解一元二次方程十字相乘法专项练习题
(1) a2－7a+6=0；(2)8x2+6x－35=0；
(3)18x2－21x+5=0；(4) 20－9y－20y2=0；
(5)2x2+3x+1=0；(6)2y2+y－6=0；
(7)6x2－13x+6=0；(8)3a2－7a－6=0；
(9)6x2－11x+3=0；(10)4m2+8m+3=0；
(11)10x2－21x+2=0；(12)8m2－22m+15=0；
(13)4n2+4n－15=0；(14)6a2+a－35=0；
(15)5x2－8x－13=0；(16)4x2+15x+9=0；
(17)15x2+x－2=0；(18)6y2+19y+10=0；
(19) 2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b) 2=0；(20)7(x－1) 2+4(x－1)－20=0
参考答案： (1)(a-6)(a-1)， (2)(2x+5)(4x-7) (3)(3x-1)(6x-5)， (4)-(4y-5)(5y+4) (5)(x+1)(2x+1)， (6)(y+2)(2y-3) (7)(2x-3)(3x-2)， (8)(a-3)(3a+2) (9)(2x-3)(3x-1)， (10)(2m+1)(2m+3) (11)(x-2)(10x-1)， (12)(2m-3)(4m-5) (13)(2n+5)(2n-3)， (14)(2a+5)(3a-7) (15)(x+1)(5x-13)， (16)(x+3)(4x+3) (17)(3x-1)(5x=2)， (18)(2y+5)(3y+2) (19)(3a-b)(5b-a)，
(20)(x+1)(7x-17)
解一元二次方程十字相乘法专项练习题 9.21
一、十字相乘分解因式：
分解因式：232++x x 232+-x x 322-+x x 322--x x 652++x x 652+-x x 652-+x x 652--x x
22-+x x 1242--x x 6322-+x x 1582+-x x
32122++x x 9102++x x 1032--x x 1522--x x
分解因式： 2522++x x 3522--x x 20322--x x 7522-+x x
3
722++x x
3
722+-x x
6722+-x x
6722+-x x
6
732-+x x
3
832-+x x
2532+-x x
2352--x x
8652-+x x 25562--x x 3762+-x x
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分解因式： ()a a x x --+22 x x x 21423-- x x x 310323+-
27624--x x 91024+-x x
2)32(3)32(2+-+-x x 120)8(22)8(222++++x x x x
二、用因式分解法解下列方程
(1) a 2－7a+6=0； (2)8x 2+6x －35=0；
(3)18x 2－21x+5=0； (4) 20－9y －20y 2=0； (5)2x 2+3x+1=0； (6)2y 2+y －6=0；
(7)6x 2－13x+6=0； (8)3a 2－7a －6=0；
(9)6x 2－11x+3=0； (10)4m 2+8m+3=0；
(11)10x 2－21x+2=0； (12)8m 2－22m+15=0；
(13)4n2+4n－15=0；(14)6a2+a－35=0；(15)5x2－8x－13=0；(16)4x2+15x+9=0；(17)15x2+x－2=0；(18)6y2+19y+10=0；
(19) 2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b) 2=0；(20)7(x－1) 2+4(x－1)－20=0
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答案：十字相乘分解因式： 分解因式：
）1)(2(232--=+-x x x x )1)(3(322-+=-+x x x x )1)(3(322+-=--x x x x )3)(2(652++=++x x x x )2)(3(652--=+-x x x x )1)(6(652-+=-+x x x x )1)(6(652+-=--x x x x )1)(2(22-+=-+x x x x )2)(6(1242+-=--x x x x )7)(9(6322-+=-+x x x x )5)(3(1582--=+-x x x x )4)(8(32122++=++x x x x )1)(9(9102++=++x x x x )2)(5(1032+-=--x x x x )3)(5(1522
+-=--x x x x
分解因式：)2)(12(2522++=++x x x x )3)(12(3522
-+=--x x x x
)4)(52(20322-+=--x x x x )1)(72(7522-+=-+x x x x )3)(12(3722++=++x x x x )3)(12(3722--=+-x x x x )2)(32(6722--=+-x x x x )2)(32(622
+-=--x x x x
)3)(23(6732+-=-+x x x x )3)(13(3832+-=-+x x x x )1)(23(2532--=+-x x x x )1)(25(2352-+=--x x x x
)2)(45(8652+-=-+x x x x )53)(52(25562+-=--x x x x )13)(32(31162--=+-x x x x
分解因式：
()
)]1()(22--+=--+a x a x a a x x 【 )3)(7(21423+-=--x x x x x x
)3)(13(310323--=+-x x x x x x )3)(3)(3(276224++-=--x x x x x
