上海市松江区2014学年度第一学期高三期末考试
数学试卷
（满分150分，完卷时间120分钟） 2015.1
一、填空题 (本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每
个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若复数满足
4
01z z
-=,则的值为 ▲ ． 2．已知()log (0,1)a f x x a a =>≠，且1(1)2f --=，则1()f x -= ▲ ． 3．在等差数列{}n a 中，256,15a a ==,则246810a a a a a ++++= ▲ ． 4．已知正方形
的边长为,
为
的中点，则AE BD ?
= ▲ ．
5．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1BC 与平面ABCD 所成的角为60?，则1BC 与
AC 所成的角为
▲ （结果用反三角函数表示）．
6．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴都相切，则该圆的标准方程是 ▲ ．
7．按如图所示的流程图运算，则输出的 ▲ ．
8．已知函数()sin()3
f x x π
ω=+（1，1）的最小正周期为1，将1图像向左
平移1个单位长度1所得图像关于1 ▲ ． 9．已知双曲线22
214x y b
-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲
线的焦点到其渐近线的距离为 ▲ ．
10．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是5的概率为 ▲ ．
11．(理)已知函数1()sin 2212f x x x =+，若2()l o g f x t ≥
对x R ∈恒成立，
则t 的取值范围为 ▲ ． 11．（文）函数1()sin 2212f x x x =+的单调递增区间为 ▲ ． 12．某同学为研究函数())01f x x =≤≤的性质，构造了如图所示的两个边长为1
的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =，则
()f x AP PF =+．此时max min ()()f x f x += ▲ ．
13．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，1()12x
f x ??
=- ???
．若函数()()log (2)(1)a g x f x x a =-+>在区间
(]2,6-恰有3个不同的零点，则a 的取值范围是 ▲ ． 14．（理）在正项等比数列{}n a 中，已知120151a a <=，若集合
12121110,t t A t
a a a t N a a a *????????
??
=-+-+
+-≤∈?? ? ? ???????
???
?
，则A 中元素个数为 ▲ ．
z z S =第7题
14．（文）在正项等比数列{}n a 中，已知141a a <=，若集合
12121110,t t A t
a a a t N a a a *????????
??
=-+-+
+-≤∈?? ? ? ???????????
，则A 中元素个数为 ▲ ．
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号
上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知,p q R ∈，则“0q p <<”是“1p
q
<”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
16
．若二项式23n
x ?
?
*()n N ∈展开式中含有常数项，则n 的最小取值是
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
17．设P 是ABC ?所在平面内一点，2BC BA BP +=则
A ．0PA P
B += B ．0PB P
C += C ．0PC PA +=
D ．0PA PB PC ++=
18．已知满足条件221x y +≤的点(,)x y 构成的平面区域面积为1S ，满足条件22[][]1x y +≤的点(,)x y 构成
的平面区域的面积为2S ,其中[][]x y 、分别表示不大于,x y 的最大整数，例如：[0.4]1-=-，[1.7]1=，则12
S S 与的关系是
A ．12S S <
B ．12S S =
C ．12S S >
D ．123S S π+=+
三．解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必
要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分
在ABC ?中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且满足a b c <<,2sin b a B =． （1）求A 的大小；
（2）若2a =
，b =ABC ?的面积．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
已知函数()(0,1,)x b f x a a a b R +=>≠∈． （1）若()f x 为偶函数，求b 的值；
（2）若()f x 在区间[)2,+∞上是增函数，试求a 、b 应满足的条件．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时。如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的
2
3
(细
管长度忽略不计)．
（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm 3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒（精确到1秒）？
（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度（精确到0.1cm ）．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分 已知数列{}n a 的首项为1，记1212()k
n
n
n k n n n f n a C a C a C a C =++++
+(*n N ∈).
（1）若{}n a 为常数列，求(4)f 的值；
（2）若{}n a 为公比为2的等比数列，求()f n 的解析式；
（3）是否存在等差数列{}n a ，使得()1(1)2n f n n -=-对一切*n N ∈都成立?若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
（理）对于曲线:(,)0C f x y =，若存在最小的非负实数m 和n ，使得曲线C 上任意一点(,)P x y ，||,||x m y n ≤≤恒成立，则称曲线C 为有界曲线，且称点集{(,),}x y x m y n ≤≤为曲线C 的界域．
（1）写出曲线22(1)4x y -+=的界域；
（2）已知曲线M 上任意一点P 到坐标原点O 与直线1x =的距离之和等于3，曲线M 是否为有界曲线，若是，求出其界域，若不是，请说明理由；
（3）已知曲线C 上任意一点(,)P x y 到定点12(1,0),(1,0)F F -的距离之积为常数(0)a a >，求曲线的界域．
（文）对于曲线:(,)0C f x y =，若存在非负实数M 和m ，使得曲线C 上任意一点(,)P x y ，
||m OP M ≤≤恒成立(其中O 为坐标原点)，则称曲线C 为有界曲线，且称M 的最小值0M 为曲线C 的外确界，m 的最大值0m 为曲线C 的内确界．
（1）写出曲线1(04)x y x +=<<的外确界0M 与内确界0m ；
（2）曲线24y x =与曲线22(1)4x y -+=是否为有界曲线？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；
（3）已知曲线C 上任意一点(,)P x y 到定点12(1,0),(1,0)F F -的距离之积为常数(0)a a >，求曲线C 的外确界与内确界．
上海市松江区2014学年度第一学期高三期末考试
数学（文理合卷）试卷参考答案
2015.1
一、填空题
1． 2i ± 2． 12x
??
???
