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因式分解全章复习两套资料培优教学案精编

因式分解全章复习两套资料培优教学案精编
因式分解全章复习两套资料培优教学案精编

《因式分解》全章复习与巩固(一)

【学习目标】

1. 理解因式分解的意义,并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算;

2.掌握提公因式法和公式法(直接运用公式不超过两次)这两种分解因式的基本方法; 3. 了解因式分解的一般步骤;能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 【知识网络】

【要点梳理】 要点一、因式分解

把一个多项式化成几个整式积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算,二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形,而整式乘法是一种运算.

要点二、提公因式法

把多项式分解成两个因式的乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m ,另一个因式是

,即

,而

正好是

以m 所得的商,提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 要点三、公式法 1.平方差公式

两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积,即:

()()22a b a b a b -=+-

2.完全平方公式

两个数的平方和加上这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(差)的平方.

即()2

222a ab b a b ++=+,()2

22

2a ab b a b -+=-.

形如222a ab b ++,22

2a ab b -+的式子叫做完全平方式.

要点诠释:(1)平方差公式的特点:左边是两个数(整式)的平方,且符号相反,右边是两个

数(整式)的和与这两个数(整式)的差的积.

数之积的2倍. 右边是两数的和(或差)的平方.

(3)套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义,a 、b 可以是字母,也可以是单项

式或多项式.

要点四、十字相乘法和分组分解法 十字相乘法

利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.

对于二次三项式2

x bx c ++,若存在pq c

p q b

=??+=? ,则()()2x bx c x p x q ++=++

分组分解法

对于一个多项式的整体,若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时,可考虑分步处理的方法,即把这个多项式分成几组,先对各组分别分解因式,然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组,然后再分解因式.

要点五、因式分解的一般步骤

因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤

(1)如果多项式的各项有公因式,先提取公因式; (2)如果各项没有公因式那就尝试用公式法;

(3)如用上述方法也不能分解,那么就得选择分组或其它方法来分解. (4)结果要彻底,即分解到不能再分解为止.

【典型例题】

类型一、提公因式法分解因式

1、(2016?长春模拟)先将代数式因式分解,再求值:()()222x a y a ---,其中

05152a .,x .,y ===-.

【思路点拨】原式变形后,提取公因式化为积的形式,将字母的值代入计算即可.

【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式.

类型二、公式法分解因式

2、已知2x -3=0,求代数式()

()22

59x x x x x -+--的值.

【思路点拨】对所求的代数式先进行整理,再利用整体代入法代入求解.

【总结升华】本题考查了提公因式法分解因式,观察题目,先进行整理再利用整体代入法求解,不要盲目的求出求知数的值再利用代入法求解. 举一反三:

【变式】()()33a y a y -+是下列哪一个多项式因式分解的结果( )

A .229a y +

B .229a y -+

C .229a y -

D .229a y --

3、在日常生活中,如取款、上网需要密码,有一种因式分解法产生密码,例如

()()()4422x y x y x y x y -=-++,当x =9,y =9时,x y -=0,x y +=18,22x y +=162,

则密码018162.对于多项式324x xy -,取x =10,y =10,用上述方法产生密码是什么? 【思路点拨】首先将多项式324x xy -进行因式分解,得到()()32422x xy x x y x y -=+-,然后把x =10,y =10代入,分别计算出()2x y +及()2x y -的值,从而得出密码.

【总结升华】本题是中考中的新题型.考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力,读懂密码产生的方法是关键. 举一反三:

【变式】利用因式分解计算

(1)16.9×18+15.1×18

(2) 22

683317-

4、因式分解:

(1)()()2

69a b a b ++++; (2)2

22xy x y ---

(3)(

)

()2

2

224222x xy

y x xy y -+-+.

【思路点拨】都是完全平方式,所以都可以运用完全平方公式分解.完全平方公式法:

()

2

222a b a ab b ±=±+.

【总结升华】本题考查了完全平方公式法因式分解,(3)要两次分解,注意要分解完全. 举一反三: 【变式】(2015春?禅城区校级期末)分解因式:

(1)(a 2+b 2)2﹣4a 2b 2

(2)(x 2﹣2xy+y 2

)+(﹣2x+2y )+1.

5、先阅读,再分解因式:

()2

4422224444(2)2x x x x x x +=++-=+-()()222222x x x x =-+++,按照这种方法把多

项式4

64x +分解因式.

【思路点拨】根据材料,找出规律,再解答.

【总结升华】此题要综合运用配方法,完全平方公式,平方差公式,熟练掌握公式并读懂题目信息是解题的关键.

类型三、十字相乘法或分组分解法分解因式

6、将下图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形,请观察这四个图形的面积与拼成的大

长方形的面积之间的关系.

(1)根据你发现的规律填空:2

x px qx pq +++=()2x p q x pq +++=______;

(2)利用(1)的结论将下列多项式分解因式:①2

710x x ++;②2

712y y -+.

【思路点拨】

(1)根据一个正方形和三个长方形的面积和等于由它们拼成的这个大长方形的面积作答; (2)根据(1)的结论直接作答.

【总结升华】本题实际上考查了利用十字相乘法分解因式.运用这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数12,a a 的积12a a ,把常数项c 分解成两个因数12c c 的积12,c c ,并使1221a c a c +正好是一次项b ,那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程.当首项系数不是1时,往往需要多次试验,务必注意各项系数的符号.

举一反三:

【变式】已知A =2a +,B =25a a -+,C =2

519a a +-,其中a >2. (1)求证:B -A >0,并指出A 与B 的大小关系; (2)指出A 与C 哪个大?说明理由. 【巩固练习】 一.选择题

1.下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是( ).

A .()()22422m n m n m n -=+-

B .()()2111m m m +-=-

C .()23434m m m m --=--

D .()2

2

4529m m m --=--

2.(2016?濮阳校级自主招生)多项式22215x xy y --的一个因式为( ) A .25x y -

B .3x y -

C .3x y +

D .5x y -

3. 下列多项式能分解因式的是( ) A .22x y +

B .22x y

--

C .222x xy y

-+-

D .22x xy y

-+

4. 将2

m

()2a -+()2m a -分解因式,正确的是(

A .()2a -()

2

m m - B .()()21m a m -+

C .()()21m a m --

D .()()21m a m --

5. 下列四个选项中,哪一个为多项式2

8102x x -+的因式?( )

A .2x -2

B .2x +2

C .4x +1

D .4x +2

6. 若)5)(3(+-x x 是q px x ++2

的因式,则p 为( )

A.-15

B.-2

C.8

D.2 7. 2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-因式分解的结果是(

A .2

)5(b a - B .2

)5(b a +

C .)23)(23(b a b a +-

D .2

)25(b a -

8. 下列多项式中能用平方差公式分解的有( )

①22a b --; ②2224x y -; ③22

4x y -; ④()()2

2

m n ---; ⑤22144121a b -+; ⑥

221

22

m n -+. A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 二.填空题

9.分解因式:()241x x -- =________.

