,k 10x ,弹簧2所受的合外力为 由牛顿第二定律得2122d ()d x m k k x t =-+ 即有2122() d 0d k k x x t m ++ = 上式表明此振动系统的振动为简谐振动，且振动的圆频率为 振动的频率为2π ω ν= = 5-4如图所示，U 形管直径为d ，管内水银质量为m ，密度为ρ，现使水银面作无阻尼自由振动，求振动周期。 振动周期5-5 5-6如图所示，轻弹簧的劲度系数为k ，定滑轮的半径为R 、转动惯量为J ，物体质量为m ，将物体托起后突然放手，整个系统将进入振动状态，用能量法求其固有周期。 习题 解：设任意时刻t ，物体m 离平衡位置的位移为x ，速率为v ，则振动系统的总机械能 式中 于是5-7已知5-8平衡位置距O '点为：000l x l k +=+ 以平衡位置为坐标原点，如图建立坐标轴Ox ，当物体运动到离开平衡位置的位移为x 处时，弹簧的伸长量就是x x +0,所以物体所受的合外力为 物体受力与位移成正比而反向，即可知物体做简谐振动国，此简谐振动的周期为 5-9两质点分别作简谐振动，其频率、振幅均相等，振动方向平行。在每次振动过程中，它们在经过振幅的一半的地方时相遇，而运动方向相反。求它们相差，并用旋转矢量图表示出来。 习题5-6图 第一章 概述 1.一简谐振动,振幅为0、20cm,周期为0、15s,求最大速度与加速度。 解: max max max 1*2***2***8.37/x w x f x A cm s T ππ==== .. 2222max max max 1*(2**)*(2**)*350.56/x w x f x A cm s T ππ==== 2.一加速度计指示结构谐振在80HZ 时具有最大加速度50g,求振动的振幅。(g=10m/s2) 解:.. 22max max max *(2**)*x w x f x π== ..22max max /(2**)(50*10)/(2*3.14*80) 1.98x x f mm π=== 3.一简谐振动,频率为10Hz,最大速度为4、57m/s,求谐振动的振幅、周期、最大加速度。 解: .max max /(2**) 4.57/(2*3.14*10)72.77x x f mm π=== 110.110T s f = == .. 2max max max *2***2*3.14*10*4.57287.00/x w x f x m s π==== 4、 机械振动按激励输入类型分为哪几类？按自由度分为哪几类？ 答:按激励输入类型分为自由振动、强迫振动、自激振动 按自由度分为单自由度系统、多自由度系统、连续系统振动 5、 什么就是线性振动？什么就是非 线性振动？其中哪种振动满足叠加原理？ 答:描述系统的方程为线性微分方程的为线性振动系统,如00I mga θθ+= 描述系统的方程为非线性微分方程的为非线性振动系统0sin 0I mga θθ+= 线性系统满足线性叠加原理 6、 请画出同一方向的两个运动:1()2sin(4)x t t π=,2()4sin(4)x t t π=合成的的振动波形 7、请画出互相垂直的两个运动:1()2sin(4)x t t π=,2()2sin(4)x t t π=合成的结果。 如果就是1()2sin(4/2)x t t ππ=+,2()2sin(4)x t t π= 振动习题 一、选择题 1. 对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？ [ ] (A) 物体处在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值； (B) 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零； (C) 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零； (D) 物体处在负方向的端点时，速度最大，加速度为零。 2. 一沿X 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，振动方程用余弦函数表示，如果该振子的初相为43 π，则t=0时，质点的位置 在： [ ] (A) 过1 x A 2 =处，向负方向运动； (B) 过1x A 2 =处，向正方向运动； (C) 过1x A 2 =-处，向负方向运动；(D) 过1x A 2 =-处，向正方向运 动。 3. 一质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为/2A ，且 向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 [ ] (C) (3) 题 4. 一谐振子作振幅为A 的谐振动，它的动能与势能相等时，它的相 位和坐标分别 为： [ ] 2153 (A),or ;A;(B),;A;332663223(C),or ;A; (D),;A 4433ππ± ±π±± ±π±ππ±±π±±±π± 5. 一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为 10.04cos(2)3 x t ππ=+（SI ），从t = 0时刻起，到质点位置在x = -0.02 m 处，且向x 轴正方向运 动的最短时间间隔为 [ ] (A) s 8 1； (B) s 6 1； (C) s 4 1； (D) s 2 1 6. 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线，这两个简谐振动叠加后 合成的余弦振动的初相为 [ ] x t O x 1 x 2 (A) π2 3； (B) π； (C) π2 1 ； (D) 0 一、 填空题 1. 