2019-2020学年高二数学10月月考试题(10)
一、填空题（每小题5分，共14小题）
1. 空间中，点（2,0,1）位于 平面上（填“xOy ”“yOz ”或“xOz ”）
2. 椭圆22194
x y +=的离心率是
3.已知两点A （0,10），B （a ，-5）之间的距离为17，则实数a 的值为
4. 过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是
5.圆222200x y x y ++--=与圆2225x y +=相交所得的公共弦所在直线方程为
6. 已知点A （1，3）关于直线l 的对称点为B (-5,1)，则直线l 的方程为
7已知方程
1212
2=-+-m
y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是
8. 椭圆
22
1167
x y +=上横坐标为2的点到右焦点的距离为
9. 直线)0(0≠=++ab c by ax 截圆522=+y x 所得弦长等于4，则以|a |、|b |、|c |为边长的三角形一定是 ．
10. 若直线l ：y=kx 经过点22(sin ,cos )33
P ππ
，则直线l 的倾斜角为α = ．
11. 圆心在直线x y 4-=上，且与直线01=-+y x 相切于点),(23-P 的圆的标准方程为 ．
12. 已知圆2
2
4x y +=，直线l ：y kx b =+与圆交于点A,B （异于原点O ），直线AO 、直线l 与直线BO 的斜率依次成等比数列，则k =
13. 已知椭圆C: 22
221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ,点P 在椭圆C 上，线
段2PF 与圆： 2
2
2
x y b +=相切于点Q ，若Q 是线段2PF 的中点，e 为C 的离心率，则
22
3a e b
+的最小值是______________
14.过椭圆C:13
22
=+y x 上任意一点),(00y x M 作一半径为r 的圆M ，过原点O 向圆M 作两条切线，若两条切线的斜率之积为定值，则半径=r
二、解答题（共6大题，分值14分+14分+14分+16分+16分+16分） 15.已知圆C 方程为04222=+--+m y x y x 。 （1）求m 的取值范围；
（2）若直线012=--y x 与圆C 相切，求m 的值。
16. 如图，已知等腰直角三角形APB 的一条直角边AP 在y 轴上，A 点位于x 轴的下方，B 点位于y 轴的右方，斜边AB 的长为23，且A 、B 两
点在椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 上。
（1）若点)1,0(P ，求椭圆方程；
（2）若))(,0(R t t P ∈，求A 、B 两点在椭圆C 上时
t 的取值范围。
17. 已知两条直线04:1=+-by ax l ，0)1(:2=++-b y x a l ，求分别满足下列条件的
a,b 的值：
（1）直线1l 过点（-3，-1），并且直线1l 与直线2l 垂直； （2）直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到21,l l 的距离相等。
18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点(1,0)A -，(1,2)B ．
（1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN AB =，求直线l 的方程； （2）在圆C 上是否存在点P ，使得2212PA PB +=？若存在，求点P 的个数；若不
存在，说明理由．
19. 某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m 的圆形，并用四根木
条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口.
（1）若窗口ABCD 为正方形，且面积大于2
14
m （木条宽度忽略不计），求四根木条总长的取值范围；
（2）若四根木条总长为6m ，求窗口ABCD 面积的最大值.
20. 已知焦距为2
的椭圆C ：
+
=1（a ＞b ＞0）的右顶点为A ，直线y=与椭圆C
交于P 、Q 两点（P 在Q 的左边），Q 在x 轴上的射影为B ，且四边形ABPQ 是平行四边形． （1）求椭圆C 的方程；
（2）斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N ．
（i ）若直线l 过原点且与坐标轴不重合，E 是直线3x+3y ﹣2=0上一点， 且△EMN 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，求k 的值
（ii ）若M 是椭圆的左顶点，D 是直线MN 上一点，且DA ⊥AM ，点G 是x 轴上异于点M 的点，且以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，求证：点G 是定点．
10月月考答案
1. xOz
2.
3. 8±
4. 210x y --=
5. 250x y -+=
6. 340x y ++= 7)23,1( 8. 2
5
9. 直角三角形 10.56π
11. ()()22
148x y -++= 12. 1±
23
15. 解：（1）5 （2）5 9 =m 7分 16.解：（1） 14 122 2=+y x 7分 （2）2 3 0< 2 == b a 7分 18. （1）圆C 的标准方程为22(2)4x y -+=，所以圆心(2,0)C ，半径为2． 因为l AB ∥，(1,0)A -，(1,2)B ，所以直线l 的斜率为20 11(1) -=--， 设直线l 的方程为0x y m -+=， 则圆心C 到直线l 的距离为d = = ． 因为MN AB === 而22 2()2 MN CM d =+，所以2(2)422m += +， 解得0m =或4m =-， 故直线l 的方程为0x y -=或40x y --=． 8分 （2）假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=， 222222(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=， 即22230x y y +--=，即22(1)4x y +-=， 因为|22|22-+， 所以圆22(2)4x y -+=与圆22(1)4x y +-=相交， 所以点P 的个数为2． 8分 19. 解（1）设一根木条长为xcm ，则正方形的边长为= 因为14ABCD S > 四边形，所以2 144x -> ，即2 x < 又因为四根木条将圆分成9 个区域，所以x > 所以x <<7分 （2）设AB 所在木条长为am ，CD 所在木条长为bm 由条件，2+26a b =，即3a b += 因为(),0,2a b ∈，所以()30,2b a =-∈，从而(),1,2a b ∈ 由于AB BD == ，ABCD S ==矩形 ()()2 2288722 2 4 a b a b +- -+≤ = 当且仅当()31,22 a b == ∈时，74ABCD S =矩形 答：窗口ABCD 面积的最大值为2 74m 9分 20. 解：（1）由题意可得 2c=2 ，即 c= ， 直线 y= 代入椭圆方程可得 +=1， 解得x=± a ， 可得|AB|=a ﹣ a ， 由四边形ABPQ是平行四边形， 可得|AB|=|PQ|=2a， 解得b=，a==2， 可得椭圆的方程为+=1； 5分 （2）（i）由直线y=kx代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2=4， 解得x=±， 可设M（，）， 由△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形， 可设E（m，﹣m），E到直线kx﹣y=0的距离为d=，即有OE⊥MN，|OM|=d， 即为=﹣， =， 由m=，代入第二式，化简整理可得7k2﹣18k+8=0， 解得k=2或； 5分 （ii）证明：由M（﹣2，0），可得直线MN的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程可得，（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4=0， 可得﹣2+x N=﹣， 解得x N=， y N=k（x N+2）=，即N（，）， 设G（t，0），（t≠﹣2），由题意可得D（2，4k），A（2，0），以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点， 可得AN⊥DG， 即有k AN?k DG=﹣1， 即为?=﹣1， 解得t=0． 故点G是定点，即为原点（0，0）．6分
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