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专题11 定积分求值问题

【高考地位】

定积分的求值在高考中多以选择题、填空题类型考查,属于中低档题,其试题难度考查相对较小,重点考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理,注重定积分与其他知识的结合如三角函数、立体几何、解析几何等.

【方法点评】

类型一 利用微积分基本定理求定积分

使用情景:一般函数类型

解题模板:第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ;

第二步 求方程'()0f x =的根;

第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号; 第四步 利用结论写出极值.

例1计算1

12e x dx x ??+ ??

??

]

【变式演练1】计算3

4

|2|x dx -+?

.

【变式演练2】定积分

?-=+22

)cos 1(π

πdx x .

【变式演练3】如图,直线y kx =将抛物线2

y x x =-与x 轴所围图形分成面积相等的两部分,则

k = .

【变式演练4】若1

()()f x f x dx x +

=?

, 则1

()f x dx =?_________.

【变式演练5】曲线21y x =-与直线2,0x y ==所围成的区域的面积为 .

【变式演练6】设2

0lg 0()30a

x x f x x t dt x >??

=?+???…若((1))1f f =,则a = . 【变式演练7】由直线,,033

x x y ππ

=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为( )

A .12

B .1 C

类型二 利用定积分的几何意义求定积分

使用情景:被积函数的原函数不易求出 解题模板:第一步 画出被积函数的图像;

第二步 作出直线计算函数,,0x a x b y ===所围成的图形; 第三步 求曲边梯形的面积的代数和的方法求定积分.

例2 计算定积分dx x ?

-1

24.

【变式演练8】

=---?dx x x )2)1(1(

10

2

【变式演练9】计算定积分

1

1

(sin )x x dx -+=?

.

【变式演练10

】已知函数2(0)()0)

x x f x x ?≤?

=>,则21

()f x dx -=?( )

A .13π-

B .13π+

C .143π+

D .1

23

π-

【变式演练11】函数(

)()()

22,20,02x f x x x x -≤<=-≤≤??的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )

A .1π+ B. 5π- C. 3π- D. 1π- 【变式演练12】已知数列{}n a 为等差数列,

且201320150

a a +=?

,则()20142012

2014

2016

2a a a a

++的

值为( )

A .π

B .2π

C .2

π D .2

类型三 导数与定积分的综合应用

例 3 如图所示,抛物线21y x =-与x 轴所围成的区域是一块等待开垦的土地,现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD 作为工业用地,其中A 、B 在抛物线上,C 、D 在x 轴上.已知工业用地每单位面积价值为3a 元(0)a >,其它的三个边角地块每单位面积价值a 元. (1)求等待开垦土地的面积;

(2)如何确定点C 的位置,才能使得整块土地总价值最大.

【变式演练13】已知20

()(28)(0)x

F x t t dt x =+->?

(1)求()F x 的单调区间;

(2)求函数()F x 在[1

3],上的最值. 【变式演练14】已知通过点(1,2),与有一个交点,交点横坐标为,且.如

图所示:

设与所围成的面积为S ,则S 取得最小值为 .

【变式演练15】如图,已知二次函数2

()f x ax bx c =++的图像过点(0,0),(1,0)和(2,6),直线1:2l x =,直线2:3l y tx =(其中11t -<<,t 为常数);若直线2l 与函数()f x 的图像以及直线12,l l 与函数()f x 以及的图像所围成的封闭图形如阴影所示. (1)求()y f x =;

(2)求阴影面积s 关于t 的函数()y s t =的解析式;

(3)若过点(1,)(4)A m m ≠可作曲线()()s t t R ∈的三条切线,求实数m 的取值范围.

【高考再现】

1. 【2015高考湖南,理11】2

0(1)x dx ?-= .

2.【2015高考天津,理11】曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 .

3.【2015高考陕西,理16】如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .

【反馈练习】

1. 由曲线y =,直线2y x =-及x 轴所围成的图形的面积为

A .103

B .4

C .16

3

D .6

2.

2

22

=

--?

-dx x x m

,则m 等于

A .-1

B .0

C .1

D .2

3.曲线3:(0)C y x x =≥在点1x =处的切线为l ,则由曲线C 、直线l 及x 轴围成的封闭图形的面积是( ). A .1 B .112 C . 43 D .3

4

4.由曲线y =

2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为( )

A .4

B .6

C .103

D .16

3

5.

=( )

A .2π

B .π

C .2π

D .4

π 6.下列积分值等于1的是( )

A .

?

1

xdx B .22

(cos )x dx π

π--? C

.1

-?

D .

1

1e

dx x

?

7.若2

211

S x dx =

?

,2

21

1

S dx x

=?

,231x S e dx =?,则123,,S S S 的大小关系为( )

A .S 1

B .S 2

C .S 2

D .S 3

3

x x y π

π

=-

=

=与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为( )

A .

12 B .1 C

9.如图,阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形,则该阴影区域的面积是 .

10.函数()2cos 02y x x π=≤≤和2y =的图像围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积为____________________.

11.曲线21y x =-与直线2,0x y ==所围成的区域的面积为 .

12.设2

lg 0()30

a

x x f x x t dt x >??=?+???…若((1))1f f =,则a = .

13.定义F(x,y)=(1+x)y

,x,y ∈(0,+∞).令函数f(x)=F(1,log 2(x 2

-4x+9))的图象为曲线C 1,曲线C 1与y 轴交

于点A(0,m),过坐标原点O 向曲线C 1作切线,切点为B(n,t)(n>0),设曲线C 1在点A,B 之间的曲线段与线段OA,OB 所围成图形的面积为S,求S 的值.

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