10.把2

3x x c ++分解因式得:2

3x x c ++=()()12x x ++,则c 的值为________.

11.若221x y -=,化简()

()

2012

2012

x y x y +-=________.

12. 若2

330x x +-=,3

2

266x x x +-=__________.

13.(2017?禹州市一模)分解因式:32244a a b ab -+= . 14.把多项式2

2ax ax a --分解因式_________.

15. 当10x =,9y =时,代数式22x y -的值是________. 16.把2221x y y ---分解因式结果正确的是_____________. 三.解答题 17.分解因式:

(1)234()12()x x y x y ---; (2)2

2

92416a ab b -+; (3)21840ma ma m --.

18. 已知10a b +=,6ab =,求:(1)2

2

a b +的值;(2)3

22

3

2a b a b ab -+的值.

19.(2015春?禅城区校级期末)请你说明:当n 为自然数时,(n+7)2

﹣(n ﹣5)2

能被24整除. 20. 两位同学将一个二次三项式分解因式,一位同学因看错了一次项系数而分解成

()()219x x --,另一位同学因看错了常数项而分解成()()224x x --,请将原多项式分解因

式.

《因式分解》全章复习与巩固(二)

【学习目标】

2. 理解因式分解的意义,并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算;

2.掌握提公因式法和公式法(直接运用公式不超过两次)这两种分解因式的基本方法; 3. 了解因式分解的一般步骤;能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 【知识网络】

【要点梳理】

要点一、因式分解

把一个多项式化成几个整式积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算,二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形,而整式乘法是一种运算.

要点二、提公因式法

把多项式分解成两个因式的乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m ,另一个因式是

,即

,而

正好是

以m 所得的商,提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 要点三、公式法 1.平方差公式

两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积,即:

()()22a b a b a b -=+-

2.完全平方公式

两个数的平方和加上这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(差)的平方.

即()2

222a ab b a b ++=+,()2

22

2a ab b a b -+=-.

形如222a ab b ++,22

2a ab b -+的式子叫做完全平方式.

要点诠释:(1)平方差公式的特点:左边是两个数(整式)的平方,且符号相反,右边是两个

数(整式)的和与这两个数(整式)的差的积.

数之积的2倍. 右边是两数的和(或差)的平方.

(3)套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义,a 、b 可以是字母,也可以是单项

式或多项式.

要点四、十字相乘法和分组分解法 十字相乘法

利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.

对于二次三项式2

x bx c ++,若存在pq c

p q b

=??+=? ,则()()2x bx c x p x q ++=++

分组分解法

对于一个多项式的整体,若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时,可考虑分步处理的方法,即把这个多项式分成几组,先对各组分别分解因式,然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组,然后再分解因式.

要点五、因式分解的一般步骤

因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤

(1)如果多项式的各项有公因式,先提取公因式; (2)如果各项没有公因式那就尝试用公式法;

(3)如用上述方法也不能分解,那么就得选择分组或其它方法来分解. (4)结果要彻底,即分解到不能再分解为止.

【典型例题】

类型一、提公因式法分解因式

1、 分解因式:

(1)2

2

2

284a bc ac abc +-;

(2)32()()()()m m n m m n m m n m n +++-+-.

【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母,指数的变化,另外分解要彻底,特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分,分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否.

2、利用分解因式证明:7

12

255-能被120整除.

【思路点拨】25=2

5,进而把725整理成底数为5的幂的形式,然后提取公因式并整理为含有120的因数即可.

【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式. 类型二、公式法分解因式

3、放学时,王老师布置了一道分解因式题:()()(

)2

2

2

2

44x y x y x y

++---,小明思考了

半天,没有答案,就打电话给小华,小华在电话里讲了一句,小明就恍然大悟了,你知道小华说了句什么话吗?小明是怎样分解因式的.

【思路点拨】把()()x y x y +-、分别看做一个整体,再运用完全平方公式解答.

【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式,注意把()()x y x y +-、看作完全平方式里的,a b 是解题的关键. 举一反三:

【变式】下面是某同学对多项式()()2

2

42

464x x x

x -+-++进行因式分解的过程.

解:设24x x y -=

原式=()()264y y +++(第一步) =2816y y ++(第二步) =()2

4y +(第三步) =22(44)x x -+(第四步)

回答下列问题:

(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的( ). A 、提取公因式 B .平方差公式

C 、两数和的完全平方公式

D .两数差的完全平方公式

(2)该同学因式分解的结果是否彻底________.(填“彻底”或“不彻底”) 若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果_________.

(3)请你模仿以上方法尝试对多项式()()2

2

2221x x

x

x --++进行因式分解.

4、(2016秋?海安县期末)因式分解: (1)22369xy x y y --; (2)()()413p p p -++.

【思路点拨】(1)直接提取公因式,进而利用完全平方公式分解因式即可;(2)先去括号,利用平方差公式分解因式即可.

【总结升华】此题主要考查了公式法分解因式,熟练掌握乘法公式是解题关键. 举一反三:

【变式】设22131a =-,22253a =-,…,()()22

2121n a n n =+--(n 为大于0的自然数).(1)探究n a 是否为8的倍数,并用文字语言表述你所获得的结论;(2)若一个数的算术平方根是一个自然数,则称这个数是“完全平方数”.试找出1a ,2a ,…,n a ,…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数,并指出当n 满足什么条件时,n a 为完全平方数(不必说明理由).

类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式

5、分解因式:(1)(

)()2

2

2

2

22x x

----

(2)(

)

2

2

24420x x

x x +---

(3)2

2

44634a ab b a b -+-+-

【总结升华】做题之前要仔细观察,注意从整体的角度看待问题. 举一反三:

【变式】(浦东新区校级期末)(x ﹣y )2

+5(x ﹣y )﹣50.

