第二章 单自由度无阻尼系统的振动
单自由度系统是指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。系统的自由度数是指确定系统位置所必须的独立参数的个数，这种独立参量称为广义坐标，广
义坐标可以是线位移、角位移等。
单自由度系统振动理论是振动理论的基础，尽管实际的机械都是弹性
体，属多自由度系统，然而要掌握多自由度系统振动的基本理论和规律，
就必须先掌握单自由度系统的振动理论。此外，许多工程实际问题在一定
条件下可以简化为单自由度振动系统来研究。单自由度系统的力学模型如
图2-1所示，图中，m 为质量元件（或惯性元件），k 为线性弹簧，C 为线
性阻尼器。图2-1所示系统称为单自由度有阻尼系统，若该系统不计阻尼，
则称之为单自由度无阻尼系统，若在质量元件上作用有持续外界激扰力，
则系统作强迫振动，如无持续的外界激扰力而只有初始的激扰作用，则系
统作自由振动。
下面先研究单自由度无阻尼系统的自由振动，再进一步研究其强迫振
动。
2—1 自由振动
图2-2左图所示为单自由度无阻尼的弹簧质量系统。现用牛顿第二定律来建立该系统的运动微分方程。取质量m 的静平衡位置为坐标原点，取x 轴铅直向下为正，当系统处于平衡
位置时有，δk mg =，故有静位移
δ=mg/k （a ）
当系统处在位置x 处时，作用在质量上的力系不再平衡，
有：
mg x k x
m ++-=)(δ (b) 式中:2
2/dt x d x = 是质量的加速度，将（a ）式代入（b ）式；则得 kx x m -= 即 0=+kx x
m （2-1） 注意，上式中-kx 是重力与弹簧力的合力，它的大小与位移x 的大小成正比，但其方向却始终与位移的方向相反，即始终指向平衡位置，故称其为弹性恢复力。由式（2-1）可以看到，只要取物体的静平衡位置为坐标原点，则在列运动微分方程时，可以不再考虑物体的重力与弹簧的静变形。
将（2-1）式改写成 0=+x m k x ，令2p m
k = 则得 02=+x p x （2-2）
这是一个二阶齐次线性常系数微分方程。其解为
pt D pt D x sin cos 21+= （2-3） 式中两个积分常数D 1及D 2由初始条件确定。令t=0时，x(0)=x 0 ，0)0(x x =，得 D 1=x 0，
D 2=0x
/p 。将D 1、D 2值代入（2-3）式,得 pt p
x pt x x sin cos 00 += （2-4） 由式（2-4）可见，由初始条件引起的自由振动是按正弦、余弦函数变化的两个简谐运动组成的，这两个同频率的简谐运动仍可合成为一个简谐运动。
令：
2020)/(p x x A += （2-5）
001
x px tg -=? (2-6)
则式（2-4）可改写为 )sin(?+=pt A x （2-7）
上式表示无阻尼自由振动是简谐振动，其运动图线如图2-3所示。上式中A 称为振幅，φ称
为初相角。p 称为振动系统振动的圆频率。其表达式为
m k p = （rad/s ） （2-8）
每秒时间内的振动次数称为系统的振动频率，用f 表示。
m k P f ππ21
2/==（HZ ） （2-9）
系统的振动重复一次所需要的时间间隔称为振动周期，用T 表示。
k m f T π2/1==（s ） （2-10）
由此可见，简谐振动的振幅A 与初相角φ的大小取决于p 、x 0、0x
的数值，这就是说A 与φ不仅取决于系统的k 与m ，而且还随初始条件的不同而改变；而振动频率及周期只与系统的本身性质（弹性与惯性）有关，而与初始条件无关，它们是振系的固有特征，通常称为固有频率与固有周期。同样质量的两个系统，弹簧刚度小的系统固有频率低，弹簧刚度大的系统固有频率高；而刚度相同的两个系统，质量大的系统固有频率低，质量小的系统固有频率高。
系统的固有频率也可以从弹簧的静变形算出。由式（a ）可得δ//g m k =，代入（2-9）式即得 δπ/21
g f = （2-11）
[例2-1] 均匀悬臂梁长为L ，弯曲刚度为EJ ，重量不计，自由端附有重P=mg 的物体，如图2-4所示。试写出系统的振动微分方程，并求出固有频率。
解：将该系统简化为单自由度振动系统，悬臂梁相当
一根弹簧。由材料力学中悬臂梁的挠度公式知，当在梁的自由
端作用一垂直力P 时，该点的静挠度为EJ pL 3/3
=δ，故悬臂
梁的刚度3/3/L EJ p k ==δ。所以梁端物体的振动微分方程
为 y L EJ y
m 33-= 即 033=+y mL EJ y
固有频率为 3
321
mL EJ f π=。 在振动系统中，常遇到多个弹簧以不同的方式连接的问题，其中常见的为弹簧的串联与并联，以下研究这两种连接方式下振动系统的固有频率及弹簧刚度。
1.弹簧并联 设物块在重力m g 作用下作平移，其静变形为δst ，两个弹簧分别受力为F 1
和F 2（图2-5a 、b ），因弹簧变形量相同，因此
st k F δ11=， st k F δ22=
在平衡时有
mg=F 1+F 2=(k 1+k 2)δSt
令
k eq =k 1+k 2
k eq 称为等效弹簧刚度系数，上式成为
mg= k eq δST
或
δST = mg/k eq
因此上述并联系统的固有频率为 m
k k m k p eq
21+== 由此可见，当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度系数等于两个弹簧刚度系数的和。这一结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。
2.弹簧串联 图2-6所示两个弹簧串联，每个弹簧受的力都等于物块的重量mg ，因此两个弹簧的静伸长分别为
11k mg st =
δ， 2
2t k mg S =δ 两个弹簧总的静伸长 ???? ??+=+=21
2111k k mg st st st δδδ 若设串联弹簧系统的等效弹簧刚度系数为k eq ，则有eq st k mg /=δ
比较上面两式得 2
1111k k k eq += 或 2
