1.对数的概念
如果a x =N (a >0且a ≠1),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作________,其中______叫做对数的底数,______叫做真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则
如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么 ①log a (MN )=__________; ②log a M
N =__________;
③log a M n =________ (n ∈R ); ④log am M n =____________. (2)对数的性质
①a log a N =______;②log a a N =______(a >0且a ≠1). (3)对数的重要公式
①换底公式:__________ (a ,b 均大于零且不等于1); ②log a b =1
log b a ,推广log a b ·log b c ·log c d =________.
3.对数函数的图象与性质
(1)定义域:________
4.
指数函数y=a x与对数函数________互为反函数,它们的图象关于直线________对称.【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若MN>0,则log a(MN)=log a M+log a N.()
(2)log a x·log a y=log a(x+y).()
(3)函数y=log2x及y=
1
3
log3x都是对数函数.()
(4)对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.()
(5)函数y=ln
1+x
1-x
与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.()
(6)对数函数y=log a x(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),????
1
a,-1,函数图象只在第一、四象限.()
1.(2015·湖南)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是()
A.奇函数,且在(0,1)上是增函数
B.奇函数,且在(0,1)上是减函数
C.偶函数,且在(0,1)上是增函数
D.偶函数,且在(0,1)上是减函数
2.(2015·石家庄模拟)已知a =1
2
3,b =1
3
1log 2
,c =log 21
3,则( )
A .a >b >c
B .b >c >a
C .c >b >a
D .b >a >c
3.函数f (x )=lg(|x |-1)的大致图象是( )
4.(教材改编)若log a 3
4<1(a >0,且a ≠1),则实数a 的取值范围是( )
A.???
?0,34 B .(1,+∞) C.???
?0,3
4∪(1,+∞) D.????
34,1
5.(2015·浙江)若a =log 43,则2a +2-
a =________.
题型一 对数式的运算
例1 (1)设2a =5b =m ,且1a +1
b =2,则m 等于( )
A.10 B .10 C .20
D .100
(2)lg 5+lg 20的值是________.
思维升华 在对数运算中,要熟练掌握对数的定义,灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算.
(1)
计算:(1-log 63)2+log 62·log 618
log 64
=________.
(2)已知log a 2=m ,log a 3=n ,则a 2m +
n =________.
题型二 对数函数的图象及应用
例2 (1)函数y =2log 4(1-x )的图象大致是( )
(2)当0 2时,4x A.? ?? ?0, 22 B.?? ? ?22,1 C .(1,2) D .(2,2) 思维升华 应用对数型函数的图象可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. (1)已知lg a +lg b =0,则函数f (x )=a x 与函数g (x )=-log b x 的图象可能是( ) (2)(2015·石家庄模拟)设方程10x =|lg(-x )|的两个根分别为x 1,x 2,则( ) A .x 1x 2<0 B .x 1x 2=1 C .x 1x 2>1 D .0 题型三 对数函数的性质及应用 命题点1 比较对数值的大小 例3 设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则( ) A .c >b >a B .b >c >a C .a >c >b D .a >b >c 命题点2 解对数不等式 例4 若log a (a 2+1) 2 ) C .(1 2 ,1) D .(0,1)∪(1,+∞) 命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f (x )=log a (3-ax ). (1)当x ∈[0,2]时,函数f (x )恒有意义,求实数a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a 的值;如果不存在,请说明理由. 思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响,及真数必须为正的限制条件. (1)设a =log 32,b =log 52,c =log 23,则( ) A .a >c >b B .b >c >a C .c >b >a D .c >a >b (2)若f (x )=lg(x 2-2ax +1+a )在区间(-∞,1]上递减,则a 的取值范围为( ) A .[1,2) B .