中考数学重难点专题讲座
第二讲图形位置关系
【前言】在中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。综合整个2010一模来看，18套题中有17套都是很明确的采用圆与三角形问题的一证一算方式来考察。这个信息告诉我们中考中这一类题几乎必考。由于此类题目基本都是上档次解答题的第二道，紧随线段角计算之后，难度一般中等偏上。所以如何将此题分数尽揽怀中就成为了每个考生与家长不得不重视的问题。从题目本身来看,一般都是采取很标准的两问式.第一问证明切线,考察切线判定定理以及切线性质定理及推论,第二问通常会给定一线段长度和一角的三角函数值,求其他线段长，综合考察圆与三角形的知识点。一模尚且如此,中考也不会差的太远。至于其他图形位置关系,我们将会在后面的专题中涉及到.所以本讲笔者将从一模真题出发，总结关于圆的问题的一般思路与解法。
第一部分真题精讲
【例1】(2010，丰台，一模)
已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若DE=2，tan C=1
2
，求⊙O的直径．
A
【思路分析】本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直
径的中点这一性质。对于此题来说，自然连接OD，在△ABC中OD就是中位线，平行于BC。所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。
【解析】
（1）证明：联结OD．∵ D为AC中点， O为AB中点，
A
∴ OD为△ABC的中位线．∴OD∥BC．
∵ DE⊥BC，∴∠DEC=90°.
∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE于点D.
∴ DE为⊙O的切线．
（2）解：联结DB．∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．∴DB⊥AC．∴∠CDB=90°.
∵ D为AC中点，∴AB=AC．
在Rt△DEC中，∵DE=2 ，tanC=1
2
，∴EC=4
tan
DE
C
=. （三角函数的意义要记牢）
由勾股定理得：DC=
在Rt△DCB 中， BD=tan
DC C
?= BC=5.
∴AB=BC=5.
∴⊙O的直径为5.
【例2】（2010，海淀，一模）
已知：如图，O
为ABC
?的外接圆，BC为O
的直径，作射线BF，使得BA平分CBF
∠，过点A作AD BF
⊥于点D.
（1）求证：DA为O
的切线；
（2）若1BD =，1
tan 2
BAD ∠=
，求O 的半径.
F
C
【思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。题目中除垂直关系给定以外，就只给了一条BA 平分∠CBF 。看到这种条件，就需要大家意识到应该通过角度来证平行。用角度来证平行无外乎也就内错角同位角相等，同旁内角互补这么几种。本题中，连OA 之后发现∠ABD=∠ABC ，而OAB 构成一个等腰三角形从而∠ABO=∠BAO ，自然想到传递这几个角之间的关系，从而得证。第二问依然是要用角的传递，将已知角∠BAD 通过等量关系放在△ABC 中，从而达到计算直径或半径的目的。
【解析】证明：连接AO .
F
C
∵ AO BO =， ∴ 23∠=∠. ∵ BA CBF ∠平分， ∴ 12∠=∠. ∴ 31∠=∠ .
∴ DB ∥AO . （得分点，一定不能忘记用内错角相等来证平行） ∵ AD DB ⊥,
∴ 90BDA ∠=?.∴ 90DAO ∠=?. ∵ AO 是⊙O 半径，
∴ DA 为⊙O 的切线. （2）∵ AD DB ⊥,1BD =，1
tan 2
BAD ∠=
，
∴ 2AD =.
由勾股定理，得AB ∴
sin 4∠=
.（通过三角函数的转换来扩大已知条件） ∵ BC 是⊙O 直径，
∴ 90BAC ∠=?.∴ 290C ∠+∠=?. 又∵ 4190∠+∠=?, 21∠=∠,
∴ 4C ∠=∠. （这一步也可以用三角形相似直接推出BD/AB=AB/AC=sin ∠BAD ） 在Rt △ABC 中，sin AB BC C ==sin 4
AB
∠=5. ∴ O 的半径为52
.
【例3】（2010，昌平，一模）
已知：如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B
在⊙O 上，且.OA AB AD == （1）求证：BD 是⊙O 的切线；
（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交
于点F ，且8BE =
，tan BFA ∠= 求⊙O 的半径长.
【思路分析】 此题条件中有OA=AB=OD ，聪明的同学瞬间就能看出来BA 其实就是三角形OBD 中斜边OD 上的中线。那么根据直角三角形斜边中线等于斜边一半这一定理的逆定理，马上可以反推出∠OBD=90°，于是切线问题迎刃而解。事实上如果看不出来，那么连接OB 以后像例2那样用角度传递也是可以做的。本题第二问则稍有难度，额外考察了有关圆周角的若干性质。利用圆周角相等去证明三角形相似，从而将未知条件用比例关系与已知条件联系起来。近年来中考范围压缩，圆幂定理等纲外内容已经基本不做要求，所以更多的都是利用相似三角形中借助比例来计算，希望大家认真掌握。 【解析】
（1）证明：连接OB .
C
∵,OA AB OA OB ==，
∴OA AB OB ==. ∴ABO ?是等边三角形. ∴160BAO ∠=∠=?. ∵AB AD =， ∴230D ∠=∠=?.
∴1290∠+∠=?.
∴DB BO ⊥ . （不用斜边中线逆定理的话就这样解，麻烦一点而已） 又∵点B 在⊙O 上， ∴DB 是⊙O 的切线 .
（2）解：∵CA 是⊙O 的直径， ∴90ABC ∠=?.
在Rt ABF △
中，tan AB BFA BF ∠==
∴设,
AB 则2BF x =，
∴3AF x = . ∴
2
3
BF AF = . （设元的思想很重要） ∵,34C E ∠=∠∠=∠, ∴BFE ? ∽ AFC ?. ∴
2
3
BE BF AC AF == . ∵8BE =, ∴12AC = .
∴6AO =.………………………………………5分
【例4】（2010，密云，一模）
如图，等腰三角形ABC 中，6AC BC ==，8AB =．以BC 为直径作O 交AB 于点D ，交
AC 于点G ，DF AC ⊥，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ．
（1）求证：直线EF 是O 的切线； （2）求sin E ∠的值．
C
【思路分析】本题和前面略有不同的地方就是通过线段的具体长度来计算和证明。欲证EF 是切线，则需证OD垂直于EF，但是本题中并未给OD和其他线角之间的关系，所以就需要多做一条辅助线连接CD，利用直径的圆周角是90°，并且△ABC是以AC,CB为腰的等腰三角形，从而得出D是中点。成功转化为前面的中点问题，继而求解。第二问利用第一问的结果，转移已知角度，借助勾股定理，在相似的RT三角形当中构造代数关系，通过解方程的形式求解，也考察了考生对于解三角形的功夫。
【解析】
A
F
D
G
E
B
C
O
（1）证明：如图，连结CD，则90
∠=?．
BDC
∴CD AB
⊥．
∵ AC BC
=，∴AD BD
=．
∴D是AB的中点．
∵O是BC的中点，
∴DO AC
∥．
∵EF AC
⊥于F．
∴EF DO
⊥．
∴EF是O
的切线．
( 2 ) 连结BG，∵BC是直径, ∴90
∠=?=∠．（直径的圆周角都是90°）
BGC CFE
∴BG EF ∥． ∴sin FC CG
E EC BC
∠=
=
． 设CG x =，则6AG x =-． 在Rt BGA △中，222BG BC CG =-．
在Rt BGC △中，222BG AB AG =-．（这一步至关重要，利用两相邻RT △的临边构建等式，事实上也可以直接用直角三角形斜边高分比例的方法） ∴()2
222686x x -=--．解得23
x =．即23CG =．
在Rt BGC △中．
∴ 2
1
3sin 69
CG E BC ∠=
==．
【例5】2010，通州，一模
如图，平行四边形ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径的圆交AD 于F ，交BC 于G ，延长BA 交圆于E .
（1）若ED 与⊙A 相切，试判断GD 与⊙A 的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若GC ＝CD ＝5，求AD 的长.
