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2018高考复习导数题型分类解析
一.导数的概念
1. 导数的概念：
函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量
x ，那么函数y 相应地有增量 y =f (x 0+ x )— f (x 0),
比值―y 叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+ x 之间的平均变化率，即 丄=
——x)一上必。如果当
x
x
x
x 0时，一y
有极限，我们就说函数
y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做 f (x )在点x 0处
x
由导数的定义可知，求函数 y=f (x )在点x 0处的导数的步骤:
① 求函数的增量 y =f (x 0+ x )— f (x 0兀② 求平均变化率」=
一x)一;
x
x
③取极限，得导数f ' (x 0)= lim - o
X
x
例1：若函数y f(x)在区间(a,b)内可导，且x 0 (a b)则lim
―h)
―
f (x0 h)
的值为( )
h
h
A . f '(x 0)
B . 2f '(x °)
C . 2f '(x °)
D . 0
例 2:若 f '(x 。) 3，则 lim
f (x °
h) f (x °
3h)
(
)
h 0
h
A. 3 B .
6 C . 9 D .
12
2. 导数的意义：①物理意义：瞬时速率，变化率
② 几何意义：切线斜率 k lim
f(x n ) f(x
。
)
f (x 0)
x 0
XX XX
x n x 0
③ 代数意义：函数增减速率
例3:已知函数f x f — cosx sinx ，贝y f — 的值为
4
4
例 4:已知 f x x 2 3xf 2，贝y f 2
_______
3. 导数的物理意义：
如果物体运动的规律是 s=s (t ),那么该物体在时刻 t 的瞬间速度v=s ( t )o 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是
v=v (t ),则该物体在时刻t 的加速度a=v '( t )o
例5： —个物体的运动方程为 s 1 t t 2其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在 3秒末的瞬
时速度是 _____________
的导数，记作f ' (x 0 )或y ' | X 冷，即f (x 0) = lim
P
x 0
f (X 。
x) x f (x °)
-------
o
v
2
例6:汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 作时间t 的函数，其图像可能是（ ）
二：导数的运算
1 .基本函数的导数公式：
F 列求导运算正确的是 x \
(e ) 0； （ C 为常数）
X
Q / X \
e ;
⑥(a )
a
n 1
nx
In x
③(sin x) cosx ;
④(cos x) sin x
⑧ lOg a x
1 log a e .
x
A . x
log 2x
1 xln 2
x
C. 3 3x log 3 e x 2 cosx
2xsin x
例&若f 0 sin x, f 1 x
x,
1
X,
,n N ，则 f
2005 x
真题: 1.已知f x
2006 ，则 f
sinx cosx , f n 1 x 是f n x 的导函数, 即f 2 x
n N ，则 f 2014 x
2:导数的运算法则
法则1 ：两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和 （或
I
I
I
即：（u v ） u v -
法则2 :两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数 ，加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即： （uv ）' u v uv '.
若C 为常数，则（Cu ）' C 'u Cu 0 Cu ' Cu '.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导
数：(Cu)' Cu '.
法则3:两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分 母的平方：-
u'v uv' （V 0)。
t
3.复合函数的导数
形如y=f (x )的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:
分解一一> 求导一一> 回代。法则：y /|X= y/|u ? u z| X或者f[(x)] f ( )* (x).
例10： ( 1)函数y x3 log2 x的导数是 __________________
(2)函数x n e2x 1的导数是 __________________
3 2 1
例11: y (1 cos2x) ；( 2) y sin -
x
真题：
(2016年天津高考)已知函数f(x) (2x+1)e x, f (x)为f (x)的导函数，贝y f (0)的值为_________________________ 三：利用已知条件求原函数解析式中的参数
/ 2
例12：已知多项式函数f (x)的导数f(X) 3x 4x，且f(1) 4，则f (x)= _______
3 2
A(0, 1)，且在x 1处的切线方程为例13 :已知函数f (x) x ax bx c，它的图象过点
2x y 1 0,贝U f (x)=____________ .
四：切线相关问题
1. 已知曲线上的点求切线方程
例14:曲线y = x3—2x+ 4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()
A . 30°
B . 45°
C . 60°
D . 120°
1
例15:设函数f (x) ax 一(a,b € Z)，曲线y f (x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3. x b
(1)求f(x)的解析式
(2)证明：曲线y f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x
所围三角形的面积为定值，并求出此定值.
例：对正整数n,设曲线y x n 1 x在x 2处的切线与y轴的交点的纵坐标为a n,则
数列旦的前n项和为S ________________
n 1
2. 已知曲线外的点求切线方程
例16:已知曲线y x2，则过点P(1, 3)，且与曲线相切的直线方程为__________________
3 例17:求过点(-1 , -2 )且与曲线y 2x X相切的直线方程.