[1,2] C .[1,+∞) D .[2,+∞) (3)设函数f (x )=????? log 2 x ,x >0,log 12(-x ),x <0,若f (a )>f (-a ),则实数a 的取值范围是( ) A .(-1,0)∪(0,1) B .(-∞,-1)∪(1,+∞) C .(-1,0)∪(1,+∞) D .(-∞,-1)∪(0,1) 2.比较指数式、对数式的大小 典例 (1)设a =0.50.5,b =0.30.5,c =log 0.30.2,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .c D .a (2)设a =log 2π,b =12 log π,c =π- 2,则( ) A .a >b >c B .b >a >c C .a >c >b D .c >b >a (3)已知a =2log 3.4 5,b =4log 3.6 5 ,c =3log 0.3 1 () 5 ,则( ) A .a >b >c B .b >a >c C .a >c >b D .c >a >b 思维点拨 (1)可根据幂函数y =x 0.5的单调性或比商法确定a ,b 的大小关系,然后利用中间值比较a ,c 大小.(2)a ,b 均为对数式,可化为同底,再利用中间变量和c 比较.(3)化为同底的指数式. 解析 (1)根据幂函数y =x 0.5的单调性, 可得0.30.5<0.50.5<10.5=1,即b 根据对数函数y =log 0.3x 的单调性,可得log 0.30.2>log 0.30.3=1,即c >1. 所以b (2)∵a =log 2π>log 22=1,b =log 12π=log 21π π 2<1,∴b (3)c =3log 0.31()5 =3log 0.3 5-=310log 35. 方法一 在同一坐标系中分别作出函数y =log 2x ,y =log 3x ,y =log 4x 的图象,如图所示. 由图象知: log 23.4>log 310 3 >log 43.6. 方法二 ∵log 3103>log 33=1,且10 3<3.4, ∴log 310 3 ∵log 43.6 3 >1, ∴log 43.6 3>log 43.6. 由于y =5x 为增函数,∴5log 23.4>5log 310 3>5log 43.6. 即5log 23.4>(1 5)log 30.3>5log 43.6,故a >c >b . 答案 (1)C (2)C (3)C 温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小,可以利用函数的单调性,引入中间量;有时也可用数形结合的方法. (2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较,如果指数相同,而底数不同则构造幂函数,若底数相同而指数不同则构造指数函数,若引入中间量,一般选0或1. [方法与技巧] 1.对数值取正、负值的规律 当a >1且b >1或00; 当a >1且01时,log a b <0. 2.对数函数的定义域及单调性 在对数式中,真数必须是大于0的,所以对数函数y =log a x 的定义域应为(0,+∞).对数函数的单调性和a 的值有关,因而,在研究对数函数的单调性时,要按01进行分类讨论. 3.比较幂、对数大小有两种常用方法:(1)数形结合;(2)找中间量结合函数单调性. 4.多个对数函数图象比较底数大小的问题,可通过比较图象与直线y=1交点的横坐标进行判定. [失误与防范] 1.在运算性质log a Mα=αlog a M中,要特别注意条件,在无M>0的条件下应为log a Mα=αlog a|M|(α∈N*,且α为偶数). 2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数底数的取值范围. 答案解析 基础知识 自主学习 知识梳理 1.x =log a N a N 2.(1)①log a M +log a N ②log a M -log a N ③n log a M ④n m log a M (m ,n ∈R ,且m ≠0) (2)①N ②N (3)①log b N =log a N log a b ②log a d 3.(1)(0,+∞) (2)R (3)(1,0) 1 0 (4)y >0 y <0 (5)y <0 y >0 (6)增函数 (7)减函数 4.y =log a x y =x 思考辨析 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√ 考点自测 1.A [易知函数定义域为(-1,1),f (-x )=ln(1-x )-ln(1+x )=-f (x ),故函数f (x )为奇函数,又f (x )=ln 1+x 1-x =ln ????-1-2x -1,由复合函数单调性判断方法知,f (x )在(0,1)上是增函数, 故选A.] 2.A [a =3>1,0 3 1log 2 =log 32<1,c =log 21 3=-log 23<0,故a >b >c ,故选A.] 3.B [由函数f (x )=lg(|x |-1)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),值域为R .又当x >1时,函数单调递增,所以只有选项B 正确.] 4.C [当0 4 4 ∴实数a 的取值范围是????0,3 4∪(1,+∞).] 5.4 3 3 解析 2a +2-a =log 3 43 4log log log 322 2 2 -+=+=3+ 33=43 3. 题型分类 深度剖析 例1 (1)A (2)1 解析 (1)∵2a =5b =m ,∴a =log 2m ,b =log 5m , ∴1a +1b =1log 2m +1log 5m =log m 2+log m 5=log m 10=2. ∴m =10. (2)原式=lg 100=lg10=1. 