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泰勒公式及其应用(康林)

本科生毕业论文(设计)

题目：泰勒公式及其应用

学生姓名：康林

学号： 200810010207

专业班级：应数08102班

指导教师：邹庆云

完成时间： 2012年5月

泰勒公式及其应用

数学与应用数学专业学生：康林

指导老师：邹庆云

摘要 (3)

关键词 (3)

0引言 (3)

1 带有不同余项的泰勒公式的内容及特点 (4)

1.1 带有佩亚诺（Peano）型余项的泰勒公式 (4)

1.2 带有拉格朗日（Lagrange）型余项的泰勒公式 (4)

2 泰勒Taylor公式的应用 (5)

2.1 利用泰勒公式求极限 (5)

2.1.1 应用泰勒公式求极限时，常用到的展开式 (5)

2.1.2 利用泰勒公式求不定式的极限 (6)

2.2 泰勒公式在不等式证明中的应用 (7)

2.2.1 简单不等式的证明 (7)

2.2.2 有关定积分不等式的证明 (8)

2.2.3 一般不等式的证明 (9)

2.3 泰勒公式在近似计算方面的应用 (10)

2.3.1 近似计算估值 (10)

2.3.2 定积分的近似计算 (10)

2.4 泰勒公式在证明中值问题中的应用 (11)

2.5 估计无穷小量的阶 (13)

2.6 利用泰勒公式判定二元函数极限的存在性 (15)

2.7 泰勒公式在其他方面的应用 (16)

2.7.1 利用泰勒公式求函数在点处的高阶导数 (16)

2.7.2 求某些微分方程的解 (17)

2.7.3 求行列式的值 (18)

参考文献： (20)

致谢: (18)

摘要：

泰勒公式是数学分析中非常重要的内容,集中体现了微积分“逼近法”的精髓,在微积分的各个方面都有重要的应用.本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并主要采用举例分析的方法，阐述了泰勒公式在求极限，不等式的证明，近似计算，中值问题的证明，估计无穷小量的阶，判定二元极限的存在性以及求高阶导数、求微分方程的解，求解行列式等方面的应用及技巧.通过以上几个方面的研究，使我们在特殊的情况形成特定的思想，使解题能够起到事半功倍的效果.

关键词：泰勒公式，应用，微积分，极限，行列式

Abstract：

Taylor's formula is very important mathematical analysis of the contents of a concentrated expression of the calculus "approximation" of the essence, the calculus of various important aspects of the application. This article discusses some of the basic Taylor formula, and the analysis of the main methods used, for example, described in the Taylor formula for the limit, the inequality that approximate calculation, the value of the proven, it is

estimated that a small amount of the endless band, the dual determine the limit And the existence of derivatives for high-end, and the solution of differential equations, such as the determinant for the application and skill. Through the above aspects of the study so that we in the special circumstances of a particular ideology, so that problem solving can play a multiplier effect.

Key words:Taylor's formula, Applications, Calculus , Limit , Determinant；

0引言

多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析

的一个重要内容.泰勒公式的特点就在于用一个n 次多项式)(x P n 去逼近一个已知的函数

)(x f ，而且这种逼近具有很好的性质，充分体现了微积分“逼近法”的精髓，在数学的

多个方面都有运用.

1 带有不同余项的泰勒公式的内容及特点

1.1 带有佩亚诺（Peano ）型余项的泰勒公式

若函数)(x f 在点0x 处n 阶可导，则带Peano 型余项的Taylor 公式为：

n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!

)()(!2)('))((')()(00)(2

00000-++-+-+=

])[(0n x x o -+ )(0x x → （1.1）

带Peano 型余项的公式Taylor 对函数)(x f 的展开要求较低，它只要求)(x f 在点0x 处n 阶可导，展开形式也较为简单.（1.1）说明当0x x →时用左端的Taylor 多项式

k n

k k n x x k x f x T )(!

)

()(00

0)(-=∑

=代替)(x f 所产生的误差是n x x )(0→的高阶无穷小，这反映了函数)(x f 在0x x →时的性态，或者说反映了)(x f 在点0x 处的局部性态.

但Peano 余项])[(0n x x o -难以说明误差范围，一般不适应对此余项作定量估计.换句话说，带Peano 型余项的Taylor 公式适合于对)(x f 在0x x →时作性态分析.因此，在处理0x x →时的极限计算问题时，可以考虑对有关函数采用这种展开方式，从而达到简化运算的目的.

1.2 带有拉格朗日（Lagrange ）型余项的泰勒公式

若函数在点的某领域内阶可导，则带Lagrange 型余项的Taylor 公式为：

n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!

)()(!2)('))((')()(00)(200000-++-+-+=

n n x x n f )()!1()

(0)1(-++

+ξ （ξ介于0,x x 之间）（1.2）带Lagrange 型余项的Taylor 公式对函数)(x f 的展开要求较高，形式也相对复杂，但因为（1.2）对)(0x U x ∈?均能成立（当x 不同时，ξ的取值可能不同）.因此，这反映出函数)(x f 在领域)(0x U 内的全局性态.

对Lagrange 余项

n n x x n f )()!1()

(0)1(-++ξ通常情况下可以作定量估算，确定其大致的误差范围.因此，带Lagrange 型余项的Taylor 公式适合于研究)(x f 在区间上的全局性态，例如：用于证明中值问题的等式或不等式关系，等等.

2 泰勒Taylor 公式的应用

2.1 利用泰勒公式求极限

对有些极限问题，利用带Peano 型余项的泰勒公式求出极限是十分有效的方法，要

比诸如洛必达法则，等价无穷小代换的方法来得简便，但需要对一些常用的泰勒公式较熟悉.

2.1.1 应用泰勒公式求极限时，常用到的展开式（1）)(!

!212n n

x o n x x x e

+++++=

（2）)()!

