2013年辽宁文科高考题及答案D
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（10）已知11
1
ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面
上。
若34AB AC ==，，,AB AC ⊥1
12AA =，则球O 的半径为
（ ）。（A
）2 （B
）
（C ）132 （D
）（11）已知椭圆
22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为F ，C
与过原点的直线相交于A,B 两点，连接AF ，BF 。
若4
10,8,cos ABF ,5AB BF ==∠=则C 的离心率为
（ ）。
（A ）35 （B ）57 （C ）45
（D ）6
7
（12）已知函数
()()()()222222,228.
f x x a x a
g x x a x a =-++=-+--+设
()()(){}()()(){}{}()
12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q
中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()
1
H x
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得最小值为,A ()2
H x 得最小值为B ,则A B -=
（ ）。 （A ）2
216
a
a -- （B ）2
216
a
a +- （C ）
16
- （D ）16
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第22题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. （13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .
（14）已知等比数列{}n
a 是递增数列，n
S 是{}n
a 的
前n 项和。若1
a ，3
a 是方程2
540
x
x -+=的两个根，则
6S =
。
（15）已知F 为双曲线
22
:1
916
x y C -=的左焦点，P 、
Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，
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点(5,0)A 在线段PQ 上，则PQF ?的周长为 。
（16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）设向量
)
(),sin ,cos ,sinx ,0,.
2a x x b x x π??
=
=∈????
（I ）若.a b x =求的值； （II ）设函数()()f x a b f x =?，求的最大值
18．（本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上的
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点。
（I ）求证：BC PAC ⊥平面； （II ）设Q PA G AOC ?为的中点，为的重心，
//QG PBC 求证：平面
19．（本小题满分12分）
现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.试求：
（I ）所取的2道题都是甲类题的概率；（II ）所取的2道题不是同一类题的概率.
20．（本小题满分12分） 如图，抛物线2
1
:4,C x
y =()22:20.
C x py p =->点0
(,)M x y 在抛
物线2
C 上，过M 作1
C 的切线，切
点为A ，B （M 为原点时，A ，B 重合于O ）。当0
12
x
=-时，切
线MA 的斜率为12-。 （I ）求P 的值。
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（II ）当M 在2
C 上运动时，求线段AB 中点N 的
轨迹方程（A,B 重合于O 点时，中点为O ）。
21．（本小题满分12分）
（I ）证明：当[]0,1sin ;2x x x x ∈≤≤时， （II ）若不等式
()3
2
22cosx 4
2
x ax x x ++++≤对[0,1]x ∈恒成
立，求实数a 的取值范围
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
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如图，AB 为
O
直径，直线CD 与
O
相切于E 。AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 预防C ，EF 垂直AB 于F 。连接AE ，BE 。证明： （I ）;FEB CEB ∠=∠ （II ）2
.
EF
AD BC =
23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1
C ，直线2
C 的极坐标方
程分别为4sin ,cos 2 2.4
πρθρθ??
==-= ??
?
. （I ）求1
C 与2
C 交点的极坐标；
（II ）设P 为1
C 的圆心，Q 为1
C 与2
C 交点连
线的中点。已知直线PQ 的参数方程为
33.12
x t a
b y t ?=+??=+??（t R ∈为参数），求,a b 的值。
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数(), 1.f x x a a =->其中
（I ）当2a =时，求不等式()4|4|f x x ≥--的解集；
（II）已知关于x的不等式(2)2()2
+-≤的解集
f x a f x
为{}
x x
≤≤，求a的值。
|12
2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）试题答案及评分标准
数学（供文科考生使用）
一、选择题：
【详细解析】
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（11）解：设椭圆C 的右焦点为F '，连接AF '和BF '。 在ABF ?中，2
2
24
||10
821085
AF =+-???