121k k k k k eq +=
上述串联弹簧系统的固有频率为 )
(2121k k m k k m k p eq
+== 由此可见,当两个弹簧串联时,其等效弹簧刚度系数的倒数等于两个弹簧刚度系数倒数的和。这一结论也可以推广到多个弹簧串联的情形。
应注意，判断弹簧是并联还是串联，不能按表面形式来划分，而须从力和位移的分析来判断，一般，若各弹簧受力相等则为串联，而变形相等则为并联。
[例2-2] 图2-7所示并联弹簧系统，假定杆AB 为刚性杆，刚杆可以在图示平面内绕O 点偏转，求杆上O 点的等效弹簧刚度。
解：假定在O 点有作用力Q ，则A 、B 两点的作用力Q A 、Q B 分别为： ,Q b a b Q A += Q b
a a Q B += A 、B 两点的弹簧变形B A δδ,分别
为：
1
)(k b a Qb A +=δ 2)(k b a Qa B +=
δ 点O 的位移为：
???? ??++=+??????+-+++=+-+=122
22
121)()()()()(k b k a b a Q b a a k b a Qb k b a Qa k b a Qb b a a A B A O δδδδ所以，等效弹簧刚度 )/()(/12
222
k b k a b a Q k O ++==δ 当=2k a 1
k b 时,即A 、B 、O 点的位移相等时，k=k 1+k 2。 除弹簧与质量组成的振动系统外，工程中还有很多振动系统，如扭振系统、多体系统等，这些系统形式上虽然不同，但它们的运动微分方程却有相同的形式。
图2-8为一扭振系统，其中圆盘对于中心轴的转动惯性为Ⅰ，刚性
圆盘固结在扭杆的一端。扭杆另一端固定，圆盘相对于固定端的扭转角
度用?表示，扭杆的扭转刚度系数为k t ，它表示使圆盘产生单位扭转角
所需的力矩。根据刚体转动微分方程可建立圆盘转动的运动微分方程为
??t k dt
d I -=22 令I
k t =2ω,则上式可变为
0222=+?ω?dt
d （2-12） 此式与式（2-2）形式相同，其解亦类似，即其通解为
)sin(θ?+=pt A
其固有频率、固有圆频率及周期分别为 I k z f t /1
π=， ,/I k p t = t k I T /2π= （2-13） 振幅A 和初相角θ也决定于扭转振动的初始条件。若t=0时，θ=θ0 ，0
θθ =,则 220
20
P A θθ += 001θθ P tg -=φ [例2-3] 可绕水平轴O 摆动的物体称为复摆（亦称物理摆），设物体的重量为W ，对轴O 的转动惯量为I O ，重心C 至轴O 的距离为a ，如图2-9所示。求复摆微幅振动的微分方程及固有频率。
解：以θ表示摆在任一瞬时偏离垂直平衡位置的角位移。此时，重
心C 作圆弧运动，重力的切向分力Wsin θ将产生一个恢复力矩Wasin θ。
根据刚体定轴转动的微分方程，可得复摆绕定轴o 转动的微分方程为
I O ＝θ
-Wasin θ 在θ微小时，可令sin θ=θ，于是上式可写为 00
=+θθI Wa 这就是所求的振动微分方程。它的通解)sin(
?θ+=t I wa A o ，固有圆频率为o I wa p =，
固有频率为： o I wa f π21
= （2-14）
由于计算形式复杂的构件的转动惯量相当困难，方程（2-14）提供了一个用实验确定转动惯量的方法。设物体的重量w 与距离a 均为已知，由微福摆动实验测出固有频率f 后，就
可由（2-14）式计算出转动惯量I 0，I o ＝wa/(2πf)2.也可再根据转动惯量的平行轴定量计算出物体绕重心点转动惯量，2a g
w I I O C -=。
2—2计算固有频率的能量法
能量法是从机械能守恒定律出发的，对于计算较复杂系统的固有频率往往更为方便。 在介绍能量法以前，先将有关动能与势能的计算结果简述如下：
1.动能T
1） 质量为m 的质点（或者平动刚体）在速度为v 时，T ＝
22
1mv ； 2）定轴转动的刚体，在对转轴转动惯量为I ，角速度为ω时，T ＝22
1ωI ； 3) 平面运动的刚体，T=2222121ωC c I mv +(式中c υ表示物体质心的速度，I C 表示物体通过质心且垂直于运动平面的轴的转动惯量)。
2.势能U ：
1）弹性体的势能，等于外力使弹性体产生变形过程中所做的功。螺旋弹簧伸长（或缩短）x 时，2021kx kxdx U X
?==，转轴有扭角θ时，22
1θt k U =； 2）刚体的重力势能，U=PZ C (P 为重力，Z C 为从任意选定的某一基准位置量起重力P 的垂直坐标，高出基准位置时Z C 为正值，反之为负值)。
对于无阻尼自由振动来说，系统没有能量损失，振系在自由振动时的动能和势能之和（即机械能）保持常数，令T 和U 分别代表振系的动能和势能，有
T ＋U ＝常数 或0)(=+U T dt
d （2-15） 利用（2-15）式，可建立保守系统的运动微分方程，进而可求系统的固有频率，如对于图2-2所示单自由度无阻尼系统，动能为T=22
1x m ，势能为U=221kx 。代入（2-15）式得 0)(=+x kx x m , 即 0=+kx x
m 所得方程与用牛顿定律所得的结果相同。由此可求得固有频率。
系统的固有频率亦可用下述方法来计算。如系统作简谐振动，则质量通过静平衡位置时，U=O ，T=T max ，而在到达最大位置时，质量的速度为零，即T=0，U=U max 。这样系统反复运动时，其总能量交替地从动能转化为势能，再从势能转化为动能，因此势能的最大值应等于动能的最大值，即
T max =U max (2-16)
由式（2-16）可直接求得系统的固有频率。
[例2-4] 细杆OA 可绕水平轴O 转动，如图2-10所示。在静平衡时成水平位置，杆端重物质量为m 。杆与弹簧的质量均可略去不计。求自由振动的微分方程及固有频率。
解：在杆有小偏角?时，弹簧的伸长以及重物的位移与速度可以很近似的表示为a ?，b ?与b ?'。故振系的动能与势能可表示为：
2)(21? b m T =，2)(2
1?a k U = 代入（2-15）式，有
0)(21)(2122=??