12()1(!5!3sin 212153n n n x o n x x x x x +--+++-

=-- （3）)()!2()1(!4!21cos 12242++-+++-=n n n x o n x x x x （4）)()1(32)1ln(132n n

n x o n

x x x x x +-+++-=+- （5）)(!

)1()1(!2)1(1)1(2n n

x o x n n a a a x a a ax x ++--++-+

+=+

（6）

)(111

2n n x o x x x x

+++++=- 上述展开式中的符号)(n x o 表示当0→x 时，它是一个较n x 高阶的无穷小，亦即

有 0)

(lim 0=→n n x x

x o ；根据这个定义容易验证：当0→x 时有：

（1）)()()(n n n x o x o x o =+ )0(>n （2）)()()(n n m x o x o x o =± )0(>>n m （3）)()()(n m n m x o x o x o +=? )0,(>n m （4）)()(n m n m x o x o x +=? )0,(>n m （5） )()(n n x o x o C =? )0,0(>≠n C 2.1.2 利用泰勒公式求不定式的极限

例1，求极限4

2cos x e

x Lim

x x -

→-

解：)(24

21cos 54

2x x x x ++-

= )(8

2154

2x x x e

x ++-=-

)(12

cos 54

2x x e

x x +-=--

因而求得121

)

(121cos 454

2-=+-

=-→-

→x

x x Lim x e

x Lim

x x x

利用泰勒公式方法计算极限的实质是一种利用等价无穷小的替代来计算极限的方法.我们知道，当0→x 时，x x x x ~tan ,~sin 等.这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展开至一次项.有些问题用泰勒公式方法和我们已经熟知的等价无穷小方法相结合，问题又能进一步简化.

例2，求1sin 2lim sin cos x

x x

x x x x x

e →0---- .

解：由1sin 2x

x x x e

---=233

331()())2626

x x o o x x x x x ++++-1-x-(x-+ =

()()6

o o x x

x x ++=+,

sin cos ()(1())62

x x x o x o x x x x -x =-+--+3

()3o x x =+

于是 1sin 2lim sin cos x

x x x x x x x e →0----33

()1

62()

o o x x x

x +==+，可以看出例2这道题，若是用洛必达法则是相当繁琐的，而用泰勒公式和等价无穷

小的方法相结合来考虑来做就简单很多.

运用泰勒公式方法求极限时，需要注意的一个问题是：将函数展开至多少项才可以呢？其实从例题中不难看出：只需要展开至分子和分母分别经过简化后系数不为零的阶数即可.

2.2 泰勒公式在不等式证明中的应用

2.2.1 简单不等式的证明例3 当0≥x 时，证明：3

1sin x x x -

≥ 证明：取3

1sin )(x x x x f +

-=，00=x 则 0)0(=f 0)0(='f 0)0(=''f

x x f cos 1)(-=''' 0)0(='''f

代入泰勒公式，其中 3=n

得 3

3cos 1000)(x x x f θ-+++= 当0≥x 时

3cos 13

≥-x x θ 故当0≥x 时，得 36

sin x x x -≥ .

有时候所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合不等式，不妨作一个辅助函数并用泰勒公式替代，往往使证明方便简捷. 2.2.2 有关定积分不等式的证明

例4 设)(x f 在],[b a 上单调增加，且0)(>''x f ，证明： 2

)

()()

()()()(b f a f a b dx x f a f a b b

a +-<<-? （2.2.1）

证明：（1）先证 dx x f a f a b b

?<-)()()(

由题意，对],[b a x ∈?，当a x >时 )()(a f x f > 故 )()()(a f a b dx x f b

a ->?

（2.2.2）

（2）再证 2

)

()()

()(b f a f a b dx x f b

2))((!

))(()()(x t f x t x f x f t f -''+

-'+=ξ（ξ在t 与x 之间）（2.2.3）因0)(>''ξf ，所以 ))(()()(x t x f x f t f -'+> （2.2.4）将a t b t ==,分别代入式（2.2.4）并相加，得

)(2)()()(2)()(''x xf x f b a x f a f b f -++>+ （2.2.5）

对（2.2.5）式的两边在],[b a 上的积分，则

???-++>-+b

dx x xf dx x f b a dx x f a b a f b f )(2)()()(2))](()(['' （2.2.6）

? ?>-+b

dx x f a b a f b f )(4))](()([2 （2.2.7）

故 2

)

()()

()(b f a f a b dx x f b

由式（2.2.2）与式（2.2.8）可知（2.2.1）式成立.

利用泰勒公式对定积分不等式进行证明，主要针对的类型是：已知被积函数)(x f 二阶或者二阶以上可导且又知最高阶导数的符号.通过直接写出)(x f 的泰勒展开式，根据题意对展开式进行缩放，从而证明命题. 2.2.3 一般不等式的证明例5 在[a,b]上f(x)>0，且

()0n

x f

<，试证明2max ()()b

a a x b

f x f x dx b a

<<<

∫- 证明：任取[p,q]?[a,b]，对任意x ∈[p,q]，利用泰勒公式及其条件

()0n

x f

可得 ()()f p f x =+()x ′

2()

()(2p x p f ξ-+

-x)!

()()f q f x =+()x ′?2

22()

()(2q x q f

ξ-+

-x)!

（2.2.0）×()q x -+（2.3.0）×()x p -得 ()p ?()q x -+()()f q x p -()()f x q p <-

所以有 ()()q p f p q x ∫[-()()f q x p +-]()q

p x dx dx <(q-p)∫? 即

()()()()2

p f p f q q p x dx +-<∫? （2.3.1）设c ∈[a,b]，使 ()c ?=max ()a x b

x <0得

()()()b c b

a a c x dx x dx x dx

∫?=∫?+∫?()()2f a f c +>+

()()

()2

f c f b b c +- ()()()

()()()222

f c f c f c c a b c b a >

-+-=- 即 2max ()()b

a a x b

f x f x dx b a

<<<

∫-

利用泰勒公式解决一般不等式的证明，只要适用于题目中的函数)(x f 具有二阶或二阶以上导数且最高阶导数的大小或上下界可知的命题.在进行证明时，首先写出比高阶导数低一阶的泰勒展开式，然后恰当地选择等式两边的x 与0x .特别要注意的是：展开点不一定以0x 为最合适，有时以x 为展开点，题目更容易处理.最后，根据所给的最高阶导数的大小或界，对展开式进行缩放，从而使命题得证.

