22.1 二次函数及其图像
22.1.1 二次函数
【学习目标】
1. 了解二次函数的有关概念．
2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。
3. 确定实际问题中二次函数的关系式。 【自学过程 】 【旧知回顾】
1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。
2. 形如___________
y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数。 【自主预习】
预习课本28页-29页内容 一、探究新知
1．若正方体的棱长为x ，表面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式为 。 2. n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式 _______________________．
3. 某产品现有年产量20t ，计划今后两年增加产量。若每年都比上一年的产量增加x 倍，两年后的 产量为y,y 与x 之间的关系式为 。
4. 观察上述1、2、3中函数关系式有哪些共同之处？
。
二、总结归纳：
一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。 其中x 是自变量，a 是 ，b 是 ，c 是_____________．
三、合作交流：
（1）二次项系数a 为什么不等于0？
答： 。
（2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？
答： .
【当堂检测】
1．观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-； ⑤2
13y x x
=-
+；⑥()2
21y x x =+-， 这六个式子中二次函数有 。（只填序号） 2. 2
(1)31m
m
y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________．
3. 若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为2
52s t t =+，则当t ＝4秒时，该物体所
经过的路程为 。
4.二次函数2
3y x bx =-++．当x ＝2时，y ＝3时，则这个二次函数解析式为 ．
5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
22.1.2二次函数2
=的图象
y ax
【学习目标】
1．知道二次函数的图象是一条抛物线；
2．会画二次函数y＝ax2的图象；
3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．（重点）
【自学过程】
【旧知回顾】
1描点法画一个函数图象的一般过程是①；②；③。
2.一次函数图象的形状是；一次函数有那些性质呢？
【自主预习】
预习课本30页---32页练习前内容
一、探究新知
（一）画二次函数y＝x2的图象．
1.思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？
答：
2.归纳：
y=的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即①由图象可知二次函数2x
抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做线；
y=是轴对称图形，对称轴是；
②抛物线2x
③2
x y =的图象开口 _______；
④ 与 的交点叫做抛物线的顶点。抛物线2
x y =的顶点坐标是 ；它是抛物线的最 点（填“高”或“低”），即当x=0时，y 有最 值等于0
⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势；即x <0时，y 随x 的增大而 ，x >0时，y 随x 的增大而 。 （二）例1在图（4）中，画出函数22
1x y =
，22x y =和x 221
-=y ，x y 22-=的图象。
解：列表： 归纳：
（1）抛物线2
2
1x y =
，2x y =，22x y =的图象的形状都是 ；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数a _______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ． （2）抛物线x y 2
1
2
-=
，x
y 2
2
-=的图象的形状都
是 ；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数a _______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．
二、总结归纳
1． 抛物线2
ax y =的性质
2.当a ＞0时，在对称轴的左侧，即x 0时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 0时y 随x 的增大而 。
当a ＜0时，在对称轴的左侧，即x 0时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 0时y 随x 的增大而 。
3．在前面图（4）中，关于x 轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？ 答：
。
由此可知和抛物线2
ax y =关于x 轴对称的抛物线是 。
4．当
a ＞0时，a 越大，抛物线的开口越___________；当a ＜0时，a 越大，抛物线的开口越
_________；因此，a 越大，抛物线的开口越________。
【当堂检测】 1．函数2
7
3x y =
的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x ＝___________时，有最_________值是_________．
2. 二次函数()2
3x m y -=的图象开口向下，则m___________． 3. 二次函数y ＝mx
2
2-m 有最高点，则m ＝___________．
4. 二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图所示，则k 的取值范围为___________．
5．若二次函数2
ax y =的图象过点（1，－2），则a 的值是___________． 6．抛物线①2
5x
y -=②2
2x
y -= ③2
5x
y =④2
7x
y = 开口从小到大排列是
___________________________________；（只填序号）其中关于x 轴对称的两条抛物线 是 和 。
7．点A （2
1，b ）是抛物线2
x y =上的一点，则b= ；过点A 作x 轴的平行线交抛物线另一点B
的坐标是 。
8..二次函数2
ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）．
（1）求a 、b 的值；
（2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小．
22.1.3二次函数()k h x a y +-=2的图象（一）
【学习目标】 1．知道二次函数k ax y +=2与2
ax y =的联系．
2.掌握二次函数k ax y +=2
的性质，并会应用； 【知识链接】
1.直线12+=x y 可以看做是由直线x y 2= 得到的。
2.若一个一次函数的图象是由x y 2-=平移（向上或向下）得到，并且过点（-1,3），求这个函数的解析式。
由此你能推测二次函数2
x y =与22
-=x y 的图象之间又有何关系吗？
猜想： 。
【自主预习】
预习32页—33页练习前内容 一、探究新知
在同一直角坐标系中，画出二次函数2
x y =，12+=x y ，12
-=x y 的图象． 解：列表、
描点、连线
x
二、总结归纳： 1.填表
2．可以发现，把抛物线2x y =向______平移______个单位，就得到抛物线12
+=x y ； 把抛物线2x y =向_______平移______个单位，就得到抛物线12
-=x y . 3．抛物线2x y =，12+=x y ，12
-=x y 的形状_____________．开口大小相同。
三、知识梳理：
（一）抛物线k ax y +=2
特点：
1.当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口 ；
2. 顶点坐标是 ；
3. 对称轴是 。
（二）抛物线k ax y +=2
与2
y ax =形状相同，位置不同，k ax y +=2是由2
y ax = 平移得到的。（填上下或左右） 二次函数图象的平移规律：上 下 。
（三）a 的正负决定开口的 ；a 决定开口的 ，即a 不变，则抛物线的形状 。 因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a 值 。
【当堂检测】
1.抛物线2
2x y =向上平移3个单位，就得到抛物线__________________； 抛物线22x y =向下平移4个单位，就得到抛物线__________________． 2．抛物线232+-=x y 向上平移3个单位后的解析式为 ， 它们的形状__________，当x = 时，y 有最 值是 。
3．由抛物线352
-=x y 向垂直方向平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式是 ， 是把原抛物线向 平移 个单位得到的。
4. 写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线2
x y -=的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．
5. 抛物线142
+=x y 关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________．
6.二次函数k ax y +=2
()0≠a 的经过点A （1，-1）、B （2，5）.
⑴求该函数的表达式；
⑵若点C(-2，m ),D （n ，7）也在函数图像上，求m 、n 的值。
22.1.3二次函数()k h x a y +-=2的图象（二）
【学习目标】 1．会画二次函数2)(h x a y -=的图象；
2.知道二次函数2)(h x a y -=与2
ax y =的联系． 3.掌握二次函数2
)(h x a y -=的性质，并会应用； 【自学过程 】 【旧知回顾】
1.将二次函数
22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
2.将抛物线142+-=x y 的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为 。 【自主预习】 预习33页---35页练习前内容
一、探究新知 画出二次函数2
)1(+=x y ，2
)1(-=x y 的图象； 解： 先列表：
描点、连线
二、总结归纳：
（1）2
)1(+=x y 的开口向 ， 对称轴是直线 ， 顶点坐标是 。 图象有最 点，即x = 时，
y 有最 值是 ；
在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时，y 随x 的增大而 。
2
)1(+=x y
可以看作由2
x y =向 平移 个单位形成的。
（2）2
)1(-=x y 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ， 图象有最 点，
x
即x = 时，y 有最 值是 ；
在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ； 在对称轴的右侧，即x 时y 随x 的增大而 。
2)1(+=x y 可以看作由2x y =向 平移 个单位形成的。 2)1(-=x y 可以看作由2x y =向 平移 个单位形成的。
三、知识梳理
（一）抛物线2)(h x a y -=特点：
1.当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口 ；
2. 顶点坐标是 ；
3. 对称轴是直线 。 （二）抛物线2)(h x a y -=与2
y ax =形状相同，位置不同，
2)(h x a y -=是由2
y ax = 平移得到的。（填上下或左右）
由学案可知二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。
（三）a 的正负决定开口的 ；a 决定开口的 ，即a 不变，则抛物线的形状 。 因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a 值 。 （四）抛物线2)(h x a y -=与2
y ax =的单调性 （相同或不同）。 【当堂检测】
1．抛物线()2
23y x =+的开口_______；顶点坐标为_________； 对称轴是直线 ； 当x 时，y 随x 的增大而减小； 当x 时，y 随x 的增大而增大。
2. 抛物线2
2(1)y x =--的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线 ； 当x 时，y 随x 的增大而减小； 当x 时，y 随x 的增大而增大。 3. 抛物线2
21y x =-的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是_______； 4.抛物线25y x =向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______________． 5. 抛物线24y x =-向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为______________． 6．将抛物线()2
