代数式、整式与因式分解
A 级 基础题
1．计算a3·a2正确的是( )
A ．a
B ．a5
C ．a6
D ．a9
2．(2017年广东广州)计算(a2b)3·b2a
，结果是( ) A ．a5b5 B ．a4b5 C ．ab5 D ．a5b6
3．若3x2nym 与x4－nyn －1是同类项，则m ＋n ＝( )
A.53 B ．－53
C ．5
D ．3 4．(2018年广东深圳)下列运算正确的是( )
A ．a2·a3＝a6
B ．3a －a ＝2a
C ．a8÷a4＝a2 D.a ＋b ＝ab
5．(2018年广东广州)下列计算正确的是( )
A ．(a ＋b)2＝a2＋b2
B ．a2＋2a2＝3a4
C ．x2y÷1y
＝x2(y≠0) D．(－2x2)3＝－8x6 6．(2017年黑龙江龙东)下列各运算中，计算正确的是( )
A ．(x －2)2＝x2－4
B ．(3a2)3＝9a6
C ．x6÷x2＝x3
D ．x3·x2＝x5
7．(2017年广东广州)分解因式：xy2－9x ＝__________________.
8．分解因式：4a2＋8a ＋4＝________________.
9．(2017年贵州安顺)若代数式x2＋kx ＋25是一个完全平方式，则k ＝________.
10．(2018年上海)某商品原价为a 元，如果按原价的八折销售，那么售价是________元．(用含字母a 的代数式表示)．
11．填空：x2＋10x ＋________＝(x ＋________)2.
12．(2017年重庆)计算：x(x －2y)－(x ＋y)2＝________________.
13．若mn ＝m ＋3，则2mn ＋3m －5nm ＋10＝__________.
14．(2018年浙江宁波)先化简，再求值：(x －1)2＋x(3－x)，其中x ＝－12
.
15．先化简，再求值：a(a －2b)＋(a ＋b)2，其中a ＝－1，b ＝ 2.
B级中等题
16．已知x－2y＝3，那么代数式3－2x＋4y的值是( )
A．－3 B．0 C．6 D．9
17．(2017年贵州安顺)已知x＋y＝3，xy＝6，则x2y＋xy2的值为__________．
18．观察下列各式的规律：
(a－b)(a＋b)＝a2－b2；
(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；
(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4；
……
可得到(a－b)(a2017＋a2016b＋…＋ab2016＋b2017)＝____________.
19．如果x2＋mx＋1＝(x＋n)2，且m＞0，那么n的值是________．
20．已知4x＝3y，求代数式(x－2y)2－(x－y)(x＋y)－2y2的值．
C级拔尖题
21．(2017年重庆)下列图象(如图1-2-2)都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，…，按此规律排列下去，则：
(1)第⑨个图形中小星星的颗数为________________；
(2)第个图形中小星星的颗数为________________．
图1-2-2
参考答案 1．B 2.A 3.A 4.B 5.D 6.D
7．x(y ＋3)(y －3) 8.4(a ＋1)2 9.±10
10．0.8a 11.25 5 12.－4xy －y2 13.1
14．解：原式＝x2－2x ＋1＋3x －x2＝x ＋1.
当x ＝－1
2时，原式＝－1
2＋1＝1
2.
15．解：原式＝a2－2ab ＋a2＋2ab ＋b2＝2a2＋b2， 当a ＝－1，b ＝2时，原式＝2＋2＝4.
16．A 17.3 2 18.a2018－b2018 19.1
20．解：(x －2y)2－(x －y)(x ＋y)－2y2
＝x2－4xy ＋4y2－(x2－y2)－2y2
＝－4xy ＋3y2＝－y(4x －3y)．
∵4x ＝3y ，∴原式＝0.
21．(1)144 (2)1
2n(3n ＋5)
解析：∵ 第①个图为22＝4；
第②个图为32＋2＝11；
第③个图为42＋3＋2＝21；
第④个图为52＋4＋3＋2＝34.
∴依规律类推可得：
(1)第⑨个图形中小星星的颗数为：
102＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＝144.