2.3 泰勒公式在近似计算方面的应用

2.3.1 近似计算估值

例6 计算e 的值，使其误差不超过610-.

解：x e x f =)(,由x n e x f =+)()1(,得到

),(,10,)!

1(!!2112+∞-∞∈<<++++++=+x x n e n x x x e n x

n x

θθ

有:)!

1(!1!2111++++++=n e n e θ

故 )!

1(3

)!1()1(+<

+=n n e R n θ,当9=n 时,便有 69103628800

3!103)1(-<=<

R 从而略去)1(9R 而求得的近似值为

718285.2!

!31!2111≈++++

+≈ e 2.3.2 定积分的近似计算

例7 求2

0x e dx -?的近似值,精确到510-.

解：因为2

0x e

dx -?中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达）,现用泰勒

公式的方法求2

x e dx -?的近似值.

在x

e 的展开式中以2

x -代替 x 得2

422

1(1)2!!

x n x x e

x n -=-+++-+

逐项积分,得

4211

000001(1)2!11111

1(1)32!52n 111111111310422161329936075600n x n

n x x e dx dx x dx dx dx n n -=-+-+-+=-+-+-++=-+-+-+-+?????

！！上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项()n R x 的估计式知

||0.00001575600

11111110.7468363104221613299360

x R e dx -≤<≈-+-+-+≈?所以

能够精确计算定积分的函数，只是大量函数中很少的一部分.事实上，在实际计算定积分时不能得到它的准确值时，即只能求出其近似值时，这时，运用泰勒公式对函数的定积分进行近似计算是一种非常行之有效的好方法.

2.4 泰勒公式在证明中值问题中的应用

例8 设函数)(x f 在]1,1[-上具有三阶连续导数，且0)1(=-f ,1)1(=f ,0)0(='f , 证明：在)1,1(-内至少存在一点ξ，使3)(='''ξf .

证明：由麦克劳林公式，得

3)()0(!21)0()0()(x f x f x f f x f η'''+''+

'+= (η在0和x 之间) 分别令1-=x ，1=x ，并将所得的两式相减，

得 6)()(21='''+'''ηηf f (011<<-η,102<<η) 由)(x f '''的连续性知，)(x f '''在],[21ηη上有最大值M 和最小值m

则有 M f f m ≤'''+'''≤)]()([2

21ηη

由连续函数的介值定理知，至少存在一点 )1,1(],[21-?∈ηηξ，

使得 3)]()([2

)(21='''+'''='''ηηξf f f .

例9 证明若)(lim x f x +∞

→与)(lim x f x ''+∞

→均存在且有限，则0)(lim )(lim =''='+∞

→+∞

→x f x f x x

解法一用Lagrange 中值定理

由)(lim x f x ''+∞

→存在，从而)(x f ''在+∞→x 时有界，可记为 M x f ≤'')( ，1A x >?

因此 0>?ε，令 02>=

h ε

则 1,A x x >'''? （h x x <''-'）

有 2

)()()(ε

ξ<

''-'''='''-''x x f x f x f （ξ介于x '，x ''之间）（2.3.2）

又 )(lim x f x +∞→ 存在，于是 0)

()(lim

=-++∞→h x f h x f x

由Lagrange 中值定理，应有

)()

()(x h x f h

x f h x f θ+'=-+ （10<

→x x h x f θ .

于是对上述 0>ε，2A ? 使得 2A x >? 有 2

)(ε

θ<

+'x h x f （2.3.3）

令),max(21A A A =，则对 A x >?，由式（2.3.2）和式（2.3.3）得 )()()()(x x x f h x f x f x f θθ+'++'-'≤'εε

也即有 0)(lim ='+∞

→x f x

因)(lim x f x '+∞

→与)(lim x f x ''+∞

→均存在且有限，则 0)(lim =''+∞

→x f x

解法二用Taylor 公式

同解法一，)(x f ''在+∞→x 时有界，记为M x f ≤'')(， 1A x >? 对0>?h ，由Taylor 公式有 2)(2

)()()(h f h x f x f h x f ξ''+

'+=+，),(h x x +∈ξ 于是有 h f x f h x f h x f )(2

)]()([1)(ξ''--+=' （2.3.4）

由式（2.3.4）得出 Mh x f h x f h x f 2

)()(1)(+-+≤'

对0>?h ，可令0>=M

h ε

，其余证法可仿照解法一写出. 相比较而言，前一种方法两次用到Lagrange 中值定理，而在后一种方法中将其归

并为一个二阶的Taylor 公式，从而使叙述更为简洁，清晰.

2.5 估计无穷小量的阶

如何估计无穷小量的阶，对于简单函数可用估猜法，但是对于复杂的函数就无能为力了，但用Peano 型余项的Taylor 公式就可迎刃而解.

例10 当0→x 时，函数)1cos 2()sin 1ln(32--++=x x y α是多少阶无穷小量，其中α是参数.

解：因为 ))((sin )(sin 2

sin )sin 1ln(222222x o x x x +-=+

)()!

3(21)!3(44

323x o x x x x +---=

)()!

4!2(91)!4!2(311cos)]1(1[cos 242

42423

x o x x x x x +---+=-+=-

)(24

1611442x o x x +-+

= 所以 )1cos 2()sin 1ln(32--++=x x y α )()24

65()61(442x o x x ++-+

=α

故当 6-≠α 时，y 是2阶无穷小量

当 6-=α 时，y 是4阶无穷小量 .