G F
E
D
C
B
A
【思路分析】本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题，但是依然考察的是如何将所有条件放在最基本的三角形中求解的能力。判断出DG 与圆相切不难，难点在于如何证明。事实上，除本题以外，门头沟，石景山和宣武都考察了圆外一点引两条切线的证明。这类题目最重要是利用圆半径相等以及两个圆心角相等来证明三角形相似。第二问则不难，重点在于如何利用角度的倍分关系来判断直角三角形中的特殊角度，从而求解。 【解析】
（1）结论：GD 与O 相切6543
21G
F E
D
C
B
A
证明：连接AG ∵点G 、E 在圆上， ∴AG AE =
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥ ∴123B ∠=∠∠=∠，
∵AB AG = ∴3B ∠=∠
∴12∠=∠ （做多了就会发现，基本此类问题都是要找这一对角，所以考生要善于把握已知条件往这个上面引） 在AED ?和AGD ? 12AE AG
AD AD =??
∠=∠??=?
∴AED AGD ??≌ ∴AED AGD ∠=∠ ∵ED 与A 相切 ∴90AED ∠=? ∴90AGD ∠=? ∴AG DG ⊥
∴GD 与A 相切
（2）∵5GC CD ==，四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB DC =，45∠=∠，5AB AG == ∵AD BC ∥
∴46∠=∠
∴
1
56
2
B ∠=∠=∠
∴226
∠=∠（很多同学觉得题中没有给出特殊角度，于是无从下手，其实用倍分关系放在RT三角形中就产生了30°和60°的特殊角）
∴630
∠=?
∴10
AD=.
【总结】经过以上五道一模真题，我们可以得出这类题型的一般解题思路。要证相切，做辅助线连接圆心与切点自不必说，接下来就要考虑如何将半径证明为是圆心到切线的距离，即“连半径，证垂直”。近年来中考基本只要求了这一种证明切线的思路，但是事实上证明切线有三种方式。为以防遇到，还是希望考生能有所了解。
第一种就是课本上所讲的先连半径，再证垂直。这样的前提是题目中所给条件已经暗含了半径在其中。例如圆外接三角形，或者圆与线段交点这样的。把握好各种圆的性质关系就可以了。
第二种是在题目没有给出交点状况的情况下，不能贸然连接，于是可以先做垂线，然后通过证明垂线等于半径即可，就是所谓的“先证垂直后证半径”。例如大家看这样一道题，如图△ABC中，AB=AC，点O是BC的中点，与AB切于点D，求证：与AC也相切。
该题中圆0与AC是否有公共点是未知的，所以只能通过O做AC的垂线，然后证明这个距离刚好就是圆半径。如果考生想当然认为有一个交点，然后直接连AC与圆交点这样证明，就误入歧途了。
第三种是比较棘手的一种，一方面题目中并未给出半径，也未给出垂直关系，所以属于半径和垂直都要证明的题型。例如看下面一道题：
如图，中，AB=AC ，
=，O 、D 将BC 三等分，以OB 为圆心画，
求证：
与AC 相切。
本题中并未说明
一定过A 点，所以需要证明A 是切点，同时还要证明O 到AC 垂
线的垂足和A 是重合的，这样一来就非常麻烦。但是换个角度想，如果连接AO 之后再证明AO=OB ，AO ⊥AC ，那么就非常严密了。
（提示：做垂线，那么垂足同时也是中点，通过数量关系将AO ，BO 都用AB 表示出来即可证明相等，而△AOC 中利用直角三角形斜边中线长是斜边一半的逆定理可以证出直角。）
至于本类题型中第二问的计算就比较简单了，把握好圆周角，圆心角，以及可能出现的弦切角所构成的线段，角关系，同时将条件放在同一个RT △当中就可以非常方便的求解。总之，此类题目难度不会太大，所以需要大家做题速度快，准确率高，为后面的代几综合体留出空间。
第二部分 发散思考
【思考1】（2009，海淀，一模）
如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B . （1）求证：AD 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长.
【思路分析】此题为去年海淀一模题，虽然较为简单,但是统计下来得分率却很低. 因为题目
中没有给出有关圆心的任何线段，所以就需要考生自己去构造。同一段弧的圆周角相等这一性质是非常重要的，
延长DB 就会得到一个和C 一样的圆周角，利用角度关系，就
很容易证明了。第二问考解三角形的计算问题，利用相等的角建立相等的比例关系，从而求解。 （解法见后）
【思考2】2009，西城，一模
已知：如图，AB 为⊙O 的弦，过点O 作AB 的平行线，交 ⊙O 于点C ，直线OC 上一点D 满足∠D =∠ACB .
（1）判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若⊙O 的半径等于4，4
tan 3
ACB ∠=，求CD 的长.
【思路分析】本题也是非常典型的通过角度变换来证明90°的题目。重点在于如何利用∠
D=∠ACB 这个条件，去将他们放在RT 三角形中找出相等，互余等关系。尤其是将∠OBD 拆分成两个角去证明和为90°。 （解法见后）
【思考3】2009，北京
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M,经过
B,M 两点的⊙O 交BC 于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径. （1）求证：AE 与⊙O 相切；
（2）当BC=4,cosC=1
3
时，求⊙O 的半径.
【思路分析】这是一道去年北京中考的原题，有些同学可能
已经做过了。主要考点还是切线判定，等腰三角形性质以及解直角三角形，也不会很难。放这里的原因是让大家感受一下中考题也无非就是如此出法，和我们前面看到的那些题是一个意思。
【思考4】2009，西城，二模
如图，等腰△ABC 中，AC=BC ，⊙O 为△ABC 的外接圆，
D 为 BC
上一点， CE ⊥AD 于E . 求证：AE= BD +DE ．
【思路分析】 前面的题目大多是有关切线问题，但是未必所有的圆问题都和切线有关，去
年西城区这道模拟题就是无切线问题的代表。此题的关键在于如何在图形中找到和BD 相等的量来达到转化的目的。如果图形中所有线段现成的没有，那么就需要自己去截一段，然后去找相似或者全等三角形中的线段关系。
【思考5】.2009，东城，二模
如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D
是AB 延长线的一点，AE ⊥CD 交DC 的延长线于E ，CF ⊥AB 于F ，且CE ＝CF ．
（1） 求证：DE 是⊙O 的切线；
（2） 若AB ＝6，BD ＝3，求AE 和BC 的长．
【思路分析】又是一道非常典型的用角证平行的题目。题目中虽未给出AC 评分角EAD 这
样的条件，但是通过给定CE=CF ，加上有一个公共边，那么很容易发现△EAC 和△CAF 是全等的。于是问题迎刃而解。第二问中依然要注意找到已知线段的等量线段，并且利用和，差等关系去转化。
第三部分 思考题解析
【思考1解析】
1）证明: 如图, 连接AO 并延长交⊙O 于点E , 连接BE , 则∠ABE =90°.
A
D
∴ ∠EAB +∠E =90°. ∵ ∠E =∠C , ∠C =∠BAD ，
∴ ∠EAB +∠BAD =90°. ∴ AD 是⊙O 的切线.
（2）解：由（1）可知∠ABE =90°.
∵ AE =2AO =6, AB =4,
∴ 5222=-=AB AE BE . ∵ ∠E=∠C =∠BAD , BD ⊥AB , ∴ .cos cos E BAD ∠=∠ ∴
.AE
BE
AD AB = .6
524=AD 即
∴ 5
5
12=AD .
