统计学复习笔记 第七章参数估计 一、思考题 1．解释估计量和估计值 在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。估计量也是随机变量。如样本均值，样本比例、样本方差等。 根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。 2．简述评价估计量好坏的标准 （1）无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。 （2）有效性：是指估计量的方差尽可能小。对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。 （3）一致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。 3．怎样理解置信区间 在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差（即置信区间），并不说明置信度，也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”），有误导读者之嫌。在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。这样则可以由此推算出置信度（由后面给出的公式），反之亦然。 4．解释95%的置信区间的含义是什么 置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量（是随机的）覆盖总体参数的概率。也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%（的区间）包含参数。 不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以的概率覆盖总体参数。 5．简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。 1. 估计总体均值时样本量n 为 （z 2 ）2 2其中： E z n n E22 其中： E z 2 n 2. 样本量n 与置信水平1- α、总体方差、估计误差E之间的关系为与置信水平 成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所
第五章+统计学教案（假设检验）参数估计和假设检验是统计推断的两个组成部分，它们分别从不同的角度利用样本信息对总体参数 进行推断。前者讨论的是在一定的总体分布形式下，借助样本构造的统计量，对总体未知参数作出估计 的问题；后者讨论的是如何运用样本信息对总体未知参数的取值或总体行为所做的事先假定进行验证， 从而作出真假判断。通俗地、简单地说，前者是利用样本信息估计总体参数将落在什么范围里；而后者 则是利用样本信息回答总体参数是不是会落在事先假定的某一个范围里。 通过本章学习，要求学生在充分理解有关抽样分布理论的基础上，理解掌握假设检验的有关基本概 念；明确在假设检验中可能犯的两种错误，以及这两种错误之间的联系；熟练掌握总体均值和总体成数 的检验方法，主要是 Z 检验和 t 检验；对于非参数的检验，也应有所了解，包括符号检验、秩和检验与游程检验等。 2 一、假设检验概述与基本概念 1、假设检验概述 2、假设检验的有关基本概念 二、总体参数检验 1、总体平均数的检验 2、总体成数的检验
3、总体方差的检验 三、总体非参数检验 1、符号检验 2、秩和检验 3、游程检验 一、假设检验的有关基本概念； 二、总体平均数与总体成数的检验； 三、非参数检验； 一、假设检验的基本思路与有关概念； 二、两类错误的理解及其关系； 一、假设检验概述 假设检验：利用统计方法检验一个事先所作出的假设的真伪，这一假设称为统计假设，对这一假设 所作出的检验就是假设检验。 基本思路：首先，对总体参数作出某种假设，并假定它是成立的。然后，根据样本得到的信息（统 计量），考虑接受这个假设后是否会导致不合理的结果，如果合理就接受这个假设，不合理就拒绝这个 假设。 所谓合理性，就是看是否在一次的观察中出现了小概率事件。 小概率原理：就是指概率很小的事件，在一次试验中实际上是几乎不可能出现。这种事件可以称其 为“实际不可能事件”。 二、假设检验的基本概念
第三章 样本均数的抽样误差与置信区间 ★ 联系： 3.1 样本均数的分布 ·从同一总体中独立抽取多份样本, 他们的均数常大小不一, 这说明样本均数存在变异。通过电脑实验来认识样本均数的变异规律 一、正态总体样本均数的分布 实验 3.1 从正态分布总体抽样的实验 假定正常男子的红血球计数服从正态分布N(4.6602, 0.57462)，随机抽取1000份样本 , 每份含n ＝5个个体。样本均数依然是一个随机变量, 且 (1) (2) (3) 样本均数的分布很有规律,围绕着总体均数,中间多、两边少, 左右基本对称(对称、正态？)； (4) (5) 随着样本量的增大, 表3.1 从N(4.6602, 0.57462)中随机抽样, 样本量为5, 100份独立 12图3.1 从正态分布总体抽样的实验结果 23.7 4.1 4.5 4.9 5.3 5.7 3.7 4.1 4.5 4.9 5.3 5.7 3.7 4.1 4.5 4.9 5.3 5.7(a) (b) (c)