通过应用泰勒公式对无穷小量的阶进行估计，可以简便有效地判定级数及广义积分的敛散性，下面举例进行说明：

例11 讨论级数1

(

ln )n n n n

∞

=+-∑的敛散性.

分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到11

ln ln(1)n n n

+=+,若将其泰勒展开为1n 的幂的形式,开

二次方后恰与

相呼应,会使判敛容易进行.

解：因为

2341111111

ln(1)234n n n n n n n n

+=+=-+-+< , 所以

1n n

+, 所以

11ln 0n n u n n

故该级数是正向级数. 又因为

332332322

111111111111

()()23422n o n n n n n n n n n n

n n +=-++>-+=-=-, 所以

3322

111111

ln ()22n n u n n n n

n n +=

-<--=.

因为3

12n n

∞

=∑

收敛,所以由正向级数比较判别法知原级数收敛.

例12 511)x x x dx

+∞

判断广义积分∫（++--2的收敛性。

1111x x x x x x

解： ++--2=（+

+--2), 11

11x x

利用泰勒公式将+,-展开：

2211(1)11112211(),22o x x x x -+=+++!22

11(1)1111

2211(),22o x x x x --=-++! 2222

1111

(1)(1)111111

2222111()1()22222x x x x o o x x x x x x

--++--2={++++-++-}!! 332

11lim 11

44x x x x x

x x →+∞|++--2|

+o(

因此=|-|

由于5

14x

+∞

∫收敛，所以511)x x x dx

+∞

∫（++--2的收敛 2.6 利用泰勒公式判定二元函数极限的存在性

利用泰勒公式研究函数无穷小量的阶，在判定二元函数极限的存在性时，是一种非常有效的方法，其具体做法如下：

给出 ),(),(000y x p y x p →点的Taylor 展开式

))(()(!

)()(!2)())(()(000)(2

00000n n n x x o x x n x g x x x g x x x g x g y -+-++-''+-'+=

))(()()()(00202010n n n x x o x x a x x a x x a a -+-++-+-+=

特殊地，在点)0,0(处的Taylor 展开式为：

)(!

)0(!2)0()0()0()()(2n n

n x o x n g x g x g g x g y +++''+'+==

)(221n n n x o x a x a x a ++++= 这里 0)0(=g .

例13 求函数极限 y x y

x xy y x y x +++→→2430

0lim

解： 000

lim lim

02430

0=+=+++→→→x y x y x xy y x x y x 又 y x y

x xy y x y x +++→→2430

0lim

)]([)]

([)]([)]([lim 22212221242221222130

)(0x o x a x a x x o x a x a x x o x a x a x x o x a x a x x g y x +++++++++++=→=→ )(1)()()]([lim 22321332214441222120x o x a x a a x o x a x a x o x a x o x a x a x x +++++++++++=→

)(1)

()(lim 223

213321210x o x a x a a x o x a a x a x +++++++=→

显然，当11-=a ，02=a ，03≠a 时

01lim 32430

0≠-=+++→→a y x y x xy y x y x 故所求极限不存在 . 2.7 泰勒公式在其他方面的应用

2.7.1 利用泰勒公式求函数在点0x 处的高阶导数

由泰勒展开的唯一性，并注意到泰勒公式的各项系数!

)

(0)

(k x f

a k k =（ ,3,2,1=k ），则可得高阶导数)(0)(x f k ，即k k a k x f !)(0)(=（ ,3,2,1=k ）

例14 求 )1ln()(2x x x f += 在0=x 处的n 阶导数)0()(n f （3≥n ）. 解：由泰勒公式

)(!

)0()0()0()()(n n

n x o x n f x f f x f ++

+'+= 及 )](2

)1(32[)1ln(22

1322

---+--+++-=+n n n x o n x x x x x x x

)(2

)1(321543

n n

n x o n x x x x +--+++-=- 2

)1(!)0(1)(--=-n n f n n 故 2!)1()0(1)(--=-n n f n n .

2.7.2 求某些微分方程的解

微分方程的解可能是初等函数或者非初等函数，如微分方程

0)()(=+'+''y x s y x r y （2.3.5）

的求解问题便是如此，因而解这类方程时，我们可以设想其解)(x y 可以表成泰勒级数的形式.进一步，我们还可以大胆设想可以表示成更为一般的幂级数的形式，从而得到了解这类方程的一种重要方法.事实上，若)(x r ，)(x s 在某点0x 的邻域R x x D <-0：内可以展开成关于)(0x x -的泰勒级数（或幂级数），则方程（1）的解在0x 的邻域D 内也能展成关于)(0x x -的泰勒级数（或幂级数），即∑∞

=-=00)()(n n n x x a x y

例15 微分方程 0=+'+''y y x y

解：显然x x r =)(，1)(=x s 可在00=x 的邻域内展开泰勒级数，故原方程有形如

∑∞

)(n n

x a

x y （2.3.5）的幂级数解，将式（2.3.5）及其导数代入原方程，得 0)1(0

=++-∑∑∑∞

=∞

=-∞

=-n n n n n n n n n

x a x

na x

n n

即 0])1()1([)2(223

02=-+-++--∞

=∑n n n n x a n a n n a a

令x 的同次幂系数为零，得 0202=+a a ， 022313=+?a a ，…

0)1()1(2=-+--n n a n a n n （ 4≥n ）

从而 202a a -

=，313a

a -=，…，n

a a n n 2--=

即有 02!21)1(a n a n n

?-=，112)

12(31)1(a n a n

n +???-=+ （1≥n ）

所以其通解为 1201020)

12(31)1()2(!1)(+∞

=∞

=∑∑+???-+-=n n n

n n x n a x n a x y

即 12012

12(31)1()(3

+∞

∑+???-+=n n n

x x n a e a x y .