一简谐振动用余弦函数表示，振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为： , ， 2. 一质点作简谐振动，周期为T ，质点由平衡位置到二分之一最大位移处所需要的时间为 ；由最大位移到二分之一最大位移处所 精品 振动波动 一、例题 （一）振动 1.证明单摆是简谐振动，给出振动周期及圆频率。 2. 一质点沿x 轴作简谐运动，振幅为12cm ，周期为2s 。当t = 0时, 位移为6cm ，且向x 轴正方向运动。 求: (1) 振动表达式； (2) t = 0.5s 时，质点的位置、速度和加速度； (3)如果在某时刻质点位于x =-0.6cm ，且向x 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 3. 已知两同方向，同频率的简谐振动的方程分别为： x 1= 0.05cos (10 t + 0.75π) 20.06cos(100.25)(SI)x t π=+ 求：(1)合振动的初相及振幅. (2)若有另一同方向、同频率的简谐振动x 3 = 0.07cos (10 t +? 3 ), 则当? 3为多少时 x 1 + x 3 的振幅最大?又? 3为多少时 x 2 + x 3的振幅最小? （二）波动 1. 平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为2 cm ，频率为 50 Hz ，波速为 200 m/s 。在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y 轴正方向运动， 求：(1)波动方程 (2)x = 4 m 处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度。 2. 一平面简谐波以速度m/s 8.0=u 沿x 轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。求：（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式； （3）同一时刻相距m 1的两点之间的位相差。 3. 两相干波源S 1和S 2的振动方程分别是1cos y A t ω=和2cos(/2)y A t ωπ=+。 S 1距P 点3个波长，S 2距P 点21/4个波长。求：两波在P 点引起的合振动振幅。 1.1 试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。 1.2 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度? 1.3 设有两个刚度分别为1k ，2k 的线性弹簧如图T —1.3所示，试证明： 1)它们并联时的总刚度eq k 为：21k k k eq += 2)它们串联时的总刚度eq k 满足： 2 1111k k k eq += 解：1)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形相同为x ，但受力不同，分 别为： 1122 P k x P k x =??=? 由力的平衡有：1212()P P P k k x =+=+ 故等效刚度为：12eq P k k k x = =+ 2)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形为： 11 22P x k P x k ?=??? ?=?? ，弹簧的总变形为：1212 11()x x x P k k =+=+ 故等效刚度为：122112 111 eq k k P k x k k k k ===++ 1.4 求图所示扭转系统的总刚度。两个串联的轴的扭转刚度分别为1t k ，2t k 。 解：对系统施加扭矩T ，则两轴的转角为： 11 22t t T k T k θθ?=??? ?=?? 系统的总转角为： 1212 11 ( )t t T k k θθθ=+=+， 12111()eq t t k T k k θ==+ 故等效刚度为： 12 111 eq t t k k k =+ 1.5 两只减振器的粘性阻尼系数分别为1c ，2c ，试计算总粘性阻尼系数eq c 1)在两只减振器并联时， 2)在两只减振器串联时。 解：1)对系统施加力P ，则两个减振器的速度同为x &，受力分别为： 1122 P c x P c x =?? =?&& 由力的平衡有：1212()P P P c c x =+=+& 故等效刚度为：12eq P c c c x = =+& 2)对系统施加力P ，则两个减振器的速度为： 11 22P x c P x c ? =????=?? &&，系统的总速度为：12 12 11()x x x P c c =+=+&&& 故等效刚度为：12 11 eq P c x c c = =+& 《振动力学》——习题 第二章 单自由度系统的自由振动 2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。 解： 2 22221v g W h W = ，gh v 22= 动量守恒： 122 122v g W W v g W +=，gh W W W v 221212+= 平衡位置： 11kx W =，k W x 1 1= 1221kx W W =+，k W W x 2 112+= 故： k W x x x 2 1120= -= ()2 121W W kg g W W k n +=+= ω 故： t v t x t x t x x n n n n n n ωωωωωωsin cos sin cos 12 000+ -=+-= x x 0 x 1 x 12 平衡位置 2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角θ 2a θ＝h α 2F ＝mg 由动量矩定理： a h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12 1 2 2-=-≈?