(2)第个图形中小星星的颗数为：
(n ＋1)2＋n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋4＋3＋2＝(n ＋1)2＋n ＋22(n －1)＝1
2n(3n ＋5)．
因式分解专题训练 一、整式有关概念：1.单项式（单个字母或数）（次数，系数）； 2.多项式（次数，项数） 3.同类项与合并同类项 二、幂的运算性质：1.n m n m a a a +=? 2.()mn n m a a = 3.()n n n b a ab = 4.n n n b a b a =??? ?? 5.n m n m a a a -=÷ 6.10=a 7.p p a a 1=-8.p p b a a b ??? ??=??? ??- 三、整式的运算：加、减、乘、除（乘方、开方） 1.m （a+b+c ）=ma+mb+mc 2.（a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn 3.（a+b ）（a-b ）＝22b a - 4.()2222a b ab a b +±=± 5.()ca bc ab c b a c b a 2222222+++++=++ 6.()()3322b a b ab a b a ±=+±μ 7.()()()ca bc ab c b a a c c b b a 222222222222+++++=+++++ 四、因式分解：1.把一个多项式化成几个整式的积的形式.2.方法（一提二套三分组） （套公式包括十字相乘法） 五、方法·规律·技巧：1.性质、公式的逆向使用；2.整体代入（配方、换元）3.非负数 的运用（配方） 六、实际运用 1.下列变形中，正确的是（） A.()123422+-=+-x x x B.()11 2+=+÷x x x x
C.()()22y x y x y x -=+--- D.x x x x -=-11 2.若n m n m b b a ++-224a 52与可以合并成一项，则n m 的值是（） A.2 B.0 C.－1 D.1 3.若22=+b a ，ab ＝2，则22b a +的值为（）A.6B.4C.23 D.32 4.把多项式x x x 1212323+-分解因式，结果正解的是（） A.()4432+-x x x B.()243-x x C.()()223-+x x x D.()223-x x 5.已知0322=--x x ，则x x 422-的值为（） A.－6 B.6 C.－2或6 D.－2或30 6.下列等式从左到右的的变形，属于因式分解的是（） A.a （x-y ）=ax-ay B.()12122++=++x x x x C.()()34312++=++x x x x D.()()11x 3-+=-x x x x 7.因式分解：()()21622---x x x ＝. 8.分解因式：（a-b ）（a-4b ）+ab ＝. 9.分解因式：()9332--+x x x ＝. 10.分解因式：22my mx -＝. 11.多项式4x 2+1加上一个单项式后能成为一个完全平方式，请你写出符合条件的所有的单 项式：. 12.计算：()20172016201642125.0??-＝. 13.已知===-n m n m a a a 4323,16,64则. 14.已知=+-=+-634 x 964322x x x ，则. 15.若()()222222,121y x y x y x +=-++＝.
因式分解 【例 1】分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x 提示:将248x x u 看成一个字母，可利用十字相乘 【例 2】(“希望杯”培训试题 )分解因式：22(52)(53)12x x x x 【解析】方法1：将25x x 看作一个整体，设25x x t ，则 方法2：将252x x 看作一个整体，设252x x t ，则 方法3：将253x x 看作一个整体， 【巩固】分解因式： (1)(3)(5)(7)15x x x x (1)(2)(3)(4)24a a a a 22(1)(2)12 x x x x 【例 3】证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．
【巩固】若x ，y 是整数，求证：4234x y x y x y x y y 是一个完全平方数. 【例 4】(湖北黄冈数学竞赛题)分解因式2(25)(9)(27)91 a a a 【巩固】分解因式22(32)(384)90 x x x x 【例 5】分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x 提示:可设2231,23x x A x x B ，则244x x A B . 【巩固】分解因式：2 (2)(2)(1)a b ab a b ab 【巩固】分解因式：2 1 (1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y
【例 6】(重庆市竞赛题)分解因式：44(1)(3)272 x x 练习: 1 .分解因式 x x 3234 2.求证：多项式的值一定是非负数 3.分解因式：()()()a b c a b b c 2333 4.在ABC 中，三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100.求证：a c b 25.已知：
因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 （1）3p2﹣6pq （2）2x2+8x+8 2．将下列各式分解因式 （1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 3．分解因式 （1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 4．分解因式： （1）2x2﹣x （2）16x2﹣1 （3）6xy2﹣9x2y﹣y3 （4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2 5．因式分解： （1）2am2﹣8a （2）4x3+4x2y+xy2 6．将下列各式分解因式： （1）3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 7．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3 （2）（x+2y）2﹣y2 8．对下列代数式分解因式： （1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+1 9．分解因式：a2﹣4a+4﹣b2 10．分解因式：a2﹣b2﹣2a+1 11．把下列各式分解因式： （1）x4﹣7x2+1 （2）x4+x2+2ax+1﹣a2 （3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+1 12．把下列各式分解因式： （1）4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．