)1)(1)(3)(3(9102
4-+-+=+-x x x x x x )12)(1(22)32(3)32(2--=+-+-x x x x )6)(2)(108(120)8(22)8(2
222++++=++++x x x x x x x x
参考答案： (1)(a-6)(a-1)， (2)(2x+5)(4x-7) (3)(3x-1)(6x-5)， (4)-(4y-5)(5y+4) (5)(x+1)(2x+1)， (6)(y+2)(2y-3) (7)(2x-3)(3x-2)， (8)(a-3)(3a+2) (9)(2x-3)(3x-1)， (10)(2m+1)(2m+3) (11)(x-2)(10x-1)， (12)(2m-3)(4m-5) (13)(2n+5)(2n-3)， (14)(2a+5)(3a-7) (15)(x+1)(5x-13)， (16)(x+3)(4x+3) (17)(3x-1)(5x=2)， (18)(2y+5)(3y+2) (19)(3a-b)(5b-a)， (20)(x+1)(7x-17)
十字相乘法进行因式分解 1．二次三项式 多项式 ax 2 bx c ，称为字母 x 的二次三项式，其中 ax 2 称为二次项， bx 为一次项， c 为常数项．例如， x 2 2x 3 和 x 2 5x 6 都是关于 x 的二次三项式． 在多项式 x 2 6xy 8 y 2 中，如果把 y 看作常数，就是关于 x 的二次三项式；如果把 x 看作常数，就是关于 y 的二次三项式． 在多项式 2 2 b 2 7 ab 3 中，把 ab 看作一个整体，即 2( ab) 2 7( ab) 3，就是关于 ab a 的二次三项式．同样，多项式 ( x y)2 7( x y) 12 ，把 x ＋y 看作一个整体，就是关于 x ＋y 的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用 (ax ＋ b)(cx ＋ d)竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为 1 的二次三项式 x 2 px q ，如果能把常数项 q 分解成两个因数 a ， b 的积，并且 a ＋b 为一次项系数 p ，那么它就可以运用公式 x 2 (a b) x ab ( x a)( x b) 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项” ．公式中的 x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一 次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是 1 的二次三项式 ax 2 bx c (a ， b ，c 都是整数且 a ≠0)来说，如 果存在四个整数 a 1, a 2 , c 1, c 2 ，使 a 1 a 2 a ， c 1 c 2 c ，且 a 1c 2 a 2 c 1 b ， 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤： 先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进 行．以上步骤可用口诀概括如下： “首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，
第一章 打开原子世界的大门 一．原子结构的发现历程 二．放射性实验 #结论：原子是有结构的。原子可以再分为带正电的粒子与带负电的电子. 三．原子与相对原子质量 1．原子的构成与结构示意图 1）微粒间的关系 3）四决定 A. 质子数 = 核电荷数 = 核外电子数 = 原子序数 a. 质子数-决定元素的种类和“位置” B. 质量数 = 质子数 + 中子数 = 相对原子质量的近似值 b. 中子数-决定原子的物性和质量数 C. 阳离子核外电子数 = 质子数 - 电荷数 c. 价电子-决定元素的化学性质 D. 阴离子核外电子数 = 质子数 + 电荷数 d. 质量数-决定原子的近似相对原子质量 说明：最外层电子数相同其化学性质不一定都相同（Mg ，He 最外层电子数为2） 最外层电子数不同其化学性质有可能相似（He ，Ne 均为稳定结构） 2. 同位素 1）含义：具有相同质子数和不同中子数的同一种元素的原子互称为“同位素”。 本质 性质 α辐射 氦核流 带正电，穿透性弱 β辐射 电子流 带负电，穿透性强 γ射线 电磁波 呈电中性，穿透性很强
2）性质：a、同一元素的各种同位素虽然质量不同，化学性质相同 b、在天然存在的某种元素里不论是游离态还是化合态,各同位素所占原子百分率（丰度）不变 3．元素的相对原子质量 对于元素的相对原子质量是各种同位素相对原子质量根据其所占的原子百分率计算而得的平均值。 是元素的相对原子质量，，，是该元素各种同位素的相对原子质量，，，是各同位素所占的原子百分数。 4．十字相乘法算丰度 元素A有两种天然同位素X A、Y A,参考A元素的相对原子质量(B),估算X A，Y A的丰度. X B-Y ╲╱ B ╱╲ Y X-B X A的丰度= (B-Y)/(X -Y) ，Y A的丰度= (B-Y)/(X -Y) 四．核外电子 1．核外电子的运动状态 1）宏观的运动规律： a. 可确定在某一时刻所处的精确位置 b. 有运动轨迹，即固定轨道 2）电子的运动规律 a. 无法确定在某一时刻所处准确位置 b. 不能确定其运动轨迹，即没有确定轨道 2．核外电子的排布规律 A. 各电子层最多容纳的电子数2 n2 B. 最外层不超过8个电子（K层为最外层时，则不超过2个） 当最外层达到8个（K层为2），就达到了稀有气体稳定结构 C. 次外层不超过18个电子，倒数第三层不超过32个电子 如：M层不是最外层最多可排18个电子; M层是最外层时最多可排8个电子。 总结：电子总是由里向外依次排布（能量低的电子层排满了才依次排能量较高的电子层） 3．元素性质与元素的原子核外电子排布的关系 1）稀有气体元素不活泼性：稀有气体元素的原子最外层排满（He 2个），处于8电子，稳定结构，不易失电子，也不易得电子，化学性质稳定，一般不与其他物质反应。 2）金属性与非金属性： 最外层电子数结构的稳定性得失电子 金属元素原子比较少( < 4 ) 不稳定易失电子 非金属元素原子比较多( > 4 ) 不稳定易得电子 稳定结构一般不参加反应 稀有气体元素原子8个( He 2 个) 4．电子式 1）离子的电子式 a、简单阳离子的电子式：就是它们的离子符号如：Na+、Mg 2+、Al 3+ 复杂阳离子的电子式：