????+??a k b m dt d 由此可得
0)(2=+??
b a m k 圆频率 m k b a p /=， 固有频率 m k b
a f /2π= 。 在前面讨论中，曾假定弹簧元件（弹簧、悬臂梁、扭轴等）的质量远小于振动物体的集中质量，因而可以略去不计，这样使原有分布质量的振系简化为单自由度的振系，在不少工程中，这种方法所得的结果已经足够精确。但若弹簧本身的质量并不是远小于集中质量，此时若再忽略弹簧的质量就将使得计算出来的系统固有频率偏高。对这样的振系，可以把能量法加以引伸，既考虑分布质量的影响，又仍把问题简化为单自由度振系，从而求出相当准确的固有频率。这种方法称瑞利法。应用瑞利法时，必须先对系统的振动形式作出假定。而且所假定的振动形式越接近实际的振动形式，则计算出来的固有频率的近似值就越接近准确值。实践证明，以系统的静变形曲线作为假定的振动形式，则所得的固有频率的近似值与准确值相比较，一般来说误差是很小的。
[例2-5] 在图2-11所示系统中，设弹簧在静平衡位置的长度为L ，弹簧的质量为m s ，用
瑞利法求振系的固有频率。
解：用瑞利法求固有频率时，若计算变形，则不计弹性体质量，若
计算能量，则应计及弹性体质量。
1．求系统动能；设弹簧变形仅受集中质量m 影响，最大值为X max ,
最大速度为max
X 。因为计算变形不计弹簧质量，故弹簧上各点位移，速度与该点距固定端的距离成正比，据此，距固定端为ε处的弹簧微段
d ε的速度为εL X m ，该微段d ε质量为εd L
m s ，动能为2)(21εεL X d L m m s ，整个弹簧动能2
3)(2122201m s m s L X m d L X L m T =?=εε， 系统动能)3
(221231222s m m m s m m X X m X m T +=+= 。 2．求系统势能：取势能O 点于m S ，m 共同作用下的平衡位置，则系统势能表达式中不出现重力势能项，故系统势能为22m m X K U =
。
3．令 Tm=Um 得：2
)3(22m ax 2m ax KX m m X s =+ 4．假定振型（按集中参数类型应有的振型假定） )sin(?+=Pt A X
对简谐振动来说，上式即成为
2
)3(22K m m P s =+ 由此可得系统的固有频率
3/(s m m K p +=， )
3/(21s m m K f +=π 上式中的m s /3通常称为“弹性的等效质量”。不同的振系，其弹簧的等效质量不同。
将上式与（2-9）式比较，可见弹簧质量对系统固有频率是有影响的。计算表明，对这样的系统，当需要考虑弹簧质量的影响时，只需要将弹簧的等效质量（m s /3）当作一个集中质量加到质量块上即可。这样的近似解在使用上是比较满意的。例如当m s =m/2时，上述近似值与准确相比误差约为0.5%，m s =m 时，误差约为0.8%，而m s =2m 时，误差也仅为3%。
[例2-6] 图2-12所示为一均质等截面悬臂梁。设悬臂梁单位长度质量为ρ，在梁端有一集中质量m ，求系统的固有频率。
解：由材料力学知，悬臂梁在梁端有集中载荷P （=mg ）作
用下的静挠度为f=EJ PL 3/2
,截面x 处的桡度 )23()23(33
3
2332L x Lx f L x Lx EJ P y -=-= 把上式作为梁在自由振动过程中任一瞬时各截面的垂直位
移，亦即梁的振动形式。此时式中y 与f 都将随时间变化，因
为是简谐运动，设
)sin(?+=Pt A f
则
)cos(?+=Pt AP f )23(332L
X LX f y -= 梁的动能为 T=
223320)14033(21)23(21f L dx L
x Lx f L ρρ=-? 故整个系统的最大动能为
222m ax 2m ax 2m ax m ax )140
33(21)14033(21)14033(2121P A L m f L m f L f m T ρρρ+=+=+= 而系统势能的最大值为 22m ax m ax 2
121KA kf U == 式中K 为梁的弹簧刚度，对于悬臂梁带有梁端集中质量时，K=3EJ/L 3 。由
m ax m ax U T =
得 2222
1)14033(21KA P A L m =+ρ 3
)140/33(3L L m EJ P ρ+= 3)140/33(321L L m EJ f ρπ+= 可见，悬臂梁的质量对振系固有频率的影响相当于在自由端处再加上梁的等效质量，即梁质量（ρL ）的33/140。
2—3在简谐激扰力作用下的强迫振动
工程中的振动系统，常受外力作用而产生振动，称外加的力为激扰力或扰力，在扰力作用下的振动称为强迫振动。
工程中常见的扰力多是周期变化的，如一般回转机械、往复式机械、交流电磁铁等引起的扰力。简谐扰力是一种典型的周期变化的激扰力，简谐扰力F 与时间的关系为F=F 0sin ωt 其中F 0称为力幅，ω称为激扰频率。
在此扰力作用下的无阻尼振动系统的运动规律如下所求。 设振动系统（见图2-13）物块质量为m ，弹簧刚度为k 。建立图示坐标系，坐标原点位
于物块平衡位置处。
由质点运动微分方程，有
F mg x k x
m +++-=)(δ （a ） 由于k δ＝mg ，所以上式可写成 t m
F x p x
ωsin 02=+ （2-17） 式中p 2＝k/m 。 这是非齐次常系数二阶微分方程，其解由两部分组成：
x （t ）＝x 1（t ）＋x 2（t ），其中x 1对应于方程（2-17）的齐次通解，x 2为方程（2-17）的特解。前已求得x 1为
x 1（t ）
＝D 1cospt ＋D 2sinpt=Asin(pt+?) （b ） 现求特解x 2。由于微分方程（2-17）含有x 2以及它的二阶导数和另一正弦函数，故设特解为如下形式
x 2（t ）
＝Bsin t ω （c ） 式中B 是未知常数，要求这个常数必须使假设解确实满足这个微分方程。为此把（c ）式代入方程（2-17），得
t m
F t Bp t B ωωωωsin sin sin 022=+- 故 2022011/λω
-=-=k F p m F B （2-18） 式中p /ωλ=称为频率比。
由式（c ）可得
t k
k F t p m F x ωωωsin 11sin 1202202-=-= （2-19） 因此微分方程（2-17）的通解为
t k F pt D pt D x ωλ
sin 11sin cos 2021-++= (2-20) 式中D 1及D 2可由运动的初始条件确定。为此，先将（2-20）式对时间t 求导得
t F pt p D ωλcos 1cos D psinpt x 2
021-++＝－ (d) 将物体在t ＝0时的初始位移x 0与初始速度0x
，代入到方程（2-20）及（d ）式，求出D 1及D 2为
D 1=x 0， D 2＝2001λ
λ--k F p x
代回（2-20）式，即得
)sin (sin 11sin cos 200pt p
t K F pt p x pt x x O ωωλ--++= （2-21） 上式右端前两项所表示的是振系由初始条件引起的自由振动，其频率为P ，振幅决定于初始条件；第三项表示的是振系在正弦扰力作用下的强迫振动，其频率与扰力频率相同，而振幅与运动的初始条件无关；第四项表示的是由扰力引起的自由振动，频率为P 。如果初始条件
为 00=x 、00=x
，则上式可简化为 )sin (sin 1120Pt P
t K F x ωωλ--= （2-22） 可见，扰力不仅激起强迫振动，同时还要引起自由振动，二者都是简谐运动，但二者频率不相等，它们之和不是一个简谐运动，只有当二者的频率成整数倍时，其和才是周期运动。对于振系在简谐激扰力作用下的运动，应重点研究的是强迫振动，这是由于经过若干个周期后，强迫振动将达到稳态而自由振动则因系统总有阻尼存在，会逐渐衰减下去的。由（2-18）式，令F/k ＝B 0，B 0相当于静力F 0作用在弹簧上引起的静变形。将（2-18）式改写成
201/1/λβ-==B B （2-23）
0/B B =β是强迫振动的振幅与静变形之比，称为振幅比或振
幅放大因子，振幅比仅决定于频率比λ，B/B 0与λ的关系可用图
2-14表示。从图中可以看出，当λ<<1（ω<
即B ≈B 0，这时振幅几乎与激扰力幅值F 0静作用在弹簧上产生的静