【思考2解析】
解：（1）直线BD 与⊙O 相切． 证明：如图3，连结OB ．-
∵ ∠OCB =∠CBD +∠D ，∠1=∠D ， ∴ ∠2=∠CBD ． ∵ AB ∥OC ， ∴ ∠2=∠A ． ∴ ∠A =∠CBD ． ∵ OB=OC ，
∴ 23180BOC ∠+∠=?， ∵ 2BOC A ∠=∠，
∴ 390A ∠+∠=?． ∴ 390CBD ∠+∠=?． ∴ ∠OBD =90°．
D
∴ 直线BD 与⊙O 相切．
（2）解：∵ ∠D =∠ACB ，4tan 3
ACB ∠=， ∴ 4tan 3
D =
． 在Rt △OBD 中，∠OBD =90°，OB = 4，4tan 3
D =， ∴ 4sin 5D =
，5sin OB OD D
==． ∴ 1CD OD OC =-=．
【思考3解析】
1）证明：连结OM ，则OM OB =． ∴12∠=∠． ∵BM 平分ABC ∠． ∴13∠=∠． ∴23∠=∠． ∴OM BC ∥． ∴AMO AEB ∠=∠．
在ABC △中，AB AC =，AE 是角平分线， ∴AE BC ⊥． ∴90AEB ∠=°． ∴90AMO ∠=°． ∴OM AE ⊥． ∴AE 与O ⊙相切．
（2）解：在ABC △中，AB AC =，AE 是角平分线，
∴1
2
BE BC ABC C =
∠=∠，． ∵1
4cos 3
BC C ==，
， ∴1
1cos 3
BE ABC =∠=，
． 在ABE △中，90AEB ∠=°，
B
∴6cos BE
AB ABC
=
=∠．
设O ⊙的半径为r ，则6AO r =-． ∵OM BC ∥， ∴AOM ABE △∽△．
∴
OM AO
BE AB =． ∴626
r r -=． 解得3
2
r =．
∴O ⊙的半径为3
2
．
【思考4解析】
证明：如图3，在AE 上截取AF=BD ，连结CF 、CD ．
在△ACF 和△BCD 中，
, , , AC BC CAF CBD AF BD =??∠=∠??=?
∴ △ACF ≌△BCD ． ∴ CF=CD . ∵ CE ⊥AD 于E ， ∴ EF=DE .
∴ AE AF EF BD DE =+=+.
【思考5解析】 证明：（1）连接OC,
,,,1 2.,2 3.1 3.//..AE CD CF AB CE CF OA OC OC AE OC CD DE O ⊥⊥=∴∠=∠=∴∠=∠∴∠=∠∴∴⊥∴ 又是的切线.
00(2)6,1
3.2
3,6,30.60.
9,1922
,3.
AB OB OC AB Rt OCD OC OD OB BD D COD Rt ADE D AB BD AE AD OBC OB OC
BC OB =∴==
=?==+=∴∠=∠=?=+=∴=
=?∠=∴== 0解：在中，在中， A 在中，COD=60
《轴对称图形》教学设计 广外小学部李雪梅 教学目标： 知识技能： 1．了解生活中的对称现象，认识轴对称图形的一些基本特征。能正确识别轴对称图形，会制作简单的轴对称图形。 2．通过观察、猜想、验证、操作，经历认识轴对称图形的过程，掌握判断轴对称图形的方法，培养学生的动手、创新等能力。 情感和态度：在认识、制作和欣赏轴对称图形的过程中，感受到物体或图形的对称美，培养积极健康的审美情趣。 教学重点： （1）认识轴对称图形的特点。 （2）能判断生活中哪些事物是轴对称图形。 教学难点； 根据本班学生学习的实际情况，本节课教学的难点是准确判断生活中哪些事物是轴对称图形。 教学准备：1、教师及学生用剪刀、卡纸、奖励贴。 2、相关多媒体教学课件。 教学方法：直观教学法、示范、练习法 教学过程： （一）“玩”对称，激趣引入 1、（出示枫叶、蜻蜓、天平三幅图） 引导学生观察、比较：它们是些什么图形？有什么共同特征?然后揭示课题：“对称图形”。（通过让学生观察色彩鲜艳的蝴蝶图导入新课，既激发了学生浓厚的学习兴趣，又为新知作好铺垫。）（二）“识”对称，感悟特征 1.剪一剪 课件演示蜻蜓对折打开，再对折，再打开。目的在于让学生进一步发现这些图形对折后两侧的图形是“完全重合”的。 然后老师示范剪对称图形，，再让学生动手剪对称图形，最后学生展示自己剪的对称图形。体验成功的喜悦。 2、说一说 （1）请用你自己的话说说，什么样的图形是轴对称图形？
[学生发表自己的看法，集体完善“轴对称图形”的概念：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。）（根据学生的回答板书概念） （2）认识对称轴。[教师指着折痕，引导学生说出折痕所在的这条直线就是对称轴，并强调对称轴是一条直线。] （3）画对称轴。指导画对称轴。（沿着折痕所在的直线，划上点划线并且线的两端在延伸到图形以外。 （三）“用”对称，加深理解 1、辨析（1）（电脑出示练习）当学生了解了轴对称图形和对称轴后，让学生观察这些日常生活中常见的物体，通过观察学生很容易发现这些图形沿着一条直线对折，两侧图形能够完全重合，这些图形都是轴对称图形。（通过观察判断，进一步加深了对轴对称图形的认识。） （2）举例说说身边物体上有哪些轴对称图形？ 2、探究常见几何图形的对称轴。 拿出课前准备的几何图形，分别将这些图形对折，从中找出轴对称图形；并画出轴对称图形的对称轴。 通过操作得知：正方形、长方形、等腰三角形、等腰梯形和圆都是轴对称图形。接着指导学生从不同方向折一折，看各有几条对称轴。根据学生的汇报教师逐个演示操作过程。重点指导折圆的对称轴。并启发学生说出：圆有无数条对称轴。 3、游戏：首先全体起立，每人做一个姿势，从正面看左右两边是对称的。再请三人上台表演。 其次猜字游戏和数字游戏，下面哪些数字是轴对称图形？判断后再让学生说一说对称轴的大致位置。 [通过运用所学知识辨析轴对称图形、画对称图形，有利于巩固新知。这样设计，不但活跃了课堂气氛，又检查了学生掌握新知的情况，而且激发了学生的学习兴趣，又让学生感到数学就在自己的身边）（四）“赏”对称，畅谈收获 1、欣赏图片。 师：轴对称图形在生活中应用非常广泛，请欣赏以下图片。（播放生活中具有轴对称性质的图片。） 2、畅谈收获。 通过这节课的学习你有什么收获和感受。[通过图片欣赏，
第二节拼一拼 一、学前准备 （一）教学目标 1 .通过观察、操作，使学生进一步体会平面图形的特征，并能用自己的语言描述长方形与正方形的特征。 2. 通过拼一拼、摆一摆，使学生初步感知所学平面图形之间的关系。 3. 通过数学活动，培养学生初步的观察能力、动手操作能力和语言表达能力。 （二）教学重点：体会所学平面图形的特征，并能用自己的语言描述长方形、正方形的特征。 （三）教学难点：感知所学平面图形之间的关系。 （四）教学用具:课件、各种平面图形的图片；学具袋中的平面图形。 二、教学过程 （一）复习旧知 1、课件出示：让学生说出几种平面图形的名称。 2、点明课题：今天我们一起来学习用平面图形来拼组。 （二）折一折 1.长方形边的特征： （1）将手中准备好的长方形对折，你是怎么对折的？ （2）学生交流汇报：有左右对折与上下对折的。你有什么新发现？ （3）引导学生发现：通过对折，上下两条边能完全重合，左右两条边也能完全重合。 同时教师指出：上下两条边是一组对边，左右两条边也是一组对边。 （4）板书归纳：长方形对边相等。 2.正方形边的特征：