十字相乘法进行因式分解 【基础知识精讲】 【重点难点解析】 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2 ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652 ++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式3722 2+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 【典型热点考题】 例1 把下列各式分解因式： （1）1522 --x x ； （2）2 265y xy x +-． 例2 把下列各式分解因式： （1）3522 --x x ；（2）3832 -+x x ．
例3 把下列各式分解因式： （1）9102 4 +-x x ； （2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+； （3）120)8(22)8(222++++a a a a ． 点悟：（1）把2 x 看作一整体，从而转化为关于2 x 的二次三项式； （2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式； （3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式． 因式分解之十字相乘法专项练习题 (1) a 2－7a+6； (2)8x 2+6x －35；
十字相乘法进行因式分解 1．二次三项式 多项式ax2 bx c ，称为字母x的二次三项式，其中ax 2称为二次项，bx为一次项， c 为常数项．例如，x2 2x 3和x2 5x 6都是关于x的二次三项式． 在多项式x2 6xy 8 y2中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式2a2b2 7ab 3 中，把ab 看作一个整体，即2(ab)2 7(ab) 3，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式(x y)2 7(x y) 12 ，把x＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是： (1)对于二次项系数为1 的二次三项式x2 px q ，如果能把常数项q 分解成两个因数a， b 的积，并且a＋b 为一次项系数p，那么它就可以运用公式 2 x (a b)x ab (x a)( x b) 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项” ．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． (2)对于二次项系数不是 1 的二次三项式ax2 bx c(a，b，c 都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数a1,a2,c1,c2，使a1 a2 a，c1 c2 c，且a1c2 a2c1 b， 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 十字相乘法培优 知识点讲解: 一、十字相乘法： （1）．2()x p q x pq +++型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． 因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 例1把下列各式因式分解： (1) 276x x -+ (2) 2 1336x x ++ 变式 1、22215a b ab -- 2、422318a b a b -- 例2把下列各式因式分解： ⑴2243a ab b -+ ⑵222()8()12x x x x +-++ 变式1、22215x xy y -- 2.、2256x xy y +- 3、22421x xy y +- 4、22712x xy y ++ 例3把下列各式因式分解： ⑴2()4()12x y x y +-+- ⑵2()5()6x y x y +-+- 变式1、2()9()14x y x y +-++ 2、2()5()4x y x y ++++ 3、2()6()16x y x y +++- 4、2()7()30x y x y +++- 例4 ⑴ 223310x y xy y -- ⑵2234710a b ab b -+ 变式⑴222(3)2(3)8x x x x +-+- ⑵22(2)(22)3x x x x ---- ⑶32231848x x y xy -- ⑷222(5)2(5)24x x x x +-+- ⑸22(2)(27)8x x x x ++-- ⑹4254x x -+ （2）．一般二次三项式2 ax bx c ++型的因式分解 大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++