变形B 0差不多，系统的静态特性是主要的；当λ逐渐增加，振幅
比B/B 0亦随之增加，系统的振幅增大，当λ＝1（ω<
幅比B/B 0变成无穷大，即强迫振动振幅变成无穷大，这就是“共
振”现象。共振在振动问题中占有特别重要的地位，许多机器因振
动遭到破坏，其相当一部分原因是由于机器处于共振状态附近运转
所致。在λ＞1时，振幅比随λ的增加而减少，当λ＞＞1（ω＞＞P ）时，振幅比趋近于零。这就是说，当激扰频率ω远远超过系统的固有频率p 时，振
幅反而很小。
下面研究强迫振动位移与激扰力之间的相位关系，由
（2-23）式可见，当λ＜1（ω
强迫振动与激扰力相同，所以强迫振动与激扰力之间的相位
角ψ=0；当λ>1（ω>P ）时，振幅比B/B 0为负，强迫振动与
激扰力反相，ψ=π。在λ=1（ω=P ）的前后，相位角ψ分别
是零和π。在ω=P 时，ψ突然变化。图2-15表示了相位角ψ
与频率比λ之间的关系。
上面提到在共振情况下，即λ=1时，振幅趋于无穷大，事实上这是不可能的。首先，实际的振系不可能完全没有阻尼，而只要有微小的阻尼就足以限制振幅的无限扩大；其次，在列出微分方程（2-17）时，假定了弹簧力与变形x 成正比，这在微幅振动时一般是符合实际的，而在振幅加大后线性弹簧的假定已不再成立,而且就是在完全没有阻尼、弹簧力始终与变形成正比的情形，当P =ω时，方程（2-17）的特解也不再取（2-19）的形式，这时振动微分方程可改写成 pt m
F x p x sin 02=+ （2-24） 特解则改写用)sin(2ψ-=pt Bt x 的形式，将此式代入（2-24）中，定出常数
B=F 0/2mp ， 2/π?=
故特解为
pt mp
t F pt mp t F x cos 2)2sin(2002-=-=π （2-25） 可见在共振时，强迫振动振幅随时间t 的增加
成比例增大，不管激扰力幅值F 0是多么小，只要时
间一直延续下去，系统的振幅可以达到无穷大，如
图2-16所示。但增大振幅也需要较长时间，所以，
如果机器的正常运转速度在固有频率以上，在越过
共振时，只要使它过渡得比较快一点即可。
如下研究当无阻尼强迫振动系统的频率比接
近1但又不等于1即激扰频率ω和系统固有频率p
近乎相等时所产生的“拍振”现象。
设系统固有频率εω2=-P ，代入（2-22）
式，得
)sin (sin 1120pt P
t K F x ωωλ--= ??
????+-++--=??
????+-+-+-=--=
pt t p t p t p p mp F pt t p pt t p p mp F pt t p p mp F cos )2sin(2)2cos(sin )()()sin (sin 2)sin (sin 2)()sin sin ()(220220220ωεωεωωωωωωωωωω
当ε很小时，可略去括号中后一项，并有p p ≈+2
ω，则 pt t p
m F x cos sin 20εε-≈ （2-26）
这可看成振幅按t p
m F εεsin 2/0变化，频率为P 的振动。这种特殊振动的现象称为“拍”，如图2-17 所示。拍的周期为2π/ε，最大振幅为F 0/2mp ε，由于ε很小，振幅按sin εt 变化得很慢，周期也较长。在实验过程中很慢地调频到接近共振时，系统的振幅有时出现周期性忽大忽小的变化，就是因为产生拍的现象。若p →ω，则0→ε，拍的振幅和周期都将逐渐变成无穷大，这就是共振现象。
[例2-9] 如图2-13所示的振系，设质量m=20牛顿·秒2/厘米，弹簧刚度k=80牛顿/厘
米，扰力F=40cost 牛顿，在运动开始时有;0,000==x x
求此后的运动。 解：运动微分方程为 t x x c o s 408020=+ ，即
t x x
cos 24=+ 可见，系统固有频率 p ＝2，扰力频率1=ω，齐次解为
1x t D t D 2sin 2cos 21+=
特解为 x 2=Bcost
其中振幅 3
24/11121)/(1120=-=-=P K F B ω （cm ） 故通解为 t t D t D x cos 3
22sin 2cos 21+
+= 对时间求导，得 t t D t D x sin 322cos 22sin 221-+-=
以初始条件代入，可得 0,3/221=-=D D
故所求的运动方程为 )2cos (cos 3
2t t x -=（cm ） [例2-10] 如图2-18 a ）所示的振系。均质钢性杆重为W ，杆长为b ，铰接在A 点，在离杆端A 为a 处用弹簧刚度为K 的线性弹簧支承，并在杆端B 受到激扰力F=F 0sin ωt 的作用。假设杆的平衡位置处于水平，求振动微分方程及其响应。
解：类似于图2-13振系的分析，这里用转角θ为坐标，考虑微幅振动，用定轴转动微分方程建立该系统振动微分方程为
t b F Wb a a K I A ωδθθsin 2/)sin (0
+---=
上式中δ为弹簧的静变形，23b g
W I A =，为杆对A 轴的转动惯量。由平衡条件 Wb/2=k
δa, 而 sin θ≈θ,故
t b F Ka I A ωθθsin 0
2+-=
即 t Wb g F Wb Kga ωθθsin 33022=+
方程的齐次解为
pt D pt D t sin cos )(211+=θ，
特解为
t B t ωθsin )(2=。
式中固有频率
22/3Wb g Ka p =
将特解代入微分方程，求得 220/3ω
-=
p Wb g F B 。 于是方程通解为 t p Wb g F pt D pt D t ωωθsin /3sin cos )(22021-+
+= 式中D 1、、D 2可由运动的初始条件决定。
习 题
2-1 弹簧不受力时原长为L 0=65厘米，下
端挂上重10牛顿的物体后，弹簧长度增大到
85厘米。设用手把物体托住，使弹簧回到原
来长度L 0时，突然释放，试求物体运动方程、
振幅、频率以及弹簧力的最大值。
答： t x 7cos 20-=， A=20cm ，
π27
=f HZ ，
20m ax =F N 。
2-2 如题2-2图所示，一小车重为P ，在斜面上自高h 处滑下与缓冲器相撞后随同缓冲器弹簧一起作自由振动。弹簧刚度为k ，斜面倾角为α，小车与斜面之间的摩擦力忽略不计。求小车的振动周期与振幅。
答： gk P T /2π=
)2sin (2h k
P k P A +=α
2-3 如题2-3图所示，重P=2?104N 的重物在吊索上以匀速V=5m/s 下降。当下降时由于吊索嵌入滑轮侧面的缝隙，吊索上端被卡住，突然停止不动，重物P 即作上下自由振动。如不计吊索重量，已知吊索在重物p 静力作用下伸长5mm 。求重物振动的频率和吊索中的最大张力。
答： f=7.046HZ ， N max =2.753x104N 。
2-4 如题2-4图所示，质量为m 的物体用弹簧悬挂，处于静平衡状态。突然有质量为m 1的物体从高度h 落下，撞到m 后不再回跳，求此后的运动。
答： t m m k k g m t m m k m m k gh m x 1
1111cos sin )(2+-++= 2-5 一均匀等直杆AB ，重为W ，长为b ，用两根长为h 的铅垂线挂成水平位置，两线
相距为a 。如题2-5图所示。试求此杆绕通过重心的垂线轴oo 作微幅振动的固有频率。 答：h
g a b f 321π= 2-6如题图所示的系统，设OA 为均质钢性杆，质量为m 。试求系统微幅振动的固有频率。 答： L
g m k f 241
+=π 2-7 如题2-7图所示的系统，轴的直径为d ，两端固定。圆盘固定于轴上，对轴的转动惯性为I ，圆盘至轴两端的距离分别为a 和b 。求系统扭转振动的固有频率。
答： abI b a G d f 32)(414+=ππ
2-8 求题2-8图所示系统的等效刚度，悬臂梁端点的刚度分别为k 1、、、
、k 3。 答： 4
241213231421432431k k k k k k k k k k k k k k k k k k k K ++++++= 2-9 一刚性直杆AB ，长度为b ，杆一端铰支，另一端由刚度为k 的弹簧支承。在离铰支端为a 处有一集中质量m ，如题2-9图所示。忽略刚性杆质量，试求系统的固有频率。
答： m k a b
f π21=