* 由这份样本估计的95%置信区间实际上并未复盖总体均数 表3.2 从N(4.6602, 0.57462)中随机抽取1000 份独立样本, 其均数的频数分布 组段下限(1012 /L) 频数 频率(%) 累积频率(%) 3.60- 1 0.1 0.1 3.80- 5 0.5 0.6 4.00- 32 3.2 3.8 4.20- 117 11.7 1 5.5 4.40- 229 22.9 38.4 4.60- 304 30.4 68.8 4.80- 218 21.8 90.6 5.00- 76 7.6 98.2 5.20- 15 1.5 99.7 5.40- 3 0.3 100.0 合计 1000 100.0 ·理论上可以证明, 从正态分布N(μ, σ2)的总体中随机抽取含量为n 的样本，其样本均数X ～N(μ, σ2 /n)。 ·样本均数的标准差习惯上又称为样本均数的标准误(standard error)，简称标准误。值得注意的是如下的普遍规律： 或 ·实际应用中往往总体标准差σ未知, 人们只能用样本标准差S 代替σ，从而获得x σ的估计值x S ，则有 ·为方便计，可称x σ为理论标准误，x S 为样本标准误。 二、非正态总体样本均数的分布 实验3.2 从正偏峰的分布总体抽样的实验 (1) 随着样本量的增大, 样本均数分布的对称性逐渐改善, 样本
第5章 参数估计 ●1. 从一个标准差为5的总体中抽出一个容量为40的样本，样本均值为25。 （1） 样本均值的抽样标准差x σ等于多少？ （2） 在95%的置信水平下，允许误差是多少？ 解：已知总体标准差σ=5，样本容量n =40，为大样本，样本均值x =25， （1）样本均值的抽样标准差 x σσ5=0.7906 （2）已知置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96， 于是，允许误差是E = α/2 σ Z 6×0.7906=1.5496。 ●2.某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。 （3） 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差； （4） 在95%的置信水平下，求允许误差； （5） 如果样本均值为120元，求总体均值95%的置信区间。 解：（1）已假定总体标准差为σ=15元， 则样本均值的抽样标准误差为 x σσ15=2.1429 （2）已知置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96， 于是，允许误差是E = α/2 σ Z 6×2.1429=4.2000。 （3）已知样本均值为x =120元，置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96， 这时总体均值的置信区间为 α/2 x Z 0±4.2=124.2115.8 可知，如果样本均值为120元，总体均值95%的置信区间为（115.8，124.2）元。 ●3.某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据（单位：小时）： 3.3 3.1 6.2 5.8 2.3 4.1 5.4 4.5 3.2 4.4 2.0 5.4 2.6 6.4 1.8 3.5 5.7 2.3 2.1 1.9 1.2 5.1 4.3 4.2 3.6 0.8 1.5 4.7 1.4 1.2 2.9 3.5 2.4 0.5 3.6 2.5
1 估计量的含义是指（）。 A.用来估计总体参数的统计量的名称 B.用来估计总体参数的统计量的具体数值 C.总体参数的名称 D.总体参数的具体数值 2 在参数估计中，要求通过样本的统计量来估计总体参数，评价统计量的标准之一是使它与总体参数的离差越小越好。这种评价标准称为（）。 A.无偏性 B.有效性 C.一致性 D.充分性 3 根据一个具体的样本求出的总体均值的95%的置信区间（）。 A.以95%的概率包含总体均值 B.有5%的可能性包含总体均值 C.一定包含总体均值 D.要么包含总体均值，要么不包含总体均值 4 无偏估计是指（）。 A.样本统计量的值恰好等于待估的总体参数 B.所有可能样本估计值的数学期望等于待估总体参数 C.样本估计值围绕待估总体参数使其误差最小 D.样本量扩大到和总体单元相等时与总体参数一致 5 总体均值的置信区间等于样本均值加减边际误差，其中的边际误差等于所要求置信水平的临界值乘以（）。 A.样本均值的抽样标准差 B.样本标准差 C.样本方差 D.总体标准差 6 当样本量一定时，置信区间的宽度（）。 A.随着置信系数的增大而减小 B.随着置信系数的增大而增大 C.与置信系数的大小无关 D.与置信系数的平方成反比 7 当置信水平一定时，置信区间的宽度（）。 A.随着样本量的增大而减小 B.随着样本量的增大而增大 C.与样本量的大小无关 D.与样本量的平方根成正比 8 一个95%的置信区间是指（）。 A.总体参数有95%的概率落在这一区间内 B.总体参数有5%的概率未落在这一区间内 C.在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间包含该总体参数 D.在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间不包含该总体参数