十字相乘法概念 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项a分解成两个因数a1,a2的积 a1?a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接 写成结果:在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下： a1 c1 ╳ a2 c2 a1a2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1a2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即 a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法. 就是比较两个分数的大小 例;a/b与c/d 则=ad与cb 就是两个分子分母互相乘 来比较乘积的大小 先看一则例子 例：将质量分数分别为30%和5%的盐酸按一定比例混合后得到质量分数为10%的盐酸，计算需加入的30%和5%盐酸的质量比是多少？ 分析：可用十字交叉法进行计算 [解]设：30%和质量5%的盐酸的质量为x和y，有 x 30%\ /10%-5% 5% 1 — = 10% ———= —= — y 5%/ \30%-10% 20% 4 答：需要的30%和5%的盐酸的质量为1：4 什么是十字交叉法？ 即根据质量分数不同（如a，b，且a>b）的两份溶液按比例混合后得到另一质量分数的溶液（如c），则混合前溶液的质量（如x和y）比例可用以下公式进行计算： （说明：混合前a>b，混合后的质量分数大小必为a 用十字相乘法分解因式 十字相乘法： 一．2()x p q x pq +++型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 例1把下列各式因式分解： (1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ 变式 1、22215a b ab -- 2、422318a b a b -- 例2把下列各式因式分解： ⑴2243a ab b -+ ⑵222()8()12x x x x +-++ 变式 1、22215x xy y -- 2.、2256x xy y +- 例3把下列各式因式分解 ⑴ 223310x y x y y -- ⑵2234710a b ab b -+ 变式 ⑴222(3)2(3)8x x x x +-+- ⑵22(2)(22)3x x x x ---- 二．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 例4把下列各式因式分解： (1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +- 练习： 1、.因式分解：1、6732-+x x 2、 3832-+x x 例5把下列各式因式分解： （1）422416654y y x x +-； （2） 633687b b a a --； 练习：234456a a a --； 422469374b a b a a +-． 例6把下列各式因式分解 2222-+--+y y x xy x 练习： 233222++-+-y y x xy x 变式：分解因式：22 2456x xy y x y +--+- 变式：. 若x y mx y 2256-++-能分解为两个一次因式的积，求m 的值 第一章打开原子世界的大门 历程中的观点代表人物和时间具体内容提出模型的主要 依据 古典原子论公元前 5 世纪 古希腊哲学家德 谟克利特 物质由极小的称为“原子”的微粒构 成 , 物质只能分割到原子 近代原子论19 世纪初英国物 理学家和化学家 道尔顿 化学元素均由不可再生的微粒构 成 , 这种微粒称为原子 葡萄干面包模型1903 年英国科学 家汤姆孙 原子中的正电荷是均匀地分布在整 个原子的球形体内 , 电子则均匀地 分布在这些正电荷之间 电子的发现 行星模型1911 年英国物理 学家卢瑟福 原子是由带正电荷的质量很集中的 很小的原子核和在它周围运动着的 带负电荷的电子组成 元素放射性的发 现, α 粒子散射 实验结果分析 壳层模型1913 年丹麦物理 学家波尔 电子在原子核外空间的一定轨道上 分层绕核做高速的圆周运动。 电子云模型1935 年奥地利物 理学家薛定谔 电子在原子核外很小的空间内作 高速运动，其运动规律跟一般物体 不同，它没有明确的轨道。 一．原子结构的发现历程 二．放射性实验 本质性质 α 辐射氦核流带正电，穿透性弱 β 辐射电子流带负电，穿透性强 γ 射线电磁波呈电中性，穿透性很强 # 结论：原子是有结构的。原子可以再分为带正电的粒子与带负电的电子 . 三．原子与相对原子质量 1 ．原子的构成与结构示意图 1 ）微粒间的关系 3 ）四决定 A . 质子数 = 核电荷数 = 核外电子数 = 原子序数 a. 质子数 - 决定元素的种 类和“位置” B . 质量数 = 质子数 + 中子数 = 相对原子质量的近似值 b. 中子数 - 决定原 子的物性和质量数 C . 阳离子核外电子数 = 质子数 - 电荷数 c. 价电子 - 决定元素的化学性 质 D . 阴离子核外电子数 = 质子数 + 电荷数 d. 质量数 - 决定原子的近似相对 原子质量 说明：最外层电子数相同其化学性质不一定都相同（ Mg ， He 最外层电子数为 2 ） 最外层电子数不同其化学性质有可能相似（ He ， Ne 均为稳定结构） 2. 同位素 1 ）含义：具有相同质子数和不同中子数的同一种元素的原子互称为“同位素”。 2 ）性质： a 、同一元素的各种同位素虽然质量不同，化学性质相同 b 、在天然存在的某种元素里不论是游离态还是化合态 , 各同位素所占原子百分率（丰度）不变 3 ．元素的相对原子质量 对于元素的相对原子质量是各种同位素相对原子质量根据其所占的原子百分率计 算而得的平均值。 是元素的相对原子质量，是该元素各种同位素的相对原子质量，是各同位素所占的原子百分数。 4 ．十字相乘法算丰度 初中因式分解典型例题汇总 例 1 多项式x +ax+b因式分解为(x+1)(x-2)，求a+b的值． 