（1）猜测：观察一下手中的正方形，猜测一下正方形的边会有什么特征？可能会有学生说：对 边相等，也可能会有学生说：所有的边长都相等。 （2）讨论：我们怎么去证明你的猜测呢？学生可能会说：用尺子量，也可能会说：通过对折来 证明。 （3）验证：让学生通过对折的方法来证明正方形各边的关系。 （4）汇报；通过上下对折，左右对折证明对边相等；通过对角线对折证明邻边也相等。 （5）板书归纳：正方形4条边都相等。 （二）拼一拼： 1.引导探究长方形拼组； （1）想一想：用两个完全相同的长方形能拼成什么平面图形？ （2）学生自己独立完成拼组； （3）展示学生的拼法：一种是将长边对接，一种是将短边对接。 （4）为什么有的同学能拼出正方形，而有的同学却不能呢？学生回答后，教师利用课件演示说明。 （5）小结：通过引导，给予学生学习方法的指导，为后面学生的自主探究做必要的的方法铺垫。 2.自主探究正方形的拼组： （1）想一想：你准备用几个相同的正方形拼一拼？拼成一个什么样的图形？ （2）拼一拼：利用学具拼一拼； （3）说一说：和你的同桌说一说你所拼成的图形。 （4）议一议：至少用几个相同的正方形可以拼成一个更大的正方形？ 3.合作探究三角形的拼组： （1）讨论：你和同桌准备拼一个什么图形？要用几个三角形？ （2）合作：同桌合作拼一拼，看看能不能拼成你想拼成的图形？ （3）汇报：每桌派代表说一说你们拼成什么图形。
小学数学一年级下册（苏教版） 授课内容：认识图形 授课对象：一年级学生 授课教师：耿小珍、韦利贵、陈方芳、廖春燕 课时：1课时 【教材分析】 :本课为义务教育课程标准实验教科书 数学（苏教版）一年级下册第2单元《认识图形》中的内容，教材从描(画、印)出简单几何体的面入手，引入平面图形， 使学生直观认识一些平面图形，体会平面图形与简单几何体 的头系。这体现了从立体到平面的设计思路，本课教学内容 是在学生学习了正方体、长方体、圆柱、球等立体图形之后 进行教学的，为以后进一步学习更深层的几何知识打下基础。【学情分析】：本节课新内容是承接上一册学习《认识物体》进一步的加深学习数学知识，由于一年级的孩子的记忆思维还不够完善，，有可能上一学期的基础内容已经记忆不深，为了帮助学生更好的掌握本节课的新内容，先进行复习，学了哪些立体图形，有些孩子比较害羞，可以进行小组形式作答，同座之间的讨论学习，增进同学们的团结互助，追求共同进步的思想，引导学生走集体步伐，让学生动手实践，慢慢发觉数学的奥妙，知道数学就在我们的身边，主要培养学生思考问题的方向。体会自主学习、探究学习、合作学习。 【教学目标】： 1.知识与技能目标：通过学生的动手操作，能让学生清晰的辨认出长方形、正方形、圆，体会“面在体上”。
2.过程与方法目标：在动手操作过程中初步培养学生空间观念和创新意识。 3.情感态度与价值观目标：图形是在生活中被广泛的运用，感受数学知识无处不在与我们生活息息相关，激发学生的学习数学的兴趣。 4.能力目标：认识能力、传播能力、组织能力 【教学重点】：会辨认这四种图形（长方形、正方形、圆）,认识长方形、正方形、三角形和圆等平面图形，建立空间观念. 【教学难点】：体会“面”在“体”上(立体图形和平面图形的辨别)。 【教学方法】：讨论法、探究法、演示法、练习法、说话法、讲授法 【教学手段】：实物图、多媒体 【教学过程】： 一、复习 1.说一说。 2.动手算一算同一种图形有几种。 二、新授课 1、情境导入 师：小朋友们，上节课我们认识长方体、正方形体、球和圆柱这四位新朋友，这些图形都来自图形王国。可是，在下着大雪的图形王国里啊，最近发生了一件抢劫案，警察叔叔需要马上去寻找
O B A C 第四章 平面图形及其位置关系提高练习 初一（ ）班 姓名 一、选择题: 1.已知A 、B 两点之间的距离是10 cm ，C 是线段AB 上的任意一点，则AC 中点与BC 中点间距离是（ ） A.3 cm; B.4 cm; C.5 cm; D.不能计算 2.已知线段AB ，画出它的中点C ，再画出BC 的中点D ，再画出AD 的中点E ，再画出AE 的中点F ，那么AF 等于AB 的（ ） A.41; B.83; C.8 1; D. 16 3 3.如图，下列说法，正确说法的个数是（ ） ①直线AB 和直线BA 是同一条直线；②射线AB 与射线BA 是同一条射线；③线段AB 和线段BA 是同一条线段；④图中有两条射线. A.0; B.1; C.2; D.3 4.下列语句中，正确的是（ ） A.直线比射线长; B.射线比线段长 C.无数条直线不可能相交于一点; D.两条直线相交，只有一个交点 5.下列说法正确的是（ ） A.延长直线AB; B.延长射线AB C.延长线段AB 到点C; D.线AB 是一射线 6.如图，∠AOB 为平角，且∠AOC=2 1 ∠BOC ，则∠BOC 的度数是（ ） A.1000; B.1350; C.1200; D.60° 7.一个人骑自行车前行时，两次拐弯后，仍按原方向前进，这两次拐弯的角度是（ ） A.向右拐30°，再向右拐30°; B.向右拐30°，再向左拐30° C.向右拐30°，再向左拐60°; D.向右拐30°，再向右拐60° ８．同一平面内有四点，每过两点画一条直线，则直线的条数是（ ） Ａ、１条 Ｂ、４条 Ｃ、６条 Ｄ、１条或４条或６条 ９．４８o角的余角的1 14 等于（ ） Ａ、５o Ｂ、４o Ｃ、３o Ｄ、２o 10、α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁计算()1 6 αβ+的结果依次是50o、26o、72o、
人教版二年级数学下册 《轴对称图形的认识》教学设计 执教者：李良军 教学目标： 知识与技能：通过观察、操作活动，让学生初步认识轴对称图形的基本特征。 过程与方法：观察、讨论法。准备一些轴对称图形的图片或剪纸（如窗花），也可用电脑上网收集各种各样轴对称的图片，让学生结合教材中的实物图进行观察、分析，找出这些图形有什么共同特点。 情感态度与价值观：学生的观察能力、想象能力得到培养，进一步发展学生的空间观念，同时感受对称图形的美。 教学重点： 认识轴对称图形的基本特征。 教学难点： 能判断出轴对称图形。 教学过程： 一、欣赏图片，建立表象 出示教材第28页单元主题图。 谈话：同学们，你们去过游乐场吗？这些玩具大家都玩过吗？那你对这个场景肯定不陌生了，你能给大家介绍下这个游乐场里有哪些好玩的项目吗？（请认识的学生介绍项目。） 小结：你瞧，这个游乐场可好玩了，高高的上空有缆车、摩天轮，下面还有小火车、滑滑梯、飞机，孩子们在这里玩得可高兴了，他们还在这儿放风筝呢，这里不仅好玩，还藏着好多数学知识，想不想认识它们呢？这节课我们就要在这样的游乐场里学习数学知识。 二、互动新授 1、小组合作，探究对称。 教师点击蜻蜓风筝和蝴蝶风筝的图形。
谈话：你看，这是在游乐场上的蝴蝶风筝和蜻蜓风筝，认真观察，它们在形状上有什么特征？（让学生用自己的语言说。） 教师小结并过渡：像这些物体，它们的左右两边是完全一样的，我们把这种现象称为“对称”，在我们的生活中还有着许多这样的物体，让我们一起去欣赏下吧。（教师出示叶子、蝴蝶和天安门图。）师生谈话：从这些物体中，你发现它们都有什么特征呢？把你的发现在小组内说一说。 学生自主交流。 谁愿意来把你们组的发现说给大家庭？（学生在汇报时，教师尽量鼓励学生用自己的语言来表达，对学生一些不准确的表达无须过分强求，不必可以纠正。） 2、教学“对称” 师：同学们刚才观察得非常仔细，发现了这些各式各样的图形都有一个共同的特征，就是它们的左右两边都是完全一样的。这种现象在数学上称为——对称，这些物体就是对称现象。 3、剪一剪——认识轴对称图形。 （1）师：前面我们已经认识了对称图形，老师这里给每个小组都准备了一些纸张，大家能够用剪刀试着剪出一个对称图形码？ 在剪之前先想一想怎样剪才能剪出对称的图形，然后动手试一试。 学生小组合作，完成剪一剪。 组织学生将自己小组剪出的对称图形进行展示并汇报各自的剪法。 （2）引导学生明确剪对称图形的方法。 要剪出一个对称图形，可以先把纸张进行对折再剪，最后沿对折的地方打开，这就形成了一个对称图形。 教师小结：像这样剪出来的图形都是对称的，它们都是轴对称图形。同桌交流，将剪出的图形对折，看看是否完全重合，说说同桌剪的是不是轴对称图形，怎样判断？ 教师引导：我们剪轴对称图形时，先要对折，那就是说，把你手上的图形对折，如果能完全重合，就是轴对称图形。 学生操作，判断。指名上台演示，说说判断的理由。（展示时，教师注意让学生从不同的方向，横着、竖着、斜着的方向对折，感受不同