第五章抽样与参数估计 一、单项选择题 1、某品牌袋装糖果重量的标准是（500±5）克。为了检验该产品的重量是否符合标准，现从某日生产的这种糖果中随机抽查10袋，测得平均每袋重量为498克。下列说法中错误的是（ B ） A、样本容量为10 B、抽样误差为2 C、样本平均每袋重量是估计量 D、498是估计值 2、设总体均值为100，总体方差为25，在大样本情况下，无论总体的分布形式如何，样本平均数的分布都服从或近似服从趋近于（ D ） A、N（100，25） B、N（100，5/n） C、N（100/n，25） D、N（100，25/n） 3、在其他条件不变的情况下，要使置信区间的宽度缩小一半，样本量应增加（ C ） A、一半 B、一倍 C、三倍 D、四倍 4、在其他条件不变时，置信度（1–α）越大，则区间估计的（ A ） A、误差范围越大 B、精确度越高 C、置信区间越小 D、可靠程度越低 5、其他条件相同时，要使抽样误差减少1/4，样本量必须增加（ C ） A、1/4 B、4倍 C、7/9 D、3倍 6、在整群抽样中，影响抽样平均误差的一个重要因素是（ C ） A、总方差 B、群内方差 C、群间方差 D、各群方差平均数 7、在等比例分层抽样中，为了缩小抽样误差，在对总体进行分层时，应使（ B ）尽可能小 A、总体层数 B、层内方差 C、层间方差 D、总体方差 8、一般说来，使样本单位在总体中分布最不均匀的抽样组织方式是（ D ） A、简单随机抽样 B、分层抽样 C、等距抽样 D、整群抽样 9、为了了解某地区职工的劳动强度和收入状况，并对该地区各行业职工的劳动强度和收入情况进行对比分析，有关部门需要进行一次抽样调查，应该采用（ A ） A、分层抽样 B、简单随机抽样 C、等距（系统）抽样 D、整群抽样 10、某企业最近几批产品的优质品率分别为88%，85%，91%，为了对下一批产品的优质品率进行抽样检验，确定必要的抽样数目时，P 应选（ A ） A、85% B、87.7% C、88% D、90% 二、多项选择题 1、影响抽样误差大小的因素有（ADE ） A、总体各单位标志值的差异程度 B、调查人员的素质
统计学原理课后习题答案 第五章 抽样及参数估计 1.①由题意可知本题属于：纯随机重复抽样下的总体比例区间估计。 已知：n=1000,828 82.8%1000 p = =，(Z)195.45%F α=-= ,查表得/2=2Z α 由于不知总体标准差，用样本的标准差代替： p 82.8%282.8% 2.4%Z α±=±? =± 即：80.4%P 85.2%≤≤ 所以该城市拥有彩电家庭比例的置信区间为80.4%—85.2%。 ②由题意可知本题属于：重复抽样时比例的必要抽样数目。 已知： 82.8%p =，5%p ?= ，(Z)199.73%F α=-= ,查表得/2=3Z α 由于不知总体标准差，用样本的标准差代替： 222 2 (1P) 382.8%（1-82.8%）5130.05 p z P n -??= =≈? 2.由题意可知本题属于：纯随机重复抽样下的总体平均数的抽样极限误差 已知：n=100,=3x ，=0.8σ ，(Z)195%F α=-= ,查表得/2=1.96Z α /2 = 1.960.16Z α?=?= 分钟 3.（1） 已知：n=150,123 82%150 p = =，(Z)199.73%F α=-= ,查表得/2=3Z α 由于不知总体标准差，用样本的标准差代替： p 82%382%9.41%Z α±=±? =± 即：72.59%P 91.41%≤≤ （2）已知：n=150,=2x ，=0.75σ ，(Z)199.73%F α=-= ,查表得/2=3Z α
/2 0.75 2320.2x Z αμ=±=±?=± 分钟 即：1.8 2.2μ≤≤ 4. 已知： 200σ=，30z ?= ，(Z)195%F α=-= ,查表得/2=1.96Z α 则：22 222 2 1.9620017130 z z n σ?==≈? 户 （1）如上图 （2）40名职工的平均考核成绩为3070 40 76.75xf x f = = =∑ 样本的方差为2 2 ()4777.5 s 122.54x x f f -= = =∑∑ (Z)195%F α=-= ，查表得到/2 1.96Z α= /2 76.75 1.911.07 676.75 3.43s x Z α±=±?=± 即在95%的概率保证度下，该企业工人的平均考核成绩在73.32到80.18直接。 （3）已知：n=40,36 90%40 p = =，(Z)195%F α=-= ,查表得/2=1.96Z α 由于不知总体标准差，用样本的标准差代替：
统计学复习笔记 第七章 一、 思考题 1． 解释估计量和估计值 在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。估计量也是随机变量。如样本均值，样本比例、样本方差等。 根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。 2． 简述评价估计量好坏的标准 （1）无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。 （2）有效性：是指估计量的方差尽可能小。对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。 （3）一致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。 