分析 根据因式分解的概念可知因式分解是一种恒等变形，而恒等式 中的对应项系数是相等的，从而可以求出 a 和 b，于是问题便得到解 决． 解 丢掉． 本例题中，各项的公因式有 2，a，b，2a，2b，ab，2ab等．其中 2ab 是它们的最高公因式，故提取 2ab．作为因式分解后的一个因式，另 一个因式则是分别用 6a b，4ab 和-2ab除以 2ab所得的商式代数和， 其中-2ab÷2ab=-1，这个-1 不能丢． 例3 分析 因式分解 m(x+y)+n(x+y)-x-y． 将-x-y 变形为-(x+y)，于是多项式中各项都有公因式 x+y，提 高中化学的十字相乘法 十字交叉法又称图解法，应用于二元混合体系所产生的具有平均意义的计算问题，表现出实用性强，能准确、简便、迅速求解的特点。 适用范围： “十字交叉法”适用于两组分混合物（或多组分混合物，但其中若干种有确定的物质的量比，因而可以看做两组分的混合物），求算混合物中关于组分的某个化学量（微粒数、质量、气体体积等）的比值或百分含量。 例1：实验测得乙烯与氧气的混合气体的密度是氢气的14.5倍。可知其中乙烯的质量分数为（ ） A.25.0% B.27.6% C.72.4% D.75.0% 解析：要求混合气中乙烯的质量分数可通过十字交叉法先求出乙烯与氧气的物质的量之比（当然也可以求两组分的质量比，但较繁，不可取），再进一步求出质量分数。 这样，乙烯的质量分数是： ω（C 2H 4）=321283283?+??×100％=72.4% 答案：C 。 （解毕） 二、十字交叉法的解法探讨： 1.十字交叉法的依据： 对一个二元混合体系，可建立一个特性方程： ax+b(1－x)=c (a 、b 、c 为常数，分别表示A 组分、B 组分和混合体系的某种平均化学量，如：单位为g/mol 的摩尔质量、单位为g/g 的质量分数等) ；x 为组分A 在混合体系中某化学量的百分数（下同）。 如欲求x/(1－x)之比值，可展开上述关系式，并整理得： ax －bx=c －b 解之，得： b a c a x b a b c x --=---=1, 即：c a b c x x --=-1 2.十字交叉法的常见形式： 为方便操作和应用，采用模仿数学因式分解中的十字交叉法，记为： 3.解法关健和难点所在： 十字交叉法应用于解题快速简捷，一旦教给了学生，学生往往爱用，但是也往往出错。 高中化学的十字相乘法 十字交叉法又称图解法，应用于二元混合体系所产生的具有平均意义的计算问题，表现出实用性强，能准确、简便、迅速求解的特点。 适用范围： “十字交叉法”适用于两组分混合物（或多组分混合物，但其中若干种有确定的物质的量比，因而可以看做两组分的混合物），求算混合物中关于组分的某个化学量（微粒数、质量、气体体积等）的比值或百分含量。 例1：实验测得乙烯与氧气的混合气体的密度是氢气的14.5倍。可知其中乙烯的质量分数为（ ） A.25.0% B.27.6% C.72.4% D.75.0% 解析：要求混合气中乙烯的质量分数可通过十字交叉法先求出乙烯与氧气的物质的量之比（当然也可以求两组分的质量比，但较繁，不可取），再进一步求出质量分数。 这样，乙烯的质量分数是： ω（C 2H 4）=32 1283283?+??×100％=72.4% 答案：C 。 （解毕） 二、十字交叉法的解法探讨： 1.十字交叉法的依据： 对一个二元混合体系，可建立一个特性方程： ax+b(1－x)=c (a 、b 、c 为常数，分别表示A 组分、B 组分和混合体系的某种平均化学量，如：单位为g/mol 的摩尔质量、单位为g/g 的质量分数等) ；x 为组分A 在混合体系中某化学量的百分数（下同）。 如欲求x/(1－x)之比值，可展开上述关系式，并整理得： ax －bx=c －b 解之，得： b a c a x b a b c x --=---=1, 即：c a b c x x --=-1 2.十字交叉法的常见形式： 为方便操作和应用，采用模仿数学因式分解中的十字交叉法，记为： 3.解法关健和难点所在： 十字交叉法应用于解题快速简捷，一旦教给了学生，学生往往爱用，但是也往往出错。 十字相乘法分解因式 1.二次三项式 （1）多项式c bx ax ++2，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项． 例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． （2）在多项式2286y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式． （3）在多项式37222+-ab b a 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容 (1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． (2)对于二次项系数不是1的二次三项式 c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++= 它的特征是“拆两头，凑中间” 当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同 注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 公式法和十字相乘法 概念回顾： 1.公式法 因式分解的平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 因式分解的完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2, a2－2ab+b2=(a－b)2 2．