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7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

§7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规

划问题

(时间：45分钟满分：100分)

一、选择题(每小题7分，共35分)

1.下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域的是 ( )

A.(0,0)

B.(－1,1)

C.(－1,3)

D.(2，－3)

2.设A ＝{(x ，y )|x ，y,1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是 ( )

3.(2010·福建)若x ，y ∈R ，且????? x ≥1，x －2y ＋3≥0，

y ≥x ，则z ＝x ＋2y 的最小值等于 ( )

A.2

B.3

C.5

D.9

4.在平面直角坐标系中，不等式组????? x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，

x ≤a

(a 为常数)表示的平面区域的面积是9，

那么实数a 的值为 ( ) A.32＋2 B.－32＋2

C.－5

D.1

5.设二元一次不等式组????? x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，

2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a >0，a ≠1)

的图象过区域M 的a 的取值范围是 ( )

A.［1,3］

B.［2，10］

C.［2,9］

D.［10，9］

二、填空题(每小题6分，共24分)

6.(2010·辽宁)已知－1

7.已知实数x ，y 满足不等式组????? x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，

2x －y －5≤0，目标函数z ＝y －ax (a ∈R ).若取最大值时的

唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是 .

8.已知x ，y 满足条件????? x ≥0y ≤x 2x ＋y ＋k ≤0

(k 为常数)，若z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝ . 9.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过 18吨，那么该企业可获得的最大利润是万元.

三、解答题(共41分)

10.(13分)若a ≥0，b ≥0，且当????? x ≥0y ≥0

x ＋y ≤1

时，恒有ax ＋by ≤1，求以a ，b 为坐标的点P (a ，

b )所形成的平面区域的面积.

11.(14分)画出2x －3

12.(14分)某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知每生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；每生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个.问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？

答案 1.C 2.A 3.B 4.D 5.C

6.(3,8)

7. (1，＋∞)

8. －6

9. 27

10. 解作出线性约束条件????? x ≥0y ≥0

x ＋y ≤1，对应的可行域如图所示，在此条件下，要使ax ＋

by ≤1恒成立，只要ax ＋by 的最大值不超过1即可.

令z ＝ax ＋by ，则y ＝－a b x ＋z b

. 因为a ≥0，b ≥0，

则－1<－a b

≤0时，b ≤1 或－a b

≤－1时，a ≤1，此时对应的可行域如图，

所以以a ，b 为坐标的点P (a ，b )所形成的面积为1.

11. 解先将所给不等式转化为?????

y >2x －3，y ≤3. 而求正整数解则意味着x ，y 还有限制条件，

即求????? y >2x －3y ≤3

x ，y >0的整数解.

所给不等式等价于?????

y >2x －3y ≤3. 依照二元一次不等式表示平面区域可

得如图(1).

对于2x －32x －3，y ≤3，

x ，y >0.

表示的平面区域.

如图(2)所示：

可知，在该区域内有整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)共五组.

12. 解设每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 万元，则线性约束条件为????? 9x ＋4y ≤3004x ＋5y ≤200

3x ＋10y ≤300

x ≥15y ≥15

，

目标函数为z ＝7x ＋12y ，

作出可行域如图，

作出一组平行直线7x＋12y＝t，当直线经过直线4x＋5y＝200和直线3x＋10y＝300的交点A(20,24)时，利润最大.

即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，

z max＝7×20＋12×24＝428(万元).

答每天生产甲产品20吨、乙产品24吨，才能使利润总额达到最大.

