194
习题九答案
1. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为πππ,,3
4
3
αβγ==
=
的方向导数。
解：
(1,1,2)
(1,1,2)
(1,1,2)
cos cos cos u u u u y
l
x
z
αβγ????=+
+
????
22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)
πππcos
cos cos
5.(2)()(3)3
4
3
xy xz y yz z xy =++=---
2. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。
解：{4,3,12},13.AB AB ==
AB
的方向余弦为
4312cos ,cos ,cos 13
13
13
αβγ=
=
=
(5,1,2)
(5,1,2)
(5,1,2)(5,1,2)
(5,1,2)(5,1,2)
2105
u yz x u xz y u xy
z
?==??==??==? 故
4312982105.13
13
13
13
u l
?=?
+?
+?
=
?
3. 求函数22
2
21x y z a b ??
=-+ ???在点,2
2a b ?? ???处沿曲线2
2
221x y a b +=在这点的内法线方向的方向导数。
解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为
2
2
2
2
220,x y b x y y a
b
a y
''+
==-
所以在点,
2
2a
b ??
??
?
处切线斜率为 2
,2
22
2
.2
a b a
b b y b a a ?? ????
'
=-
=-?
法线斜率为cos a b
?=.
于是22
2
2
tan ,sin b
a a b
a b
??=-
=-
++
195
∵
2
2
22,,z z x y x
a
y
b
??=-
=-
??
∴
22
,2
222222
22
21
2().22a b b
a
z a
b a b l
a
b ab
a b a b ?? ????
????--=-
?
?-?=
+ ? ?
?++??
??
4.研究下列函数的极值： (1)z =x 3+y 3－3(x 2+y 2); (2)z =e 2x (x +y 2+2y ); (3)z =(6x －x 2)(4y －y 2); (4)z =(x 2+y 2)2
2
()
e
x y -+;
(5)z =xy (a －x －y ),a ≠0.
解：（1）解方程组2
2
360
360x y
z x x z y y ?=-=??=-=?? 得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).
z xx =6x －6, z xy =0, z yy =6y －6
在点（0，0）处，A =－6，B =0，C =-6，B 2－AC =－36<0，且A <0,所以函数有极大值z (0,0)=0. 在点（0，2）处，A =－6，B =0，C =6，B 2－AC =36>0，所以(0,2)点不是极值点. 在点（2，0）处，A =6，B =0，C =－6，B 2－AC =36>0，所以(2,0)点不是极值点.
在点（2，2）处，A =6，B =0，C =6，B 2－AC =－36<0，且A >0,所以函数有极小值z (2,2)=-8.
(2)解方程组22
2e (2241)0
2e (1)0
x x x
y z x y y z y ?=+++=??=+=?? 得驻点为1,12??
- ???
.
22
224e (21)4e (1)2e
x
xx x xy x yy z x y y z y z =+++=+=
在点1,12??- ???处,A =2e,B =0,C =2e,B 2-AC =-4e 2<0,又A >0,所以函数有极小值e 1,122z ??
=-- ???
.
(3) 解方程组2
2
(62)(4)0
(6)(42)0
x y z x y y z x x y ?=--=??=--=?? 得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).
Z xx =－2(4y -y 2), Z xy =4(3－x )(2－y ) Z yy =－2(6x －x 2)
在点（3，2）处，A =－8，B =0，C =－18，B 2－AC =－8×18<0,且A <0，所以函数有极大值z (3,2)=36.
在点（0，0）处，A =0，B =24，C =0，B 2－AC >0，所以(0,0)点不是极值点. 在点（0，4）处，A =0，B =-24，C =0，B 2－AC >0，所以(0,4)不是极值点.
196
在点（6，0）处，A =0，B =-24，C =0，B 2－AC >0，所以(6,0)不是极值点. 在点（6，4）处，A =0，B =24，C =0，B 2－AC >0，所以(6,4)不是极值点.
(4)解方程组2
2
22
()22
()22
2e
(1)02e
(1)0x y x y x x y y x y -+-+?--=??--=?? 得驻点P 0(0,0),及P (x 0,y 0),其中x 02+y 02=1，
在点P 0处有z =0，而当（x ,y ）≠(0,0)时，恒有z >0， 故函数z 在点P 0处取得极小值z =0.
再讨论函数z =u e -u 由
d e
(1)d u
z u u
-=-，令
d 0d z u
=得u =1,
当u >1时，
d 0d z u
<；当u <1时，
d 0d z u
>,
由此可知，在满足x 02+y 02=1的点（x 0,y 0）的邻域内，不论是x 2+y 2>1或x 2+y 2<1,均有
2
2
2
2
()
1
()e
e x y z x y -+-=+≤.