小学一年级数学认识图形教案 一、教材分析 1、教学内容 义务教育课程标准实验教科书数学（北师大版）一年级下册第四 单元《有趣的图形》第一课时。 2、教材简析 《理解图形》这部分内容，是本册教材《有趣的图形》这个单元 的起始课，是在第一册理解了立体图形的基础上，让学生初步理解平 面图形，为以后学习更深层的几何知识打下基础。教材体现了从立体 到平面的设计思路，注重让学生通过操作活动体会面与体之间的关系。 3、教学目标 知识目标：通过观察、操作等活动，初步理解并辨认长方形、正 方形、三角形和圆，体会“面”在“体”上。 水平目标：在动手操作的过程中形成空间观点和创新意识。 情感目标：通过图形在生活中的广泛使用，感受到数学知识与生 活息息相关，激发学生对数学学习的兴趣。 4、教学重点 会辨认这四种图形。 5、教学难点 体会“面”在“体”上。 6、教学准备 多媒体课件、立体图形实物若干、平面图形若干、白纸、彩笔等。
二、教法学法 本次教学活动以“问题情境—建立模型—解释与应用”的模式表 现教学内容，注重让学生体验“从立体到平面”的探究、建模过程， 以学生的发展为本，强调对学生空间观点的培养，融观察、操作、交流、合作等学习方法为一体，注重让学生在操作体验中学习。 三、教学流程 （一）创设情境，导入新课 （课件出示：漂亮的城堡） 我们的好朋友淘气带我们来到了一座漂亮的城堡，在这座城堡里，住着各种形状的图形，请小朋友们认一认，说一说这些图形的名字。 长方体、正方体、圆柱和球都是立体图形。在图形的`城堡里，除 了立体图形家族，还住着一个庞大的家族，那就是平面图形。 （课件出示：平面图形） 学生尝试说说理解的图形名字。 揭示课题：今天，我们就要一起来理解这些平面图形。 （板书：理解图形） （结合学生已有的知识背景，从常见的物体出发，再让学生理解 和了解平面图形，丰富学生对平面图形的感性理解。） （二）操作交流，探究新知 1、感知“面”在“体”上 （1）观察操作。 提出要求：这些平面图形都藏在大家桌面上的物体中，请大家找 一找、摸一摸、说一说，赶快行动吧！
人教版数学一年级上册教案认识立体图形 【教学内容】 人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学（一年级上册）》第34页。 【教学目标】 1．使学生直观认识长方体、正方体、圆柱和球，能够辨认这些图形，准确地说出它们的名称。 2．从实物抽象到图形，培养学生的想象能力和初步的空间观念。 3．让学生在多种形式的活动中，综合运用多种感官，体验数学知识的形成过程，感受学习数学的乐趣，体会数学与实际生活的联系。教学重点、难点： 重点：直观认识长方体、正方体、圆柱、球的实物与图形，建立空间观念。 难点：初步认识长方体、正方体、圆柱、球的实物与图形，建立空间观念。 教具准备： 种立体图形的实物及图形卡片 教学过程： 一．导入 1.师：小朋友们，今天机器人“悠悠”给我们每个小组的小朋友带来了一个百宝箱。想看看他给我们带来了什么吗？ 师：哪个小组的孩子给大家说说机器人给你们组带来了什么？ 生：皮球，盒子，易拉罐......
2.师：你能把这些物体按形状分一分类吗？（分好的小组用行动告诉老师） 3.小组汇报：你们组是怎么分的？为什么这样分？ （评价：有道理，看来你们组合作得很好）（提醒：请孩子们把机器人悠悠给你们带来的物体放回盒子里） 今天我们就一起来认识这些形状不同的图形——认识图形 二．操作感知，揭示概念 （一）长方体的认识 1．师拿出长方体物体问：你知道它是什么形状吗？ 像这样长长方方的物体，我们就叫它们长方体。 2．师：你能从你的学具盒里面找到长方体吗？用手摸一摸，说说你有什么感觉？（板书：摸）把你摸出的感觉和你的同桌说一说。 3．汇报交流。 （1）每个面都是平的。 问：你是用什么方法发现的？（摸一摸） （2）请你仔细看看长方体，还有什么发现？有6个面。 问：你是怎样知道的？（数一数）（板书：数）请你上前面来给大家数一数。
第四章《平面图形及其位置关系》 时间45分 满分100分 学号 姓名 一、填空题（每小题1分，共6分） 1.∠AOB=450，∠BOC=300,则∠AOC=_______0. 2.如图1所示，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ，已知∠AOB ＜∠BOC ， 那么可以确定∠AOM _______∠CON.(填"＞"、"＝" 或"＜"＝ 3.如图1所示，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ， 已知∠AOC=1000,那么，∠MON=_______0． 图1 4.如图2所示，用刻度尺测量图中线段的长度.AC=_______cm ，BC=_______cm ，AB=_______cm. 最长的线段是_______，BC+AC_______AB （填"＞" 、"＜"或"＝"）. 5. 时针从2点到10分走到2点35分，它的分针转了______度. 6. 角平分线上任一点向两边垂线段的长______（填"不相等、相等"） 7.把线段向一个方向延长，得到的是______；把线段向两个方向延长， 得到的是_____. 图2 8.在时钟上，从早晨8：00到晚上8：00时针转过_____0，分针转过_____0，秒针转过_____0. 二、选择题（每小题1分，共4分） 1. 若M 是AB 的中点，C 是MB 上任意一点，那么与MC 相等的是（ ）. （A ）12（AC-BC ） （B ）12（AC+BC ） （C ）AC-12BC （D ）BC-12 2.下列关于中点的说法，正确的是（ ）. （A ）如果MA=MB ，那么点M 是线段AB 的中点 （B ）如果MA=AB ，那么点M 是线段AB 的中点 （C ）如果AB=2AM ，那么点M 是线段AB 的中点 （D ）如果M 是AB 内的一点，并且MA=MB ，那么点M 是线段AB 的中点 3.关于两点之间的距离，下列说法不正确的是（ ）. （A ）连结两点的线段就是两点之间的距离 （B ）连结两点的线段的长度，是两点之间的距离 （C ）如果线段AB=AC ，那么点A 到点B 的距离等于点A 到点C 的距离 C B N M A O C B A
认识轴对称图形。(教材第28、第29页) 1.初步认识轴对称图形。 2.能说出生活中各种轴对称图形,感受数学与日常生活的紧密联系。 重点:初步感知轴对称图形。 难点:能找出生活中的轴对称图形。 课件,长方形纸,剪刀。 师:同学们,你们喜欢去游乐场吗?老师今天带大家去游乐场,看看能发现什么?(课件出示:教材第28页图) 生1:游乐场的小朋友玩得真高兴啊! 生2:游乐场有滑梯、旋转的小飞船、在轨道上跑的小火车、高空缆车和大风车等。 生3:还有蜻蜓和蝴蝶。 生4:还有一块卡通表呢。
…… 师:大家观察得真细心,发现真多!你们知道这幅画里面蕴含着很多的数学知识吗?今天我们就一起来学习吧! 【设计意图:从学生熟悉的游乐场画面中引入新课,告诉学生我们的生活中处处有数学,感知数学与生活的紧密联系】 1.认识轴对称现象。 师:仔细观察这些图形,你发现了什么?(课件出示:教材第29页最上面的图) 生1:如果在树叶的正中间画一条线并对折,左右两边可以完全重合。 生2:如果在蝴蝶的正中间画一条线并对折,左右两边也可以完全重合。 生3:如果在天安门的正中间画一条线并对折,左右两边也可以完全重合。 师:说得非常棒!也就是说这些图形都可以沿着一条线对折,并且两边的部分能够完全重合,像这样的图形,都是对称的,我们就可以说它们是轴对称图形。 师:我们可以把一张长方形纸对折,然后画好背心对折时的图形,用剪刀沿着画好的线剪下来,展开……看,一件漂亮的小背心就做好了。它就是一个轴对称图形。(边演示过程边讲解) 师:请同学们像老师这样,剪一个漂亮的轴对称图形吧! 学生动手剪轴对称图形,教师巡视了解情况,最后组织学生交流。 2.教学“做一做”。 师:下面这些图形中,哪些是轴对称图形?(课件出示:教材第29页“做一做”) 生:只有蜻蜓和汽车是轴对称图形。 师:你是怎样知道的?