二元二次方程组-解法-例题

二元二次方程的解法二次方程组的基本思想和方法方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。因法和技巧是解二元二次方程组的关键。型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。程组的解法元法（即代入法）二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；元二次方程，求得一个未知数的值；的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。与系数的关系二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。注意二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。比较常用的解法。除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。（2）要防止漏解和增解的错误。

程组的解法中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二型方程组，所得的解都是原方程组的解。中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解。方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解。析：例1．解方程组观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可用根与系数的关系，通过构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解。 1)得y=8-x..............(3) 把(3)代入(2)，整理得x2-8x+12=0. 解得x1=2, x2=6. (3)，得y1=6. 把x2=6代入(3)，得y2=2. 所以原方程组的解是。

二元一次方程组计算题50道(答案)

.. 中考真题 50 道中考真题之《二元一次方程组计算题》 -----专项练习50题（有答案） 1．（2012?德州）已知，则a+b 等于（） A. 3 B C. 2 D. 1 2．（2012菏泽）已知???==1 2 y x 是二元一次方程组81mx ny nx my +=??-=?的解，则n m -2的算术平方根为（） A ．±2 B ． 2 C ．2 D ． 4 3．（2012临沂）关于x 、y 的方程组3, x y m x my n -=?? +=?的解是1,1,x y =??=? 则m n -的值是（） A ．5 B ．3 C ．2 D ．1 4．（2012?杭州）已知关于x ，y 的方程组，其中﹣3≤a ≤1，给出下列结论： ①是方程组的解； ②当a=﹣2时，x ，y 的值互为相反数； ③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a 的解； ④若x ≤1，则1≤y ≤4．其中正确的是（） A ．①② B ．②③ C ．②③④ D ．①③④ 5. （2012广东湛江）请写出一个二元一次方程组，使它的解是． 6．（2012广东）若x ，y 为实数，且满足|x ﹣3|+ =0，则（）2012的值是 1 ．

7．（2012安顺）以方程组的解为坐标的点（x ，y ）在第象限． 8．(2012?连云港)方程组的解为． 9.（2012?广州）解方程组． 10．（2012广东）解方程组：． 11.（2012?黔东南州）解方程组． 12、（2012湖南常德）解方程组：???==+1-25y x y x 13. （2011湖南益阳，2，4分）二元一次方程21-=x y 有无数多个解，下列四组值中不是．．该方程的解的是 A ．0 12 x y =???=-?? B ．11x y =??=? C ．1 0x y =??=? D ．11x y =-??=-? 14. （2011四川凉山州，3，4分）下列方程组中是二元一次方程组的是（） A ．12xy x y =??+=? B ． 523 13x y y x -=???+=?? C ． 20 135x z x y +=?? ? -=?? D ．5723 z x y =???+=?? 15. （2011广东肇庆，4，3分）方程组?? ?=+=-4 22 y x y x 的解是 ① ②

二元一次方程及其解法

一、问题引入问题一：如图，已知一个矩形的宽为3，周长为24，求矩形的长。如果我们设长为x ，则可列方程为：x ＋3＝12 ；如果把问题中矩形的宽改为y ，则可得到什么样的等量关系！解：x ＋y ＝12 问题二：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？解：如果设鸡有x 只，兔有y 只，则可列方程为： x ＋y ＝35 2x ＋4y ＝94 1.二元一次方程的概念：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程。例1.下列方程组中，哪些是二元一次方程组_______________ 判断一个一个方程时候为二元一次方程的三个要素： ①含有两个未知数 ②未知数的次数为1 ③整式方程（与分式区分开来）想一想：二元一次方程的解与一元一次方程的解有什么区别？ ①二元一次方程的解是成对出现的； ②二元一次方程的解有无数个； ③一元一次方程的解只有一个。例2 若方程是二元一次方程，求m 、n 的值．分析：变式：方程是二元一次方程，试求a 的值．注意： ①含未知项的次数为1； ②含有未知项的系数不能为0 2.二元一次方程组的解二元一次方程组的解法，即解二元一次方程的方法；今天我们就一起探究一下有什么方法能解二元一次方程组。 2、把下列各对数代入二元一次方程３x+2y=10，哪些能使方程两边的值相等？ (1)X=2,y=2 是 (2)x=3,y=1 否 (3)x=0,y=5 是 (4)x=2/3,y=6 是 2(1)3 x y y z +=?? +=?，5(2)6x y xy +=?? =?， 7(3)6 a b b -=??=?， 2(4)13x y x y +=-???-=??，52(5)122 y x x y =-?? ?+=??，25(6)312 x y -=?? +=?，213257m n x y --+=211 321 m n -=??-=?1(2)2a x a y -+-=