2.7.3 求行列式的值

若一个行列式可看作x 的函数（一般是x 的n 次多项式），记作)(x f ，按泰勒公式在某处0x 展开，用这一方法可求得一些行列式的值. 例16 求n 阶行列式

z z

y x z z

y x z y

y y x

D = （2.3.6）解：记D x f n =)(，按泰勒公式在z 处展开：

n n n n n n z x n z f z x z f z x z f z f x f )(!

)()(!2)()(!1)()()()(2

'''-++-+-+= （2.3.7）易知

1)(0

000000

0000--=-----=

k k y z z y z y y

z y y z y y z y y z D 阶

（2.3.8）

由式（2.3.8）得，n k y z z z f k k ,...,2,1,)()(1=-=-时都成立. 根据行列式求导的规则，有

)()(1'x nf x f n n -= ， )()1()(2'1x f n x f n n ---=，…

)(2)(1'2x f x f = ， 1)('1=x f （因为x x f =)(1）于是)(x f n 在z x =处的各阶导数为

21'')()()()(--=-===n n z x n n y z nz z nf x f z f 3'1'''')()1()()()(--=--===n n z x n n y z z n n z nf x f z f ……

z n n z f n n x f z f z x n n n n 2)1()(2)1()()(1)1(1 -=-===-- 12)1()()(??-= n n z f n n 把以上各导数代入有

2321)()(!

2)1()()(!1)()(z x y z z n n z x y z z n y z z x f n n n n -?--+--+

-=--- n n z x n n n z x z n n n )(!

2)1()()!1(2)1(1-???-+--??-+

若y z =，有 ])1([)()(1y n x y x x f n n -+-=-；

若y z ≠，有 y

z z x y y x z x f n

n n ----=)()()( .

泰勒公式求解行列式这一方法在高等代数中没有介绍过，从而为行列式的求解又多了一种方法，也是用数学分析手段研究高等代数问题的初步探索.

参考文献：

[1] 裘兆泰等,[M]数学分析指导，北京：科学出版社，2004.

[2] 费定晖等,[M]吉米多维奇数学分析习题集题解（第三版）,山东科学技术出版社,1998.

[3] 方继光等,谈带佩亚诺余项的泰勒公式[J]安庆师范学院学报（自然科学版）,vol.32,2000,123-126.

[4] 王素芳等,泰勒公式在计算及证明中的应用[M]洛阳工业高等专科学校学报,vol25,2001,50～51.

[5] Mitrinovic, D.S, Pecaric, J.E, and Fink, Inequalities in volving functions and thciry integrals and derivatives,Kluwer Acad.Publ.Dordrecht,1991..

致谢:

本次毕业论文设计能够顺利完成，首先要感谢我的指导老师邹庆云老师.他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我.从课题的选择到项目的最终完成，邹老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持.在此谨向邹老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.我还要感谢在论文写作过程中给予我的支持与帮助的同学们，谢谢你们！

泰勒公式的应用精选

泰勒公式及其应用摘要

文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。关键词：泰勒公式，最优化理论，应用

一、泰勒公式 1.1 一元泰勒公式若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和： 1 0)1(00)(200000)()! 1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()! 1()(++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数，该余项)(x R n 为拉格朗日余项。 1.1.1 泰勒公式的推导过程我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式： n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= 来近似表达函数)(x f ；设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以 )(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 ! 2)(02x f a ''=n n a n x p !)(0)(=，所以有!)(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(! )()(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）：设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n 所以有0)()()()(0)(000===''='=x R x R x R x R n n n n n 根据柯西中值定理可得： n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数；对上式再次使用柯西中值定理，可得：

泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用数学学院数学与应用数学专业 2009级杨立指导教师吴春摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学问题中有着重要的作用。本文研究了利用泰勒公式证明微分中值定理，求函数的极限，进行近似计算，求函数的高阶导数和偏导数等方面的应用，恰当的运用泰勒公式能够给我们的解题带来极大的方便。关键词：泰勒公式；微分中值定理；极限；高阶导数；偏导数 Abstract:Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems. This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem. Keywords:Taylor formula; approximate calculation; limit; higher derivative; partial derivative 引言泰勒公式最早是以泰勒级数的形式出现在泰勒1715年出版的著作《增量及其逆》中，但在该书中却没有给出具体的证明，直到19世纪由柯西给出了现在的形式及其严格的证明。泰勒公式是一种逼近的思想，集中体现了逼近法的精髓，可以将有理分式函数﹑无理函数和初等超越函数等复杂函数用简单的多项

《泰勒公式及其应用》的开题报告.doc

《泰勒公式及其应用》的开题报告《泰勒公式的验证及其应用》的关键词：泰勒公式的验证数学开题报告范文中国开题报告 1．本课题的目的及研究意义目的：泰勒公式集中体现了微积分、逼近法的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。泰勒公式是非常重要的数学工具，现对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。研究意义：在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数以一种“逼近”的思想，用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的。 2．本课题的研究现状数学计算中泰勒公式有广泛的应用，需要选取点将原式进行泰勒展开，如何选取使得泰勒展开后，计算的结果在误差允许的范围内，并且使计算尽量简单、明了。泰勒公式是一元微积分的一个重要内容，不仅在理论上有重要的地位，而且在近似计算、极限计算、函数性质的研究方面也有重要的应用。对于泰勒公式在高等代数中的应用，还在研究中。 3．本课题的研究内容对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极