6、已知长方形周长为300厘米,两邻边分别为x 厘米、y 厘米,

且322344x x y xy y +--=0,求长方形的面积.

【思路点拨】把322344x x y xy y +--=0化简成()()()22x y x y x y ++-,可得2x y =,由题意

可得150x y +=,解方程组2150x y

x y =??+=?

即可.

【总结升华】本题是因式分解在学科内的综合运用,主要考查了分组分解法,提取公因式法和运用平方差公式法. 举一反三:

【变式】因式分解:2

2

1448x y xy --+,正确的分组是( )

A .2

2

(14)(84)x xy y -+- B .2

2

(144)8x y xy --+ C .2

2

(18)(44)xy x y +-+ D .2

2

1(448)x y xy -+-

当被分解的式子是四项时,应考虑运用分组分解法进行分解.本题中2

2

448x y xy --+正好符合完全平方公式,应考虑2,3,4项为一组.

【巩固练习】 一.选择题

1. 下列式子变形是因式分解的是( )

A .()25656x x x x -+=-+

B .()()25623x x x x -+=--

C .()()22356x x x x --=-+

D .()()25623x x x x -+=++

2. 已知:△ABC 的三边长分别为a b c 、、,那么代数式2

222b c ac a -+-的值( )

A.大于零

B.等于零

C.小于零 D 不能确定 3.已知3

1216x x -+有一个因式是4x +,把它分解因式后应当是( )

A .2(4)(2)x x +-

B .2(4)(1)x x x +++

C .2(4)(2)x x ++

D .2(4)(1)x x x +-+

4.若()()2x a x b x px q ++=++,且0p >,0q <,那么a b ,必须满足条件( ).

A.a b ,都是正数

B. a b ,异号,且正数的绝对值较大

C.a b ,都是负数

D. a b ,异号,且负数的绝对值较大

5.(2016?张家港市期末)把2288x y xy y -+分解因式,正确的是( )

A .()

2

244x y xy y -+

B .()

2

244y x x -+

C .()2

22y x -

D .()2

22y x +

6.将下述多项式分解后,有相同因式1x -的多项式有 ( )

①; ②; ③

; ④

; ⑥

A .2个

B .3个

C .4个

D .5个

7. 已知()()()()1931131713171123x x x x -----可因式分解成()()8ax b x c ++,其中,,a b c 均为整数,则a b c ++=( )

A .-12

B .-32

C .38

D .72

8. 将3

2

2

3

x x y xy y --+分组分解,下列的分组方法不恰当的是( )

A. 3

2

2

3

()()x x y xy y -+-+ B. 3

2

2

3

()()x xy x y y -+-+ C. 3

3

2

2

()()x y x y xy ++-- D. 3

2

2

3

()x x y xy y --+ 二.填空题

9.(2016?诸城市一模)因式分解:(

)

2

2

24

16x x +-= .

10. 分解因式:()()2

2

9a b a b +--=_____________. 11.已知22

26100m m n n ++-+=,则mn = . 12.分解因式:()()223a a a +-+=__________.

13.若32

213x x x k --+有一个因式为21x +,则k 的值应当是_________. 14.把多项式22

ac bc a b -+-分解因式的结果是__________. 15.已知5,3a b ab +==,则3

22

3

2a b a b ab -+= .

16.分解因式:(1)42

54x x -+=________;(2)3

3

2

2

a m a m am +--=________.

三.解答题

17.求证:7

9

13

81279--能被45整除.

18.(2015春?焦作校级期中)已知x 2

+x=1,求x 4

+x 3

﹣2x 2

﹣x+2015的值.

19.(1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示,用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形,如图2.

①用两种不同的方法,计算图2中长方形的面积; ②由此,你可以得出的一个等式为:________. (2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.

①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式,画出你的拼图;

②请你用拼图等方法推出2

2

252a ab b ++因式分解的结果,画出你的拼图.

20.下面是某同学对多项式()()

642422+-+-x x x x +4进行因式分解的过程: 解:设y x x =-42

原式=()()264y y +++ (第一步) =2816y y ++ (第二步)

=()2

4+y (第三步)

=()

2

2

44+-x x (第四步)

回答下列问题:

(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的( )

A .提取公因式 B.平方差公式

C.两数和的完全平方公式

D.两数差的完全平方公式

(2)该同学因式分解的结果是否彻底?______________(填彻底或不彻底)

若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果_______________. (3)请你模仿以上方法尝试对多项式()()

122222++--x x x x 进行因式分解.

精讲精练:因式分解方法分类总结-培优(含答案)

因式分解·提公因式法 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式,根据乘法分配律的逆运算,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是: (1)当多项式有相同字母时,取相同字母的最低次幂。 (2)系数和各项系数的最大公约数,公因式可以是数、单项式,也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 (1)-+--+++a x abx acx ax m m m m 2 2 13 (2)a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 分析:(1)若多项式的第一项系数是负数,一般要提出“-”号,使括号内的第一项系数是正数,在提出“-”号后,多项式的各项都要变号。 解:-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 2 2 1323() (2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式,如:当n 为自然数时,() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121;,是在因式分解过 程中常用的因式变换。 解:a a b a b a ab b a ()()()-+---322 22 ) 243)((] 2)(2))[(() (2)(2)(222 223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例:计算1368 987 521136898745613689872681368987123? +?+?+? 分析:算式中每一项都含有987 1368 ,可以把它看成公因式提取出来,再算出结 果。 解:原式)521456268123(1368987 +++?= =?=987 1368 1368987 3. 在多项式恒等变形中的应用 例:不解方程组23 532 x y x y +=-=-???,求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的 值。 分析:不要求解方程组,我们可以把2x y +和53x y -看成整体,它们的值分别是3和-2,观察代数式,发现每一项都含有2x y +,利用提公因式法把代数式恒等变形,化为含有2x y +和53x y -的式子,即可求出结果。 解 :

