（时间：8:00-9:20 满分：120）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.
1.若实数βα，,x 满足βαtan log tan log 33-==x ，且6
π
βα=-，则x 的值是
2. 已知集合{(,)|1M a b a =≤-，且}b m ≤，其中m R ∈．若任意(,)a b M ∈，均有230b
a b a ?--≥， 则实数m 的最大值为
3. 复数z 满足())6(223-=+iz i z z ，则z 等于
4. 已知3)31(n n n b a +=+，其中n n b a ,为整数，则=+∞→n
n
n b a lim ．
5. {}min ,a b 表示a 、b 中较小的数，不等式41min ,48min ,x x x x ????
+
≥?????????
的解集是 .
6. 在四面体ABCD 中，A D ⊥平面BCD ，∠ABD =∠BDC=?<45θ.已知E 是BD 上一点，满足C E ⊥BD 且BE=AD=1.点D 到平面ABC 的距离为13
4
，则θcos 的值为 .
7.设,A B 为抛物线2
2(0)y px p =>上相异两点，则2
2
OA OB AB +-的最小值为
8.电脑每秒钟以相同的概率输出一个数字1或2.则输出的前n 个数字之和被3整除的概率为n P = .
二、解答题：本大题共3小题，共56分.
9．在矩形ABCD 中，,(0,0)AB a AD b a b ==>>，E 为BC 边的中点，设P 、Q 分别BC 、CD 是上的动点，且满足DQ CP
QC PE
=，连接AQ 与DP 交于点M ，求动点M 轨迹方程，并指出它的形状。
10.设数列{}n a 定义为 .1,132,12
11≥++==+n a a a a n n n
（1）证明：当1>n 时，;411n n n a a a =+-+（2）证明： 2
1
311121+<
+++n a a a
11. 已知,,a b c R ∈，对任意实数x 均有2
2
|||32|ax bx c x x ++≥-+，求使2
|4|b ac -取最小值的所有实数对(),,a b c .
（时间：9:40-12:10 满分：180）
一、（本小题满分40分）
如图，四边形ABCD 内接于圆，,AB DC 延长线交于E ，,AD BC 延长线交于F ，P 为圆上任一点，
,PE PF 分别交圆于,R S ，若对角线,AC BD 交于T ， 求证：,,R S T 三点共线
二、（本小题满分40分）
给定实数()0,1r ∈，n 个复数12,,,n z z z 满足()11,2,,k z r k n -≤=
证明：()221212
11
1
1n
n
z z z n r z z z ++
++++
≥- 三、（本题满分50分）
求具有下述性质的所有整数k ：存在无穷多个正整数n 使得n k +不整除2n
n C 四、（本题满分50分）
给定整数5n ≥，求最小的整数m ，使得存在两个由整数构成的集合,A B ，同时满足以下条件： （1）,A n B m ==，且A B ?；（2）对B 中任意两个不同元素,x y 有：x y B +∈当且仅当,x y A ∈
第一试参考解答
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.
1.若实数βα，,x 满足βαtan log tan log 33-==x ，且
6
π
βα=
-，则
x
的值是
2. 已知集合{(,)|1M a b a =≤-，且}b m ≤，其中m R ∈．若任意(,)a b M ∈，均有230b
a b a ?--≥， 则实数m 的最大值为
解：令1a =-得230b
b +-≤，()23b
f b b =+-在R 上单调递增，
故()()()max 2301m f b f m m f ==+-≤=，故1m ≤，当1m =时230b
b +-≤，故对任意1,1a b ≤-≤
都有()()
2322331230b b b b a b a a a a --≥+--=+-≥成立，所以实数m 的最大值为1 3. 复数z 满足())6(223-=+iz i z z ，则z 等于
4. 已知3)31(n n n b a +=+，其中n n b a ,为整数，则=+∞→n
n
n b a lim
．
解：由条件3)31(n n n b a +=+知3)31(n n n b a -=-，
于是])31()31[(3
21
],)31()31[(21n n n n n n b a --+=-++=
， 故n n n
n n n
n n b a )31()31()31()31(3lim lim --+-++?=+∞
→+∞→3)
3131(1)3131(13lim =+--+-+?=+∞→n n n ． 5. {}min ,a b 表示a 、b 中较小的数，不等式41min ,48min ,x x x x ????
+≥?????????
的解集是 .
解:当0x >时,4424,x x x x +≥?=当0x <时, 444,x x +≤-<故min {}4,4x x +=4,
0 4
,0.x x x x >??