3． 怎样理解置信区间 在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差（即置信区间），并不说明置信度，也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”），有误导读者之嫌。在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。这样则可以由此推算出置信度（由后面给出的公式），反之亦然。 4． 解释95%的置信区间的含义是什么 置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量(是随机的)覆盖总体参数的概率。也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%（的区间）包含参数。 不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以0.95的概率覆盖总体参数。 5． 简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。 1. 估计总体均值时样本量n 为 2. 样本量n 与置信水平1-α、总体方差、估计误差E 之间的关系为 其中： 2222α2222)(E z n σα=n z E σα2=
概率论与数理统计期末 置信区间问题 八（1）、从某同类零件中抽取9件，测得其长度为（ 单位：mm ）： 设零件长度X 服从正态分布N (μ,1)。求μ的置信度为的置信区间。 0.050.050.025((9)=2.262, (8)=2.306, 1.960 )t t U =已知： 解：由于零件的长度服从正态分布,所以~(0,1) x U N = 0.025{||}0.95P U u <= 所以μ的置信区间为 0.025 0.025 (x u x u -+ 经计算 9 19 1 6i i x x == =∑ μ的置信度为的置信区间为 11 33(6 1.96,6 1.96)-?+? 即， 八（2）、某车间生产滚珠，其直径X ～N (μ, ，从某天的产品里随机抽出9个量得直径如下（单位：毫米 ）： 若已知该天产品直径的方差不变，试找出平均直径μ的置信度为的置信区间。 0.050.050.025((9)=2.262, (8)=2.306, 1.960 )t t U =已知： 解：由于滚珠的直径X 服从正态分布,所以~(0,1) x U N = 0.025{||}0.95P U u <= 所以μ的置信区间为： 0.0250.025 (x u x u -+ 经计算 9 19 1 14.911i i x x == =∑ μ的置信度为的置信区间为 (14.911 1.96 1.96-+ 即， 八（3）、工厂生产一种零件,其口径X (单位:毫米)服从正态分布2 (,)N μσ,现从某日生产的零件中随机抽出9个,分别测得其口径如下:
已知零件口径X 的标准差0.15σ=，求μ的置信度为的置信区间。 0.050.050.025((9)=2.262, (8)=2.306, 1.960 )t t U =已知： 解：由于零件的口径服从正态分布, 所以~(0,1)x U N = 0.025{||}0.95P U u <= 所以μ 的置信区间为：0.025 0.025 (x u x u -+ 经计算 9 19 1 14.9i i x x == =∑ μ 的置信度为的置信区间为 0.150.15 33(14.9 1.96,14.9 1.96)-?+? 即 , 八（4）、随机抽取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差S =3(m/s)，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的方差2 σ的置信度为的置信区间。 22220.0250.9750.0250.975((8)17.535, (8) 2.18(9)19.02, (9) 2.7)χχχχ====已知：； 因为炮口速度服从正态分布，所以 2 22 (1)~(1)n S W n χσ-= - 220.0250.975{(8)(8)}0.95P W χχ≤≤= 2 σ的置信区间为：()()22220.0250.975(1)(1),11n S n S n n χχ??-- ? ?--?? 2σ的置信度的置信区间为 8989,17.535 2.180???? ??? 即()4.106,33.028 八（5）、设某校女生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽取9名女生，测得数据经计算如下： 162.67, 4.20x cm s cm ==。求该校女生身高方差2σ的置信度为的置信区间。 22220.0250.9750.0250.975((8)17.535, (8) 2.18(9)19.02, (9) 2.7)χχχχ====已知：； 解：因为学生身高服从正态分布，所以2 22 (1)~(1)n S W n χσ-= - 220.0250.975{(8)(8)}0.95P W χχ≤≤= 2 σ的置信区间为：()()22220.0250.975(1)(1),11n S n S n n χχ??-- ? ?--?? 2 σ的置信度的置信区间为 228 4.28 4.2,17.535 2.180???? ??? 即 ()8.048,64.734