因式分解培优训练

因式分解强化训练 因式分解常用方法: 1、 提公因法 ::ma+mb+mc=m(a+b+c) 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x -2x –x 解: x -2x -x=x(x -2x-1) 2、运用公式法. 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1) (a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b); (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2; 下面再补充两个常用的公式: (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2); (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2). (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2; (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca); 例2、已知a b c ,,是ABC ?的三边,且222a b c ab bc ca ++=++,则ABC ?的形状是( ) A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解:222222 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 3、分组分解法 (一)分组后能直接提公因式 例2、分解因式:bx by ay ax -+-5102 解法一:第一、二项为一组; 解法二:第一、四项为一组; 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解:原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- 练习:分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy (二)分组后能直接运用公式 例3、分解因式:ay ax y x ++-22 分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。 解:原式=)()(22ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+ =))((a y x y x +-+ 练习:分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222--- 综合练习:(1)3 223y xy y x x --+ (2)b a ax bx bx ax -+-+-22 (3)181696222-+-++a a y xy x (4)a b b ab a 4912622-++- (5)92234-+-a a a (6)y b x b y a x a 222244+--

整式的乘法与因式分解复习教学设计

第14章整式的乘法与因式分解复习教学设计 知识与技能:记住整式乘除的计算法则;平方差公式和完全平方公式;掌握因式分解的方法和则。 过程与方法: 会运用法则进行整式的乘除运算,会对一个多项式分解因式 情感态度与价值观: 培养学生的独立思考能力和合作交流意识 教学重点:记住公式与法则 教学难点:会运用法则进行整式乘除运算,会对一个多项式进行因式分解 教学过程 一、知识网络结构图 二、典型例题 整式的乘法 整 式的乘除与因式公解 幂的运算法则 同底数幂的乘法法则:a m ·a n =a m + n (m ,n 都是正整数) 幂的乘方法则:(a m )n =a mn (m ,n 是正整数) 积的乘方法则:(ab )n =a n b n (n 是正整数) 单项式乘以单项式法则:单项式乘以单项式,把它们的系数、相同字母分 别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则 连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘以多项式法则:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式 的每一项,再把所得的积相加 多项式乘以多项式法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项 去乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加 同底数幂的除法法则:a m ÷a n =a m - n (a ≠0,m ,n 都是正整数且m >n ) 零指数幂的意义:a 0=1(a ≠0) 单项式除以单项式法则:单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商 的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同 它的指数作为商的一个因式 多项式除以单项式法则:先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把 所得的商相加 乘法公式 平方差公式:(a +b )(a -b )=a 2-b 2 完全平方公式:(a +b )2=a 2+2ab +b 2,(a -b )2=a 2-2ab +b 2 整式的除法 因式分解 概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这 个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式 方法 公式法 平方差公式:a 2-b 2=(a +b )(a -b ) 完全平方公式 a 2+2a b +b 2=(a +b )2 a 2-2a b +b 2=(a -b )2

因式分解培优练习题及答案

因式分解专题过关 1.将下列各式分解因式 22+8x+8 2x2)((1)3p﹣6pq 2.将下列各式分解因式 3322.﹣6a b+3ab2 ()3a )(1x y﹣xy .分解因式32 22222)﹣4x y)﹣)1()a(x﹣y+16(yx)(2(x+y 4.分解因式:22( 2 2x(1)﹣x )16x﹣1 3 2 2 2 ()yx+9yx4+12﹣﹣6xy3()9xyy4)(﹣)(﹣ 5.因式分解:2 223﹣2am1()8a y+xy+4x4x)2( .将下列各式分解因式:6. 322222 yx﹣+y4x)(2)(1()3x﹣12x 223 22 y﹣2xy)+y﹣2)(x+2y(7.因式分解:(1)xy 8.对下列代数式分解因式: 2(m﹣2)﹣n(2﹣m)(2)(x﹣1)((1)nx﹣3)+1

2222﹣ba2a+1 ﹣a10﹣4a+4﹣b.分解因式:.分解因式:9 11.把下列各式分解因式: 42422 a﹣2)x+2ax+1+x (x﹣7x +1 (1) 22242432+2x+1 x+3x+2x (4(1﹣y+x))(1﹣y)1+y(3)()2x﹣ 12.把下列各式分解因式: 32222224445+x+1;x ) b +2ac(+2bc3﹣a﹣b﹣c ;2a2 ;4x1()﹣31x+15 () 32432.a+2﹣6a﹣a﹣2a)5(;9﹣+3x+5xx)4(. 2﹣6pq=3p(p﹣2q1)3p),解答:解:(222.(x+2x)+4x+4),=2(2)2x+8x+8,=2( 2.将下列各式分解因式 3322.6a (2)3ab+3ab﹣(1)x y﹣xy 分析:(1)首先提取公因式xy,再利用平方差公式进行二次分解即可; (2)首先提取公因式3a,再利用完全平方公式进行二次分解即可. 2﹣1)=xy(x+1)(x﹣解:(1)原式=xy(x1);解答:222.﹣b))=3a((2)原式=3a(aa﹣2ab+b 3.分解因式 222222.)y﹣(2)(x4x+y﹣y)+16(y﹣x);(1)a (x 22﹣16),=(x﹣y)(a+4)(a﹣4()+16y﹣x),=(x﹣y)(a);解答:解:(1)a (x﹣y22222222222.)(x﹣2xy+y),﹣4x=y(,=(xx+y+2xy+y))((2)(xx+yy)﹣ 4.分解因式: 222232.)(x﹣y4+12(x﹣)6xyy﹣9x)y﹣y+9;(4(1)2x16x﹣x;(2))﹣1;(3 2﹣x=x(2x﹣1(1)2x);解答:解:2﹣1=(4x+1)(16x4x﹣1);(2)223222;﹣y),)=﹣yy,=﹣y(9x(﹣6xy+y(3)6xy3x﹣9xy﹣222.﹣3y+2),=(3x﹣y)﹣,=[2+3(xy)]((4)4+12x﹣y)+9(x 5.因式分解: 2322 y+xy+4x (2)4x (1)2am ﹣8a; 22﹣4)=2a(m+2)(8a=2a(mm﹣2);解答:解:(1)2am﹣322222.),=x4x,=x((+4xy+y (2)4x2x+y+4x)y+xy 6.将下列各式分解因式: 322222.y(x﹣+y4x)(2)(1)3x﹣12x 32)=3x(1+2x)(1﹣2x)1()3x﹣12x;=3x(1﹣4x 解答:解:22222222222.)y (x+y﹣﹣2xy)(x)+y)=﹣4x(y(=xx+y+yx+2xy)()(2

因式分解复习课教学设计

因式分解复习课教学设计 教学目标: 1.掌握运用提公因式法、公式法分解因式,培养学生应用因式分解解决问题的能力. 2.经历探索因式分解方法的过程,培养学生研讨问题的方法,通过猜测、推理、验证、归纳等步骤,得出因式分解的方法. 教学重、难点:用提公因式法和公式法分解因式. 教学过程: 一、引入:在整式的变形中,有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式,这种变形就是因式分解.也叫做把多项式分解因式。 二、知识点详解 知识点1 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式. 【说明】(1)弄清因式分解的对象和结果。(2)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.(3)因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验.