故函数z 在点（x 0,y 0）取得极大值z =e -
1
(5)解方程组(2)0
(2)0x y
z y a x y z x a y x =--=??=--=??
得驻点为 12(0,0),,33a a P P ??
???
z xx =-2y , z xy =a -2x -2y , z yy =-2x .
故z 的黑塞矩阵为 222222y a x y H a x y
x ---?
?
=?
?---??
于是 1220
33(),().0233a a a H P H P a
a
a ??
--
????
==???
?????--
???? 易知H （P 1）不定，故P 1不是z 的极值点，
H （P 2）当a <0时正定，故此时P 2是z 的极小值点，且3
,2733a
a a z ??= ???,
H （P 2）当a >0时负定，故此时P 2是z 的极大值点，且3,27
33a
a a z ??= ???.
5. 设2x 2+2y 2+z 2+8xz -z +8=0，确定函数z =z (x ,y )，研究其极值。 解：由已知方程分别对x ,y 求导，解得
484,
281
281
z x z z y x z x y
z x ?--?-=
=
?+-?+-
197
令
0,
0,z z x
y
??==??解得0,2
x y z ==-
,
将它们代入原方程，解得162,7
x x =-=
.
从而得驻点16(2,0),,07??-
???
. 2
22
2
2
2
2
2
(281)(48)4828(281)428,(281)
4(281)8.
(281)z z z x x z z x x x z x z y z x x y z x z z x z y y
z x ??????
+-++--+ ? ????????
=?+-???
+ ?
????
=??++?-+--??=
?+-
在点（-2，0）处，441,,0,,15
15
Z A B C ==
==
B 2-A
C <0，因此函数有极小值z =1.
在点16
,07??
?
??
处，82828,,0,,7105105Z A B C =-=-==-B 2
-AC <0，函数有极大值87z =-. 6. 在平面xOy 上求一点，使它到x =0,y =0及x +2y -16=0三直线距离的平方之和为最小。
解：设所求点为P (x ,y )，P 点到x =0的距离为|x |,到y =0的距离为|y |，到直线x +2y -16=0的距离为
2
2
216216
.5
12
x y x y +-+-=
+
距离的平方和为
2
2
2
1(216)5
z x y x y =++
+-
由22(216)0
542(216)0
5
z
x x y x
z y x y y
??=++-=????
??=++-=???
得唯一驻点816,55??
???,因实际问题存在最小值，故点816,55??
???
即为所求。
7. 求旋转抛物面z =x 2+y 2与平面x +y -z =1之间的最短距离。
解：设P （x ,y ,z ）为抛物面上任一点.则点P 到平面的距离的平方为2
(1)
3
x y z d +--=
,即
198
求其在条件z = x 2+y 2
下的最值。设F （x ,y ,z ）=2
22
(1)
()3
x y z z x y λ+--+--
解方程组22
2(1)203
2(1)203
2(1)03x
y
z
x y z F x x y z F y x y z F z x y
λλλ+--?=-=??
+--?=-=???-+--=+=??
?=+? 得12
x y z ===
故所求最短距离为1
32.6
3
d ==
8. 抛物面z =x 2+y 2被平面x +y +z =1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
解：设椭圆上的点为P （x ,y ,z ），则
|OP |2=x 2+y 2+z 2.
因P 点在抛物面及平面上，所以约束条件为
z =x 2+y 2， x +y +z =1
设F （x ,y ,z ）= x 2+y 2+z 2+λ1(z -x 2-y 2)+λ2(x +y +z -1) 解方程组12121222220220201
x y z F x x F y y F z z x y x y z λλλλλλ=-+=??
=-+=??
=++=??=+??++=?
得 13
,232x y z -±
===
由题意知，距离|OP |有最大值和最小值，且
()2
2
222
132953232x y z O P
??-±=++=+= ???
.