因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 （1）3p2﹣6pq；（2）2x2+8x+8 分析：（1）提取公因式3p整理即可； （2）先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 解答：解：（1）3p2﹣6pq=3p（p﹣2q）， （2）2x2+8x+8，=2（x2+4x+4），=2（x+2）2． 2．将下列各式分解因式 （1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可； （2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 解答：解：（1）原式=xy（x2﹣1）=xy（x+1）（x﹣1）； （2）原式=3a（a2﹣2ab+b2）=3a（a﹣b）2． 3．分解因式 （1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2． 分析：（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解． 解答：解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）； （2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2． 4．分解因式： （1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2． 分析：（1）直接提取公因式x即可； （2）利用平方差公式进行因式分解； （3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解； （4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可． 解答：解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；
2019-2020年七年级下数学第9章《整式乘法与因式分解》竞赛数学 专题训练 【例1】(全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷)若2 (1)1x m x -++是完全平方式，则m 的值为( ). A.1- B.1 C. 1或1- D. 1或3- 【解析】12m +=±，解得1m =或3m =-.故选D. 【答案】 D. 【例2】(第12届“华杯赛”浙江赛区决赛复试(初一组)如图，一个面积为250cm 的正方形与另一个小正方形并排放在一起，则ABC V 的面积是 2cm . 【解析】设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，则 2111()()() 222 ABC S a b a a b b a b b a =+?- +?---V 22221111122222a ab ab b a ab b =+----+ 25022 a == 【答案】25. 1. 2. (全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷)已知1a b -=，221a b -=-则20142014a b -= . 3. (第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛(初一组))新制作的渗水防滑地板是形状完全相同的长方形.如图，三块这样的地板可以拼成一个大的长方形.如果大长方形的周长为150cm ，那么一块渗水防滑地板的面积是( ). A. 2450cm B. 2600cm C. 2900cm D.2 1350cm
4. (第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第二试)如果22 ()()4a b a b +--=，那么 一定成立的是( ). A. a 是b 的相反数 B. a 是b -的相反数 C. a 是b 的倒数 D. a 是b -的倒数 5. (第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第二试)如果223x x +=，那么432781315x x x x ++-+= . 6. (第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请复赛试题)已知4a b -=，2 40ab c ++=， 则a b c ++= . 7. (四川省初中数学联赛)计算: 22222 11111(1)(1)(1)(1)(1)23499100- ?-?-??-?-…. 7. (全国数学竞赛讲座)分解因式: 22 (32)(483)90x x x x ++++-. 参考答案 1. 1- 2. A 3. C 4. 18 5. 0 6. 1 11111(1)(1)(1)(1)(1)(1+)2233100100 -?+?-?+??-?… 132499101=2233 1001001101=2100 101=200???????… 8. 原式(1)(2)(21)(23)90x x x x =++++- [(1)(23)][(2)(21)]90x x x x =++++- 22(253)(252)90x x x x =++++-
因式分解习题精选 一、填空：（30分） 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()2 2)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。 15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（8分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ）
初二级竞赛专题：因式分解 一、重要公式 1、a2－b2=(a＋b)(a－b)；a n－1=(a－1)( a n-1＋a n-2＋a n-3＋…＋a2＋a＋1) 2、a2±2ab＋b2=(a±b)2； 3、x2＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b); 4、a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2); a3－b3=（a－b）(a2＋ab＋b2); 二、因式分解的一般方法及考虑顺序 1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法； 2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。 3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）十字相乘法；（3）公式法；（4）分组分解法；（5） ）。 其它常用方法与技巧（简单概括为：提十公分 ．．．． 三、例题 1、添项拆项 [例1]因式分解：（1）x4＋x2＋1；（2）a3＋b3＋c3－3abc （1）分析：x4＋1若添上2x2可配成完全平方公式 解：x4＋x2＋1＝x4＋2x2＋1－x2=(x2＋1)2－x2=(x2＋1＋x)(x2＋1－x) （2）分析：a3＋b3要配成（a＋b）3应添上两项3a2b＋3ab2 解：a3＋b3＋c3－3abc＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＋c3－3abc－3a2b－3ab2 =(a＋b)3＋c3－3ab(a＋b＋c) =(a＋b＋c)[(a＋b)2－(a＋b)c＋c2]－3ab(a＋b＋c) =(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc) [例2]因式分解：（1）x3－11x＋20；（2）a5＋a＋1 （1）分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数） 解：x3－11x＋20＝x3－16x＋5x＋20＝x(x2－16)＋5(x＋4) =x(x＋4)(x－4)＋5(x＋4) =(x＋4)(x2－4x＋5) （2）分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a＋1组成两组，正好可以用立方 差公式 解：a5＋a＋1＝a5－a2＋a2＋a＋1=a2(a3－1)＋a2＋a＋1 =a2(a－1)( a2＋a＋1)＋a2＋a＋1=(a2＋a＋1)(a3－a2＋1) 2、待定系数法 [例3]因式分解2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20 解：∵2x2＋3xy－9y2=(2x－3y)(x＋3y),故用待定系数法， 可设2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20=(2x－3y＋a)(x＋3y＋b)，