(完整版)二元一次方程组试题及答案

第八章二元一次方程组单元知识检测题（时间：90分钟满分：100分）一、选择题（每小题3分，共24分） 1．方程2x－1 y =0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y－2x=0，x2－x+1=0中，二元一次方程的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．二元一次方程组 323 25 x y x y -= ? ? += ? 的解是（） A． 32 17 ... 23 01 22 x x x x B C D y y y y = ?? == = ?? ?? ????==- = ?? ?? = ?? 3．关于x，y的二元一次方程组 5 9 x y k x y k += ? ? -= ? 的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值是（? ） A．k=－3 4 B．k= 3 4 C．k= 4 3 D．k=－ 4 3 4．如果方程组 1 x y ax by c += ? ? += ? 有唯一的一组解，那么a，b，c的值应当满足（） A．a=1，c=1 B．a≠b C．a=b=1，c≠1 D．a=1，c≠1 5．方程3x+y=7的正整数解的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 6．已知x，y满足方程组 4 5 x m y m += ? ? -= ? ，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（） A．x+y=1 B．x+y=－1 C．x+y=9 D．x+y=9 7．如果│x+y－1│和2（2x+y－3）2互为相反数，那么x，y的值为（） A． 1122 ... 2211 x x x x B C D y y y y ==-==-???? ????==-=-=-???? 8．若 2,1 17 x ax by y bx by =-+= ?? ?? =+= ?? 是方程组的解，则（a+b）·（a－b）的值为（） A．－35 3 B． 35 3 C．－16 D．16 二、填空题（每小题3分，共24分） 9．若2x2a－5b+y a－3b=0是二元一次方程，则a=______，b=______． 10．若 1 2 a b = ? ? =- ? 是关于a，b的二元一次方程ax+ay－b=7的一个解，则代数式x2+2xy+y2－1?的值是 _________．

如何解一元二次不等式

如何解一元二次不等式，例如：x?2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路解：对于高中“解一元二次不等式”这一块，通常有以下两种解决办法： ①运用“分类讨论”解题思想； ②运用“数形结合”解题思想。以下分别详细探讨。例1、解不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0。解法①：原不等式可化为： (x -- 4) (x + 2) ≥ 0。两部分的乘积大于等于零，等价于以下两个不等式组：（1）x -- 4 ≥ 0 或（2）x -- 4 ≤ 0 x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0 解不等式组(1)得：x ≥ 4（因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2，此为“同大取大”）解不等式组(2)得：x ≤ -- 2（因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4，此为“同小取小”） ∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。其解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。解法②：原不等式可化为： [ (x2 -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。 ∴(x -- 1)2 ≥ 9 ∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3 ∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 ∴原不等式的解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。解法③：如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方，

那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解，如本题，用求根公式求得方程x2 -- 2x -- 8 = 0 的两根为x1 = 4，x2 = -- 2，则原不等式可化为：(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。下同解法①。体会：以上三种解法，都是死板板地去解；至于“分类讨论”法，有时虽麻烦，但清晰明了。下面看“数形结合”法。解法④：在平面直角坐标系内，函数f(x) = x2 -- 2x -- 8 的图像开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2，0) 和(4，0)，显然，当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时，图像在x 轴的上方；当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方。 ∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时，x2 -- 2x -- 8 ≥ 0，即：不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。顺便说一下，当-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方，即：x2 -- 2x -- 8 ≤ 0，∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为：-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为：[ -- 2，4 ]。领悟：对于ax2 + bx + c ＞0 型的二次不等式，其解为“大于大根或小于小根”；对于ax2 + bx + c ＜0 型的二次不等式，其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式x2 + 2x + 3 ＞0。在实数范围内左边无法进行因式分解。配方得：(x + 1)2 + 2 ＞0。无论x 取任何实数，(x + 1)2 + 2 均大于零。 ∴该不等式的解集为x ∈R。用“数形结合”考虑， ∵方程x2 + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0， ∴函数f(x) = x2 + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。 ∴不等式x2 + 2x + 3 ＞0的解集为x ∈R。