《认识图形》重难点教学案例 一、运用现实素材引入新知 1、说说日常生活中所见到的物体是什么形状的。 ①师：昨天，我们学习了长方体、正方体、圆柱和球，谁能说说你身边哪些物体是这些形状的。 生：黑板是长方体。教室里的音箱是长方体。 （学生指着教室前面桌子上圆柱形的杯子）这个杯子是圆柱。 我家的冰箱是长方体。…… ②让学生从桌面上的各种立体图形中找出喜欢的物体。 谁来告诉大家，你拿的是什么形状的物体？ 生：我找的是圆柱 生：……（教师依据学生的回答依次在黑板上贴上圆柱、长方体、正方体） 生：我找的是三角体（一个学生拿出三棱柱） 师：这个呀不叫三角体，这叫“三棱柱”。（让学生跟读名称）2、摸物体的面，感觉面。 师：这些都是我们自己认识的物体，请小朋友摸一摸这些物体的面，有什么感觉?把你的感觉告诉同组的小朋友。 请学生摸物体的面，把感觉告诉同组的小朋友。 (学生摸各物体的面，并和同组的同学交流自己的感觉)师：谁来告诉大家你有什么感觉。 生：摸起来平平的。生：摸起来滑滑的。 生：摸起来有点尖（这个学生摸到三棱柱的棱上去了）。
师：哦，你这不是面，你这是三棱柱的棱了。还有吗？ 生：我觉得有的摸起来滑滑的，有的摸起来有点次次的。 师：那是不是平平的呀？ 生：是的。 生：有的面摸起来圆圆的。…… （评析：这环节的设计，既是对旧知的复习与巩固，也是给新知的铺垫和“热身”。由于立体图形的认识仅仅是前一节课的内容，部分学生可能对各种立体图形的特征体会得还不够，因而对其形状和名称还不是很熟悉，通过这一环节，可让学生有一个重温旧知的机会，也可对旧知有一个巩固的作用；这环节又给新知的展开搭建了一个平台，因为后面的各个环节中所要学生操作的如摸、找、说、画等都是在本环节的基础上进行的。） 二、感受“面”从“体”得 1、认识长方形 ①从长方体上认识长方形 师：小朋友通过摸一摸，发现这些物体有的面是平平的，有的面是圆圆的。但是谁知道长方体的面是个什么图形吗? 生：长方形（大概有一半的学生回答） 师：真棒，这么多人都知道。那现在我们可以从长方体的一个面上找到长方形。②在长方体上找长方形 师：现在请小朋友从桌面上找一个长方体。(学生动手找)你能从自己手中的长方体上找到长方形吗? 生：我在盒子里找到了一张纸，把纸折起来是一个长方形。（因为我提供的是一些药品包装盒，有些盒里边有说明书。） 生：我在这个长方体上找到了长方形（边指边说）……
轴对称图形解答题较难题 一、翻折变换题型 1 ．（ 1 ）数学课上，老师出了一道题，如图①， Rt △ ABC 中，∠ C=90°，AC=?AB，求证：∠ B=30°，请你完成证明过程． （ 2 ）如图②，四边形 ABCD 是一张边长为 2 的正方形纸片， E 、 F 分别为AB 、 CD 的中点，沿过点 D 的折痕将纸片翻折，使点 A 落在 EF 上的点 A′处，折痕交 AE 于点 G ，请运用（ 1 ）中的结论求∠ ADG 的度数和 AG 的长． （ 3 ）若矩形纸片 ABCD 按如图③所示的方式折叠， B 、 D 两点恰好重合于一点 O （如图④），当 AB=6 ，求 EF 的长． 二、特异三角形 1.如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
（ 1 ）如图 1 ，△ ABC 中，∠ B=2 ∠ C ，线段 AC 的垂直平分线交 AC 于点 D ，交 BC 于点 E ．求证： AE 是△ ABC 的一条特异线； （ 2 ）如图 2 ，若△ ABC 是特异三角形，∠ A=30°，∠ B 为钝角，求出所有可能的∠ B 的度数． 5 ．等腰△ ABC 中， CA=CB ，点 D 为边 AB 上一点，沿 CD 折叠△ CAD 得到 △ CFD ，边 CF 交边 AB 于点 E ， CD=CE ，连接 BF ． （ 1 ）求证： FD=FB ． （ 2 ）连接 AF 交 CD 的延长线于点 M ，连接 ME 交线段 DF 于点 N ，若 EF=4EC ， AB=22 ，求 MN 的长． 三、点的运动变化题型 8 ．如图，△ ABC 是边长为 6 的等边三角形， P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C 运动（与 A 、 C 不重合）， Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度
一年级认识图形重难点解决教学案例 一、教材分析 1、教学内容：《认识图形》第一课时 2、内容简析： 认识图形是在第一册认识了立体图形的基础上，让学生初步认识平面图形，为以后学习更深层的几何知识打下基础，教材设计了从立体到平面的设计思路，注重让学生能过操作活动体会面与体之间的关系。 3、教学目标： （1）知识目标： 通过观察与操作活动，初步学会辩长方形、正方形，三角形、和圆，体会“面”在“体”上。 （2）能力目标： 在动手操作的过程中形成空间观念和创新意识。 （3）情感目标： 通过图形在生活中的广泛运用，感受数学知识与生活息息相关、激发学生对数学学习的兴趣、热爱生活的思想感情。 4、教学重点：辩认四种图形。 5、教学难点：体现“面”在“体”上 6、教学准备：师生交流学具：平面图形教具多媒体课件。 小组交流学具：立体图形，实物（剪刀、印泥、印章、彩笔、纸）若干。
自主探究导趣学具：门票每人一张。 导趣情境视频链接：《小小智慧》开场曲圆圈圈、《中国达人秀》哈工大仿人机器人舞。 二、教学理念： 本次教学活动以“师生互动，边学边交”的模式呈现教学内容，注重让学生体验“从立体到平面”的探究、建模过程，以学生的发展为本，强调对学生空间观念的培养，融观察、交流、合作方法为一体，注意学生在操作体验中学习。 三、教学流程 （一）创设情境，导入新课。 1.导趣： 师：“今天，有一位小客人也想和我们一同学习。” 生：（学生们用好奇的目光在在教室里的寻找。） 师：课件出示机器人多多。（学生们一阵兴奋的欢呼“啊”、“哇”）师：“淘气的多多把老师带来的四种图形朋友藏在了自己的身上， （学生不怀好意的笑。） 师：你能帮忙找出来吗？学生积极地观察、与同伴交流、急着举手汇报。” 全班交流说一说： 生：“我找到了圆形，是多多的眼睛。”“圆形还有手。” 师：“你是说她的手……” 生（及时补充）：“他的手是圆形。”
轴对称图形的教学设计 教学内容：义务教育课程标准实验教科书第56——61页，轴对称图形 教学目标： 1、联系生活中的具体物体，通过观察和动手操作，使学生初步体会生活中的对称现象，认识轴对称图形。 2、使学生能根据轴对称图形的初步认识，在实物图案和平面图形中识别轴对称图形，能用一些方法做出轴对称图形，能在方格纸上画出简单的轴对称图形。 3、使学生在认识和制作简单的轴对称图形的过程中，感受到物体或图形的对称美。激发数学学习的兴趣。 教学重点： 轴对称图形的初步认识和制作。 教学难点： 轴对称图形的初步认识。 教学准备：多媒体课件、实物投影仪、剪刀、彩纸、图形纸、钉子板、字母卡片等。 教学过程 一、猜一猜——情景导入 1：欣赏录像。（课件出示春天到北京旅游的景象） 二、观察、操作——探究特征 1、观察，初步感知 （1）认识对称 观察照片，你能发现它们有什么特点吗？（师课件点击放大剪纸图。） 生：它的两边都是一模一样的。 （课件点击返回）那其它物体有没有两边也是一模一样的呢？ （2）揭示对称 像这样物体的两边是一模一样的，我们就说这个物体它是对称的。那这些物体它们都是对称的。 （3）扩展认识 在生活中你还见过哪些物体也是对称的呢？（课件出示）和你的同桌说一说。 （同桌之间自由说，全班交流） 2、操作，体会特征 （1）从物体到图形的认识 把这些对称的物体画下来，得到下面的图形：（电脑出示按天安门、飞机、奖杯、蝴蝶等实物画下来的图形） 继续观察，这几个图形有什么特点呢？ 任选一个图形，在小组内合作，尝试能用什么方法来验证它 们是对称的呢？ （学生操作，教师巡视，选择不同的实验方法。） 交流反馈。演示折纸过程：对折后两边是对称的 板贴：对折 师：那再请同学们观察一下，你把图形对折后发现了什么呢？在小组里说一说。（学生小组交流） 生：它们对折后两边是对称（一模一样）的。