统计学复习笔记 第七章 参数估计 一、 思考题 1． 解释估计量和估计值 在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。估计量也是随机变量。如样本均值，样本比例、样本方差等。 根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。 2． 简述评价估计量好坏的标准 （1）无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。 （2）有效性：是指估计量的方差尽可能小。对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。 （3）一致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。 3． 怎样理解置信区间 在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差（即置信区间），并不说明置信度，也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”），有误导读者之嫌。在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。这样则可以由此推算出置信度（由后面给出的公式），反之亦然。 4． 解释95%的置信区间的含义是什么 置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量(是随机的)覆盖总体参数的概率。也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%（的区间）包含参数。 不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以0.95的概率覆盖总体参数。 5． 简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。 1. 估计总体均值时样本量n 为 2. 样本量n 与置信水平1-α、总体方差 、估计误差E 之间的关系为 其中： 2222α2222)(E z n σα=n z E σα2=
第四章 抽样分布与参数估计 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额。在为期3周的时间里选取49名顾客组成 了一个简单随机样本。 (1)假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差。 x σ= = = (2)在95％的置信水平下，求边际误差。 x x t σ?=?，由于是大样本抽样，因此样本均值服从正态分布，因此概率度t=2z α 因此，x x t σ?=?x z ασ=?0.025x z σ=?=×= (3)如果样本均值为120元，求总体均值 的95％的置信区间。 置信区间为： (),x x x x -?+?=()120 4.2,120 4.2-+=（，） 从总体中抽取一个n=100的简单随机样本,得到x =81，s=12。 要求： 大样本，样本均值服从正态分布：2,x N n σμ?? ???:或2,s x N n μ?? ??? : 置信区间为： 22x z x z αα?-+ ? (1)构建μ的90％的置信区间。 2z α=0.05z =，置信区间为：()81 1.645 1.2,81 1.645 1.2-?+?=（，） (2)构建μ的95％的置信区间。 2z α=0.025z =，置信区间为：()81 1.96 1.2,81 1.96 1.2-?+?=（，） (3)构建μ的99％的置信区间。 2z α=0.005z =，置信区间为：()81 2.576 1.2,81 2.576 1.2-?+?=（，） 某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7 500名学生中采取重复抽样方法随机抽取 36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据(单位：小时)： 解：
统计学（第四版）贾俊平第五章参数估计练习题答案 5.1（答案精确到小数点后两位） （1）已知：n=49，15σ=， 样本均值的标准误差X σ==（2）已知：置信水平：2 195%, 1.96 Z α α-==， 估计误差E=2 15 1.96 4.207 Z α== （3）已知120,X =置信水平：2 195%, 1.96Z αα-==，E=4.20 置信区间为()2 120 4.20115.80,124.20X Z α±=±= 5.2（答案精确到小数点后两位） （1）置信区间为2 8900 1.96(8646.97,9153.03)X Z α±=±= （2）置信区间为2 8900 1.96(8815.48,8984.52)X Z α±=±= （3）置信区间为2 8900 1.65(8760.55,9039.45)X Z α±=±= （4）置信区间为2 8900 2.58(8681.95,9118.05)X Z α±=±= 5.3 （1） 表5.3—1置信水平90%上网时间置信区间报告 上网时间