十字相乘法 定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 要将二次三项式x2+ px + q因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数p, 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即 x2 + px + q = x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b). 用十字交叉线表示: x +a x +b ax + bx = (a + b)x 由于把x2+ px + q中的q分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行因式分解. 将二次三项式x2+ 4x + 3因式分解，就需要将二次项x2分解为x·x，常数项3分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示: x2+ 4x + 3 = (x + 3)(x + 1). x +3 x +1 3x + x = 4x 把x2 + px + q分解因式时，准确地找出a、b，使a ·b = q；a + b = p 符号规律：当q＞0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同； 当q＜0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同。 例题精讲： 基础训练： 1. 用完全平方公式分解因式： 2.用完全平方公式分解因式： 3.用十字相乘法分解因式 4.用十字相乘法分解因式 十字相乘法典型例题 6 y 2 ． 3 ． ； 一、典型例题 例 1 把下列各式分解因式： (1) x 2 2 x 15 ； (2) x 2 5xy 例 2 把下列各式分解因式： (1) 2 x 2 5 x 3； (2) 3x 2 8 x 例 3 把下列各式分解因式： (1) x 4 10 x 2 9 (2) 7 (x y ) 3 5( x y ) 2 2( x y ) ； (3) (a 2 8a ) 2 22(a 2 8a ) 120 ． 例 4 分解因式： ( x 2 2 x 3)( x 2 2x 24) 90 ． 4 ，求 a 值和这个多项式的其他因式． 把下列各式分解因式： 例 5 分解因式 6 x 4 5 x 3 38 x 2 5 x 6 ． 例 6 分解因式 x 2 2 x y y 2 5x 5 y 6 ． 例 7 分解因式： ca ( c － a )＋ bc (b －c )＋ab (a － b ) ． 例 8、 已知 x 4 6 x 2 x 12 有一个因式是 x 2 ax 试一试： 2 (1) 2 x 2 15x 7 (2) 3a 2 8a 4 (3) 5 x 2 7 x 6 (4) 6 y 2 11 y 10 (5) 5a 2 b 2 23ab 10 (6) 3a 2b 2 17abxy 10 x 2 y 2 (7) x 2 7 x y 12 y 2 (8) x 4 7 x 2 18 (9) 4 m 2 8mn 3n 2 (10) 5 x 5 15 x 3 y 20xy 2 课后练习 一、选择题 1. 如果 x 2 px q (x a )( x b) ，那么 p 等于 ( ) A ．ab B ． a ＋ b C ．－ ab D ．－ ( a ＋ b ) 2 2. 如果 x (a b ) x 5b x x 30 ，则 b 为 ( ) A ．5 B ．－ 6 C ．－ 5 D ． 6 十字相乘法典型例题 例1 把下列各式分解因式： (1)1522--x x ； (2)2 265y xy x +-． 例2 把下列各式分解因式： (1)3522--x x ； (2) 3832-+x x ． 例3 把下列各式分解因式： (1)9 1024+-x x ； (2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+； (3)120)8(22)8(222++++a a a a ． 例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ． 例5 分解因式653856234++-+x x x x ． 例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ． 例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )． 例8、已知12624+++x x x 有一个因式是42 ++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式． 把下列各式分解因式： (1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +- (4) 261110y y -- (5) 2252310a b ab +- (6) 222231710a b abxy x y -+ (7) 22712x xy y -+ (8) 42718x x +- (9) 22483m mn n ++ (10) 53251520x x y xy -- 一、选择题 1．如果))((2 b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b ) 2．如果305)(22--=+++?x x b x b a x ，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．6 3．多项式a x x +-32 可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－2 4．不能用十字相乘法分解的是 ( ) A ． 22-+x x B ．x x x 310322+- C ．242++x x D ．22865y xy x -- 5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( ) A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y x D ．