《认识图形（二）》 第一课时教学设计 ──认识平面图形 初稿：洪志秋安徽省黄山市屯溪现代实验学校统稿：齐胜利安徽省黄山市黄山区教研室教学内容： 教科书第2页例1相关内容。 教学目标： 1.通过学习活动，使学生能直观认识长方体、正方体、平行四边形、三角形和圆等平面图形，能正确辨认和区分这些图形。 2.通过拼、摆、画、折、找等活动，使学生能直观地初步感知平面图形的特征和平面图形与日常生活的密切联系。 3.在经历观察、比较，描画活动过程中，让学生感悟到立体图形与平面图形的区别。丰富学生的直观体验，发展空间观念。 4.在亲身经历学习过程中，培养学生初步的观察能力、动手操作能力和语言表达能力，同时体会到到生活中处处存在着数学，数学知识来源于生活，服务于生活,从而激发学生积极参与探求新知的兴趣。 教学重点： 能直观认识长方形、正方形、平行四边形、三角形和圆等平面图形。 教学难点： 引导学生从立体图形中“拓”出面、借助“拓”出的面认识平面图形； 教学准备：多媒体课件、积木、立体图形物体和平面图形卡片、钉子板。 教学过程： 一、创设情境，引入新课： （一）课件呈现主题图：小朋友，你们喜欢搭积木吗？ （二）哪位小朋友来说一说：你们都分别有哪些形状的积木呢？ 【设计意图：这一环节，从学生平时喜欢的积木入手，从而激发学生主动参与探知的学习过程，进一步提高学习的积极性、主动性和学习数学的兴趣。】 二、动手操作，认识平面图形 （一）师生互动： 1.你有什么方法能在纸上得到这些立体图形的“面”呢？ 2.学生动手操作，利用不同形状的物体在本子上描、画、印、拓出各种平面图形，小组交流自己画图的过程与方法。 3.点明课题：认识平面图形 （二）认识长方形 1.课件呈现长方形：你是从哪一种形状的物体得到这种图形的？ 2.让学生在长方体物体上找一找，摸一摸，说一说。 3.谁能帮这样的图形取个名呢？板书：长方形。 （三）认识正方形和圆 （1）教师指着贴在黑板上的正方形和圆问：这些图形又分别是用哪一种物体的面画出来的？在这些物体的面上，还能找到这样的图形吗？像这样的图形又分别叫什么呢？（在相应图形处板书：正方形、圆） （2）在初步认识新知的基础上，说说自己生活中见过的正方形和圆。
一年级下册认识图形 --------------------------------------------------------------------------作者: _____________ --------------------------------------------------------------------------日期: _____________
教学目标 知识目标：通过观察、操作等活动，初步认识并辨认长方形、正方形、三角形和圆，体会“面”在“体”上。 能力目标：在动手操作的过程中形成空间观念和创新意识。 情感目标：通过图形在生活中的普遍存在，感受到数学与生活密切联系，激发学生对数学学习的兴趣。 教学重点、难点 会辨认这四种图形。体会“面”在“体”上。 教学准备 多媒体课件、立体图形实物若干、平面图形若干、白纸等。 教学过程 一、创设情境，导入新课 师：今天老师给大家请来了几个老朋友，你们还认识他们吗？ （幻灯片：长方体、正方体、圆柱、三棱柱） 生：认识。 师：谁来介绍下第一个朋友？ （一次认识前三个立体图形） 师：这个立体图形名字很有特点，有认识的吗？这种形状的物体我们叫它三棱柱。 二、操作交流，探究新知 1认识正方形
师：同学们拿出一个正方体的物体，跟着老师这样摸摸你手中物体其中的一个面，说说你有什么感觉？（感知面在体上）生：平平的、滑滑的。 师：大家用手摸到的平平的地方就是正方体的面，我们把这样的面叫平面。 师：那我们在一起摸摸正方体上的其他几个面. 师：那我们怎样把平面移到纸上呢？动脑筋想一想你准备用什么方法？ 学生交流，汇报。 法一：把正方体的平面印上印泥，再印到纸上。 法二：把正方体放在纸上，用笔描出它的边。 法三:用纸把它盖住折出边角痕。 …… 师：同学们的方法真好，老师给大家准备了纸，那你就用你喜欢的方法把平面移下来吧。 生动手操作。（师巡视，巡视时注意观察学生的作品。） 师：大家一下的图形和我这个图形一样吗? 师：我想请个同学把你的作品给大家展示一下，请你说说你是从哪个物体的哪个地方移下这个图形的？ 生：我是从牙膏盒的下面移下这个图形的。（指名同学说） 师：我们把正方体上的平面移下来后，它就成了一个图形，我们叫它平面图形。这节课我们要一起认识四个平面图形朋友。（揭
东 图（4 ） 图（5） D A B C 图（6） D ' 图（2） 第四章 平面图形及位置关系单元检测试题 姓名 成绩 （时间：100分，满分120分） 一、相信自己，一定能填对！（3×8＝24分） 1、 图（1）中有______条线段， 分别表示为___________ 2、 时钟表面3点30分时，时针与分针所夹角的度数是______。 3、 已知线段AB,延长AB 到C ，使BC= 3 1AB ， D 为AC 的中点，若AB ＝9cm ，则DC 的长为 。 4、如图（2），点D 在直线AB 上，当∠1＝∠2时， CD 与AB 的位置关系是 。 5、如图（3）所示，射线ＯＡ的方向是北偏_________度。 6、 将一张正方形的纸片，按如图（4）所示对折两次，相邻两折痕间的夹角的度数为 度。 7、如图（5）,B 、C 两点在线段AD 上，（1）BD=BC+ ;AD=AC+BD- ; (2)如果CD=4cm,BD=7cm,B 是AC 的中点，则AB 的长为 。 8、如图（6），把一张长方形的纸按图那样折叠后，B 、D 两点落在B ′、D ′点处， 若得∠AOB ′=700, 则∠B ′OG 的度数为 。 B 图（1）
图（7） 图（8） 二、只要你细心，一定选得有快有准！（4×10＝40分） 9、一个钝角与一个锐角的差是（ ） A.锐角 B.直角 C.钝角 D.不能确定 10、下列各直线的表示法中，正确的是（ ） A ．直线A B.直线A B C ．直线ab D.直线Ab 11、下列说法中，正确的有（ ） A 过两点有且只有一条直线 B.连结两点的线段叫做两点的距离 C.两点之间，线段最短 D .A B ＝B C ，则点B 是线段AC 的中点 12、下列说法中正确的个数为（ ） ①在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 ②平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ④平行同一直线的两直线平行 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 13、下面表示ABC 的图是 （ ） A （A ） （B ） （C ） （D ） 14、如图（7），从A 到B 最短的路线是（ ） A. A －G －E －B B.A －C －E －B C.A －D －G －E －B D.A －F －E －B 15、已知OA ⊥OC ，∠AOB ：∠AOC=2：3， 则∠BOC 的度数为（ ） A.30 B.150 C.30或150 D.以上都不对 16、在同一平面内，三条直线的交点个数不能是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D.4个 17、如图（8 ），与OH 相等的线段有（ ） A C A B B A