-=== =αθ αθ 其中 1 2c o s s i n ≈≈θ αα h l ga p h a mg ml n 2 22 22304121==?+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π22 2= == 2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求 其摆动的固有频率。 第4章 振动与波动 一、选择题 1. 在下列所述的各种物体运动中, 可视为简谐振动的是 [ ] (A) 将木块投入水中, 完全浸没并潜入一定深度, 然后释放 (B) 将弹簧振子置于光滑斜面上, 让其振动 (C) 从光滑的半圆弧槽的边缘释放一个小滑块 (D) 拍皮球时球的运动 . 2.一弹簧振子周期为T ．现将弹簧截去一半，仍挂上原来的物体, 则新的弹簧振子周期为 [ ] (A) T (B) 2T (C) (D) 3. 三只相同的弹簧(质量忽略不计)都一端固定, 另一端连接质量为m 的物体, 但放置情况不同．如图4-1-3所示，其中一个平放, 一个斜放, 另一个竖直放．如果让它们振动起来, 则三者的 [ ] (A) 周期和平衡位置都不相同 (B) 周期和平衡位置都相同 (C) 周期相同, 平衡位置不同 (D) 周期不同, 平衡位置相同 4. 如图4-1-4所示，升降机中有一个作谐振动的单摆, 当升降机静止 时, 其振动周期为2 s ， 当升降机以加速度上升时, 升降机中的观察 者观察到其单摆的振动周期与原来的振动周期相比，将 [ ] (A) 增大 (B) 不变 (C) 减小 (D) 不能确定 . 5. 两质点在同一方向上作同振幅、同频率的简谐振动．在振动过程中, 每当它们经过振幅一半的地方时, 其运动方向都相反．则这两个振动的相位差为 [ ] (A) π (B) π32 (C) π34 (D) π5 4 6 在简谐振动的速度和加速度表达式中，都有一个负号, 这是意味着 [ ] (A) 速度和加速度总是负值 (B) 速度的相位比位移的相位超前 π2 1 , 加速度的相位与位移的相位相差π (C) 速度和加速度的方向总是相同 (D) 速度和加速度的方向总是相反 7一质点以周期T 作简谐振动, 则质点由平衡位置正向运动到最大位移一半处的最短时间为 [ ] (A) 6T (B) 8T (C) 12T (D) T 12 7 8 一作简谐运动质点的振动方程为π)2 1 π2cos(5+=t x , 它从计时开始, 在运动一 个周期后 图4-1-3 图4-1-4 试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度 设有两个刚度分别为1k ，2k 的线性弹簧如图T —所示，试证明： 1)它们并联时的总刚度eq k 为：21k k k eq += 2)它们串联时的总刚度eq k 满足： 2 1111k k k eq += 解：1)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形相同为x ， 但受力不同，分别为： 1122 P k x P k x =??=? 由力的平衡有：1212()P P P k k x =+=+ 故等效刚度为：12eq P k k k x ==+ 2)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形为： 11 22P x k P x k ?=??? ?=?? ，弹簧的总变形为：1212 11()x x x P k k =+=+ 故等效刚度为： 122112 111 eq k k P k x k k k k ===++ 求图所示扭转系统的总刚度。两个串联的轴的扭转刚度分别为1t k ， 2t k 。 解：对系统施加扭矩T ，则两轴的转角为： 11 22t t T k T k θθ?=??? ?=?? 系统的总转角为： 1212 11 ( )t t T k k θθθ=+=+， 12111()eq t t k T k k θ==+ 故等效刚度为： 12 111eq t t k k k =+ 两只减振器的粘性阻尼系数分别为1c ，2c ，试计算总粘性阻尼系数 eq c 1)在两只减振器并联时， 2)在两只减振器串联时。 解：1)对系统施加力P ，则两个减振器的速度同为x ，受力分别为： 1122P c x P c x =?? =? 由力的平衡有：1212()P P P c c x =+=+ 故等效刚度为：12eq P c c c x ==+ 2)对系统施加力P ，则两个减振器的速度为： 11 22P x c P x c ?=????=?? ，系统的总速度为：12 1211()x x x P c c =+=+ 故等效刚度为：12 11 eq P c x c c = =+ 第八章 振动与波动 本章提要 1. 简谐振动 · 物体在一定位置附近所作的周期性往复运动称为机械振动。 · 简谐振动运动方程 ()cos x A t ω?=+ 其中A 为振幅，ω 为角频率，（ωt+?）称为谐振动的相位，t ＝0时的相位? 称为初相位。 · 简谐振动速度方程 d ()d sin x v A t t ωω?= =-+ · 简谐振动加速度方程 2 2 2d ()d cos x a A t t ωω?= =-+ · 简谐振动可用旋转矢量法表示。 2. 