20)(9)(22++-+y x y x 6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( ) ①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题 7．=-+1032x x __________． 8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________． 9．=--3522 x x (x －3)(__________)． 10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)． 11．22____)(____(_____)+=++a m n a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)． 13．若x －y ＝6，36 17= xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题 十字相乘法 (2020年8月) 【基础知识精讲】 （1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式； （4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法． 【重点难点解析】 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2 ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652 ++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2 286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式3722 2+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22 +-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同 样，多项式12)(7)(2 ++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2 ，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项 负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2 (a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数 2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 那么c bx ax ++2 ))(()(22112112212 21c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”， 这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如： )45)(2(86522-+=-+x x y xy x 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 【典型热点考题】 例1 把下列各式分解因式： （1）1522 --x x ；（2）2 2 65y xy x +-． 点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数； （2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项2 6y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数． 解：（1）)5)(3(1522 -+=--x x x x ； （2）)3)(2(652 2 y x y x y xy x --=+-． 十字相乘法进行因式分解 1. 二次三项式 多项式cix2 +bx + c ,称为字母“的二次三项式，其中ax'称为二次项，&为一次项，c 为常数项.例如，x2 -2x-3和疋+5尤+ 6都是关于x的二次三项式. 在多项式X2-6A>-+8V2中，如果把y看作常数，就是关于“的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y的二次三项式. 在多项式2a2b2-lab+3中，把訪看作一个整体,即2(“尸-7(ab) + 3，就是关于訪的二次三项式.同样，多项式(x+)y+7(x+y) + 12 ,把x+y看作一个整体，就是关于x +卩的二次三项式. 2. 十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(?+ ? (cx+小竖式乘法法则.它的一般规律是： (1) 对于二次项系数为1的二次三项式x2+px + q f如果能把常数项g分解成两个因数曰，6的积，并 且a+b为一次项系数。那么它就可以运用公式 [ x' + {a + b)x + ab = (x + a){x + b) 分解因式.这种方法的特征是''拆常数项，凑一次项”.公式中的"可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同. (2) 对于二次项系数不是1的二次三项式a^+bx + c (a, b, c都是整数且mfO)来说，如果存在四个整数a v a19c v c2,使a〕?a2=a f c{*c2=c ,且a{c2 + a2c} = b , 3. 