限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。本课题将从以下几个方面展开研究：一、介绍泰勒公式及其证明方法二、利用泰勒公式求极限、证明不等式、判断级数的敛散性、证明根的唯一存在性、判断函数的极值、求初等函数的幂级数展开式、进行近似计算、求高阶导数在某些点的数值、求行列式的值。三、结论。 4．本课题的实行方案、进度及预期效果实行方案： 1.对泰勒公式的证明方法进行归纳； 2.灵活运用公式来解决极限、级数敛散性等问题； 3.研究实际数学问题中有关泰勒公式应用题目，寻求解决问题的途径。实行进度：研究时间为第8 学期，研究周期为9周。 1．前期准备阶段：收集有关信息进行分析、归类，筛选有价值的信息，确定研究主题；制定课题计划，学习理论。 2．研究阶段：2010年12月— 2011 年4 月 3．第一阶段：初期（2010年12月1日- 2011年3月15 日）第二阶段：中期（2011年3月16 日- 2011年4月15日）第三阶段：结题（2011年4月16日- 2011年4月30日）

泰勒公式的证明及应用开题报告

题目泰勒公式的证明及推广应用一、选题背景和意义在初等函数中，多项式是最简单的函数。因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是高等数学中的重要内容，在各个领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明，求函数在某点的高阶导数值等方面。除此以外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题变得简单易解。二、国内外研究现状、发展动态本人以1999—2010十一年为时间范围，以“泰勒公式”、“泰勒公式的应用”为关键词，在中国知网以及万方数据等数据库中共搜索到30余篇文章，发现国内外对泰勒公式的其研究进展主要分配在以下领域：一、带不同型余项泰勒公式的证明；二、泰勒公式的应用举例。三、研究内容及可行性分析在高等数学中，泰勒公式占有重要的地位，并以各种形式出现而贯穿全部内容，因此掌握好泰勒公式是学习高等数学的关键一环。本论文将主要研究泰勒公式的证明及其在其他方面的应用。本文将通过对泰勒公式的探讨，给出了泰勒公式在其它方面的应用，,显现出泰勒公式的应用之广泛。希望其研究结果在求极限等问题时可以提供一些方法的参考，也同时能给相关学科研究人员在解决比较复杂的不定式极限问题时能有一定的思路指导。接下来我将分两方面的应用来阐述本次论文的主要内容。一、带不同型余项泰勒公式的证明：本次证明将涉及到三种不同余项的泰勒公式的证明，即： 1.带皮亚诺余项的泰勒公式； 2.带拉格朗日余项的泰勒公式； 3.带积分型余项的泰勒公式；二、泰勒公式的应用：本次论文将涉及到泰勒公式在以下七个方面的应用： 1、泰勒公式在极限计算中的应用；在函数极限运算中,不定式极限的计算始终为我们所注意,因为这是比较困难的一类问题。计算不定式极限我们常常使用洛必达法则或者洛必达法则与等价无穷小结合使用。但对于有些未定式极限问题若采用泰勒公式求解,会更简单明了。我将在论文中就例题进行探讨。 2、泰勒公式在判定级数及广义积分敛散性中的应用；

泰勒公式及其应用

目录摘要 (1) 英文摘要 (2) 第一章绪论 (3) 第二章泰勒公式 (5) 1.1泰勒公式的意义 (5) 1.2泰勒公式余项的类型 (5) 1.3泰勒公式 (6) 第三章泰勒公式的实际应用 (7) 2.1利用泰勒公式求极限 (7) 2.2利用泰勒公式进行近似计算 (8) 2.3在不等式证明中的应用 (9) 2.4泰勒公式在外推上的应用 (10) 2.5求曲线的渐近线方程 (11) 2.6泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用 (13) 2.7在广义积分敛散性中的应用 (14) 2.8泰勒公式在关于界的估计 (15) 2.9泰勒公式展开的唯一性问题 (15) 结束语 (16) 致谢 (17) 参考文献 (18)

第一章绪论近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式 ()20000000()()()()()()()(),1!2!! n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++- 称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即 ()200000000()()()()()()()()(()).2!! n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+- 称为泰勒公式. 众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证

泰勒公式及其在解题中的应用

本科生毕业设计（论文）（ 2014届）设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用作者周立泉分院理工分院用数学1001班指导教师（职称）徐华（讲师）专业班级数学与应用数学）论文字数 8000 论文完成时间 2014年4月3日杭州师范大学钱江学院教学部制

泰勒公式及其在解题中应用数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用．关键词：泰勒公式;数学分析;导数 Taylor Formula and Its Application in Solving Problem Mathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHua Abstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications. Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative.

浅谈泰勒公式及其应用

浅谈泰勒公式及其应用摘要：大学泰勒公式在数学分析中是极其重要的公式，并且在经济领域中也占有一席之地。泰勒公式是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，在近似计算上有着独特的优势，在微积分的各个方面有着重要的应用。本文主要对泰勒公式在求极限、估计误差、证明求解积分、经济学计算等几个方面的应用给予举例说明进行研究。关键词：泰勒公式求极限不等式行列式泰勒公式的应用 1、利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具。利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项。当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限。例1 求2 2 4 0cos lim x x x e x - →- 分析：此题分母为4 x ，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单。解：因为 2 211()2! x e x x o x =++ + 将x 换成2 2 x -有 222222 2 11()()(())22!22 x x x x e o - =+-+-+- 又 24 4cos 1()2!4! x x x o x =-++ 所以 24442 111 cos ( )()()2484 x x e x o x o x --=-+-

4 41()12 x o x =- + 故 24 42 4 41() cos 1 12lim lim 12 x x x x o x x e x x - →∞→∞- +-==- 例2 求极限2 2 40cos lim sin x x x e x -→- 解：因为分母的次数为4，所以只要把cos x ，2 2 x e -展开到x 的4次幂即可。 24 411cos 1()2!4! x x x o x =-++ 2222 42 11()()22!2 x x x e o x -=-+-+ 故 22 40cos lim sin x x x e x -→- 4 44011( )() 4!8lim x x o x x →-+= 1 12 =- 带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单。例4 2 128 x x ≈+- []0,1x ∈ 的绝对误差。解：设( )f x =,则因为 ()01f = ()()1 2112f x x - '=+ ()102 f '= ()()3 2114f x x - ''=-+ ()104 f ''=- ()()5 2318 f x x - '''=+ 所以 ( )f x =带有拉格朗日型余项的二阶麦克劳林公式为：