?+
,101;,10 x x x x x ?-<<>???≤-≤? 或或 所以有以下四种情形:当1x >时,原不等式为84x ≥,2x ≥.此 时,[)2,x ∈+∞.当01x <≤时,原不等式为148,2x x ≥≤.此时,1 (0,]2 x ∈. 当10x -<<时,原不等式为 248 4.x x x x + ≥?≤此时,(1,0)x ∈-.当1x ≤-时, 原不等式为244 87 x x x x +≥?≥.此时,(,1]x ∈-∞-. 综上所述,满足题意的x 的取值范围为1 (,0)(0,][2,).2 -∞??+∞ 6. 在四面体ABCD 中，A D ⊥平面BCD ，∠ABD =∠BDC=?<45θ.已知E 是BD 上一点，满足C E ⊥BD 且 BE=AD=1.点D 到平面ABC 的距离为134 ，则θcos 的值为 . 7.设,A B 为抛物线2 2(0)y px p =>上相异两点，则22 OA OB AB +-的最小值为 解： 设22(,),(,)22A B A B y y A y B y p p ，则2222 2222 22()(),()()22A B A B A B A B y y y y OA OB y y AB y y p p +-+=++=+-． 所以22 2 2 222 24()4[()]442A B A B A B y y y y OA OB AB y y p p p p p ??+-=+?=+-≥-． 当22A B y y p =-时， 22 OA OB AB +-取最小值2 4p -． 8.电脑每秒钟以相同的概率输出一个数字1或2.则输出的前n 个数字之和被3整除的概率为n P = . 解：这n 个数字共有2n 种可能情形。设其中数字和被3整除的有n x 种。则不被3整除的有2n n x -种。对于1 n +各数字的情形，若其和被3整除，则前n 个数字之和不被3整除；反之，对于前n 个数字之和不被3整除的 每种情形，有唯一的第1n +个数字可使前1n +个数字之和被3整除。因此，12n n n x x +=-。这表明，概率 2n n n x p = 满足递推关系式11 (1)2n n p p +=-。所以1112()32n n p ??=+-???? 法二：若输出的前n 个数字之和被3整除的概率为n p ，则不被3整除的概率为1n p -。要使输出的前1n +个数字之和被3整除，则必须使前n 个数字之和不被3整除，且此时第1n +个数字也随之确定。所以，由条件 概率的公式得11 (1)2 n n p p +=-，余下同法一。 法三：n 个数字共有2n 种可能情形。下面计算其和被3整除的种数，这等于多项式2()()n f x x x =+的展开式种3 6 ,, x x 等项的系数之和，即1 ((1)()())3 f f f ωω++。其中，132ω=- 为三次单位根，ω是其共轭复数。故11((1)()())22(1)33n n f f f ωω??++=+-??。因此，所求的概率为1112()32n n p ??=+-???? . 二、解答题：本大题共3小题，共56分. 9．在矩形ABCD 中，,(0,0)AB a AD b a b ==>>，E 为BC 边的中点，设P 、Q 分别BC 、CD 是上的 动点，且满足 DQ CP QC PE =，连接AQ 与DP 交于点M ，求动点M 轨迹方程，并指出它的形状。 解：以AD 中点为原点，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系 则0,,0,,,,,2222b b b b A D B a C a ????????-- ? ? ? ?????????设()()12,,,,,2b Q x P a y M x y ?? ??? 则由,,A M Q 共线得12b y b x x +=①，由,,D M P 共线得2 22b b y y x a --=②， （1）当P 在CE 上时由DQ CP QC PE =得DQ CP CD CE = 即2122 b y x b a -=即2122b y b x a -=- ①×②得222222 1422b b y y b b x x a a --==-，化简得22 2211124 x y a b +=易知此时0,0x y ≥≥ 轨迹形状是椭圆的一部分 （2）当P 在BE 上时由DQ CP QC PE =得DQ CP CD CP PE = +即2212 22222222b b y y x b b b a y y --==? ?-+- ?? ? 即2222 2b a y bx x b b y a a y b x ? ?- ? ? ?=????+- ? ?????+化简得222222224840b x a y abxy ab x a b -+-+= 易知此时0,0x y ><，轨迹形状是双曲线的一部分 10.设数列{}n a 定义为 .1,132,12 11≥++==+n a a a a n n n （1）证明：当1>n 时，;411n n n a a a =+-+（2）证明： 2 1 311121+< +++n a a a 11. 已知,,a b c R ∈，对任意实数x 均有22|||32|ax bx c x x ++≥-+，求使2 |4|b ac -取最小值的所有实数对(),,a b c . 