2-10 由三根长度均为L ，重量均为W 的匀质杆，用铰链连接成机构如题2-10图所示。求此机构作微摆动时的固有频率。
答： L g f 5/621
π=
2-11 一刚性直杆AB ，长度为b ，A 端铰支，离铰支端a 处用一刚度为k 1的弹簧悬挂，在B 端用一刚度为k 2的弹簧悬挂一质量m ，如题2-11图所示。忽略杆本身的质量，求系统的固有频率。
答： m
k b k a k k a
f )(2221221+=π 2-12 如图2-12图所示系统，轮子可绕水平轴O 转动，对转轴的转动惯量为I 0，轮缘
绕有软绳，下端挂有重量为P 的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由刚度为k 的水平弹簧维持平衡。半径R 与a 均已知。求微幅振动的周期。
答： 220)/(2ka
g PR I T +=π 2-13 等截面水平梁，两端筒支，长度为L ，截面抗弯刚度为EJ ，在梁的中点处载有重量为P 的重物。（a ）不计梁的本身质量，求系统的固有频率。（b ）设梁单位长度的质量为ρ，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率。假定在振动中，梁的振型曲线与梁在中点受集中载荷时的静挠度曲线具有同一形式，既有])(43
[)(30L X L x y x y -=,(0＜X ＜2L ＝,其中y 0为梁中点振幅。
答：（a 3/4821
PL EIg f π=；
（b ）梁的等效质量为0.486ρL 。 2-14 已知一弹簧质量系统，挂在弹簧下端的物体重为4.9N ，弹簧刚度为2N/cm ，求在铅垂扰力F=2.3sin8πt （N ）作用下强迫振动规律。
答： x=-2sin πt
2-15 已知一弹簧质量系统，物体重W=1960N ，弹簧刚度K ＝200N/cm ，作用在物体上的扰力F=160sin19t(N)，阻尼忽略不计，求物体的位移和放大因子。
答： t x 19sin 306.0-=（cm ）； β＝0.383。
2-16 如题2-16图所示系统，轴的直径d=2厘米，L=40厘米，
剪切弹性模量G=8*105牛顿/厘米2。圆盘绕对称轴的转动贯量为
I=1*104牛顿·厘米·秒2，并在M=5000πsin2πt （牛顿·厘米）的
力矩作用下扭振。求振幅之值。
答： B=0.0673（弧度）
单自由度系统机械振动 1. 图示系统的轮和绳之间无相对滑动，只作纯 滚动，建立系统的运动微分方程，并求系统 的固有频率，圆盘转动惯量为J ，质量块的 质量为m ，弹簧刚度为K 。 2． 图所示，W=1000N ，k=2 104N/m ，图示位 置弹簧已承受初压力F 0=100N ，现将支承突 然撤去，重块落下后作自由振动时的振动位 移表达式？（取重力加速度g=10m/s 2） 3．如图所示为一台机器，其总质 量为M ，安装在一个弹簧和一 个阻尼器上，弹簧常数为k ，阻 尼系数为c 。机器工作时旋转中 心为O ，角速度为ω，不平衡 质量大小为m ，偏心距离为e 。 机器只能在垂直方向运动。求机器振动时传给地面的力的最大值。 W K
4．图示系统中，质量m 上受激励力为 F （t ）=sin ωt+10sin10ωt 时， 求质量m 的稳态响应 5. 图示系统的轮和绳之间无相对滑动，只作纯滚动，建立系统的运动微分方程，并求系统的固 有频率，圆盘转动惯量为J ，质量块的质量为m ， 弹簧刚度为K 6. 一重块与两弹簧相连，W=490N ，k=9800N/m ， 图示位置弹簧不受力，现将支承突然撤去，重块 落下后作自由振动时的振动位移表达式？ 7. 如图所示为一台机器，其总质量为m ，通过一个弹簧和一个阻尼器安装在基础上，弹 簧常数为k ，阻尼系数为c 。基础的运动为 y(t)=Ysin ωt ，机器只能在垂直方向运动。求 基础振动时传给机器的力的最大值。 W K K
8．图示系统中，质量m上受激励力为 F（t）=sinωt+10sin10ωt时， 求质量m的稳态响应。 9.一般振动问题，如图所示： 三类振动问题分别是： （1）振动分析，已知，求； （2）振动环境预测或载荷分析，已知，求； （3）系统识别，已知，求。 10. 振动问题的分类，根据自由度数分，有， 和。 11. 简谐振动x=Asin(ωt+φ)，其中的振动位移为，振幅 为， 振动频率为为，振动的初相位为 12. n个自由度振动系统有个固有频率，有个固有 振型， 其中的第i阶主振型有个节点。
习 题 1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。 解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 mg k δ= 其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知 δ=3 24mgh EJ = 则 k = 3 24EJ h 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 " m x kx =- 所以固有频率3 n 24mh EJ p = 1-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角 2 a ＝h 2F cos α＝mg 由动量矩定理： a h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12 1 2 2-=-≈?-=== =αθ αθ&& 题1-1图 题1-2图 F sin α 2 θ h mg
其中 12 cos sin ≈≈θ α α h l ga p h a mg ml n 2 2 2 2 2304121==?+θθ&& g h a l ga h l p T n 3π23π2π22 2= == 1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3，悬臂梁的质量忽略不计。 解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。即为 21211k k k k k += '，212132k k k k k k ++='，4 241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++= ) (42412132314 214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++= 1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中J 1、J 2和J 3是三个轴段截面的极惯性矩，I 是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G 。 解： 111/l GJ k = （1） 222/l GJ k = （2） 333/l GJ k = （3） )/(23323223l J l J J GJ k += （4） ) (/)()4)(3)(2(1/)(2332113221332122312l J l J Il l J J l J J l J J G P I k k P n n +++=+=知 ）由（ 题1-3图 题1-4图
习 题 2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值 1 2 .41=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。 解：由题意，可求出系统的运动微分方程为 t m x n x p x n 3cos 360 22 =++ 得到稳态解 )3cos(α-=t B x 其中 m k B B B 45.0360 4)1(02 2220 == +-= λζλ 222 122tg λζλ ωωα-=-= n p n 由 d nT i i A A e 2.41 === +η 489 .3π 2797 .0ln 8 .1ln ======d d d d d T p T n T nT η η 又 22n p p n d -= 有 579.32 22=+=n d n p n p p 45.51255.1298.0374 .0838 .01838.0223.02tg 103.1408 .045 .0838.0223.04)838.01(45 .0223.0579 .3797.0838.0579 .33 2 222===-??= == ??+-= === == =ααζω λB p n p n n 所以 x ＝1.103 cos(3t －51?27') 2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给