小练笔:下列变形是否是因式分解?为什么? (1)3x2y-xy+y=y(3x2-x+1); (2)x2-2x+3=(x-1)2+2; (3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1); (4)x n(x2-x+1)=x n+2-x n+1+x n. 怎样把一个多项式分解因式? 知识点2 提公因式法 多项式m a+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式.m a+mb+mc=m(a+b+c)就是把m a+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是 m a+mb+mc除以m所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如:x2-x=x(x-1),8a2b-4a b+2a=2a(4a b-2b+1). 典例剖析师生互动 例1 用提公因式法将下列各式因式分解. (1) -x3z+x4y; (2) 3x(a-b)+2y(b-a); 分析:(1)题直接提取公因式分解即可,(2)题首先要适当的变形,再把b-a 化成-(a-b),然后再提取公因式. 小结运用提公因式法分解因式时,要注意下列问题: (1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并,而且每个括号内不能

(完整版)因式分解培优题(超全面、详细分类)

因式分解专题培优 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下: 因式分解的一般方法及考虑顺序: 1、基本方法:提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法. 2、常用方法与技巧:换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法. 3、考虑顺序:(1)提公因式法;(2)公式法;(3)十字相乘法;(4)分组分解法. 一、运用公式法 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1)a2-b2=(a+b)(a-b); (2)a2±2ab+b2=(a±b)2; (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 下面再补充几个常用的公式: (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2; (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca); (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1),其中n为正整数; (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1),其中n为偶数; (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1),其中n为奇数. 运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式. 例题1 分解因式: (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4; (2)x3-8y3-z3-6xyz; (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab; (4)a7-a5b2+a2b5-b7.

因式分解培优复习进程

因式分解培优

分解因式 一、分解因式的定义:(关键:看等号右边是否为几个整式的积的形式) 二、分解因式一般步骤:一提、二套、三分、四查 三、分解因式常用方法: Ⅰ、提公因式法:(关键:确定公因式) ma +mb +mc = 。 Ⅱ、运用公式法:(关键:确定a 、b ) ①平方差公式:22a b -= ②完全平方公式: 22 2a ab b ±+= 。 (一)将下列多项式因式分解(填空) 1、 _______________________2、322363x x y xy -+=___________________ 3、=__________________4、 =________________ 5、= ___________________ 6、= (二)分解因式(写出详细过程) 1、)()()(23m n n m n m +--+ 2、 3、 4、2222224)(b a b a c --- (三)已知x 、y 都是正整数,且,求x 、y 。 (四)化简:,且当时,求原式的值。

Ⅲ、十字相乘法: (一)二次项系数为1的二次三项式:))(()(2 q x p x pq x q p x ++=+++ 特点:(1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数的乘积;(3)一次项系数是常数项的两因数的和。 1、分解因式:(1)652++x x (2)276m m -+ (3)1522--y y (4)245a a +- 2、分解因式(1)2 223y xy x +- (2)2286n mn m +- (3)226b ab a -- (4)221288b ab a -- (5)10)(3)(2 -+-+y x y x (二)二次项系数不为1的二次三项式:c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++ 条件:(1)21a a a = 1a 1c (2)21c c c = 2a 2c (3)1221c a c a b += 1221c a c a b += 1、分解因式:(1)6752-+x x (2)2732+-x x (3)317102+-x x (4)101162++-y y 2、分解因式(1)17836--x x (2)8622+-ax x a (3)2 2151112y xy x --

(完整版)中考数学第2讲整式与因式分解复习教案

课题:第二讲 整式与因式分解 像课:是 学习目标: 1.了解单项式、多项式、整式的概念,弄清它们与代数式之间的联系和区别; 2.理解同类项的概念,掌握合并同类项的法则和去、添括号的法则,能准确地进行整式的加、减、乘、除、乘方混合运算; 3.会根据多项式的结构特征,进行因式分解,并能利用因式分解的方法进行整式的化简和求值。 教学重点、难点: 重点:整式的运算法则和因式分解. 难点:乘法公式与因式分解. 课前准备: 老师:导学案、课件 学生:导学案、练习本、课本(八年级下册、七年级下册) 教学过程: 一、基础回顾,课前热身 活动内容:整式相关内容回顾 1.单项式是数与字母的 积 ,单独一个数或一个字母也是单项式. 2.多项式是几个单项式的 和 ,每个单项式叫做多项式的 项 ,次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数. 3.单项式与多项式统称 整式 . 4.所含字母相同,并且相同字母的 指数 也相同的项叫做同类项. 5.合并同类项的方法:系数 相加减 ,字母部分 不变 . 6.去括号法则:如果括号前是 + 号,去括号后括号里各项都不改变符号;如果括号前是 - 号,去括号后括号里各项都改变符号. 7.整式的加减法则:几个整式相加减,如果有括号先去括号,然后再合并 同类项 . 8.幂的运算性质: (1)n m a a ?=m n a +(m ,n 都是正整数) (2)()n m a =mn a (m ,n 都是正整数)

(3)()n ab =n n b a (n 是正整数) (4)m n a a ÷= m n a -(a ≠0,m ,n 都是正整数,并且m >n ) (5)0a = 1 (a ≠0) (6)p a -=1p a ( a ≠0, p 是正整数) 9.整式乘法法则: (1)单项式与单项式相乘,系数 相乘 ,相同字母 的幂相乘 ,其它照抄,作为积的因式. (2)单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一 项 ,再把所得的积相加; (3)多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一 项 乘另一个多项式的每一 项 ,再把所得的积相加. 10.乘法公式: (1)平方差公式:(a+b )(a-b )=22b a - (2)完全平方公式: (a+b )2 =222ab b a ++ (a-b )2 =222ab b a -+ 11.整式除法法则: (1)单项式与单项式相除,把系数、同底数幂分别 相除 后,,其它照抄,作为商 的因式. (2)多项式除以单项式,先把这个多项式的每一 项 分别除以这个单项式,再把 所得的商相加. 12.把一个多项式化成几个因式 积 的形式,叫做因式分解. 13.因式分解常用的方法有提公因式 法、 运用公式法 法.分解因式要分解到不能再分解为止. 多媒体出示知识网络