123
y x =-
-向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为__________． 7．抛物线()2
42y x =-与y 轴的交点坐标是_______，与x 轴的交点坐标为________．
8. 写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线2
2y x =-都相同的二次函数解析式_______________
22.1.3二次函数()k h x a y +-=2的图象（三）
【学习目标】1．会画二次函数的顶点式()k h x a y +-=2
的图象；
2．掌握二次函数()k h x a y +-=2
的性质；
【自学过程 】 【旧知回顾
1.将二次函数
2-5y x =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
2.将抛物线2y x =-的图象向左平移3个单位后的抛物线的解析式为 。 【自主预习】
预习35页—36页例4前内容 一、探究新知
在右图中做出()2
12y x =--的图象： 观察：1. 抛物线()2
12y x =--开口向 ；
顶点坐标是 ；对称轴是直线 。 2. 抛物线()2
12y x =--和2
y x =的形状 ，
位置 。（填“相同”或“不同”） 3. 抛物线()2
12y x =--是由2
y x =如何平移得到的？
答： 。
二、合作交流
平移前后的两条抛物线a 值变化吗？为什么？ 答：
三、总结归纳：
结合上图和课本第35页例3归纳： （一）抛物线2()+y a x h k =-的特点：
1.当0a
>时，开口向 ；当0a <时，开口 ；
2. 顶点坐标是 ；
3. 对称轴是直线 。 （二）抛物线
2()+y a x h k =-与2y ax =形状 ，位置不同，2()+y a x h k =-是由2y ax =平移得到的。
二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。 （三）平移前后的两条抛物线a 值 。
【当堂检测】
1.二次函数
2)1(2
1
2+-=x y 的图象可由221x y =的图象（ ）
A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到 2.抛物线()2
1653
y x =-
-+开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ， 当x ＝ 时，y 有最 值为 。 3.若把函数
()2
523y x =-+的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为 。
4. 顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线
2
12
y x =
相同的解析式为（ ） A ．
()2
1232y x =
-+ B ．()2
1232y x =
+- C ．()2
1232
y x =++
D ．()2
1232y x =-++
5.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线22y x =相同，对称轴和抛物线()22y x =-相同，且顶点纵坐标为
0，求此
抛物线的解析式.
6.填表：
22.1.3二次函数()k h x a y +-=2的图象（四）
【学习目标】 会用二次函数()k h x a y +-=2
的性质解决问题；
【自学过程 】 【旧知回顾】
1. 抛物线
22(+1)3y x =--开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，
当x ＝ 时，y 有最 值为 。当x 时，y 随x 的增大而增大.
2. 抛物线
22(+1)3y x =--是由22y x =-如何平移得到的？
答： 。
【自主预习】
1.抛物线的顶点坐标为（2，-3），且经过点（3,2）求该函数的解析式？ （分析：如何设函数解析式？写出完整的解题过程。）
2.例4：要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心3m ，水管应多长？
解：分析：由题意可知：池中心是 ，水管
是 ，点 是喷头，线段 的长度是1米，线段 的长度是3米。 已知条件可设抛物线的解析式为 。
抛物线的解析式中有一个待定系数，所以只需再确定 个点的坐标即可，这个点是 。 求水管的长就是通过求点 的 坐标。
【当堂检测】
1.如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. AO= 3米，现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.
(1) 直接写出点A及抛物线顶点P的坐标；
(2) 求出这条抛物线的函数解析式；
2.如图抛物线()214
y x
=--与x轴交于A,B两点，交y轴于点D，抛物线的顶点为点C （1）求△ABD的面积。
（2）求△ABC的面积。
（3）点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为4时，求所有符合条件的点P的坐标。（4）点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为8时，求所有符合条件的点P的坐标。
（5）点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为10时，求所有符合条件的点P的坐标。
22.1.4二次函数2y ax bx c =++的图象
【学习目标】
1.能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2()+y a x h k =-的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。
2．熟记二次函数c bx ax y ++=2的顶点坐标公式； 3．会画二次函数一般式c bx ax y ++=2的图象． 【自学过程 】 【知识链接】
1.抛物线()2
231y x =+-的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；当x = 时y 有最 值是 ；当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小。
2. 二次函数解析式2
()+y a x h k =-中，很容易确定抛物线的顶点坐标为 ，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。 【自主预习】 自主探究
问题：（1）你能直接说出函数222
++=x x y 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ （2）你有办法解决问题（1）吗？
解：
222++=x x y 的顶点坐标是 ，对称轴是 .
