北京市崇文区2007－2008学年度第一学期高三期末统一练习
数 学 （文科） 2008.1
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试卷上。
一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．设集合{}3,2,1=A ，则集合A 的子集的个数是 （ ） A ． 3个 B ． 6个 C ． 7个 D ．8个
2．函数y=2x 1-（-1≤x ≤0）的反函数是 （ ） A ．y=2x 1-（-1≤x ≤0） B ． y=－2x 1-（0≤x ≤1） C ．y=-2x 1-（-1≤x ≤0） D ． y=2x 1-（0≤x ≤1）
3．设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，2a 、4a 是方程2
x -x-2=0的两个根，则5S =
（ ）
A ．
25
B ．5
C ． 2
5
- D ．－5
4．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ） A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．96种
5．已知向量a 、b ,若|a|=1，|b|=2，a ⊥(a + b )，则a 与b 夹角的大小为 （ ）. A ．120?
B ．90?
C ．60?
D ． 30?
6. 函数)x (f y '=的图象如图所示，则)x (f 的解析式可能是 （ ）
A ．x 2x y 2-=
B ．x 2x y 2+=
C ．23x x 31y +=
D ． 23x x 3
1
y -=
7．已知直线,a b ，平面,αβ，则a //α的一个充分条件的是 （ ） A ． a b α⊥⊥，b B ．//,//a b b α，α?a C ． α?b ，a //b D ． ////a ββα，
8． 函数x
xa y x
=(01)a <<的图象的大致形状是 （ ）
北京市崇文区2007－2008学年度第一学期高三期末统一练习
数 学 （文科）
第Ⅱ卷（共110分）
注意事项：
1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共
6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题
中横线上．
9．函数32
242y x x x =--+的单调递增区间是 ． 10．函数y =的定义域为 ．
11.将函数()x f y =的图象沿向量a ()2,2=-平移后，得到函数222+=+x y 的图象，则函
数()=x f ___.
12. 函数2,1()1,1x x f x x x
?≤?
=?>??的值域是 .
13．已知()2sin cos sin 244f x x x x ππ??
?
?=-
?-+ ? ??
???
,则函数()f x 得最小正周期是 . 14．在平面直角坐标系中，过点()0,2-M 的直线l 与椭圆12
22
=+y x 交于1P 、2P 两点，点P 是线段1P 2P 的中点．设直线l 的斜率为()011
≠k k ，直线OP 的斜率为2k ，则
12k k ?的值等于 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分12分）
记关于x 的不等式3
x
>1（x Z ∈）的解集为A ，关于x 的方程22x mx -+=0的解集为B ，且B A ?.
（Ⅰ）求集合A ；
（Ⅱ）求实数m 的取值范围.
16．（本小题满分14分）
在如图所示的四面体ABCD 中，CD BC AB 、、两两互相垂直，且1==CD BC . （Ⅰ）求证：平面ACD ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角D AB C --的大小；
（Ⅲ）若直线BD 与平面ACD 所成的角为?30，求线段AB 的长度.
17．（本小题满分13分）
在某次趣味运动会中，甲、乙、丙三名选手进行单循环赛（即每两人比赛一场），共赛
三场，每场比赛胜者得1分，输者得0分，没有平局；在每一场比赛中，甲胜乙的概率为1
3
，
甲胜丙的概率为1
4
，乙胜丙的概率为
1
3
．
（Ⅰ）求甲获得小组第一且丙获得小组第二的概率；
（Ⅱ）求三人得分相同的概率；
（Ⅲ）求甲不是小组第一的概率.
18．（本小题满分13分）
已知椭圆的中心在原点，离心率为1
2
，一个焦点是F（0，1）.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）直线l过点F交椭圆于A、B两点，且点F分向量的比为2，求直线l的斜率.
19. （本小题满分14分）
数列{}n a 中，3a =1，12n a a a +++= 1n a +（n=1,2,3…）． （Ⅰ）求1a ，2a ；
（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；
（Ⅲ）设n b =log 2n S ，存在数列{n c }使得4n 3n n b b c ++??= 1，试求数列{n c }的前n 项和.
20.(本小题满分14分)
已知函数2()f x ax ax =+和()g x x a =-．其中0a R a ∈≠且．
（Ⅰ）若函数()f x 与()g x 的图像的一个公共点恰好在x 轴上，求a 的值；
（Ⅱ）若函数()f x 与()g x 图像相交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，试问：△OAB 的面积S 有没有最值？如果有，求出最值及所对应的a 的值；如果没有，请说明理由．
（Ⅲ）若p 和q 是方程()()0f x g x -=的两根，且满足1
0p q a
<<<
，证明：当()0,x p ∈时，()()g x f x p a <<-．
北京市崇文区2007－2008学年度第一学期高三期末统一练习
数学（文科）参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．D 2． B 3．A 4． C 5．A 6． C 7．B 8．D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．2
()(2)3
-∞-+∞，
和， 10．(]0,10 11． x 2 12．[0,+∞) 13．π 14．－21
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）
33
00(3)00x x x x x x x
-->?
B ?A ，∴B ＝φ；B ={1}或{2}；B ={1，2}.
当B φ=时，2
80m ?=-<，
解得22m 22<<-.……………………………………………………… 7分
当B={1}或{2}时，2280,80,
120,4220.
m m m m ???=-=?=-=??
-+=-+=??或，则m 无解.……9分 当B={1，2}
时，280,
12,
3.3.12 2.
m m m m m m ??=->?<->??+=??=??=????=?