培优专题3_用分组分解法进行因式分解(含答案)

3、用分组分解法进行因式分解 【知识精读】 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式,或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当,而在分组时,必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”,分析多项式的特点,恰当的分组是分组分解法的关键。 应用分组分解法因式分解,不仅可以考察提公因式法,公式法,同时它在代数式的化简,求值及一元二次方程,函数等学习中也有重要作用。 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。 【分类解析】 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 例1. 把多项式211242a a a a a ()+++++分解因式,所得的结果为( ) A a a B a a C a a D a a .().().().()22 2222221111+--+++-- 分析:先去括号,合并同类项,然后分组搭配,继续用公式法分解彻底。 解:原式=+++++211242a a a a a (() =++++=+++++=++++=++a a a a a a a a a a a a a a a 4324322222222321 2221 21 1()()()()() 故选择C 例2. 分解因式x x x x x 54321-+-+- 分析:这是一个六项式,很显然要先进行分组,此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组,此时六项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解;此题也可把x x 54-,x x x 321--和分别看作一组,此时的六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解。 解法1: 原式=-+--+=--+=-++-+()() ()() ()()()x x x x x x x x x x x x x 54323222111111 解法2:

新浙教版数学七年级(下册)第四章《因式分解》培优题

新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》培优题 一.选择题(共6小题) 1.下列各式,能直接运用完全平方公式进行因式分解的是() A.4x2+8x+1 B.x2y2﹣xy+1 C.x2﹣4x+16 D.x2﹣6xy﹣9y2 2.已知x2+ax﹣12能分解成两个整数系数的一次因式的积,则整数a的个数有() A.0 B.2 C.4 D.6 3.任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式,我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n=p×q(p≤q)称为正整数n的最佳分解,并定义一个新运算.例如:12=1×12=2×6=3×4,则. 那么以下结论中:①;②;③若n是一个完全平方数,则F(n)=1;④若n是一个完全立方数(即n=a3,a是正整数),则.正确的个数为() A.1个B.2个C.3个D.4个 4.已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值时,可以设另一个因式为x+n,则x2﹣4x+m=(x+3)(x+n). 即x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n. ∴解得,n=﹣7,m=﹣21, ∴另一个因式为x﹣7,m的值为﹣21. 类似地,二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5,则它的另一个因式以及k 的值为() A.x﹣1,5 B.x+4,20 C.x,D.x+4,﹣4 5.现有一列式子:①552﹣452;②5552﹣4452;③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为() A.1.1111111×1016B.1.1111111×1027 C.1.111111×1056D.1.1111111×1017

6.设a、b、c是三角形的三边长,且a2+b2+c2=ab+bc+ca,关于此三角形的形状有以下判断:①是等腰三角形;②是等边三角形;③是锐角三角形;④是斜三角形.其中正确的说法的个数是() A.4个B.3个C.2个D.1个 二.填空题(共7小题) 7.已知x+y=10,xy=16,则x2y+xy2的值为. 8.两位同学将一个二次三项式分解因式,一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x﹣1)(x﹣9);另一位同学因看错了常数项分解成2(x﹣2)(x﹣4),请你将原多项式因式分解正确的结果写出来:. 9.2m+2007+2m+1(m是正整数)的个位数字是. 10.若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式,则m的值是. 11.若a+b=5,ab=,则a2﹣b2= . 12.定义运算a★b=(1﹣a)b,下面给出了关于这种运算的四个结论: ①2★(﹣2)=3 ②a★b=b★a ③若a+b=0,则(a★a)+(b★b)=2ab ④若a★b=0,则a=1或b=0. 其中正确结论的序号是(填上你认为正确的所有结论的序号). 13.若m2=n+2,n2=m+2(m≠n),则m3﹣2mn+n3的值为.

(完整版)整式的乘法与因式分解培优

第二章 整式的乘法 【知识点归纳】 1.同底数幂相乘, 不变, 相加。a n.a m = (m,n 是正整数) 2.幂的乘方, 不变, 相乘。(a n )m = (m,n 是正整数) 3.积的乘方,等于把 ,再把所得的幂 。 (ab)n = (n 是正整数) 4.单项式与单项式相乘,把它们的 、 分别相乘。 5.单项式与多项式相乘,先用单项式 ,再把所得的积 ,a (m+n )= 6.多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘 ,再把所得的积 ,(a+b )(m+n )= 。 7.平方差公式,即两个数的 与这两个数的 的积等于这两个数的平方差(a+b )(a-b )= 8.完全平方公式,即两数和(或差)的平方,等于它们的 ,加(或减)它们的积的 。(a+b )2= ,(a-b )2= 。 9.公式的灵活变形: (a+b )2+(a-b )2= ,(a+b )2-(a-b )2= , a 2+b 2=(a+b )2- , a 2+ b 2=(a-b )2+ ,(a+b )2=(a-b )2+ , (a-b )2=(a+b )2- 。 【例1】若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关,求代数 式234a -+2221 2(3)4b a b --的值 【例2】已知两个多项式A 和B , 43344323,321,n n n A nx x x x B x x x nx x +-+=+-+-=-++--试判断是否存在整数n ,使A B -是五次六项式?

【例3】已知,,x y z 为自然数,且x y <,当1999,2000x y z x +=-=时,求x y z ++的所有值中最大的一个是多少? 【例4】如果代数式535ax bx cx ++-当2x =-时的值为7,那么当2x =时,该式的值是 . 【例5】已知a 为实数,且使323320a a a +++=,求199619971998(1)(1)(1)a a a +++++的值. 【例6】(1)已知2x+2=a ,用含a 的代数式表示2x ; (2)已知x=3m +2,y=9m +3m ,试用含x 的代数式表示y . 【例7】我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释,如(2a+b )(a+b )=2a 2+3ab+b 2就能用图1或图2等图形的面积表示: (1)请你写出图3所表示的一个等式: . (2)试画出一个图形,使它的面积能表示:(a+b )(a+3b )=a 2+4ab+3b 2.