因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘 法，最后考虑分组分解法.对于一个还能継续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行.以上步骤 “十字交叉”法的妙用 化学计算是从数量的角度研究物质的组成、结构、性质变化，涉及到的化学基本概念多，解法灵活多变，且需要跨学科的知识和思维方法，所以该知识点一直是中学化学教与学的难点，但因能较好地训练学生的逻辑思维能力和思维的敏捷性，又能考察学生的双基知识，所以是教学重点，也是各种考试的热点。如何进行这方面知识的教学，使学生理解和掌握这些知识、发展学力，一直是各位老师研究的热门话题。本文拟就教学中所得，粗浅地谈一谈“十字交叉法”在化学计算中的应用。 一、适用范围： “十字交叉法”适用于两组分混合物（或多组分混合物，但其中若干种有确定的物质的量比，因而可以看做两组分的混合物），求算混合物中关于组分的某个化学量（微粒数、质量、气体体积等）的比值或百分含量。 例1：实验测得乙烯与氧气的混合气体的密度是氢气的14.5倍。可知其中乙烯的质量分数为（ ） A.25.0% B.27.6% C.72.4% D.75.0% 解析：要求混合气中乙烯的质量分数可通过十字交叉法先求出乙烯与氧气的物质的量之比（当然也可以求两组分的质量比，但较繁，不可取），再进一步求出质量分数。 这样，乙烯的质量分数是： ω（C 2H 4）=32 1283283?+??×100 ％=72.4% 答案：C 。 （解毕） 二、十字交叉法的解法探讨： 1.十字交叉法的依据： 对一个二元混合体系，可建立一个特性方程： ax+b(1－x)=c (a 、b 、c 为常数，分别表示A 组分、B 组分和混合体系的某种平均化学量，如：单位为g/mol 的摩尔质量、单位为g/g 的质量分数等) ；x 为组分A 在混合体系中某化学量的百分数（下同）。 如欲求x/(1－x)之比值，可展开上述关系式，并整理得： ax －bx=c －b 解之，得： b a c a x b a b c x --=---= 1, 即：c a b c x x --=-1 2.十字交叉法的常见形式： 为方便操作和应用，采用模仿数学因式分解中的十字交叉法，记为： c C 2H 4 28 O 2 32 29 3 1 组分1 a c －b 混合物 C 因式分解-----十字相乘法 1．认识二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次 三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2 ，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2 (a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注十字相乘法分解因式经典例题和练习
高一上学期化学知识点总汇
初中因式分解典型例题汇总(附答案)
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由题意得：x +ax+b=(x+1)(x-2)，所以
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x +ax+b=x -x-2， 从而得出 a=-1，b=-2， 所以 a+b=(-1)+(-2)=-3． 点评 “恒等式中的对应项系数相等”这一知识是求待定系数的一种 重要方法． 例2 分析 解 点评 因式分解 6a b+4ab -2ab． 此多项式的各项都有因式 2ab，提取 2ab 即可． 6a b+4ab -2ab=2ab(3a+2b-1)． 用“提公因式法”分解因式，操作时应注意这样几个问题：首
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先， 所提公因式应是各项系数的最大公约数与相同字母最低次幂的乘 积，即提取的公因式应是多项式各项的最高公因式，否则达不到因式 分解的要求；其次，用“提公因式法”分解因式，所得结果应是：最 高公因式与原多项式各项分别除以最高公因式所得商式的乘积． 如果 原多项式中的某一项恰是最高公因式，则商式为 1，这个 1 千万不能
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取 x+y 即可． 解 m(x+y)+n(x+y)-x-y
=m(x+y)+n(x+y)-(x+y) =(x+y)(m+n-1)． 点评 例4 分析
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注意添、去括号法则． 因式分解 64x -1． 64x 可变形为(8x ) ，或变形为(4x ) ，而 1 既可看作 1 ，也可
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看作 1 ，这样，本题可先用平方差公式分解，也可先用立方差公式分 解． 解
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方法一
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64x -1=(8x ) -1 =(8x +1)(8x -1) =[(2x) +1][(2x) -1] =(2x+1)(4x -2x+1)(2x-1)(4x +2x+1) 方法二
2 2 3 3 3 3高中化学十字相乘法原理及经典题目讲解学习
高中化学十字相乘法原理及经典题目
十字相乘法分解因式知识点与练习
公式法和十字相乘法
十字相乘法典型例题
十字相乘法典型例题
十字相乘法(附答案解析)
因式分解之十字相乘法专项练习题
化学 十字相乘法
因式分解之十字相乘法分组分解专项练习题
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