跟踪训练1 (1)1 (2)12 解析 (1)原式 =1-2log 63+(log 63)2+log 66 3 ·log 6(6×3) log 64 =1-2log 63+(log 63)2+(1-log 63)(1+log 63)log 64 =1-2log 63+(log 63)2+1-(log 63)2log 64 =2(1-log 63)2log 62=log 66-log 63log 62=log 62log 62=1. (2)∵log a 2=m ,log a 3=n ,∴a m =2,a n =3, ∴a 2m + n =(a m )2·a n =22×3=12. 例2 (1)C (2)B 解析 (1)函数y =2log 4(1-x )的定义域为(-∞,1),排除A 、B ; 又函数y =2log 4(1-x )在定义域内单调递减,排除D.选C. (2)方法一 构造函数f (x )=4x 和g (x )=log a x ,当a >1时不满足条件,当0 ?0,1 2上的图象, 可知f ????12 1 2, 则a > 22,所以a 的取值范围为??? ?2 2,1. 方法二 ∵0 2,∴1<4x ≤2, ∴log a x >4x >1, ∴0 2 , x =1 2,则有1 24=2,12 1log 2 =1, 显然4x 解析 (1)∵lg a +lg b =0,∴ab =1, ∵g (x )=-log b x 的定义域是(0,+∞),故排除A. 若a >1,则0 此时f (x )=a x 是增函数,g (x )=-log b x 是增函数. 故选B. (2)构造函数y =10x 与y =|lg(-x )|,并作出它们的图象,如图所示. 因为x 1,x 2是10x =|lg(-x )|的两个根,则两个函数图象交点的横坐标分别为x 1,x 2,不妨设x 2<-1,-1 例3 D [由对数运算法则得a =log 36=1+log 32,b =1+log 52,c =1+log 72,由对数函数图象得log 32>log 52>log 72,所以a >b >c ,故选D.] 例4 C [由题意得a >0,故必有a 2+1>2a , 又log a (a 2+1) 综上,a ∈(1 2 ,1).] 例5 解 (1)∵a >0且a ≠1,设t (x )=3-ax , 则t (x )=3-ax 为减函数, x ∈[0,2]时,t (x )的最小值为3-2a , 当x ∈[0,2]时,f (x )恒有意义, 即x ∈[0,2]时,3-ax >0恒成立. ∴3-2a >0.∴a <3 2 . 又a >0且a ≠1,∴a ∈(0,1)∪????1,32. (2)t (x )=3-ax ,∵a >0,∴函数t (x )为减函数. ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数,∴y =log a t 为增函数, ∴a >1,x ∈[1,2]时,t (x )最小值为3-2a ,f (x )最大值为f (1)=log a (3-a ), ∴? ?? ?? 3-2a >0,log a (3-a )=1,即??? a <3 2, a =3 2. 故不存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1. 跟踪训练3 (1)D (2)A (3)C 解析 (1)∵3<2<3,1<2<5,3>2, ∴log 33 log 51 2 ,c >1,∴c >a >b . (2)令函数g (x )=x 2-2ax +1+a =(x -a )2+1+a -a 2,对称轴为x =a ,要使函数在(-∞,1] 上递减,则有????? g (1)>0,a ≥1,即????? 2-a >0, a ≥1, 解得1≤a <2,即a ∈[1,2),故选A. (3)由题意可得21 2 0,log log a a a >?? ?>??或 122 0,log ()log (),a a a ? ?->-?? 解得a >1或-1 } 对数与对数函数习题精选 一. 对数运算 1、若34x =,则x 的值为( ) A .4log 3 B .64 C .3log 4 D .81 2、给出下列对数式:①lg100=;②lg 01=;③ln1e =;④ln10=.其中正确的是( ) A .① B .② C .③ D .④ 3、若log 83a =-,则a 的值为( ) A .3 B . 13 C .2 D .12 & 4、38log 2log 9?的值为( ) A . 23 B .32 C .2 D .13 5、82log 9log 3的值是( ) A .23 B .1 C .32 D .2 6、已知35a b M ==,且112a b +=,则M 的值为( ) A .15 B .3 D .5 7、把下列指数形式写成对数形式: (1) 45=625 ____________ (2)62-= 641 __________ (3)a 3=27 _____________ (4) m )(31= _____________ 8、把下列对数式写成指数式: # (1)3log 92= _________ (2)5log 125=3 _________ (3)2log 41=-2 __________ (4)31log 81 =-4 __________ 9、计算或化简:(1)lg(ln )e =___________(2)ln(lg10)=_____________; 10、求下列各式的值 (1)5log 25 = (2)2log 161= (3) lg = ( 4) 127 = 11、 237log 49log 16log 27??= ____________ . 12、100lg 20log 25+=____________. 《 13、若234log [log (log )]0x =,则x = ____________. 14、计算:(1)2log 642 ; (2)32log 93; (3)51log 225+ (4)33 1lg8log 9lg125log 9+++; (5 )1324lg lg lg 2493-+ 1.log 5b =2,化为指数式是 ( ) A .5b =2 B .b 5=2 C .52=b D .b 2=5 答案:C 2.