因式分解培优专题

把下列各式因式分解 2 m2 m 1 a x abx a(a b)3 2a 2(b m m3 acx ax a)2 2ab(b a) (1)若多项式的第一项系数是负数,一般要提出“一”号,使括号内的第 2.利用提公因式法简化计算过程 例? 计算 987 987 例:计算123 268 - 1368 1368 分析:算式中每一项都含有 竺 1368 987 521 1368 ,可以把它看成公因式提取出来,再算出结果。 456 987 1368 解: 说明:在用提公因式法分解因式前,必须对原式进行变形得到公因式,同时一定要 注意符号,提取公因式后,剩下的因式应注意化简。 举一反三: 1、分解因式: (1) 4m 2n 3 12m 3n 22mn 3. 在多项式恒等变形中的应用 例:不解方程组 2x y 3 , 5x 3y 2 求代数式(2x y)(2x 3y) 3x(2x y)的值。 (2) a 2x n 2 abx n 1 acx n adx n 1(n 为正整数) 初三数学因式分解培优专题(一) 一、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式,根据乘法分配律的逆运算,可以把这个公因式提到括 号外面,将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配 律。多项式的公因式的确定方法是: (1) 当多项式有相同字母时,取相同字母的最低次幕。 (2) 系数和各项系数的最大公约数,公因式可以是数、单项式,也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解 析】 1. (1) (2) 分析: 分析:不要求解方程组,我们可以把 2x y 和5x 3y 看成整体,它们的值分别是 3 和2,观察代数式,发现每一项都含有2x y ,利用提公因式法把代数式恒等变形, 化为含有2x y 和5x 3y 的式子,即可求出结果。 解: 4. 在代数证明题中的应用 例:证明:对于任意自然数 n , 3n 22n 23n 2n 一定是10的倍数。 分析:首先利用因式分解把代数式恒等变形,接着只需证明每一项都是 10的倍数 即可。 解: 一项系数是正数,在提出“―”号后,多项式的各项都要变号。 解: (2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式,如:当 n 为自 然数时,(a b)2n (b a)2n ; (a b)2n 1 (b a)2n 1,是在因式分解过程中 常用的因式变换。 解: 5、中考点拨: 例1。因式分解3x(x 2) (2 x) 解: 说明:因式分解时,应先观察有没有公因式,若没有,看是否能通过变形转换得 到。 例 2 .分解因式:4q(1 p)3 2( p 1)2 解:

初中数学因式分解培优训练

第一讲:因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强, 学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必 需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. 1.运用公式法 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1)a2-b2=(a+b)(a-b); (2)a2±2ab+b2=(a±b)2; (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 下面再补充几个常用的公式: (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2; (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-c a); (7)a n-b n=(a-b)(an-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数; (8)an-bn=(a+b)(an-1-a n-2b+a n-3b2-…+abn-2-bn-1),其中n为偶数; (9)an+b n=(a+b)(an-1-a n-2b+a n-3b2-…-abn-2+bn-1),其中n为奇数. 运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式. 例1 分解因式: (1)-2x5n-1y n+4x3n-1yn+2-2x n-1yn+4; (2)x3-8y3-z3-6xyz; (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab; 752257 =-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2xn-1yn(x2n-y2)2 =-2x n-1yn(xn-y)2(x n+y)2. (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz). (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2 =(a-b)2+2c(a-b)+c2 =(a-b+c)2. 本小题可以稍加变形,直接使用公式(5),解法如下: 原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2 (4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7) =a5(a2-b2)+b5(a2-b2) =(a2-b2)(a5+b5) =(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) 例2 分解因式:a3+b3+c3-3abc. 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6). 分析我们已经知道公式 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 的正确性,现将此公式变形为 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b). 这个式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导. 解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc =[(a+b)3+c3]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)[(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca). 说明公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推

因式分解复习课1说课

分解因式复习(一)说课稿 一.说教材 因式分解是代数式的一种重要恒等变形。.它是学习分式的基础,又在代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用,.就本节课而言,着重阐述了两个方面,一是因式分解的概念,二是与整式乘法的互逆关系。它是继整式乘法的基础上来讨论因式分解概念,继而,通过探究与整式乘法的关系,来寻求因式分解的原理。这一思想实质贯穿后继学习的各种因式分解方法。通过本节课的学习,不仅使学生掌握因式分解的概念和原理,而且又为后面学习因式分解作好了充分的准备。因此,它起到了承上启下作用。 依据课标我确定本节课的 教学重点:综合应用提公因式法,公式法分解因式。 教学难点因为初一的学生的逻辑思维较弱,分解因式的方法又多,变化技巧又高,所以熟练灵活地运用分解因式的两种基本方法进行分解因式就成了本节课的难点。 (教法)分解因式是数学教学的难点之一,根据我们学校引发教学的总体要求,本节课我们先通过习题练习归纳分解因式的有关知识,区别于整式乘法。为了学生更好地掌握本节的内容,我们又采用“提供练习――引导观察――发现归纳”,让学生归纳出分解因式的注意事项,再通过适当的练习实践,及时消化巩固,让学生获取知识。 二、说学情。 在本节课之前,学生已经基本了解了分解因式与整式乘法运算之间的互逆关系,又学习了用提取公因式法和运用公式法分解因式,对因式分解的概念及意义有了初步的理解,这些都为本节课的学习奠定了必要的基础。 同时在上述学习中,还经历了逆向思维的训练,这又为本节课的学习做了能力和方法上的准备。但分解因式有时并不是单一方法的应用,而是多种方法的综合应用,这对于初一学生来说,有一定的难度。针对这种情况,学生主要采用“练习观察——思考讨论——发现归纳”合作探究的学习方式,总结出顺口溜,展开本节教学活动。 三、说模式 本节课在我校“引发教学”的模式指引下,根据我们数学学科的特点,我们也紧扣李建