第2章《轴对称图形》易错疑难点归纳 易错点1 对轴对称的概念理解不透 1.下列说法正确的有( ) ①全等的两个图形一定成轴对称; ②成轴对称的两个图形一定全等; ③若两个图形关于某直线成轴对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧; ④若点,A B 关于直线MN 对称，则直线MN 垂直平分线段AB . A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 易错点2 判断轴对称图形对称轴的条数出错 2.如图所示的图形分别有几条对称轴?请分别画出它们的对称轴. 易错点3 没有正确利用轴对称的性质画出对称图形 3.如图，作出ABC ?关于BC 所在直线对称的图形. 易错点4 解题时考虑不全面，导致漏解 4.在ABC ?中，,AB AC AB =的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所得的锐角为50°，求C ∠的度数. 易错点5 未能正确理解“三线合一”中的“三线”指的是哪三条线段 5.已知在ABC ?中， ,AB AC BD AC =⊥，垂足为点D .若30A ∠=?，求DBC ∠的度数. 疑难点1 利用轴对称解决最值问题 1.如图，等边三角形ABC 的边长为4 ,AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若2AE =，当EF CF +取得最小若值时，ECF ∠的度数为( ) A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45°
疑难点2 利用线段垂直平分线知识解决线段相等问题 2.如图，已知P 为ABC ?的边BC 的垂直平分线上的一点，该垂直平分线交BC 于点G ，且1,,2 PBG A BP CP ∠=∠的延长线分别交,AC AB 于点D ，E .求证:BE CD =. 疑难点3 探索问题 3.如图，在Rt ABC ?中，90,30,ACB A P ∠=?∠=?为BC 边上任意一点，点Q 为AC 边上的动点，分别以,CP PQ 为边作等边三角形PCF 和等边三角形PQE ，连接EF . (1)试探索EF 与AB 的位置关系，并证明; (2)如图2，当点P 为BC 延长线上任意一点时， (1)中的结论是否成立?请说明理由. (3)如图3，在Rt ABC ?中，90,,ACB A m P ∠=?∠=?为BC 延长线上一点，点Q 为AC 边上的动点，分别以,CP PQ 为腰作等腰三角形PCF 和等腰三角形PQE ，使得,PC PF PQ PE ==，连接EF .要使(1)中的结论仍然成立，则需要添加怎样的条件?不需证明.
第一单元认识图形教学内容：课本P2～P3 单元内容分析： 本单元教材是在上个学期学生学习了立体图形的基础上，继续学习平面图形的初步认识。由于在现实生活中学生直接接触的大多是立体图形，所以把立体图形的初步认识编排在平面图形之前，这是符合学生认知规律的。 单元教学目标 1、能直观认识长方形、正方形、平行四边形、三角形和圆等平面 图形，能正确辨认和区分这些图形。 2、能直观地感知平面图形的特征，以及平面图形与日常生活的密 切联系。 3、经历观察、比较、描画的过程，从中感受到立体图形与平面图 形的区别。 第一课时认识常见的平面图形 教学内容：课本P2～P3，P5 教材分析： 重点：重点：从物体表面抽象出平面图形。 难点：建立平面图形的观念
学情分析：学生在感知熟悉的物体时，首先注意的就是物体的形状。日常生活中，我们经常能看到，学生对形状等外部特征鲜明的物体，总是表现出强烈的认知兴趣。 教学目标： 1、知识与技能。认识长方形、正方形、平行四边形、三角形和圆，知道这些常见图形的名称，并能识别这些图形，初步了解这些图形在日常生活中的应用。 2、过程与方法。在多种形式的学习活动中，培养学生初步的空间观念，以及多种解决问题方法的意识和能力。 3、情感态度与价值观。在小组合作开放型的学习环境中培养学生自主探究、合作交流、敢于创新的意识。 教学过程： 一、设置情境、导入新课 1. 复习立体图形。 2. 启发学生动手操作，用学具摞出“体”。 二、以旧引新、导入新课 1. 放手让学生独立学习、观察书上第三、四幅例图，并仿照图用正方体、三棱柱体学具在纸上描出正方形、三角形。 问：（1）你刚才从书上第三、四幅图中学到了什么你是怎么做的（2）摸一摸描在纸上的正方形、三角形，感觉怎样 小组讨论：体与面的区别。 2. 师：今天我们认识了哪几个新朋友（根据学生回答，在图形
认识图形二教案 单元学情分析 这部分内容是在上学期“认识物体和图形”的基础上教学的，通过上学期的学习学生已经能够辩论和区分所学的平面图形和立体图形了，这里主要是通过一些操作活动，让学生初步体会长方形、正方形、三角形、圆的一些特征，并感知平面图形间的立体图形间以及平面图形与立体图形间的一些关系。本单元教学的关键是把握好教学要求，既不能在上学期的基础上简单重复，又要能拔高教学要求，上学期在认识物体和图形时，也有拼摆，但那时只是用所学的形状拼搭一引起有趣的图案和事物，使学生加深对所学图形的认识，从中感受数学学习的乐趣，同时体会图形的显著特征。而本单元“图形的拼组”目的是让学生通过摆、拼、剪等活动体会平面图形的一些特征，并感知平面图形与立体图形间和立体图形间以及平面图形与立体图形间的关系。 教学目标： 1、让学生认识长方形、正方形、三角形和圆以及正方体的形状，通过折一折、摆一摆、剪一剪、拼一拼，辨别和区分这些图形。 2、培养学生初步发展想象能力和创新能力。 3、通过观察、操作、使学生初步感知所学图形之间的关系。 单元重点：认识长方形、正方形、三角形、圆 单元难点：初步感知图形之间的联系与区别 单元课时安排：约3课时 第一课时：认识图形（1） 教学内容：认识图形（1） 教学目标： 1、通过直观使学生知道长方形、正方形的形状和边的特点。 2、通过折一折、摆一摆、剪一剪、拼一拼，加深对长方形和正方形的认识，能辨别、区分这两种图形。 教学重点：通过操作让学生明白长方形和正方形各自的特点。 教学难点：能够根据各自的特点进行简单区分与判断。 教学方法：观察法、操作法 教学准备：长方形、正方形纸片、剪刀 教学过程： 一、复习。 出示长方形，请学生说一说长方形的边有什么特点。（两条长边相等，两条短边相等） 再出示正方形，也请学生说一说正方形的边有什么特点。（四条边长度都相等） 二、新课。 1、拿出每人事先准备好的长方形、正方纸，师生共同操作。 （1）引导学生先看正方形，先上下对折，边要对齐，看上下两部分是不是完全合在一起，上下两条边是不是完全合在一起；再左右对折，方法同上。然后把正方形纸的两个斜对着的角对齐，折后观察折痕两旁的部分是不是完全合在一起；再继续对折一次，观察折出的几部分是不是完全合在一起，四条边是不是完全合在一起。（学生自己动手操作，得出结论）（2）用长方形纸折一折，看一看长方形的边长怎么样。 要求学生先思考：怎样折长方形的纸，就能使分成的两部分完全合在一起？然后，自己动手折一折，以四人一小组进行讨论，再翻开课本进行核对。 （3）区分长方形和正方形。