所以原点到椭圆的最长距离是953+，最短距离是953-. 9. 在第I 卦限内作椭球面
2222
2
2
1x y z a
b
c
+
+
=
的切平面,使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标。
199
解：令2222
2
2
(,,)1x y z F x y z a
b
c
=
+
+
-
∵2
2
2
222,,,x y z x y z F F F a
b
c
==
=
∴椭球面上任一点0000(,,)P x y z 的切平面方程为
0000002
2
2
222()()()0.x y z x x y y z z a
b c
-+
-+-=
即
0002
2
2
1.x x y y z z a
b
c
+
+=
切平面在三个坐标轴上的截距分别为2
2
2
,
,
a
b
c
x y z ，因此切平面与三个坐标面所围的四面体
的体积为
222222
000000
166a b c a b c V x y z x y z =???=
即求222
6a b c V xyz
=
在约束条件
2222
2
2
1x y z a
b
c
+
+
=下的最小值，也即求xyz 的最大值问题。
设 222
222
(,,)1x y z
x y z xyz a b c λ??Φ=+++- ???
, 解方程组2
2
2
2222
2
220,20,
20,
1.
x y
z x yz a x
xz b x
xy
c x y z a
b c
λλλ?
Φ=+=??
?Φ=+=??
?Φ=+=???++
=?
得,,3
3
3
a b c x y z =
=
=
.
故切点为,,
3
3
3a
b c ??
??
?
，此时最小体积为 222
3.2
633
3
a b c V abc a b
c =
=
?
??
*
10. 设空间有n 个点，坐标为(,,)(1,2,,)i i i x y z i n = ,试在xOy 面上找一点，使此点与这n
200
个点的距离的平方和最小。 解：设所求点为P （x ,y ,0），则此点与n 个点的距离的平方和为
2
2
2
2
2
2
1112222
2
2
2
2
12122
2
2
2
2
2
2
2
2
121212()()()()()()2()2()
()()()
n n n
n n n n n S x x y y z x x y y z x x y y z nx x x x x ny y y y y x x x y y y z z z =-+-++-+-+++-+-+=-++++-+++++++++++++++
解方程组121222()022()0x n y
n S nx x x x S ny y y y =-+++=??=-+++=??
得驻点121
2n n x x x x n
y y y y n +++?=???+++?=??
又在点1
1
1
1,
n
n
i i i i x y n
n
==??
???
∑
∑
处 S xx =2n =A , S xy =0=B , S yy =2n =C B 2-AC =-4n 2<0, 且A >0取得最小值.
故在点1
1
1
1,
n
n
i i i i x y n
n
==??
???∑
∑
处，S 取得最小值. 即所求点为1
1
1
1,
,0n
n
i i i i x y n
n
==??
???
∑
∑
.
11. 已知平面上分别带有质量m 1,m 2,m 3的三个质点111222333(,),(,),(,)p x y p x y p x y ，问点(,)p x y 的位置如何才能使该质点系对于p 点的转动惯量为最小。
解：该质点系对于p 点的转动惯量为
()()()()222222
123223311()()I m m m x x y y x x y y x x y y ????=++??-+-+-+---??????
1231122331231122332()2220
2()2220x y
I m m m x m x m x m x I m m m y m y m y m y =++---=??
=++---=?? 解上式得驻点
112233112233123123,m x m x m x m y m y m y p m m m m m m ++++??
?++++??
因驻点唯一，故转动惯量在112233112233123123,m x m x m x m y m y m y p m m m m m m ++++??
?++++??
点处取得最小值.
201
*
12. 已知过去几年产量和利润的数据如下： 产量x (千件) 40 47 55 70 90 100 利润y (千元)
32
34
43
54
72
85
试求产量和利润的函数关系，并预测当产量达到120千件时工厂的利润。
解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设f (x )=ax +b ，
求[]6
2
1
()i i i u y ax b ==
-+∑的最小值，即求解方程组
666
2
111
6
6
1
1,6.i i i i i i i i i i i a x b x y x a
x b y ==
===?+=????+=??∑∑∑∑∑ 把(x i ,y i )代入方程组，得
2983440224003
4026320a b a b +=??
+=?
解得 a =0.884, b =-5.894
即 y =0.884x -5.894,
当x =120时，y =100.186(千元).
13. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程： (1)x =a sin 2t ,y =b sin t cos t ,z =c cos 2t ,点π4
t =;
(2)x 2
+y 2
+z 2
=6,x +y +z =0,点M 0(1,-2,1); (3)y 2=2mx ,z 2=m -x ,点M 0(x 0,y 0,z 0).
解：2sin cos ,cos 2,2cos sin x a t t y b t z c t t '''===- 曲线在点π4
t =
的切向量为
{}πππ,,,0,444T x y z a c ??
??????'''==-?? ?
? ???
??????
202
当π4
t =
时， ,,2
2
2
a b c x y z =
=
=
切线方程为
2220a b c x y z a c ---=
=
-.