因式分解 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7． 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2． (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)． (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2 ＝(a-b)2+2c(a-b)+c2 =(a-b+c)2． 本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2 (4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7) =a5(a2-b2)+b5(a2-b2) =(a2-b2)(a5+b5)
因式分解习题 一、填空： 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是__________. 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有___________________________ ，其结果是 _______________________________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_________。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ________。 15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（8分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6 B 、m=2，k=12 C 、m=—4，k=—12 D m=4，k=12 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 三、分解因式： 1、234352x x x -- 2、2633x x - 3、22)2(4)2(25x y y x --- 4、x x -5 5、24369y x - 6、811824+-x x 四、代数式求值
初二因式分解竞赛例题精选及练习题 一、提公因式法. 二、运用公式法. 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-22 例4、分解因式：2222c b ab a -+- 练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222--- 综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22 （3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++- （5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+-- （7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a （9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+ （11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 3333-++ 四、十字相乘法 例5、分解因式：652++x x 例6、分解因式：672+-x x 练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x 练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x 例7、分解因式：101132+-x x 练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x （3）317102+-x x （4）101162++-y y
因式分解专项练习题 （一）提取公因式 一、分解因式 1、2x 2y －xy 2、6a 2b 3－9ab 2 3、 x （a －b ）＋y （b －a ） 4、9m 2n-3m 2n 2 5、4x 2-4xy+8xz 6、-7ab-14abx+56aby 7、6m 2n-15mn 2+30m 2n 2 8、-4m 4n+16m 3n-28m 2n 9、x n+1-2x n-1 10、a n -a n+2+a 3n 11、p(a-b)+q(b-a) 12、a(b-c)+c-b 13、(a-b)2(a+b)+(a-b)(a+b)2= 14、ab ＋b 2－ac －bc 15、3xy(a-b)2+9x(b-a) 16、(2x-1)y 2+(1-2x)2y 17、6m(m-n)2-8(n-m)3 18、15b(2a-b)2+25(b-2a)3 19、a 3-a 2b+a 2c-abc 20、2ax ＋3am －10bx －15bm 21、m （x －2）－n （2－x ）－x ＋2 22、（m －a ）2＋3x （m －a ）－（x ＋y ）（a －m ） 23、 ab(c 2+d 2)+cd(a 2+b 2) 24、(ax+by)2+(bx-ay)2 25、-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 26、 a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 二、应用简便方法计算 1、4.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.8 2、9×10100-10101 3、2002×-2001× 4、1368 987521136898745613689872681368987123?+?+?+? 三、先化简再求值 （2x ＋1）2（3x －2）－（2x ＋1）（3x －2）2－x （2x ＋1）（2－3x ）（其中， 32x =） 四、在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意正整数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。 课后作业： 1.分解因式：(1)ab+b 2-ac-bc (2)ax 2 -ax-bx+b (3)ax+1-a-x (4)x 4-x 3+4x-4 2.分解因式： (1)6m(m-n)2-8(n-m)3 (2)15b(2a-b)2+25(b-2a)3 (3)a 3-a 2b+a 2c-abc (4)4ax+6am-20bx-30bm （5）-+-41222332m n m n mn
《整式乘法与因式分解》竞赛数学专题训练含答案 【例1】(全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷)若2 (1)1x m x -++是完全平方式，则m 的值为( ). A.1- B.1 C. 1或1- D. 1或3- 【解析】12m +=±，解得1m =或3m =-.故选D. 【答案】 D. 【例2】(第12届“华杯赛”浙江赛区决赛复试(初一组)如图，一个面积为250cm 的正方形与另一个小正方形并排放在一起，则ABC V 的面积是 2cm . 【解析】设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，则 2111()()() 222 ABC S a b a a b b a b b a =+?- +?---V 22221111122222a ab ab b a ab b =+----+ 25022 a == 【答案】25. 1. 2. (全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷)已知1a b -=，221a b -=-则20142014a b -= . 3. (第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛(初一组))新制作的渗水防滑地板是形状完全相同的长方形.如图，三块这样的地板可以拼成一个大的长方形.如果大长方形的周长为150cm ，那么一块渗水防滑地板的面积是( ). A. 2450cm B. 2600cm C. 2900cm D.2 1350cm 4. (第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第二试)如果22()()4a b a b +--=，那么