36=。
222
||||||AF BF AB +=，所以AF BF ⊥。从而四边形AFBF '为
矩形。268a =+，7a =，5c =，所以离心率
5
7
c e a =
=。选B 。
二、填空题： （13）1616π- （14）63 （15）44
（16）10 【详细解析】
(13)解：该几何体是一个圆柱挖去一个正四棱柱后所剩的部分。2
2
V r h a h π=-2
2
2424π=??-?1616π=-。
(14)解：等比数列{}n
a 是递增数列，且1
a ，3
a 是方
程2
540
x
x -+=的两个根，所以1
1
a
=，3
4
a
=，2q =。因
为n
S 是{}n
a 的前n 项和，所以
6S =61(1)1a q q --61(12)12
?-=
-
63
=。
(15) 解：||||6PF PA -=，||||6QF QA -=，两式相加得
||||||12
PF QF PQ +-=，
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PQF
?的周长为||||||2||PF QF PQ PQ +-+。||416PQ b ==。所
以PQF ?的周长为123244+=。 (16)
三、解答题：
17．解：（I
）因为)
()
,sin ,cos ,sinx x x x ==a b
，所以
222||)sin x x
=+a
24sin x
=。2
2
2||cos
sin 1
x x =+=b 。因为=a b ，所以2
4sin
1
x =。
又因为0,2x π??∈???
?
，
从
而
1
sin 2
x =
，所以
6
x π
=
。…………………………………………6分 （II ）()f x =?a
b 2cos sin x x x =
?
+1cos 2222
x
x -=
+
112cos 2222
x x =
-+=1sin(2)62x π-+。当3x π=时，sin(2)6
x π
-取最大值 1.所以函数
()
f x 的最大值为
3
2
。………………………………………………
…………12分
18．证明：（I ）由AB 是圆O 的直径，得BC AC ⊥。
由PA⊥平面ABC，且BC?平面ABC，得BC PA
⊥。
又PA∩AC A=,PA?平面PAC,PA?平面PAC,所以⊥平面。…6分
BC PAC
（II）连接OG并延长交AC于M，连接QM，QO。取BC的中点，记为M，连接
PM，AM。因为G为AOC
?的重心，
所以M为AC的中点。由Q为PA
的中点，得QM为PAC
?的中
位线，所以QM∥PC.又O为AB
的中点，所以
QO是PAB
?的中位线，QO∥PB.
因为QM∩QO Q=,QM?平面QMO,
QO?平面QMO;PC∩PB P=,PC?平面PBC,PB?平面PBC,所以平面QMO∥平面PBC。因为QG?平面QMO，
所以//
平面。
QG PBC
19．（本小题满分12分）
现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.试求：
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（I）所取的2道题都是甲类题的概率；（II）
所取的2道题不是同一类题的概率.
解：（I）设4道甲类题的编号为1，2，3，4；2道乙类题的编号为a,b.基本事件空间为
Ω=(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,3),( {
2,4),(2,a),(2,b), (3,4),(3,a),
(3,b),(4,a),(4,b),(a,b)},共含15个基本事件。这15个基本事件中不考虑先后顺序，且等可能出现。
设事件A为“所取的2道题都是甲类题”，
则{
A=(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4), (3,4)},共含6个基本事件。所以
62
P A==。………………………………6分
()
155
（II）基本事件空间同（I），设“所取的2道题不是同一类题”为事件B。
B=(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),( {
4,a),(4,b)},共含8个基本事件。
所以
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8()15
P B =
。…………………………………………
………………………………12分 20．（本小题满分12分） （I ）解：2
1
:4,
C x
y =即2
14y x =，12y x '=。令11
22
x =-，求得A 点横坐标为-1.代入2
14y x =，得
A 点横坐标为14。所以1
(1,)4
A -。012
x =-，代入
()22:20C x py p =->，得0
223
y
-=
。223
(12,
)B --
。于是有
2231
142121
--
=-
-+，解得
2
p =。……………………………………………
…………6分
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21．（本小题满分12分）
（I ）证明：当[]20,1sin ;x x x x ∈≤≤时， 解：（I ）证明：记2
()sin 2
F x x x =-
，则2()cos 2
F x x '=-
。
令()0F x '=，由[]0,1x ∈得，4x π=。当(0,)4
x π
∈时，()0F x '>，
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()
F x 在[0,]4π上为增函数；
当(,1)4
x π
∈时，()0F x '<，()F x 在[,1]4
π
上为减函数。又(0)0F =，(1)0F >，所以当[]0,1x ∈时， ()0
F x ≥，即2
sin 2
x x ≥
。记()sin H x x x =-，则()cos 1H x x =-。
当(0,1)x ∈时，()0H x '<，()H x 在[0,1]上为减函数。
()(0)0
H x H ≤=。所以当[]0,1x ∈时，()0H x ≤，即sin x x ≤。
综上所述，当[]20,1sin 2x x x x ∈≤≤时，。…………5分
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