在b =log (a -2)(5-a )中,实数a 的取值范围是 ( ) A .a >5或a <2 B .20a -2≠1 5-a >0 即20,a 2=4 9 ,则log 23 a =________. 解析:∵a >0,且a 2=49,∴a =2 3 . ∴log 23 23 =1. 答案:1 6.将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1) πx =8;(2)log x 64=-6; (3)lg1 000=3. 解:(1)由πx =8,得x =log π8; (2)由log x 64=-6,得x -6=64; (3)由lg1 000=3,得103=1 000. j 一、选择题 1.已知log x 8=3,则x 的值为 ( ) A.12 B .2 C .3 D .4 解析:由log x 8=3,得x 3=8,∴x =2. 答案:B 2.方程2log 3x =14的解是 ( ) A .9 B.33 C. 3 D.19 解析:∵2 log 3x =14=2-2. 对数与对数函数-知识点与题型归纳 ●高考明方向 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般 对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数 函数图象通过的特殊点. 3.知道对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数 (a>0,且a≠1). ★备考知考情 通过对近几年高考试题的统计分析可以看出,本节内容在高考中属于必考内容,且占有重要的分量,主要以选择题的形式命题,也有填空题和解答题.主要考查对数运算、换底公式等.及对数函数的图象和性质.对数函数与幂、指数函数结合考查,利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点. 一、知识梳理《名师一号》P27 注意: 知识点一对数及对数的运算性质 1.对数的概念 2 3 一般地,对于指数式a b =N ,我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ,即b =log a N (a >0,且a ≠1).其中,数a 叫做对数的底数,N 叫做真数,读作“b 等于以a 为底N 的对数”. 注意:(补充)关注定义---指对互化的依据 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么 ①log a (MN )=log a M +log a N ; ②log a M N =log a M -log a N ; ③log a M n =n log a M (n ∈R); ④log a m M n =n m log a M . (2)对数的性质 ①a log aN =N ;②log a a N =N (a >0,且a ≠1). (3)对数的重要公式 ①换底公式:log b N =log a N log a b (a ,b 均大于零且不等于1); ②log a b =1 log b a ,推广log a b ·log b c ·log c d =log a d . 注意:(补充)特殊结论:log 10,log 1a a a == 对数与对数函数 【考纲要求】 1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化,对数的运算性质、换底公式与自然对数; 2.掌握对数函数的概念、图象和性质. 3.正确使用对数的运算性质;底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用. 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习,培养观察、分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法; 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、对数概念及其运算 我们在学习过程遇到2x =4的问题时,可凭经验得到x=2的解,而一旦出现2x =3时,我们就无法用已学过的知识来解决,从而引入出一种新的运算——对数运算. (一)对数概念: 1.如果()01b a N a a =>≠,且,那么数 b 叫做以a 为底N 的对数, 记作:log a N=b.其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 2.对数恒等式: log log a b N a a N a N N b ?=?=?=? 3.对数()log 0a N a >≠,且a 1具有下列性质: (1)0和负数没有对数,即0N >; (2)1的对数为0,即log 10a =; (3)底的对数等于1,即log 1a a =. (二)常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数,N N lg log 10简记作. 以e 为底的对数叫做自然对数, log ln e N N 简记作. (三)对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化. 它们的关系可由下图表示. 对数与对数函数 图象与性质 对数运算性质 对数函数的图像与 对数的概念 指对互化运算 (对数与对数函数)含有答案-人教版 命题人:张立洪 第 2 页 共 10 页 高一数学基础训练(六) 对数部分: 一、选择题: 1.若3 12=x ,则x 等于 (B ) A log 23 B log 2 3 1 C log 2 13 1 D log 3 12 2.