开题报告浅谈泰勒公式及其应用

附件 7 论文（设计）管理表一昌吉学院本科毕业论文（设计）开题报告论文（设计）题目浅谈泰勒公式及其应用系（院）数学系专业班级数学与应用数学 B1002 学科理学学生姓名马尚红指导教师姓名马园媛学号 1025809043 职称讲师一、选题的根据（ 1、内容包括：选题的来源及意义，国内外研究状况，本选题的研究目标、内容创新点及主要参考文献等。 2、撰写要求：宋体、小四号。） 1. 选题的来源及意义泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式的初衷是用多项式来近似表示函数在某点周围的情况。比如说，指数函数 e x 在x 0的附近可以用以 2 3 n 下多项式来近似地表示： e x 1 x x x x 称为指数函数在 0处的 n 阶泰勒 2! 3! n! 展开公式。这个公式只对 0附近的 x 有用， x 离 0越远，这个公式就越不准确。实际函数值和多项式的偏差称为泰勒公式的余项。对于一般的函数，泰勒公式的系数的选择依赖于函数在一点的各阶导数值，这个想法的原由可以由微分的定义开始。微分是函数在一点附近的最佳线性近似： f a h f a f ' a h o h ，其中 o h 是比 h 高阶的无穷小。也就是说 f a h f a f ' a h,或 f x f a f ' a x a .注意到 f x 和 f ' a x a 在a 处的零阶导数和一阶导数都相同。对足够光滑的函数，如果一个多项式在 a 处的前 n 次导数值都与函数在 a 处的前 n 次导数值重合，那么这个多项式应该能很好地近似描述函数在 a 附近的情况。对于多元函数，也有类似的泰勒公式。设 a,r 是欧几里得空间 RN 中的开球， f 是定义在 a,r 的闭包上的实值函数，并在每一点都存在所有的 n 1次偏导数。这时的泰勒公式为：对所有， f x 1 f a x a x x a ，其中的是多重指标 0 ! x n 1 泰勒公式也是大学数学中的一个重要知识，由此本文将总结几种泰勒公式的证明及其应用。其泰勒公式在近似计算，求极限，判断函数凸凹性等方面的应用，除此之外，它还可应用于行列式，证明不等式，判断无穷级数、无穷积分的收敛性，求函数导数的中值估计、求曲面的渐进线方程，高阶求导等等。 2. 国内外研究状况其中的余项也满足不等式：对所有 n 1的满足 x

泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用（河南城建学院数理系河南平顶山 467044）摘要泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具, 它的用途很广泛.本文详细介绍泰勒公式及其应用在数学领域上的几个应用作论述.文章除了对泰勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、外推和求曲线的渐近线方程上作解求证明外，特别地，泰勒公式还对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用、界的估计和展开的唯一性问题这4个领域的应用做详细的介绍. 关键词泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项

Abstract Taylor’s formula is the mathematical analysis of the important part, it has become a research function theory method and estimat-ed error limit of the indispensable tools such as a concentrated exp -ression of the calculus, “approximation” of the essence, which is the value of the Calculus theorem is also of high order derivative function of an important tool for state, its use is very wide. This paper introduces the Taylor formula and its applications in mathema -tics for discussion on several applications. In addition to Taylor’s article in the commonly used approximation formula, find the limit, Inequality, extrapolation, demand curve equation and determine the asymptotic line on the Convergence of Solutions of applications as shown, in particular, the Taylor formula also Convexity and the in flection point of the function to judge, Generalized Integral Converg -ence application, industry estimates and launched the only problem the application of these four areas a detailed introduction. Keywords：Taylor formula，Peano remainder，Lagrange Remainder

泰勒公式的应用

泰勒公式及其应用

摘要文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。关键词：泰勒公式，最优化理论，应用

一、泰勒公式 1.1 一元泰勒公式若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和： 1 0)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()!1() (++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数，该余项)(x R n 为拉格朗日余项。 1.1.1 泰勒公式的推导过程我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式： n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= 来近似表达函数)(x f ；设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以 )(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 !2)(02x f a ''= n n a n x p !)(0) (=，所以有! )(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(! )()(!2)())(()()(00)(2 00000-++-''+ -'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）：设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n 所以有0)()()()(0) (000===''='=x R x R x R x R n n n n n 根据柯西中值定理可得： n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数；对上式再次使用柯西中值定理，可得：

泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用 [摘要] 文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,针对泰勒公式的应用讨论了九个问题，即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性,判断函数的极值,求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值. [关键词] 泰勒公式；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值;展开式;近似计算;行列式. １引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２预备知识定义2.1]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有 '''200000()() ()()()()1!2! f x f x f x f x x x x x =+-+-+ ()000() ()(())! n n n f x x x o x x n +-+- （1）这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式. 当0x =0时,（1）式变成)(! )0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n n n x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.