（3）用配方法把下列二次函数化成顶点式：
①222+-=x x y
c bx ax y ++=2
合作探究
（4）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式从而直接得到它的图像性质.
（5）归纳：将二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 进行配方，得到a b ac a b x a c bx ax y 44222
2-+??
? ??+=++= 因此，抛物线)0(2
的开口方向、顶点坐标、对称轴：
（6）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。 用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。
①4322
+-=x x y ②222
++-=x x y ③x x y 42
--=
【达标检测】
1．二次函数y =3x 2－2x ＋1的图像是开口方向_______，顶点是________， 对称轴是__________． 2．二次函数y =2x 2＋bx ＋c 的顶点坐标是（1，－2），则b =_____，c =_____．
3.抛物线4322++=x x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ， 当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大。 当x= 时，函数有最 值，是y=
4．二次函数y =
12x 2＋3x ＋52的图像是由函数y =1
2
x 2的图像先向_____平移____个单位，再向_____平移_____个单位得到的． 5．已知二次函数y =x 2－2（m －1）x ＋m 2－2m －3的图像与函数y =－x 2
＋6x 的图像交于y 轴一点，则m =_______．
6．如右图所示，已知抛物线y =ax 2＋bx ＋c 的图像， 试确定下列各式的符
号．
a ____0，
b ____0
，c _____0；a ＋b ＋c _____0，a －b ＋c _____0． 7．函数y =（x ＋1）（x －2）的图像的对称轴是 ，顶点为 ． 8．下列关于抛物线y =x 2＋2x ＋1的说法中，正确的是（ ） A ．开口向下
B ．对称轴为直线x =1
C ．与x 轴有两个交点
D ．顶点坐标为（－1，0）
22.1.5用待定系数法求二次函数的解析式
【学习目标】 1.能根据已知条件选择合适的二次函数解析式；
2.会用待定系数法求二次函数的解析式。 【自学过程 】 知识链接：
1．已知正比例函数kx y =经过点（2，3），求正比例函数解析式。 2．已知直线过点（-1，2）和点（0,4），求该函数的解析式. 自主探究
1．二次函数解析式通常有三种形式： ①一般式 ； ②顶点式 。 交点式
2．若二次函数y ＝x 2－2x ＋a 2－1的图象经过点(1，0)，则a 的值为 ． 3．已知抛物线的对称轴为直线x ＝2，与x 轴的一个交点为),0,2
3
(-则它与x 轴的另一个交点为______． 4.自主学习读课本39-40页探究题
5.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步， ：先设出二次函数的解析式，如2
y ax bx c =++或2
()y a x h k =-+，
或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；
第二步， ：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步， ：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步， ：将求出的待定系数还原到解析式中．
【合作探究】
1．已知抛物线经过点A （－1，0），B （4，5），C （0，－3），求抛物线的解析式．
2.已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A （1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3），求二次函数的顶点坐标．
达标检测：
1．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－1），求这个二次函数的解析式．
2．已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．
3.已知二次函数m x x y ++=2
的图象过点（1，2），则m 的值为______________ 4. 一条抛物线y x mx n =++142经过点()032，与()43
2
，.求这条抛物线的解析式.
5. 已知抛物线y ax bx c =++2的顶点坐标为（－1，4），与x 轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数关系式.
6.已知一抛物线与x 轴的交点是)0,2(-A ，B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标.
7. 如图所示，已知二次函数2
12
y x bx c =-
++的图象经过A(2，0)，B(0，-6)两点． (1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数图象的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求△ABC 的面积．
拓展延伸
8.如图，直线33+=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，过A,B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0）， （1）求该抛物线的解析式；
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？ 若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.