简谐振动的能量 · 若弹簧振子劲度系数为k ，振动物体质量为m ，在某一时刻m 的位移为x ，振动速度为v ，则振动物体m 动能为 2 12k E mv = · 弹簧的势能为 2 12p E kx = · 振子总能量为 P 2 2 2 22 211()+() 22 1=2 sin cos k E E E m A t kA t kA ωω?ω?=+=++ 3. 阻尼振动 · 如果一个振动质点，除了受弹性力之外，还受到一个与速度成正比的阻 尼作用，那么它将作振幅逐渐衰减的振动，也就是阻尼振动。 · 阻尼振动的动力学方程为 2 2 2d d 20d d x x x t t β ω++= 其中，γ是阻尼系数，2m γ β= 。 （1） 当22ωβ>时，振子的运动一个振幅随时间衰减的振动，称阻尼振动。 （2） 当22ωβ=时，不再出现振荡，称临界阻尼。 （3） 当22ωβ<时，不出现振荡，称过阻尼。 4. 受迫振动 · 振子在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动，周期性外力称驱动力 · 受迫振动的运动方程为 2 2 P 2d d 2d d cos x x F x t t t m β ωω++= 其中，2k m ω=，为振动系统的固有频率；2C m β=；F 为驱动力振幅。 · 当驱动力振动的频率p ω等于ω时，振幅出现最大值，称为共振。 5. 简谐振动的合成与分解 （1） 一维同频率的简谐振动的合成 若任一时刻t 两个振动的位移分别为 111()cos x A t ω?=+ 222()cos x A t ω?=+ 合振动方程可表示为 ()cos x A t ω?=+ 其中，A 和? 分别为合振动的振幅与初相位 A = 11221122 sin sin tan cos cos A A A A ?????+= + 大学物理振动波动例 题习题 振动波动 一、例题 （一）振动 1.证明单摆是简谐振动，给出振动周期及圆频率。 2.一质点沿x轴作简谐运动，振幅为12cm，周期为2s。当t = 0时, 位移为6cm，且向x轴正方向运动。 求: (1) 振动表达式； (2) t = 0.5s时，质点的位置、速度和加速度； (3)如果在某时刻质点位于x=-0.6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 3. 已知两同方向，同频率的简谐振动的方程分别为： x 1= 0.05cos (10 t + 0.75π) 20.06cos(100.25)(SI) x tπ =+ 求：(1)合振动的初相及振幅. (2)若有另一同方向、同频率的简谐振动x 3 = 0.07cos (10 t +? 3 ), 则当? 3为多少时x 1 + x3的振幅最大?又? 3为多少时 x 2 + x 3的振幅最小? （二）波动 1. 平面简谐波沿x轴正方向传播，振幅为2 cm，频率为 50 Hz，波速为 200 m/s。在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y轴正方向运动， 求：(1)波动方程 (2)x = 4 m处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度。 2. 一平面简谐波以速度m/s 8.0 = u沿x轴负方向传播。已 知原点的振动曲线如图所示。求：（1）原点的振动表达 式； （2）波动表达式； （3）同一时刻相距m 1的两点之间的位相差。 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 x t O A/2 -A x 1 x 2 3. 两相干波源S 1和S 2的振动方程分别是1cos y A t ω=和2cos(/2)y A t ωπ=+。S 1距P 点3个波长，S 2距P 点21/4个波长。求：两波在P 点引起的合振动振幅。 4.沿X 轴传播的平面简谐波方程为： 310cos[200(t )]200x y π-=- ，隔开两种媒质的反射界面A 与坐标原点O 相距2.25m ，反射波振幅无变化，反射处为固 定端，求反射波的方程。 二、习题课 （一）振动 1. 一质点在x 轴上作简谐振动，振辐A = 4 cm ，周期T = 2 s ，其平衡位置取作坐标原点。若t = 0时刻质点第一次通过x = -2 cm 处，且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过x = -2 cm 处的时刻为［ ］ (A) 1 s (B) (2/3) s (C) (4/3) s (D) 2 s 2.已知某简谐振动的振动曲线如图所示，则此简谐振动的振动方程为 (A) ??? ??+=3232cos 2ππt x ；(B) ??? ? ?-=332cos 2ππt x ； (C) ??? ??+=3234cos 2ππt x ；(D) ??? ? ?-=334cos 2ππt x 。 3.一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻弹簧下面，振动角频率为ω。若把此弹簧分割成二等份，将物体m 挂在分割后的一根弹簧上，则振动角频率［ ］ (A) 2ω (B) ω2 (C) 2/ω (D) ω /2 4.当质点以频率ν 作简谐振动时，它的动能的变化频率为［ ］ (A) 4 ν (B) 2 ν (C) ν (D) 1/2 ν 5.图中所画的是两个简谐振动的振动曲线。若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为［ ］ (A) π23 (B) π21 (C) π (D) 0 O 2.25m A 2 1 -2 o 1 x (m t ω ω πt x O t =0 t = t π/4振动与波动习题与答案
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