3
3. 已知切线方程的斜率或倾斜角求切线方程
3
例18：曲线f (x) = x + x- 2在P o处的切线平行于直线y = 4x- 1,贝U P o点的坐标为(
A . (1,0)B.(2,8) C . (1,0)和(1, 4) D . (2,8)和(1, 4)
例19:若曲线y
4
x的一条切线1与直线x 4y 8 0垂直，则1的方程为( )
A . 4x y30
B . x 4y 5 0
C . 4x y 3 0
D . x 4y 3 0
真题：
1. (2016年全国III卷高考)已知f x为偶函数，当x 0时，f (x) e x 1 x，则曲线y f x
在点(1,2)处的切线方程式________________________________ .
2. (2017天津文)已知a R，设函数f(x) ax Inx的图象在点(1,f(1))处的切线为I，则I在y轴上
的截距为 _____________ .
2 1
3. (2017新课标I文数)曲线y x2-在点(1,2)处的切线方程为__________ .
x
4. 【2017年北京卷第20题】已知函数f(x) e x cosx x .
(I)求曲线y f (x)在点(0, f (0))处的切线方程；
n
(n)求函数f (x)在区间［0, 上的最大值和最小值.
五：求函数的单调区间
1. 无参数的函数求单调性问题
ln x
例20:证明：函数f(x) 在区间(0, 2)上是单调递增函数.
x
例21：确定函数f(x) 2x3 6x27的单调区间
真题：
1. (2017山东理)若函数e x f x ( e
2.71828L是自然对数的底数)在f x的定义域上单调递增,
则称函数f x具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为______________ .①f x 2 x
4
② fx3x③ fxx3④ fxx22
2. (2017天津理)已知奇函数 f (x)在R上是增函数,.. 0.8
g(x) xf(x).右a g( log25.1) , b g(2 ),
5
c g(3)，则a, b, c 的大小关系为
)
6
六：结合单调性和极值求参数的取值范围
A. a b c
B. c b a
C. b a c
D. b c a
3. (2017新课标I 文数)已知函数
f(x) Inx ln(2 x)，则(
A. y f (x)在(0,2)单调递增
B. y f (x)在(0,2)单调递减
C. y f (x)的图像关于直线 x 1对称
D . y f (x)的图像关于点(1,0)对称
2. 含有参数的函数的单调性
1 3 1 2
例22：已知函数f(x) x 3
(1 a)x 2 3 2
ax ，求函数f x 的单调区间。
例23：已知函数f(x) ln x ax 2 (2 a)x ，讨论f (x )的单调性
例25：【2015高考广东，理19】设a 1,函数f(x) (1 x 2)e x a .
(1 )求f (x)的单调区间； (2)证明：f (x)在 ,
上仅有一个零点；
例26：【2015高考江苏, 19】已知函数 f (x) x 3 ax 2 b(a,b
R).试讨论f (x)的单调性;
例27：
已知f x ln x
ax,讨论y
f x 的单调性
真题：
(2016年全国1 卷咼考) 若函数 f(x)
1 . x- sin 2x
3
asin x 在
是
(A )
1,1 (B )
1
1,- (C ) 1 1 (D ) 1, 1
3
3,3
3
单调递增，则a 的取值范围
例36：已知函数f x x 3 2x 2 x . ( 1)求函数f x 的单调区间和极值；(2)若 x 0,
7
例28：已知函数f(x) 3x 3 2x 2
1在区间 m,0上是减函数，则 m 的取值范围是 __ m 3 2
例29：已知函数f x x x x m R ，函数f x 在区间2,
内存在单调递增区间，则m
3
的取值范围
3
2
2 1
例30：已知函数fx x ax x 1 a R ，若函数f x 在区间 ， 内单调递减，则a 的
3
3
取值范围
1 3 1 2
例31：已知函数f(x) —x 3 —(2 a)x 2 (1 a)x(a 0).若f (x)在［0,1］上单调递增，则a 的取
3 2
(1)若f x 在x 0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y f x 在点1,f 1处的切线方程;
(2)若f x 在3, 上为减函数，求a 的取值范围。
七：恒成立问题及存在性成立问题
1.转化为分离参数问题求最值问题
例32：
已知函数 f(x) 3
x ax 在R 上有两个极值点,
则实数
a 的取值范围是
例
33：
已知函数 f x x 2 a ln x ，若 g x f x
-在1,
x
上是单调函数，求实数a 的取值范围
例
34： 如果函数 f x
1
c
2
m 2 x n 8 x 1
m 0, n
1
0在区间
，2单调递减，则mn 的
2
2
最大值为( )
(A ) 16
(B ) 18
(C ) 25
81
(D )
值范围 _____ . ___
真题：
2
【2015高考重庆】设函数
c 2
3x ax
例35：已知函数
1 2
一 x 2a
In x, a
，( 1)若 a
1，求函数f x 的单调区间和极值(
2)当