……11分 综上所述，实数m 的取值范围是22m 22<<-或m=3.……………………12分 16．（本小题满分14分）
解法一：（Ⅰ）证明: ,CD AB CD BC ⊥⊥ ，⊥∴CD 平面ABC .…………………2分
又 ?CD 平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABC .………………4分
（Ⅱ）CD AB BC AB ⊥⊥, ，⊥∴AB 平面BCD BD AB ⊥∴.
∴CBD ∠是二面角D AB C --的平面角.…………6分
在BCD Rt ?中,BC CD =，?=∠∴45CBD .
∴二面角D AB C --的大小为?45.……………9分
（Ⅲ）过点B 作AC BH ⊥，垂足为H ,连结DH .
平面ACD ⊥平面ABC ，⊥∴BH 平面ACD ， ∴BDH ∠为BD 与平面ACD 所成的角.…………12分
∴?=∠30BDH .在Rt BHD ?中
,BD =，
∴2
2
=
BH .又 在Rt BHC ?中,1BC =，?=∠∴45BCH ，
∴在ABC Rt ?中,1=AB .…………………………………14分
解法二：（Ⅰ）同解法一.…………………………………………………………4分 （Ⅱ）设a AB =,建立如图所示的空间直角坐标系
则)0,0,0(B ，),,0,0(a A )0,1,0(C ，)0,1,1(D ,)0,1,1(=，),0,0(a = , 平面ABC 的法向量)0,0,1(=.
设平面ABD 的一个法向量为n (,,)x y z =，
BD ? n 0x y =+=，BA ?
n 0az ==，z =0,
取1=y ，则1-=x ，∴ n (1,1,0)=-.
cos ,CD ∴< n
n 2|n|CD CD ?>==-?
， ∴二面角D AB C --的大小为?45.………9分
（Ⅲ）),1,0(a -=，)0,0,1(=，)0,1,1(=.
设平面ACD 的一个法向量是m (',',')x y z =，则AC ? m ''0y az =-=，CD ?
m '0x ==
令''1,z y a ==，则m (0,,1)a =， 直线BD 与平面ACD 所成角为?30，
D
C
B
cos ,BD ∴<
m cos60.||BD m BD m ?>===?
，∴a AB ==1.……14分 17．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设甲获小组第一且丙获小组第二为事件A,
P (A)=1121
34318
??=；………………………………………………………………4分
（Ⅱ）设三场比赛结束后，三人得分相同为事件B, 即每人胜一场输两场,有以下两种情形：
甲胜乙，乙胜丙，丙胜甲，概率为1P =1131
33412??=；…………………………6分
甲胜丙，丙胜乙，乙胜甲，概率为2P =1221
4339??=；………………………………8分
三人得分相同的概率为P （B ）
=1P +2P =11129+=7
36
．………………………………9分 （3）设甲不是小组第一为事件C,
解法一：P （C ） =1—1134?=11
12
；……………………………………………………13分 解法二：该小组第一是乙或丙的概率为1233?+3243?=29+12=13
18
，
P （C ）
=1318+736=1112
.………………………………………………………………13分 18．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设椭圆方程为22221y x a b
+=（a >b>0）．……………………………………1分
依题意，12
c e a ==, c=1，2a ∴=，222
3b a c =-=，………………………………2分
∴所求椭圆方程为 22
143
y x +=．………………………………………………………4分 （Ⅱ）若直线l 的斜率k 不存在，则不满足2AF FB =．
当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为1y kx =+．因为直线l 过椭圆的焦点F （0，1），所以k 取任何实数, 直线l 与椭圆均有两个交点A 、B ．
设A 1,122(),(,),x y B x y
联立方程 221,1.
4
3y kx y x =+???+=?? 消去y ，得22
(34)690k x kx ++-=．…………6分
122634k x x k -∴+=
+， ① 122
9
34
x x k -?=+， ② 由F （0，1），A 1,122(),(,)x y B x y ，则1122(,1),(,1)AF x y FB x y =--=-
， 2AF FB =
，∴1122(,1)2(,1)x y x y --=-，得212x x -=．…………………………8分
将212x x -=代入①、②，得
22634k x k =
+， ③ 2
2
2968
x k =+， ④…………………………………10分 由③、④ 得 226()34k k =+29
68k +，
化简得223634k k =+92，解得245k =，k =.………………………………13分 19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∵12a a =，123a a a +=，∴1321a a ==，∴1a =21，2a =2
1
.……………3分 （Ⅱ）∵n S =1n a +=n 1n S S -+,∴2n S =1n S +,n
1
n S S +=2，…………………………………6分 ∴{n S }是首项为111
2
S a =＝，公比为2的等比数列. ∴n S =
12
?1n 2-=2
n 2-.………………………………………………………………………9分 （Ⅲ）∵n b =log 2n S ，n S =2
n 2-，∴n b = n-2，3n b += n+1，4n b += n+2，
∴)2n )(1n (c n ++?= 1，n c =
)2n )(1n (1
++.………………………………11分
∴n 21c c c +++ =1(2—1)3
+11()3
4
-+ (11)
)12n n -++=21—12n +=4
n 2n +. ……………………………………………………………………………………14分 20．(本小题满分14分)
解：（Ⅰ）设函数()g x 图像与x 轴的交点坐标为（a ，0）， 又∵点（a ，0）也在函数()f x 的图像上，∴3
2
0a a +=．
而0a ≠，∴1a =-．……………………………………………………………2分 （Ⅱ）依题意，()()f x g x =，即2
ax ax x a +=-， 整理，得 2
(1)0ax a x a +-+=，①
∵0a ≠，函数()f x 与()g x 图像相交于不同的两点A 、B ，
∴0?>，即△=22(1)4a a --=2
321a a --+＝(3a -1)(-a -1)>0.