已知log a 8=2 3,则a 等于 ( D ) A 41 B 2 1 C 2 D 4 3.下列选项中,结论正确的是 (C ) A 若log 2x =10,则2x=10 B 若2x =3,则log 32=x C 0log )(log 3 22= D 23 3 2log = 4.以下四个命题:(1)若log x 3=3,则x=9;(2)若log 4x =21 , 则x=2; (3)若log 3 x=0,则x=3;(4)若log 5 1 x=-3, 则x=125,其中真命题的个数是(B ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 5.下列各式中,能成立的是 (D ) A log 3(6-4)=log 36-log 34 B log3(6-4)=4 log 6 log 3 3 C log 35-log 36=5 log 5log 3 3 D log 23+log 210=log 25+log 26 6.下列各式中,正确的是 (D ) A lg4-lg7=lg(4-7) B 4lg3=lg3?4 C lg3+lg7=lg(3+7) D ln N e N = 7.如果()N a a =--3log 1 ,那么a 的取值范围是(D ) 命题人:张立洪 第 3 页 共 10 页 A .3a 且2≠a D .()()3,22,1Y 8.使0lg >x 成立的充要条件是(B ) A .0>x B .1>x C .10>x D .101< 对数函数的定义: 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数,定义域为),0(+∞,值域为),(+∞-∞. 对数的四则运算法则: 若a >0,a ≠1,M >0,N >0,则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1 log = 对数函数的图像及性质 例1.已知x = 4 9 时,不等式 log a (x 2–x – 2)>log a (–x 2 +2x + 3)成立, 求使此不等式成立的x 的取值范围. 解:∵x = 49使原不等式成立. ∴log a [249)49(2--]>log a )349 2)49(1[2+?+? 即log a 1613>log a 1639. 而1613<16 39 . 所以y = log a x 为减函数,故0<a <1. ∴原不等式可化为??? ? ???++-<-->++->--322032022222x x x x x x x x ,解得??? ???? <<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)2 5 ,2( 例2.求证:函数f (x ) =x x -1log 2 在(0, 1)上是增函数. 解:设0<x 1<x 2<1, 则f (x 2)–f (x 1) = 212221log log 11x x x x ---2 1221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 2 1 122x x x x --? ∵0<x 1<x 2<1,∴ 12x x >1,2111x x -->1. 则2 1 12211log x x x x --?>0, ∴f (x 2)>f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数 例3.已知f (x ) = log a (a –a x ) (a >1). (1)求f (x )的定义域和值域;(2)判证并证明f (x )的单调性. 解:(1)由a >1,a –a x >0,而a >a x ,则x <1. 故f (x )的定义域为( -∞,1), 而a x <a ,可知0<a –a x <a ,又a >1. 则log a (a –a x )<lg a a = 1. 取f (x )<1,故函数f (x )的值域为(–∞, 1). (2)设x 1>x 2>1,又a >1,∴1x a >2x a ,∴1x a a -<a-2x a , ∴log a (a –1x a )<log a (a –2x a ), 即f (x 1)<f (x 2),故f (x )在(1, +∞)上为减函数. 对数与对数函数 一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分) 1.方程lg x +lg(x +3)=1的解x 为 ( ) A .1 B .2 C .10 D .5 解析 B ∵lg x +lg(x +3)=lg 10,∴x (x +3)=10.∴x 2+3x -10=0. 解得x =2或-5(舍去). 2.“a =1”是“函数f (x )=lg(ax +1)在(0,+∞)上单调递增”的 ( ) A .充分必要条件 B .必要不充分条件 C .充分不必要条件 D .既不充分也不必要条件 解析 C 显然函数f (x )=lg(x +1),g (x )=lg(2x +1)在(0,+∞)上均单调递增,所以“a =1”是“函数f (x )=lg(ax +1)在(0,+∞)上单调递增”的充分不必要条件. 则a ,b ,c 的大小关系是 ( ) A .a 1)的值域是 ( ) A .(-∞,-2] B .[-2,+∞) C .(-∞,2] D .[2,+∞) 解析 A ∵x + 1x -1+1=x -1+1 x -1 +2≥2(x -1)·1 x -1 +2=4,∴y ≤-2. 5.函数f (x )=2|log2x |的图象大致是 ( ) 解析 C f (x )=2|log2x |=???? ? x ,x ≥1,1 x ,0 §2.5 对数与对数函数 (时间:45分钟 满分:100分) 一、选择题(每小题6分,共30分) 1.函数y =2-x lg x 的定义域是 ( ) A .{x |0 为什么叫对数? 指数跟对数关系是什么? 