质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。 解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由 m k p n = ，共振时m k p n ==1ω 所以 m k =6 ① 又由 当 86.51 2=+= =m k p n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m 2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。 解：列出平衡方程可得： 222()sin sin()sin()st Q W W k x w e wt x g g W Q x kx w e wt g g kg Q x x w e wt W W ππ-σ+- =+=++=+ 所以：2 n kg P W Q h w e W = =， 又因为st st W W k k =σ=σ即 22() st st B w e B W g w =σ-σ将结果代入Q = 即为所求的振幅 2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力t F t F ωsin )(0=，弹簧支承端有运动 t a x s ωco s =，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。 题2-4图
一、填空题 1、机械振动按不同情况进行分类大致可分成（线性振动）和非线性振动；确定性振动和（随机振动）；（自由振动）和强迫振动。 2、周期运动的最简单形式是（简谐运动），它是时间的单一（正弦）或（ 余弦）函数。 3、单自由度系统无阻尼自由振动的频率只与（质量）和（刚度）有关，与系统受到的激励无关。 4、简谐激励下单自由度系统的响应由（瞬态响应）和（稳态响应）组成。 5、工程上分析随机振动用（数学统计）方法，描述随机过程的最基本的数字特征包括均值、方差、（自相关函数）和（互相关函数）。 6、单位脉冲力激励下，系统的脉冲响应函数和系统的（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和系统的（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。 2、在离散系统中，弹性元件储存( 势能)，惯性元件储存（动能），（阻尼）元件耗散能量。 4、叠加原理是分析（线性）系统的基础。 5、系统固有频率主要与系统的（刚度）和（质量）有关，与系统受到的激励无关。 6、系统的脉冲响应函数和（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。 7、机械振动是指机械或结构在平衡位置附近的（往复弹性）运动。 1．振动基本研究课题中的系统识别是指根据已知的激励和响应特性分析系统的性质，并可得到振动系统的全部参数。（本小题2分） 2．振动按激励情况可分为自由振动和强迫振动两类。（本小题2分）。 3．图（a）所示n个弹簧串联的等效刚度= k ∑ = n i i k1 1 1 ；图（b）所示n个粘性阻尼串联的等效粘 性阻尼系数= e C ∑ = n i i c1 1 1 。（本小题3分） （a）（b） 题一 3 题图 4．已知简谐振动的物体通过距离静平衡位置为cm x5 1 =和cm x10 2 =时的速度分别为s cm x20 1 = &和s cm x8 2 = &，则其振动周期= T；振幅= A10.69cm。（本小题4分） 5．如图（a）所示扭转振动系统，等效为如图（b）所示以转角 2 ?描述系统运动的单自由度 系统后，则系统的等效转动惯量= eq I 2 2 1 I i I+，等效扭转刚度= teq k 2 2 1t t k i k+。（本小题4分）
第三章两自由度系统振动 §3-1 概述 单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。 两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。 所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。 以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀
拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。 在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。(工程实际中两自由
1α，小车与斜面之间摩擦力 gk P T π 2=， ?? ? ??+= α2sin 2k P h k P A 2 m 。 ()2 2 34mr a r k n +=ω 3．确定图2-3系统的固有频率。
() r R g n -= 32ω 图2-3 第三章 两自由度系统振动 §3-1 概述 单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。 两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。 所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a ）、车床两顶尖间的工件系统（b ）、磨床主轴及砂轮架系统（c ）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在
于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。 以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。
第5章 两自由度系统的振动 应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、 主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。 如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以由质心C 偏离其平衡位置的铅直位移z 及平板的转角 来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。 5.1 双质量弹簧系统的自由振动 5.1.1 运动微分方程 图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x 1、x 2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x 1、x 2表示。两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得 ? ? ?=+-=-++00)(2212222212111x k x k x m x k x k k x m &&&& (5-1) 这就是两自由度系统的自由振动微分方程。习惯上写成下列形式 ??? =+-=-+00212211dx cx x bx ax x &&&& (5-2) 显然此时 2 2 1 2 1 2 1,,m k d c m k b m k k a = == += 但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不相同。 图5-1车辆模型 图5-2两自由度的弹簧质量系统