定义2.2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则 ''()' 2 0000000()()()()()()()...()()2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ , （2）这里 ()n R x 为拉格朗日余项(1)10() ()()(1)! n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式. 当0x =0时,（2）式变成''()' 2(0)(0)()(0)(0)...()2!! n n n f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式. 常见函数的展开式： 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ . )()! 12()1(!5!3sin 221 253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)! n n n x x x x x o x n =-+-++-+ . )(1 )1(32)1ln(11 32++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(111 2n n x o x x x x +++++=- +-+ +=+2 ! 2)1(1)1(x m m mx x m . 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得

(完整版)泰勒公式及其应用(数学考研)

第2章预备知识前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的．给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有： )()()()(000x x x f x f x x f ?+?'+=?+ο 这样当1<

泰勒公式及其应用论

本科毕业论文(设计) 论文题目：泰勒公式及其应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学班级：指导教师：完成日期：2012年 5月20日

泰勒公式及其应用内容摘要本文介绍泰勒公式及其应用，分为两大部分：第一部分介绍了泰勒公式的相关基础知识，包括带Lagrange余项、带Peano余项两类不同泰勒公式；第二部分通过详细的例题介绍了泰勒公式在八个方面的应用. 通过本文的阅读，可以提高对泰勒公式及其应用的认识，明确其在解题中的作用，为我们以后更好的应用它解决实际问题打好坚实的基础. 关键词：泰勒公式 Lagrange余项 Peano余项应用

The Taylor Formula and The Application Of Taylor Formula Abstract This paper focuses on Taylor formula and the application of Taylor formula. It has two parts. The first part of this paper introduces the basic knowledge of the Taylor formula,Including Taylor formula with Lagrange residual term and with Peano residual term. With the detailed examples,The second part introduces eight applications of Taylor formula. By reading this paper,you can build a preliminary understanding of Taylor formula,define the function in problem solving ,in the later application that can be a good reference. Key Words:Taylor formula Lagrange residual term Peano residual term application

泰勒公式及其应用典型例题

泰勒公式及其应用常用近似公式，将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当较大时），从下图可看出。上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进： 1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。 2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“心中不安”。将上述两个想法作进一步地数学化：对复杂函数，想找多项式来近似表示它。自然地，我们希望尽可能多地反映出函数所具有的性态——如：在某点处的值与导数值；我们还关心的形式如何确定；近似所产生的误差。【问题一】设在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于的次多项式

近似? 【问题二】若问题一的解存在，其误差的表达式是什么? 一、【求解问题一】问题一的求解就是确定多项式的系数。 …………… 上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：

于是，所求的多项式为： (2) 二、【解决问题二】泰勒(Tayler)中值定理若函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时，可以表示成这里是与之间的某个值。先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：

这表明：只要对函数及在与之间反复使用次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。【证明】以与为端点的区间或记为，。函数在上具有直至阶的导数，且函数在上有直至阶的非零导数，且于是，对函数及在上反复使用次柯西中值定理，有

三、几个概念 1、此式称为函数按的幂次展开到阶的泰勒公式；或者称之为函数在点处的阶泰勒展开式。当时，泰勒公式变为这正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我们也称泰勒公式中的余项。为拉格朗日余项。 2、对固定的，若有

中期报告：泰勒公式的几种应用论文

数学与统计学学院中期报告学院: 数学与统计学学院专业: 信息与计算科学年级:2009 题目:泰勒公式的几种用法学生姓名学号: 指导教师姓名:俞诗秋职称:副教授 2011年6月10日目录摘要 (1) Abstract (2)

引言 ........................................................................ 2 1 利用泰勒公式进行化简计算 ................................................. 3 1.1 泰勒公式在近似计算上的应用 ........................................... 3 1.2 泰勒公式在求极限上的应用 ............................................. 3 1.3 泰勒公式在求解同余式上的应用 ......................................... 4 2 泰勒公式在构造母函数)(x G 上的应用........................................ 6 3 泰勒公式在求解线性空间极大无关组上的应用 ................................. 6 结论 ........................................................................ 7 参考文献 (8) 泰勒公式的几种应用摘要：若函数)(x f 在],[b a 上存在直至n 阶的连续导函数，在),(b a 内存在)1(+n 阶的导函数则对于任意给定的0,x x ],[b a ∈至少存在一点ξ),(b a ∈使得： n n x x n x f x x x f x f x f )(!)())(()()(00)(00' 0-++-+= +10)1()()! 1()(++-+n n x x n f ξ[1]，

关于泰勒公式的论文

泰勒公式及其应用臧树霞摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具, 它的用途很广泛.本文详细介绍泰勒公式及其应用在数学领域几个应用作论述。文章除了对泰勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、行列式的计算、求高阶导数在某点的数值、根的唯一存在性的证明、判断函数的极值外，特别的，泰勒公式还对函数凹凸性及拐点判断的应用做详细的介绍。关键词：泰勒公式；佩亚诺余项；拉格朗日余项 Taylor’s Formula and its Application Zhang shu-xia Abstract：Taylor’s formula is the mathematical analysis of the important part, it has become a research function theory method and estimated error limit of the indispensable tools such as a concentrated expression of the calculus, “approximation” of the essence, which is the value of the Calculus theorem is also of high order derivative function of an important tool for state, its use is very wide. This paper introduces the Taylor formula and its applications in mathematics for discussion on several applications. Article in addition to the common Taylor formula for approximate calculation, limit, inequality, the determinant calculation, high derivatives at come point the only numerical, root the existence of proof, judging function outside the extremum, special, Taylor formula also for function convexity and application of inflexion point judge detail. Keyword:Taylor formula, Peano remainder, Lagrange remainder

带佩亚诺型余项的泰勒公式的应用毕业论文

题目：带佩亚诺型余项的泰勒公式的应用院（系）专业：数学系（数学与应用数学）学生姓名: 段国珍学号： 2003701146 导师（职称）：杨慧章 (助教) 日期： 2007年6月毕业生毕业论文（设计）

摘要带佩亚诺型余项的泰勒公式，尽管佩亚诺型余项只是给出了其误差的定性描述，无法进行定量的计算，但它在求极限、估计无穷小量的阶、判定敛散性、计算函数的极值和拐点及求高阶导数中起着重要作用。本文将介绍其应用技巧。关键词：泰勒公式；佩亚诺型余项；应用技巧

Abstract The Taylor formula with Peano remainder term only give the qualitative description other than quantitative description about the Peano remainder term.However,it is very important in the calculation of the limits and limit value of functions, the estimation of the order about the infinitesimal of higher order,the judgement of the convergence of functions ,and so on.In this paper,we will mainly introduce its application skills. Key words : Taylor formula；Peano remainder term；Skills

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