一、对数的定义 一般地,如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N , 就是 N a b =,那么数 b 叫做 以a 为 底 N 的对数,记作 b N a =log ,a 叫做对数的底数,N 叫做真数。 特别提醒: 1、对数记号log a N 只有在01a a ≠且>,0N >时才有意义,就是说负数和零是没有对数的。 2、记忆两个关系式:①log 10a =;②log 1a a =。 3、常用对数:我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便, N 的常用对数 N 10log , 简记作:lg N 。 例如:10log 5简记作lg 5 5.3log 10简记作lg 3.5。 4、自然对数:在科学技术中常常使用以无理数e 为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数。为了简便,N 的自然对数N e log ,简记作:ln N 。 如:3log e 简记作ln 3;10log e 简记作ln10。 二、对数运算性质: 如果 0,1,0,0,a a M N n R ≠∈>>> 有: log ()log log a a a MN M N =+log log log a a a M M N N =- log log () n a a M n M n R =∈ 特别提醒: 1、对于上面的每一条运算性质,都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时,等式才成立。如[]2log (3)(5)--是存在的,但[] 222log (3)(5)log (3)log (5)--=-+-是不成立的。 2、注意上述公式的逆向运用:如lg5lg 2lg101+==; 对数与对数函数 对数函数基础运算法则 及例题,答案 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 对数函数的定义: 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数,定义域为),0(+∞,值域为),(+∞-∞. 对数的四则运算法则: 若a >0,a ≠1,M >0,N >0,则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2)log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1log = 对数函数的图像及性质 例1.已知x =49 时,不等式log a (x 2–x –2)>log a (–x 2+2x +3)成立, 求使此不等式成立的x 的取值范围. 解:∵x =49使原不等式成立.∴log a [249)49(2--]>log a )34 92)49(1[2+?+? 即log a 1613>log a 1639.而1613<1639.所以y =log a x 为减函数,故0<a <1. ∴原不等式可化为???????++-<-->++->--3220 32022222x x x x x x x x ,解得??? ????<<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)25, 2( 例2.求证:函数f (x )=x x -1log 2 在(0,1)上是增函数. 解:设0<x 1<x 2<1, 则f (x 2)–f (x 1)=212221log log 11x x x x ---21221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 2 1122x x x x --? ∵0<x 1<x 2<1,∴ 12x x >1,2111x x -->1.则2112211log x x x x --?>0, ∴f (x 2)>f (x 1).故函数f (x )在(0,1)上是增函数 例3.已知f (x )=log a (a –a x )(a >1). (1)求f (x )的定义域和值域;(2)判证并证明f (x )的单调性. 解:(1)由a >1,a –a x >0,而a >a x ,则x <1.故f (x )的定义域为(-∞,1), 而a x <a ,可知0<a –a x <a ,又a >1.则log a (a –a x )<lg a a =1. 取f (x )<1,故函数f (x )的值域为(–∞,1). (2)设x 1>x 2>1,又a >1,∴1x a >2x a ,∴1x a a -<a-2x a , ∴log a (a –1x a )<log a (a –2x a ), 即f (x 1)<f (x 2),故f (x )在(1,+∞)上为减函数. 对数函数及其性质(一) 班级_____________姓名_______________座号___________ 1.函数f (x )=lg(x -1)+4-x 的定义域为( ) A .(1,4] B .(1,4) C .[1,4] D .[1,4) 2.函数y =x |x | log 2|x |的大致图象是( ) 3.若log a 2<1,则实数a 的取值范围是( ) A .(1,2) B .(0,1)∪(2,+∞) C .(0,1)∪(1,2) D .(0,12 ) 4.设a =2log 3,b =2 1log 6,c =6log 5,则( ) A .a <c <b B .b <c <a C .a <b <c D .b <a <c 5.已知a >0且a ≠1,则函数y =a x 与y =log a (-x )的图象可能是( ) 6.函数y =log 2x 在[1,2]上的值域是( ) A .R B .[0,+∞) C .(-∞,1] D .[0,1] 7.函数y =log 12(x -1)的定义域是________. 8.若函数f (x )=log a x (0≤???x x x x 则g [g (1 3)]=________. 10.f (x )=log 21+x a -x 的图象关于原点对称,则实数a 的值为________. 