5.1.2 固有频率和主振型 根据微分方程的理论，设方程(5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为 ?? ? ??+=+=)sin()sin(2211ααpt A x pt A x (5-3) 或写成以下的矩阵形式 )sin(2121α+?? ? ???????=??????????pt A A x x (5-4) 将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组 ? ?? ???=????????????----002122 A A p d c b p a (5-5) 保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即 0)(2 2 2 =----= ?p d c b p a p 展开后为 0)(24=-++-bc ad p d a p (5-6) 式(5-6)唯一确定了频率p 满足的条件，通常称为频率分程或特征方程。它是2p 的二次代数方程，它的两个特征根为 )(222 22 ,1bc ad d a d a p --??? ??++=μ bc d a d a +?? ? ??-+=2 22μ (5-7) 由于式(5-7)确定的2p 的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质，与运动的初始条件无关，因此p 称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率。 5.2.2 主振型 将固有频率p 1和p 2分别代入式(5-5)的任一式，可得到对应于它们的振幅比
利用Adams 和Matlab 对二自由度系统振动进行仿真与分析 一、实验思想 Adams 是一种可以对一些典型运动进行高效仿真的软件，本实验是利用Adams 对二自由度系统振动进行仿真及分析，再和理论公式对比，并用另外一种常见的仿真软件Matlab 的仿真结果进行对比，观察两者的差异，分析软件仿真产生差异的原因，加深对二自由度系统振动的理解。 二、二自由度系统振动分析 固有频率取决于系统本身物理性质，而与初始条件无关。对于二 自由度的振动系统是有两种频率的简谐波组成的复合运动，这两个频率都是系统的固有频率。 主振型是当系统按固有频率作自由振动时，称为主振动。系统作 主振动时，任何瞬时各个运动坐标之间具有一定的相对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。 强迫振动是振动系统在周期性的外力作用下，其所发生的振动称 为强迫振动，这个周期性的外力称为驱动力。 三、二自由度系统自由振动 1.建立二自由度系统振动模型 1）创建底座：先生成一个尺寸合适的长方体基体，再使用add to part 指令创建底座的侧壁。 2）使用new part 指令分别创建两个滑块，创建滑块时应注意滑
块与滑块、滑块与侧壁之间的尺寸适当。 3）弹簧连接：分别用弹簧链接滑块、侧壁的中心点。弹簧生成后，依次选中弹簧，在modify 选项中的stiffness and damping 下拉菜单中将damping coefficient 设置成no damping，即弹簧无阻尼。 添加约束：底座和地面固定，滑块和底座用滑动副连接。 弹簧刚度分别改为1、1、2(newton/mm) 滑块质量分别为1.0 2.0 滑块与机体滑动副的阻尼改为1.0E-007 2.模型展示 3.运动仿真结果 设置x10=12 经过Adams 运算后，滑块1、2 运动状态如图所示：
:单自由度系统自由衰减振动及固有频率、阻尼比的测定实验指导书 陈安远 （武汉大学力学实验教学中心） 1.实验目的 1、了解单自由度系统模型的自由衰减振动的有关概念； 2、学习用频谱分析信号的频率； 3、学习测试单自由度系统模型阻尼比的方法。 2.实验仪器及安装示意图 实验仪器:INV1601B型振动教学实验仪、INV1601T型振动教学实验台、加速度传感器、MSC-1力锤(橡胶头)、重块。 软件:INV1601型DASP软件。 图1实验系统示意图 3实验原理 单自由度系统的阻尼计算，在结构和测振仪器的分析中是很重要的。阻尼的计算常常通过衰减振动的过程曲线（波形）振幅的衰减比例来进行计算。衰减振动波形示于图2。用衰减波形求阻尼可以通过半个周期的相邻两个振幅绝对值之比，或经过一个周期的两个同方向
振幅之比,这两种基本方式进行计算。通常以一个周期的相邻两个振幅值之比为基准来计算的较多。两个相邻振幅绝对值之比,称为波形衰减系数。 图2衰减振动波形 1、对经过一个周期为基准的阻尼计算 每经过一个周期的振幅的比值为一常量： η=d nT i i e A A =+1 这个比例系数η表示阻尼振动的振幅(最大位移)按几何级数递减。衰减系数η常用来表示振幅的减小速率。叫做振幅减缩率或减幅系数。 如果用减幅系数η的自然对数来表示振幅的衰减则更加方便。 δ=ln （η）=ln d i i nT A A =+1=21ξπξ- δ称为振动的对数衰减率或对数减幅系数。可以利用δ来求得阻尼比ξ。 2、在小阻尼时,由于η很小；这样读数和计算误差较大,所以一般地取相隔若干个波峰序号的振幅比来计算对数衰减率和阻尼比。 4.实验步骤 1、仪器安装 参照仪器安装示意图安装好配重质量块，加速度传感器。 2、开机进入INV1601型DASP 软件的主界面, 进入单通道示波状态进行波形和频谱同时示波，见图2。 3400Hz 、采样点数为2K,标定值和工程单位等参数(按实际
第二章 单自由度系统的自由振动 本章以阻尼弹簧质量系统为模型,讨论单自由度系统的自由振动。 §2-1 无阻尼系统的自由振动 无阻尼单自由度系统的动力学模型如图所示。设质量为m ，单位是kg 。弹簧刚度为K ，单位是N ／m ，即弹簧单位变形所需的外力。弹簧在自由状态位置如图中虚线所示。当联接质量块后，弹簧受重力W=mg 作用而产生拉伸变形：，同时也产生弹簧恢复力K ，当其等于重力W 时，则处于静平衡位置，即 W=K 若系统受到外界某种初始干扰，使系统静平衡状态遭到破坏．则弹簧力不等于重力，这种不平衡的弹性恢复力，便使系统产生自由振动。首先建立座标，为简便起见，可选静平衡位置为座标原点，建立铅垂方向的座标x ，从原点算起，向下为正，向上为负，表示振动过程中质量块的位置。现设质量m 向下运动 到x ，此时弹簧恢复力为K(+x)，显然大于重力W ，由 于力不平衡，质量块在合力作用下，将产生加速度运动，故可按牛顿运动定律(作用于一个质点上所有力的合力，等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘 积)，建立运动方程，取与x 正方向一致的力、加速度、速度为正，可列如下方程 改写为 0=+kx x m && (1-1-1 令 m k p = 2 (1-1-2) 单自由度无阻尼系统自由振动运动方程为 02=+x p x && (1-1-3) 设方程的特解为 st e x = 将上式代入(1-1-3)处特征方程及特征根为 ip s p s ±==+2,1220 则(1-1-3)的通解为 pt D pt C e C e C x ipt ipt sin cos 11+=+=- (1-1-4) C 、 D 为任意积分常数，由运动的初始条件确定，设t=0时 00,x x x x &&== （1-1-5） ()x m x k W F && =+?-= ∑量位静平衡位置 一自由度弹簧—质量系统 ? ==k mg W x &x )
第二章 单自由度 2.1 求题图2.1所示系统的无阻尼、有阻尼固有频率及周期 题图：2.1 2.2图示为车辆在道路上行驶时振动分析的简化模型，质量块m 表示车辆车体。由于地面不平顺，车辆行驶时，引起车辆竖向振动。道路不平顺可用路程s 的函数()y s 描述，当车辆 以速度v 匀速运动时，有s vt =、道路不平顺可转化为时间的函数()y vt 。试用绝对或 相对坐标描述车体的位移，建立振动微分方程。 题图2.2 2.3已知：弹簧质量系统，质量块为m ，弹簧刚度为k ，已知，()00x x =，()00x x =，不考虑弹簧的质量，试求三种表达式表达的响应。 2.4假设弹簧长度为l ，单位长度质量为ρ，建立考虑弹簧质量的振动微分方程，求出固有频率并与不考虑弹簧质量时比较。（提示：可假设弹簧纵向位移函数，函数左端为零、右端 与质量块同，用能量法建立方程） ) s i t e ω