初中数学因式分解培优训练

实用标准文档 第一讲:因式分解(一)n-1n222 )2xny-(x 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之y =- (x(x -y) 一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许 n-1nn2n2. =-2x+y)y333-3x(-2y)(2y)-+(-多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性z) (2)原式=xZ) +(-222+2xy+xz-2yz)z)(x.+4y +z 强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容 =(x-2y-222 2bc+2ca)+c)+(所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生原式=(a-2ab+b- (3)22 b)+c+2c(a=(a-b)-的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材2.-b+c) =(a中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解 本小题可以稍加变形,直接使用公式(5)法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础, 解法如下: b)c+2ca+2a(+c-原式=a+2(技巧和应用作进一步的介绍.上,对因式分解的方法、+(-b)-2 222b) b+c) =(a-.运用公式法 1 -在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现 a-bb)+(ab (4)原式=(a 757522) --)+b将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: b =a(a522522) 225225) (ab =(a)(a-bb-b)=(a+b)(a-; +b (1)a422222343) b+-b)(a+b)(a =(a+b)(a-ab-abb+a2ab+b (2)a±b)=(a±;42223323243) - =(a+b)b(a-b)(aab-a (3)a+b=(a+b)(a-ab+b;) +bb+a .-.(4)a --b=(ab)(a+ab+b) 例2 分解因式:ab+本题实际上就是用因式分解的3332332 3abc+c 方法证明前面给出的下面再补充几个常用的公式: .(5)a +b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c);公式233322我们已经知道公式 ca)-;分析 bc(6)a 2222(6) ab+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c--3n-1n-222n-3n-2n-13nn32 (a+b)+b=an+abb)(ab (7)a-=(a-+ab+ab+…+b)其中 b+3ab+3a 为正整数;的正确性,现将此公式变形为 a其中b-…-+ab),n-+b3ab(a+b)=(a+b)b- (8)a=(a+b)(a-ab+ab式也是一个常 3n-232n-3n-23n-1nnn-1. 用的公式,本题就借助于它来为偶数;这个n-1n-2n-12nnn-3n-2其中,ab…-(9)a +b=(a+b)(aab+ab--+b)n推导.333abc 3ab(a+b)+c解为奇数.原式=(a+b)-- 33ab(a+b+c) ] =[(a+b)3+c-运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根 据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.-c(a+b)+c- =(a+b+c) 223ab(a+b+c) [(a+b)]222例ca).ab--bc =(a+b+c)(a-+b 1 分解因式:+c n+4n5n-1n-1n+23n-1是一个应用极广的 公式,用它可以推(6);2x-+4x2x- (1)yyy 说明公式333-z8y(2)x --6xyz结论,例如:我们 将公式有用的;(6)变形为出很多3323223abc +c;2ab--+c2bc+2ca +b-a +b(3)a757252b+abb-.a-(4)a 原式 (1)解 =ny2x-(xy2x-n+y 42n2n-14) 2n-122222n] 2x-= +(yny2x-n)[(xy) 文案大全. 实用标准文档 ;当a+b+c 解法2 将一次项-+b9x+c拆成-x-8x.显然,当a+b+c=0时,则 333=3abc

新北师大版八年级下册数学 《因式分解》复习教案

第四章因式分解 ●教学目标 (一)教学知识点 1.复习因式分解的概念,以及提公因式法,运用公式法分解因式的方法,使学生进一步理解有关概念,能灵活运用上述方法分解因式. 2.熟悉本章的知识结构图. (二)能力训练要求 通过知识结构图的教学,培养学生归纳总结能力,在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力. (三)情感与价值观要求 通过因式分解综合练习,提高学生观察、分析能力;通过应用因式分解方法进行简便运算,培养学生运用数学知识解决实际问题的意识. ●教学重点 复习综合应用提公因式法,运用公式法分解因式. ●教学难点 利用分解因式进行计算及讨论. ●教学方法 引导学生自觉进行归纳总结. ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 [师]前面我们已学习了因式分解概念,提公因式法分解因式,运用公式法分解因式的方法,并做了一些练习.今天,我们来综合总结一下. Ⅱ.新课讲解 (一)讨论推导本章知识结构图 [师]请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些? [生](1)有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念. (2)分解因式与整式乘法的关系. (3)分解因式的方法. [师]很好.请大家互相讨论,能否把本章的知识结构图绘出来呢?(若学生有困难,教师可给予帮助)

[生] (二)重点知识讲解 [师]下面请大家把重点知识回顾一下. 1.举例说明什么是分解因式. [生]如15x3y2+5x2y-20x2y3=5x2y(3xy+1-4y2) 把多项式15x3y2+5x2y-20x2y3分解成为因式5x2y与3xy+1-4y2的乘积的形式,就是把多项式15x3y2+5x2y-20x2y3分解因式. [师]学习因式分解的概念应注意以下几点: (1)因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等. (2)把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止. 2.分解因式与整式乘法有什么关系? [生]分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形. 如:ma+mb+mc=m(a+b+c) 从左到右是因式分解,从右到左是整式乘法. 3.分解因式常用的方法有哪些? [生]提公因式法和运用公式法.可以分别用式子表示为: ma+mb+mc=m(a+b+c) a2-b2=(a+b)(a-b) a2±2ab+b2=(a±b)2 4.例题讲解 投影片(§4.6 A)

七年级数学因式分解培优试题

1.若442-+x x 的值为0,则51232-+x x 的值是________。 2.若6,422=+=+y x y x 则=xy ____________ . 设z x y 23+=,求xz z y x 449222++-的值是________. 3.已知2=+b a ,求)(8)(22222b a b a +--的值.______________ 4.若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____, 若 051294422=+-+-y y x x , 求 的值_________. 5.若7,9x y xy +=-=-,求 x y -的值。______ 6.因式分解: (1).提公因式法: a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 2883223x y x y xy ++= -2x 5n-1y n +4x 3n-1y n+2-2x n-1y n+4 (2).公式法: 22414y xy x +-- yz z y x z y x 4))((-+--+ a 2-4b 2-4c 2 -8bc (3).分组分解法: = --+124323x x x a 2-c 2+2ab+b 2-d 2-2cd (4).添项拆项法 x 3-3x+2 x 4+4 2x 2 +x-1 x 4+x 2+1 x 4-7x 2+1 x 3+2x 2+2x+1 ---=++--=+--332222)1(1344422331n m m n m n y y xy x x b b a a )分解因式:()分解因式:()分解因式:(---= ++--= +--3 32222)1(1344422331n m m n m n y y xy x x b b a a )分解因式:()分解因式:()分解因式:(1 4)1(222+-+-n mn n m y x 3 26+

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