11.函数f (x )=log 12 (3x 2-ax +5)在[-1,+∞)上是减函数,求实数a 的取值范围. 1.(2011·广东高州市大井中学模拟)函数y =ln x +1 -x 2 -3x +4 的定义域为( ) A .(-4,-1) B .(-4,1) C .(-1,1) D .(-1,1] [答案] C [解析] 要使函数有意义,须????? x +1>0 -x 2 -3x +4>0, ∴? ?? ?? x >-1 -4 C. 227 D .-54 [答案] B [解析] ∵0<log 32<1,∴2<2+log 32<3, ∴f (2+log 32)=f (3+log 32)=f (log 354)=(13)log 354=1 54 . (理)(2011·北京朝阳一模)已知函数y =f (x )是奇函数,当x >0时,f (x )=lg x ,则 f (f ( 1 100))的值等于( ) A.1lg2 B .-1lg2 C .lg2 D .-lg2 [答案] D [解析] 当x <0时,-x >0,则f (-x )=lg(-x ). 又函数为奇函数,f (-x )=-f (x ),∴f (x )=-lg(-x ). ∴f (1100)=lg 1100=-2,f (f (1 100 ))=f (-2)=-lg2. 5.(文)(2011·天津文,5)已知a =log 23.6,b =log 43.2,c =log 43.6,则( ) A .a >b >c B .a >c >b C .b >a >c D .c >a >b [答案] B [解析] ∵a =log 23.6>1,c =log 43.6<1.∴a >c . 又∵c =log 43.6>log 43.2=b .∴a >c >b . (理)(2011·重庆文,6)设a =log 13 12,b =log 13 23,c =log 33 4,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a b 且a >0,b >0,又c <0.故c 2.7 对数与对数函数 一、知识点 1.对数的定义:如果a x =N (a >0且a ≠1),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x =log a N ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 2.对数的性质与运算及换底公式 (1)对数的性质(a >0且a ≠1):①log a 1=0;②log a a =1;③a log a N =N . (2)对数的换底公式:log a b =log c b log c a (a ,c 均大于0且不等于1,b >0). (3)对数的运算法则:如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么 ①log a (M ·N )=log a M +log a N ,②log a M N =log a M -log a N ,③log a M n =n log a M (n ∈R ). 3.对数函数的图像与性质 a >1 01时,y >0; 当0 对数函数的定义: 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数,定义域为),0(+∞,值域为),(+∞-∞. 对数的四则运算法则: 若a >0,a ≠1,M >0,N >0,则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2)log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1log = 例1.已知x =49时,不等式log a (x 2–x –2)>log a (–x 2+2x +3)成立, 求使此不等式成立的x 的取值范围. 解:∵x =49使原不等式成立.∴log a [249)49(2--]>log a )34 92)49(1[2+?+? 即log a 1613>log a 1639.而1613<1639.所以y =log a x 为减函数,故0<a <1. ∴原不等式可化为???????++-<-->++->--3220 32022222x x x x x x x x ,解得??? ????<<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)25, 2( 例2.求证:函数f (x )=x x -1log 2 在(0,1)上是增函数. 解:设0<x 1<x 2<1, 则f (x 2)–f (x 1)=212221log log 11x x x x ---21221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 2 1122x x x x --? ∵0<x 1<x 2<1,∴ 12x x >1,2111x x -->1.则2112211log x x x x --?>0, ∴f (x 2)>f (x 1).故函数f (x )在(0,1)上是增函数 例3.已知f (x )=log a (a –a x )(a >1). (1)求f (x )的定义域和值域;(2)判证并证明f (x )的单调性. 解:(1)由a >1,a –a x >0,而a >a x ,则x <1.故f (x )的定义域为(-∞,1), 而a x <a ,可知0<a –a x <a ,又a >1.则log a (a –a x )<lg a a =1. 取f (x )<1,故函数f (x )的值域为(–∞,1). (2)设x 1>x 2>1,又a >1,∴1x a >2x a ,∴1x a a -<a-2x a , ∴log a (a –1x a )<log a (a –2x a ), 即f (x 1)<f (x 2),故f (x )在(1,+∞)上为减函数. 对数函数 1.