法平面方程为
0()0.222a b c a c x y z ?????
?++-=--- ? ? ???????
即 2
2
02
2
a
c
ax cz --+
=.
（2）联立方程组
2226
x y z x y z ?++=?
++=? 它确定了函数y =y (x ),z =z (x )，方程组两边对x 求导，得
d d 2220d d d d 10d d y z x y z x x
y z x x ?
+?+?=???
?++=??
解得
d d ,,d d y z x z x y x
y z
x
y z
--=
=
--
在点M 0（1，-2，1）处，0
d d 0,1d d M M y z x
x
==-
所以切向量为{1，0，-1}.
故切线方程为
1211
1
x y z -+-=
=
-
法平面方程为
1(x -1)+0(y +2)-1(z -1)=0
即x -z =0.
(3)将方程y 2=2mx ,z 2=m -x 两边分别对x 求导，得
d d 22,21d d y z y
m z
x
x
==-
于是
d d 1,d d 2y m z x
y
x
z
=
=-
曲线在点（x 0,y 0,z 0）处的切向量为0
011,
,2m y z ??
-
???
?
,故切线方程为
203
00
,11
2x x y y z z m y z ---=
=
-
法平面方程为
0000
1()()()02m x x y y z z y z -+
--
-=.
14. t (0 2 t 在相应点的切线垂直于平面 20x y z ++ =，并求相应的切线和法平面方程。 解：1cos ,sin ,2cos 2 t x t y t z '''=-==, 在t 处切向量为{} 1cos ,sin ,2cos 2 t T t t =- , 已知平面的法向量为{}1,1,2n = . 且T ∥n ,故 2cos 1cos sin 211 2 t t t -== 解得π 2t =，相应点的坐标为π1,1,222?? - ??? .且{}1,1,2T = 故切线方程为 π1 122 2 .11 2 x y z - +--= = 法平面方程为 π112(22)02 x y z - ++-+ -= 即 π2042x y z ? ?++ -=+ ??? . 15. 求下列曲面在给定点的切平面和法线方程： (1)z =x 2+y 2,点M 0(1,2,5); (2)z =arctan y x ,点M 0(1,1, π4 ); 解：（1）0 2, 4.22y x m m m m z z y x ==== 故曲面在点M 0(1,2,5)的切平面方程为 204 z -5=2(x -1)+4(y -2). 即 2x +4y -z =5. 法线方程为 1252 4 1 x y z ---==- （2）0 2 22 211,.2 2y x m m m m y x z z x y x y - ==- = = ++ 故曲面在点M 0(1,1,π4 )的切平面方程为 z -π4 =- 12 (x -1)+ 12 (y -1). 法线方程为 π114111 2 2 z x y ---= = --. 16.指出曲面z =xy 上何处的法线垂直于平面x -2y +z =6,并求出该点的法线方程与切平面方程。 解：z x =y ,z y =x . 曲面法向量为{}1,,1n y x =- . 已知平面法向量为{}21,2,1n =- . 且1n ∥2n ，故有112 y x = =-- 解得x =2,y =-1,此时，z =-2. 即（2,-1,-2）处曲面的法线垂直于平面，且在该点处的法线方程为 2121 2 1 x y z -++==--. 切平面方程为 -1(x -2)+2(y +1)-(z +2)=0 即 x -2y +z -2=0. 17. 证明：螺旋线x=acost,y=asint,z=bt 的切线与z 轴形成定角。 证明：sin ,cos ,.x a t y a t z b '''=-== 螺旋线的切向量为 {sin ,cos ,}T a t a t b =- . 与z 轴同向的单位向量为 {0,0,1}k = 两向量的夹角余弦为 2 2 2 2 2 cos .(sin )(cos )b b a t a t b a b θ= = -+++ 205 为一定值。 故螺旋线的切线与z 轴形成定角。 18. 证明：曲面xyz =a 3上任一点的切平面与坐标面围成的四面体体积一定。 证明：设 F (x ,y ,z )=xyz -a 3. 因为 F x =yz ,F y =xz ,F z =xy , 所以曲面在任一点M 0(x 0,y 0,z 0)处的切平面方程为 y 0z 0(x -x 0)+x 0z 0(y -y 0)+x 0y 0(z -z 0)=0. 切平面在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为3x 0,3y 0,3z 0.因各坐标轴相互垂直，所以切平面与坐标面围成的四面体的体积为 3 30000001119132727.3336622V z x y z a a x y ??= ?==?=????? 它为一定值。
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