一定成立的是( ). A. a 是b 的相反数 B. a 是b -的相反数 C. a 是b 的倒数 D. a 是b -的倒数 5. (第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第二试)如果2 23x x +=，那么432781315x x x x ++-+= . 6. (第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请复赛试题)已知4a b -=，2 40ab c ++=，则a b c ++= . 7. (四川省初中数学联赛)计算: 222221 1111(1)(1)(1)(1)(1)23499100-?-?-??-?-…. 7. (全国数学竞赛讲座)分解因式: 22(32)(483)90x x x x ++++-. 参考答案 1. 1- 2. A 3. C 4. 18 5. 0 6. 11111 1 (1)(1)(1)(1)(1)(1+)2233100100-?+?-?+??-?… 132499101 =2233100100 1101 =2100101 =200 ???????… 8. 原式(1)(2)(21)(23)90x x x x =++++- [(1)(23)][(2)(21)]90x x x x =++++- 22(253)(252)90x x x x =++++- 令2252y x x =++
初中数学竞赛专题辅导因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
一、填空： 1. 若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2. 22)(n x m x x -=++则m =____ n =____ 3. 若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 4. _____) )(2(2(_____)2++=++x x x x 5. 若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 6. 若6,422=+=+y x y x 则=xy ___ 。 二、选择题： 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=-12、 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公 式分解因式的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4、计算)10 11)(911()311)(211(2232---- 的值是（ ） A 、2 1， B 、2011.,101.,201D C 三、分解因式： 1 、234352x x x -- 2 、 2 633x x - 3 、22414y xy x +-- 4、13-x
因式分解 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz； 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．
(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)． 例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc． 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)． 分析我们已经知道公式 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 的正确性，现将此公式变形为 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)． 这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导． 解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc =［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)． 说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为 a3+b3+c3-3abc 显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立． 如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有 等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论． ※※变式练习 1分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1． 分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解． 解因为 x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)， 所以
班级_____________________ 姓名____________________ 考场号____________ 考号___________ ----------------------------------------------------密--------------------------------封--------------------------------线------------------------------------------------ 一、选择题 1. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A ．224x y + Ｂ．221x y -+ Ｃ．224x y -+ Ｄ．224x y -- 2. 下列分解因式正确的是（ ） A ． )1(222--=--y x x x xy x B ． )32(322---=-+-x xy y y xy xy C ． 2)()()(y x y x y y x x -=--- D ． 3)1(32--=--x x x x 3. 把代数式2 9xy x -分解因式，结果正确的是（ ） Ａ．2 (9)x y - Ｂ．2 (3)x y + Ｃ．(3)(3)x y y +- Ｄ．(9)(9)x y y +-、 4. (3)(3)a y a y -+是下列哪一个多项式因式分解的结果（ ） Ａ．22 9a y + Ｂ．229a y -+ Ｃ．22 9a y - Ｄ．22 9a y -- 5. 一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏做得不够完整的一题是（ ） Ａ．32 (1)x x x x -=- Ｂ．222 2()x xy y x y -+=- Ｃ．2 2 ()x y xy xy x y -=- Ｄ．2 2 ()()x y x y x y -=-+ 6. 若关于x 的多项式2 6x px --含有因式3x -，则实数p 的值为（ ） A ．5- B ．5 C ．1- D ．1 7. 下列因式分解错误的是（ ） A ．