基本不等式教案
一、教学目标：
1、知识与技能：
①了解基本不等式的推导过程，理解几何意义，并掌握基本不等式取得等号的条件；
②能够初步运用基本不等式以及等号取得的条件，求出一些简单函数的最值(最大最小值)，并能解决一些较为简单的实际问题。
2、过程与方法：
本节内容是学生对不等式认识上的一次提升。要引导学生从数、形两方面探究基本不等式的证明，从而进一步突破难点。定理的证明要严密，要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等严密严谨的思维能力。
3、情感与价值：
培养学生举一反三的逻辑推理能力、严谨求实的科学态度，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。同时通过基本不等式的几何解释，提高学生数形结合的能力。
二、教学重点和难点：
重点：用数形结合思想理解不等式，并从不同角度探索不等式
2
a b +≤的多种解释； 难点：理解“当且仅当a b =时取等号”的数学内涵，并会应用基本不等式求解函数的最大最小值问题，以及解决一些简单的实际问题.。
三、学法与教学用具：
先让学生观察常见的图形，通过图形的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题突出数学本质，可调动学生的学习兴趣。定理的证明要留一部分给学生，让他们自主探究。教学用具：直角板、圆规、投影仪，如有条件可以使用多媒体(几何画板)进行教学。
四、教学设想：
1、几何操作，引入问题：
给出如右的所示的几何图形，AB 是O 的直
径，点C 是AB 上任意一点，过点C 作垂直于AB 的
弦交O 于DD '，连结AD 、BD ，同学们，能通过这个圆以及简单的三角形得到一些相等和不等的关系吗?
提问一：现在我们不妨假设2AC a =，2BC b =，那么CD 的长度是多少？、
由AB 为直径可知ABD ?是直角三角形，再根据DC AB ⊥，容易证得ACD ?∽DCB ?，即得CD ab =；
提问二：根据初中学习的知识，在一个圆中，任意一条弦长与这个圆的直径有什么关系？
任意一条弦长不大于直径的长度，而且当且仅当弦为直径时，长度相等。
提问三：结合上面两个问题，我们可能得到一个不等式，写出这个不等式，并说出等式两遍能否相等，若可以，等号成立的条件是什么？ 首先由垂径定理可知，12
CD DD '=，因此有2DD ab '=，即为O 的一条弦长，而22a b +表示的是O 直径的长度，根据上一问的结论可以得知有不等式222a b ab +≥，两边同时除以2，不等式可以表示为：
22
2
a b ab +≤；再据上一问的结论，易知上述不等式可以成立当且仅当a b =时(即当点C 与圆心O 重合时)，等号才成立。
提问四：深入思考，如果将不等式22
2
a b ab +≤中的 ,a b 能够得到什么结论；这时， ,a b 有什么条件限制吗？
替换之后，
2
a b +≤
，当且仅当a b =时等号成立；此时要求有0 ,0a b ≥≥。
2、代数证明，得到结论：
根据上面的几何分析结果，我们初步形成不等式结论：
ab b a 222≥+ ① 若+∈R b a ,，则2
b a ab +≤ ② 提问五：能否给出上述两个不等式严格的证明？(学生尝试证明后口答,老师板书)
证明①(作差法)：2222()a b ab a b +-=-； 又当b a ≠时，0)(2>-b a ；当b a =时，0)(2=-b a ；
ab b a 222≥+∴，当b a =时取等号。
（注意强调：当且仅当a b =时, 有等式222a b ab +=成立）
证明②(分析法)：由于+∈R b a ,，于是
要证 ab b a ≥+2，
③
只要证 ab b a 2≥+，
④
要证④，只要证 02≥-+ab b a ， ⑤ 要证⑤，只要证 0)(2≥-b a ， ⑥ 显然，⑥是成立的，所以ab b a ≥
+2，当且仅当b a =时取到等号。
于是我们得到这节课要学习的内容：
基本不等式：若
,a b R +∈2a b +≤
（当且仅当a b =时，等号成立）
3、深化认识：
1.称ab 为 ,a b 的几何平均数；称2
b a +为 ,a b 的算术平均数。因此基本不等式
2b a ab +≤的代数意义是：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。
2.其实2
b a ab +≤成立的条件仅需0 ,0a b ≥≥就可以，但0a =或0b =时定理显然成立，因此一般仅考虑0 ,0a b >>的情况。
4、例题讲解：
例1、①已知0>ab ，求证：2≥+b a a b
②求证：73
4≥+-a a （3>a ） 设计意图：通过简单例题，学生掌握证明格式，理解“前提条件”、“等号成立条件”；
例2、 若),0(,,+∞∈c b a ，且1=++c b a ，求证：8)11)(11)(11(≥---c
b a
设计意图：熟练运用基本不等式；不等式证明题中，等量关系条件的运用。
例3、（1）用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？
分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值；（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大
例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为34800m ，深为
3m 。
如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价为多少元？
分析：若底面的长和宽确定了，水池的造价也就确定了，因此可转化为考察底面的长和宽各为多少时，水池的总造价最低。
设计意图：利用基本不等式来解题时，要学会审题及根据题意列出函数表达式,要懂得利用基本不等式来求最大（小）值。 例题总结：
1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若,a b R +∈，且
a b M +=，M 为定值，则24
M ab ≤，等号当且仅当a b =时成立. 2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若,a b R +∈，且a b P =，P
为定值，则a b +≥，等号当且仅当a b =时成立. 课堂练习
1 设 ,a b 均为正数，证明不等式：
2
11a b ≥+.
2已知 , ,a b c 都是正实数，求证： ()()()8a b b c c a abc +++≥
5、思考讨论：
（1）设+∈R c b a ,,，求证：c b a c
ab b ca a bc ++≥++ （2）已知0,0x y >>，且3412x y +=。求l g l g x y +的最大值及相应的 ,x y 值。
6、归纳总结：
提问六：①通过本节课的学习，你学到了什么知识？
②在解决问题的基础上，你掌握了哪些探求问题的方法和
数学思想方法？
综合学生的回答，教师再在此基础上总结：
（1）基本不等式： 若+∈R b a ,，则
2
b a ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立）
（2）运用基本不等式解决简单最大最小值问题，掌握解题的基本方法；在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，把握“一正、二定、三相等”。当条件不完全具备时，应创造条件使之具备条件。一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值;见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值.”。
（3）数学思想与方法技巧：
数学思想：基本不等式的探究过程（从特殊到一般）；基本不等式的几何解释（数形结合）；数形结合思想、“整体与局部”.
方法技巧：（1）换元法、比较法、分析法（2）配、凑等技巧。 教师归纳总结：
整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。例题的安排应该从易到难、从简单到复杂，适应
学生的认知水平。教师要根据课堂情况及时提出针对性问题，同时通过学生的解题过程进一步发现学生的思维漏洞，纠正数学表达中的错误。
7、测评设计：
（1）基本作业：课本100P 习题 A 组 3、4题，B 组1、2题。
（2）提高练习： ①求1
432-+
+=x x y 的最小值（其中1>x ）. ②已知π<
2=+y x ，求xy 的最小值．
④设 ,x y R ∈，且2=+y x ，求y x 33+的最小值．
⑤已知正数 ,x y 满足21x y +=，求11x y +的最小值
五、教学后记、教学反思：
（教材：人教版新课标必修5）