解：若0a =，则不等式2 2 |||32|ax bx c x x ++≥-+可化为232bx c x x +≥-+，易知0b ≠ 则令0c x b =- ，则有200032x x ≥-+，故01x =或02x =，即2c b =-或c b =-， （1）当2c b =-时若2x ≠，则由232bx c x x +≥-+得1b x ≥-恒成立，这显然不可能 （2）当c b =-时若1x ≠，则由232bx c x x +≥-+得2b x ≥-恒成立，这显然不可能；所以0a ≠ （1）当240b ac ->时20ax bx c ++=的两根为12x x <则211032x x ≥-+且2 22032x x ≥-+， 因此121,2x x ==此时221,3,2,41a b a c a b ac a ≥=-=-=≥，等号当1,3,2a b a c a ==-=时成立 （2）当2 40b ac -≤时， 若0a >，则不等式2 2 |||32|ax bx c x x ++≥-+恒成立可化为 2232ax bx c x x ++≥-+，所以当2x ≥或1x ≤时2232ax bx c x x ++≥-+ 即()()21320a x b x c -+++-≥，令()()()2132f x a x b x c =-+++-则10a -≥ 当12x <<时2 2 32ax bx c x x ++≥-+-即()()21320a x b x c ++-++≥。 令()()()2132g x a x b x c =++-++若1a =则 ()320 b x c ++-≥恒成立，故3,2b c =-≥， 22620x x c -++≥对12x <<恒成立，所以() 2min 526202x x c c -++=- ≥，所以52 c ≥， 此时24941b ac c -=-≤-，所以2 min 41b ac -=，此时51,3,2 a b c ==-=， 当1a >时()()10,2420,f a b c f a b c =++≥=++≥（*） ()()()2 21341248641b a c b ac a b c =+---=-++++△ ()()()2 22341248641b a c b ac a b c =--++=----+△ ①若10>△，则因为2 40b ac -≤故()f x 的两根12,x x 满足121,2x x ≤≥且两个等号不能同时成立，则当 11x ≠时若11x x <<则()0f x <与()0f x ≥恒成立矛盾， 当22x ≠时若22x x <<则()0f x <与()0f x ≥恒成立矛盾，因此不合题意 ②若20>△，则因为2 40b ac -≤故()g x 的两根12,x x 满足1212x x ≤<≤且两个等号不能同时成立，则若 12x x x <<则()0f x <与()0f x ≥恒成立矛盾，因此不合题意 ③120,0≤≤△△即248641b ac a b c -≤----且2 48641b ac a b c -≤++-时 286418641 4122 a b c a b c b ac ----++--≤ +=-，等号当8640a b c ++=且120==△△时成立，由 ()()10,2420,f a b c f a b c =++≥=++≥可知，4a c a ≤≤，由222 42016419 c ac a b ac -+-= =-得 (),4c a a =因为1a =时也符合上述表达式， 因此当5421,,23 a a c a c b ±+≥==-时2 min 41b ac -=， 同理可得当421,3 a c a c b +≤-==-时2 min 41b ac -= 综上，当5421,,23 a a c a c b ±+≥==-或1,3,2a b a c a ==-=时2 |4|b ac -取得最小值1 2017年全国高中数学联赛模拟试题10 加试参考解答 （时间：9:40-12:10 满分：180） 一、（本小题满分40分） 如图，四边形ABCD 内接于圆，,AB DC 延长线交于E ，,AD BC 延长线交于F ，P 为圆上任一点， ,PE PF 分别交圆于,R S ，若对角线,AC BD 交于T ，求证：,,R S T 三点共线 二、（本小题满分40分） 给定实数()0,1r ∈，n 个复数12,,, n z z z 满足()11,2,,k z r k n -≤= 证明：()221212 11 1 1n n z z z n r z z z ++ ++++ ≥- 三、（本题满分50分） 求具有下述性质的所有整数k ：存在无穷多个正整数n 使得n k 不整除2n n C 法二：所求整数为除1以外的所有整数. 四、（本题满分50分） 给定整数5n ≥，求最小的整数m ，使得存在两个由整数构成的集合,A B ，同时满足以下条件： （1）,A n B m ==，且A B ?；（2）对B 中任意两个不同元素,x y 有：x y B +∈当且仅当,x y A ∈ 解：最小的整数m 为33n -，我们首先给出一个例子
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