22 ()()x y x y x y -=+- B ．2 2 69(3)x x x ++=+ C ．2 ()x xy x x y +=+ D ．2 2 2 ()x y x y +=+ 8. 将整式2 9x -分解因式的结果是（ ） A ．2(3)x - B ．(3)(3)x x +- C ．2(9)x - D ．(9)(9)x x +- 9. 若1=x ，2 1 = y ，则2244y xy x ++的值是（ ）． Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．23 Ｄ．2 1 10. 下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ） （A ）xy x -2 （B ）xy x +2 （C ）22y x + （D ）22y x - 二、填空题 11. 因式分解： 2(2)(3)4x x x +++-= ． 12. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原 理是：如对于多项式44x y -，因式分解的结果是22 ()()()x y x y x y -++，若取x =9，y =9时，则各 个因式的值是：()x y - =0，()x y +=18，22 ()x y +=162，于是就可以把“018162”作为一个六位 数的密码．对于多项式3 2 4x xy -，取x =10，y =10时，用上述方法产生的密码是： (写出一个即可)． 13. 如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若 干张，如果要拼一个长为(a ＋2b)、宽为(a ＋b)的大长方形，则需要C 类卡片 张． 14. 若2 44(2)()x x x x n ++=++，则_______n =． a b b b a a C B A
因式分解拔高题专项 练习
因式分解的“八个注意”事项及“课本未拓展的五 个的方法” 在因式分解这一章中，教材总结了因式分解的四个步骤，可概括为四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”然而在初学因式分解时，许多同学在解题中还是会出现一些这样或那样的错误，或者都学透了，但是试卷上给出的题目却还是不会分解，本文提出以下“八个注意”事项及“五大课本未总结的方法”，以供同学们学习时参考。 一、“八个注意”事项 （一）首项有负常提负 例1把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。 解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2） 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止出现诸如－a2－b2=（－a+b）（－a－b）的错误。 （二）各项有公先提公 例2因式分解8a4－2a2 解:8a4－2a2=2a2(4a2－1)=2a2(2a+1)(2a－1)
这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式。防止出现诸如4a4-a2=（2a2+a）(2a2-a）而又不进一步分解的错误. （三）某项提出莫漏1 例3因式分解a3-2a2+a 解：a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2 这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如a3-2a2+a=a(a2-2a) 的错误。 （四）括号里面分到“底”。 例4因式分解x4－3x2－4 解：x4+3x2－4＝（x2＋4）（x2－1）＝（x2＋4）（x＋1）（x－1） 这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。如上例中许多同学易犯分解到x4+3x2－4＝（x2＋4）（x2－1）而不进一步分解的错误。 因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤是一脉相承的。
人教版2019-2020学年八年级上学期数学竞赛试卷-因式分解部分 （II ）卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共10题；共30分) 1. （3分）下列运算正确的是 A . B . C . D . 2. （3分）若（3x+a）（3x+b）的结果中不含有x项，则a、b的关系是（） A . ab=1 B . ab=0 C . a﹣b=0 D . a+b=0 3. （3分）下列从左到右的变形是因式分解的是（） A . （x﹣4）（x+4）=x2﹣16 B . x2﹣y2+2=（x+y）（x﹣y）+2 C . x2+1=x（x+） D . a2b+ab2=ab（a+b） 4. （3分）分解因式（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1的结果是（）
A . （x﹣1）（x﹣2） B . x2 C . （x+1）2 D . （x﹣2）2 5. （3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（） A . B . 42=2×3×7 C . D . 6. （3分）已知a＞0，b＜0，且a+b＞0，下列说法错误的是（） A . a﹣b＞0 B . |a|＜b C . |a+b|＜|a﹣b| D . a＞﹣b 7. （3分）下列算式中，正确的是（） A . x2x=x2 B . 2x2﹣3x3=﹣x﹣1 C . （x3y）2=x6y2 D . ﹣（﹣x3）2=x6 8. （3分）下列运算正确的是（）
A . m-2(n-7) =m-2n-14 B . -= C . 2x+3x=5x2 D . x-y+z=x-(y-z) 9. （3分）下列运算正确的是（） A . （a+b）2=a2+b2 B . a3a2=a5 C . a6÷a3=a2 D . 2a+3b=5ab 10. （3分）下列运算正确的是（） A . a3+a4=a7 B . 2a3?a4=2a7 C . （2a4）3=8a7 D . a8÷a2=a4 二、解答题 (共4题；共20分) 11. （5分）计算： （1）（）﹣2﹣23×0.125+20110+|﹣1| （2）（﹣a）2?（a2）2÷a3 ． 12. （5分）已知a+b=﹣，求代数式（a﹣1）2+b（2a+b）+2a的值． 13. （5分）已知x，y满足方程组，求代数式
因式分解 一、导入： 有两个人相约到山上去寻找精美的石头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是最精美的石头。甲就笑乙：“你为什么只挑一个啊?”乙说：“漂亮的石头虽然多，但我只选一个最精美的就够了。”甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个最差的扔下，到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头! 启示：人生中会有许多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃。 二、知识点回顾： 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．三、专题讲解 例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz； 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2． (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)． 例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc． 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．