一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)

一元二次不等式及其解法 1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式. 当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为. 2.一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式. (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________. (3)一元二次不等式的解： (1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为 f（x） g（x）的形式. (2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如： f（x） g（x）＞0?f(x)g(x)＞0； f（x） g（x）＜0 ?f(x)g(x)＜0； f（x） g（x） ≥0 ? ?? ? ??f（x）g（x）≥0， g（x）≠0； f（x） g（x） ≤0 ? ?? ? ??f（x）g（x）≤0， g（x）≠0. (2014·课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( ) A.[－2，－1] B.[－1，2) C.[－1，1] D.[1，2)

解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1].故选A . 设f (x )＝x 2 ＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( ) A.{x |x ∈R } B.{x |x ≠1，x ∈R } C.{x |x ≥1} D.{x |x ≤1} 解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ，由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ，解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2 －2x ＋1>0，x 的取值围是x ≠1.故选B. 已知－12<1 x <2，则x 的取值围是( ) A.－22 D.x <－2或x >1 2 解：当x >0时，x >1 2；当x <0时，x <－2. 所以x 的取值围是x <－2或x >1 2，故选D. 不等式1－2x x ＋1＞0的解集是 . 解：不等式1－2x x ＋1>0等价于(1－2x )(x ＋1)＞0，也就是? ?? ??x －12(x ＋1)＜0，所以－1＜x ＜12. 故填???? ??x |－1＜x ＜1 2，x ∈R . (2014·武汉调研)若一元二次不等式2kx 2 ＋kx －38 ＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值围为________. 解：显然k ≠0.若k ＞0，则只须(2x 2＋x )max ＜38k ，解得k ∈?；若k ＜0，则只须38k ＜(2x 2 ＋x )min ，解得k ∈(－3，0).故k 的取值围是(－3，0).故填(－3，0). 类型一一元一次不等式的解法已知关于x 的不等式(a ＋b )x ＋2a －3b ＜0的解集为? ????－∞，－13，求关于x 的不等式(a －3b )x ＋b －2a ＞0的解集. 解：由(a ＋b )x ＜3b －2a 的解集为? ????－∞，－13，得a ＋b ＞0，且3b －2a a ＋b ＝－1 3 ，

一元一次不等式组与二元一次方程组练习题

七年级第一次双周清考试数学试卷一、填空题（每小题4分，共32分） 1、某数的2倍与3的差大于0，且小于4，设某数为x ，则可列不等式组________。 2、不等式组的解集是______________。 3、某关于x 的不等式组的解集如图所示，则此不等式组的解集是____________。 4、请写出一个解集为x ＜2的不等式组______________。 5、请写出一个解为的二元一次方程_____________ 。 6、不等式组的整数解是______________。（第3题） 7、某地某天最低气温是-1℃，最高气温是6℃，那么此地这天气温t （℃）的变化范围是_______________。 8、4辆板车和7辆卡车能运37吨货，10辆板车和5辆卡车一次能运30吨货，设每辆板书每次可运货x 吨，每辆卡车能运货y 吨，则可列方程组_____________。二、选择题（每小题4分，共24分） 1、将不等式组的解集在数轴上表示正确的是（） A B C D 2、若一元一次不等式组无解，则a 的取值范围是（） A 、 3->a B 、3-≥a C 、3-x D 、35 --y x C 、12=-y x D 、5=xy 7、有两种药水，一种浓度为60%，另一种浓度为90%，要配制浓度为70%的药水500g ，要这两种药水各多少克？若设要浓度为60%的xg ，浓度为90%的yg ，则可列方程组为( ) 43>≥x x -1 4 12==y x 010 3≤-<-x x 6 )1(20 1<->+x x 4 -1 003<->+a x x 31115=-=+y x y x 1322==-x y x 14=-=+y x y x 32 ==-xy y x 1)2(3132<+>-x x 2 4=-=+by ax by ax 11 ==y x 4 -1 4 -1 - 2 1