对数函数的定义: 函数 叫做对数函数,其中x 是自变量 (1)研究对数函数的图象与性质: 由于对数函数 与指数函数 互为反函数,所以 的图像和 的图像关于直线 对称。 (2)复习)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质 a>1 01 0≠且a y log x =x y a =a y log x =x y a =y x = 图 象 32.521.51 0.5-0.5 -1-1.5-2-2.5 -1 1 23456780 11 3 2.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -1 1 2345678 1 1 性 质 定义域:(0,+∞) 值域:R 过点(1,0),即当x=1时,y=0 )1,0(∈x 时 0 必修1专题复习——对数与对数函数 1.23log 9log 4?=( ) A .14 B .12 C .2 D .4 2.计算()()516log 4log 25?= ( ) A .2 B .1 C . 12 D .14 3.已知222125log 5,log 7,log 7a b ===则 ( ) A .3 a b - B .3a b - C .3a b D .3a b 4.552log 10log 0.25+=( ) A .0 B .1 C .2 D .4 5.已知3 1ln 4,log ,12 ===-x y z ,则( ) A.< ●高考明方向 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点. 3.知道对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数(a>0,且a≠1). ★备考知考情 通过对近几年高考试题的统计分析可以看出,本节内容在高考中属于必考内容,且占有重要的分量,主要以选择题的形式命题,也有填空题和解答题.主要考查对数运算、换底公式等.及对数函数的图象和性质.对数函数与幂、指数函数结合考查,利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点. 一、知识梳理《名师一号》P27 注意: 知识点一对数及对数的运算性质 1.对数的概念 一般地,对于指数式a b=N,我们把“以a为底N的对数b”记作log a N,即b=log a N(a>0,且a≠1).其中,数a叫做对数的底数,N叫做真数,读作“b等于以a为底N的对数”. 注意:(补充)关注定义---指对互化的依据 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 ①log a(MN)=log a M+log a N; ②log a M N=log a M-log a N; ③log a M n=nlog a M(n∈R); ④log a m M n=n m log a M. (2)对数的性质 ①a logaN =N ;②log a a N =N (a>0,且a≠1). (3)对数的重要公式 ①换底公式:log b N =log a N log a b (a ,b 均大于零且不等于1); ②log a b =1 log b a ,推广log a b·log b c·log c d =log a d. 注意:(补充)特殊结论:log 10, log 1a a a == 知识点二 对数函数的图象与性质 1.对数函数的图象与性质(注意定义域!) 指数函数y =a x 与对数函数y =log a x 互为反函数, 它们的图象关于直线y =x 对称. (补充) 设y =f(x)存在反函数,并记作y =f -1(x), 1) 函数y =f(x)与其反函数y =f -1(x)的图象 关于直线y x =对称. 对数与对数函数试题 一.选择题 1.函数y= 的图象大致为( ) A . B . C . D . 2、下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx 的定义域和值域相同的是 A. y=x B. y=lgx C. y=2x D. y x = 3、已知03.1()2a =,20.3b -=, 12log 2c =,则,,a b c 的大小关系是 () A .a b c >> B .a c b >> C.c b a >> D .b a c >> 4、对于任意实数x ,符号[x ]表示x 的整数部分,即[x ]是不超过x 的最大整数,例如 [2]=2;[1.2]=2;[2.2-]=3-,这个函数[x ]叫做“取整函数”,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么]64[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++Λ的值为() A .21 B .76 C .264 D .642 5、已知{}a b 2,3,4,5,6,7,8,9∈、,则log a b 的不同取值个数为( ) A. 53 B. 56 C. 55 D. 57 6、若, ,则( ) A. B. C. D. 7、函数 的图像大致是( ) A. B. C. D. 8、函数()2log (2)a f x x =+-(01)a a >≠且的图像必经过点() A .(0,1)B .(2,1)C .(3,1)D .(3,2) 9、三个数03770.30.3.,,,㏑,从小到大排列() A.0.37.73.0㏑0.3 B.0.37,㏑0.3,0.37 C.7,0.3 0.3, 70.3,,㏑ D.70.3ln 3,0.3,7 10、当01a <<时,在同一坐标系中,函数x y a -=与log a y x =的图象是() A . B . C.D . 11、设函数f(x)定义在实数集上,f(2x)=f(x)-,且当x ≥1时,f(x)=lnx ,则有() A .11f()对数与对数函数习题精选
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