k m x 题图2.3 2.5 有阻尼的弹簧质量系统，已知m 196kg =，k=19600N/m ，m s N c /2940?=，作用在质量块上的激振力为P(t)=160sin(19t)N ，试求考虑阻尼和忽略阻尼的两种情况中，系统的振幅放大因子及位移。 2.6 有实验测得一个系统有阻尼时固有频率为d ω，在简谐激振力作用下出现最大位移值的激励频率为m ω，求系统的无阻尼固有频率n ω，相对阻尼系数ξ及对数衰减率δ。 2.7 已知系统的弹簧刚度为k=800N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值为 i i 1 4.21 A A +=，若质量块受激振力P(t)=360cos(3t)的作用，求系统的稳态响应。 2.8 一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率为16rad /s ω=时，系统发生共振，给质量块增加1kg 的质量后重新试验，测得共振频率为2 5.86rad /s ω=，试求系统原来的质量及弹簧刚度。 2.9 如题图 2.4所示，作用在质量块上的激振力为0P(t)=P sin t ω，弹簧支承端有运动 t a x s ωcos =，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。 题图2.4 题图2.5 0sin t ω )
5-1 如图所示的系统，若运动的初始条件：,0,mm 5,0201010====x x x t 试求系统对初始条件的响应。 解： 112211222112102,,22,0,202020cos(),cos()cos()005,k k k k k x x k k x k k x mx kx kx mx kx kx x x A t t kA t t x mm ω?ωω?ω?ω-?? =??-?? -??????????+=??????????-??????????+-=+-===++++== ==2带入可得运动微分方程：m,00,m 令代入原方程可得 -mA 有 时，1020120, cos 5,sin 0,5,0 ().x x A A A mm x x mm ?ω??===-=====有可得 ω有两个值 12p p = = 15522x =+ 255c o c 22x =- 5-2 图示为一带有附于质量m 1和m 2上的约束弹簧的双摆，采用质量的微小水平平移 x 1和x 2为坐标，设m m m ==21，l l l ==21，021==k k ，试求系统的固有频率和主振型。
解：设1m 沿1x 方向移动1个单位，保持 2m 不动，对2m ，1m 进行受力分析，可得： 212 2()0, m A k l m g =--=∑2212m g k l =- 11 12111212122 111211112()()()0 m B k k k l m m g m m m m m g k g k k g k l l l =-+-+=++= +-=++∑ 同理使2m 沿2x 方向移动一个单位，保持1m 不变，对2m 受力分析可得： 22 222()()*0m C k k l m g =--=∑， 22222m g k k l =+ ； 刚度矩阵为 11211222,,k k k k ??=????k ，质量距阵12,00,m m ??=????m ， 带入可得运动的微分方程为：mx kx F += 12,00,m m ?? ???? 12x x ??????+11211222,,k k k k ?? ????12x x ???? ??=F ； 综上解得：????? ????=???? ??++-=-???? ??++++)()(222221222212221 2212111t F x l g m k x l g m x m t F x l g m x g l m g l m m k x m 利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。 设0,121==x x ，分别画出1m 与2m 的受力图，并施加二物块力2111,k k ，列平衡方程， 对1m ： ∑=0X ，0sin sin 1221111 =---k T T k θθ ∑=0Y ，0cos cos 1 2 2 1 1 =--g m T T θθ 对2 m ： ∑ =0X ， 0sin 2 2 21 =+θT k ∑ =0Y ， 0cos 2 22=-g m T θ
x 1 ax 1 bx 2 x 2 cx 1 dx 2 显然此时 m 2 但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不相同。 第5章两自由度系统的振动 应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问 题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。多自 由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、 主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两 自由度系统机械振动的基本方法。 如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以 由质心C 偏离其平衡位置的铅直位移 z 及平板的 转角 来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问 题就被简化为一个两自由度的系统。 图 21-1 5.1双质量弹簧系统的自由振动 5.1.1 运动微分方程 图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩 擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标 X 1、X 2的原点，物体离开其平衡位置的位移用 X 1、X 2 何 表示。两物体在水平方向的受力图如图 5-2(b)所示, 由牛顿第二定律得 图5-2两自由度的弹簧质量系统 m 1x 1 (k 1 k 2)x 1 k 2x 2 0 m 2x 2 k 2 x 1 k 2x 2 0 (5-1) 这就是两自由度系统的自由振动微分方程 。习惯上写成下列形式 (5-2) k 1 k 2 k 2 k 2 m 1
5.1.2 固有频率和主振型 根据微分方程的理论，设方程 (5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为 x i A i sin( pt ) x 2 A 2 sin( pt ) 或写成以下的矩阵形式 将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组 a p 2 b A i 0 c d p 2 A 2 保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式 (5-5)的系数行列式等于零，即 2 a p 2 b (p 2) p 2 c d p 展开后为 p 4 (a d) p 2 ad be 0 的两个特征根为 (ad bc) (5-7) 由于式(5-7)确定的p 2的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质， 与运动的初始条件无关， 因此p 称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率。 5.2.2 主振型 将固有频率P 1和p 2分别代入式(5-5)的任一式，可得到对应于它们的 振幅比 (5-3) x i X 2 A i sin( pt ) A 2 (5-4) (5-5) (5-6) 式(5-6)唯一确定了频率 p 满足的条件, 通常称为频率分程或特征方程。 它是p 2的二次代数方程，它 2 a d 2 bc