3．90 4．2
5． 6． ()()22211x y -+-= 7．20 8．
12π
9．
10．1
3
11．(理)(0,1] （文）5[,]()1212
k k k Z ππ
ππ-+∈ 121
13．)2 14． （理）4029 （文） 7
二、选择题
15．A 16． D 17．C 18．A
三、解答题 19． 解：（1）2sin b a B = sin 2sin sin B A B ∴=……………2分
sin 0B >1
sin 2
A ∴=
……………4分 由于a b c <<，A ∴为锐角，6
A π
∴=
……………6分
（2）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-,
24122c c ∴=+-?8分 2680c c -+=，2c =或4c =
由于a b c <<，4c =……………10分
所以1
sin 2
S bc A ==12分
20． 解：（1）()f x 为偶函数，∴对任意的x R ∈，都有()()f x f x -=，……………2分
即x b x b a a +-+= x b x b +=-+ ……………4分 得 0b =。……………6分
（2）记()x b x b h x x b x b x b
+≥-?=+=?--<-?，……………8分
①当1a >时，()f x 在区间[)2,+∞上是增函数，即()h x 在区间[)2,+∞上是增函数， ∴2b -≤，2b ≥-……………10分
②当01a <<时，()f x 在区间[)2,+∞上是增函数，即()h x 在区间[)2,+∞上是减函数但()h x 在区间
[),b -+∞上是增函数，故不可能……………12分
∴()f x 在区间[)2,+∞上是增函数时，a 、b 应满足的条件为1a >且2b ≥-……14分
21．
解（1）开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高
为216833H =?=，底面半径为28
433r =?=……………2分
2
211816
3333V r H ππ??==??= ???
39.71……………5分
0.021986V ÷=（秒）
所以，沙全部漏入下部约需1986秒。……………7分
（2）细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径4，……………9分 设高为H '
2110244381V H ππ'=??=……………12分
64
2.37 2.427
H '=
=≈ 锥形沙堆的高度约为2.4cm. ……………14分22． 22．
解:（1）∵{}n a 为常数列，∴1n a =()n N +∈.
∴12344
444(4)15f C C C C =+++=……………4分 （2）∵{}n a 为公比为2的等比数列，∴12n n a -=()n N +∈.……………6分
∴1231()242n n
n
n n n f n C C C C -=++++，
∴12233
12()12222n n
n
n n n f n C C C C +=+++++，(12)3n n +=……………8分
故31
()2
n f n -=. ……………10分
（3）假设存在等差数列{}n a ，使得()1(1)2n f n n -=-对一切*n N ∈都成立，设公差为d ，则
1
21121()k
n n
n n k n n n
n n f n a C a C a C a C a C --=++
++
++ ……………12分 且1
21
121()n n k
n n n n k n n n f n a C a C a C a C a C --=++++++，
相加得 12
1
112()2()()k
n n n n n n n f n a a a C C C C --=+++++++，
∴12
111()()2
k n n n n n n n a a f n a C C C C --+=+++++
+
11(22)2
n
n n a a a -+=+
-[]11(1)2(2)(21)n n d n d -=+-++--. ∴[]1()1(2)2(2)2n f n d n d --=-++-(1)2n n =-恒成立，
即1(2)(2)(2)20n d d n --+--= n N +∈恒成立，∴2d =.……………15分
故{}n a 能为等差数列，使得()1(1)2n f n n -=-对一切n N +∈都成立，它的通项公式为21
n a n =-....................... 16分
（也可先特殊猜想，后一般论证及其它方法相应给分） 23． （理）（1）22(1)4x y -+= 22(1)4,4x y ∴-≤≤
13,22x y ∴-≤≤-≤≤ ∴ 界域为{(,)|||3,||2}x y x y ≤≤……………4分
（2）设(,)P x y |1|3x -= ……………6分 化简，得：24411
16812x x y x x +-≤
……………8分
12,x y ∴-≤≤-≤
∴ 界域为{(,)|||2,||x y x y ≤≤ ……………10分
（3a ……………12分
2
2
y
x a
=
22222(1)4x y x a ∴++-= 22(1)y x ∴-+
220,1y x ≥≥+
22
22(1)4x x a ∴+≤+
22
2(1)x a ∴-≤ 211a x a ∴-≤≤+ ||x ∴
22(1)y x +， ……………14分
令22
2
4
t a t x -==
22222
2
1(1)(2)4444
t a a a y t t -=-+=--+≤
当2t =，即2
2
14
a x =-时，等号成立．
若02a <≤，21[1,1]4a a a -∈-+，22
14
a x =-时，22max 4a y =
||2a y ∴≤ ……16分
若2a >，2104a -<，22
14
a x ≠-，0x ∴=时，2max 1y a =-
||y ∴ ∴ 曲线C 界域为：
①02a <≤时，{(,)||||}2
a
x y x y ≤
②2a >时，{(,)||||x y x y ≤……………18分 23．（文）
（1）曲线1(04)x y x +=<<的外确界05M =与内确界0m =．………4分 （2）对于曲线24y x =，设(,)P x y 为曲线上任意一点
||
4(0)O P x ≥ ||[0,)OP ∴∈+∞
∴曲线24y x =不是有界曲线． ……………7分 对于曲线22(1)4x y -+=
2||
)3(13)O P x +-≤≤ ||[1,3]OP ∴∈
∴曲线22(1)4x y -+=是有界曲线．外确界03M =与内确界01m =…………10分
（3a ……………12分
2
2
y
x a
=
22222(1)4x y x a ∴++-= 22(1)y x ∴+
220,1y x ≥≥+
2222(1)4x x a ∴+≤+ 22
2
(1)x a ∴-≤ 211a x a ∴-≤≤+
||O P =
……………14分
若01a <<，则，外确界0M =，内确界
0m ……………16分
若1a ≥，201x a ≤≤+0M =0m
综合得：外确界0M =0m =18分