（2） （3）
5.4（答案精确到小数点后两位） （1）已知N=500,n=50，132n = A. 传统方法：32 0.6450 p == 比例置信区间为0.64(0.51,0.77)p Z ±=±= B. 现代方法：322 0.63504 p +==+ 比例置信区间为0.63(0.50,0.76)p Z ±=±= （2）已知0.8p =0.1≤ 得到：16n ≥ 5.5 （1）
5.6已知22 12121214,7,53.2,43.4,96.8,102.0n n X X s s ======， （1）置信水平195%α-=， 12μμ-置信区间为()(()122 1.86,17.74X X t v α -±= （2）置信水平199%α-=， 12μμ-置信区间为()(()122 0.19,19.41X X t v α -±= 5.7
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
第 7 章 参数估计
统计学
作者：张占贞 作者：张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
第 7 章 参数估计
§7.1 参数估计的一般问题 §7.2 一个总体参数的区间估计 §7.3 样本量的确定
作者：张占贞 作者：张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
学习目标
1. 估计量与估计值的概念 2. 点估计与区间估计的区别 3. 评价估计量优良性的标准 4. 一个总体参数的区间估计方法 5. 样本量的确定方法
作者：张占贞 作者：张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院
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§7.1 参数估计的一般 问题
7.1.1 估计量与估计值 7.1.2 点估计与区间估计 7.1.3 评价估计量的标准
作者：张占贞 作者：张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院
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估计量与估计值
作者：张占贞 作者：张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院
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估计量与估计值
(estimator & estimated value)
1. 估计量：用于估计总体参数的随机变量 – 如样本均值，样本比例, 样本方差等 – 例如: 样本均值就是总体均值μ 的一个估计量
? 表示 2. 参数用θ 表示，估计量用 θ
3. 估计值：估计参数时 计算出来的统计量的
具体值
– 如果样本均值 ?x =80，则80就是μ的估计值
作者：张占贞 作者：张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院
（二）区间估计 区间估计是指用样本指标、抽样误差和概率所构造的区间以估计总体指标存在的可能范围。 在进行区间估计的时候，根据所给定的条件不同，总体平均数和总体成数的估计有两条模式可供选择： 第一套：给定置信度要求，去推算抽样误差的可能范围。 第二套：根据已给定的抽样误差范围，求出概率保证程度。 1. 总体平均数的区间估计 按照第一套模式，根据置信度F t ()的要求，估计极限抽样误差的可能范围)(???或p x ，并指出估计区间（置信区间）。具体步骤是： （1）抽取样本，并根据调查所得的样本单位标志值，计算样本平均数x ；计算样本标准差；在大样本下用以代替总体标准差推算抽样平均误差μ。 （2）根据给定的置信度F t ()的要求，查《正态分布概率表》，求得概率度t 值。 （3）根据概率度t 和抽样平均误差μx 计算极限抽样误差的可能范围μx x t =?，并据以计算置信区间的上下限。 例14 麦当劳餐馆在7周内抽查49位顾客的消
费额（元）如下，求在概率95%的保证下，顾客平均消费额的置信区间。 15 24 38 26 30 42 18 30 25 26 34 44 20 35 24 26 34 48 18 28 46 19 30 36 42 24 32 45 36 21 47 26 28 31 42 45 36 24 28 27 32 36 47 35 22 24 32 46 26 第一步：根据样本计算样本平均数和标准差： x x n ==∑32 （元） S n x x ==-∑2 945().（元），用样本标准差代替总体 标准差σ=945.（元） 样本平均误差 x n μσ ===94549135..（元）
第7章参数估计 练习题 一、填空题（共10题，每题2分，共计20分） 1 ?参数估计就是用_________ 去估计____________ 。 2?点估计就是用_____________ 的某个取值直接作为总体参数的 _____________ 。 3. ______________________ 区间估计是在的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间 通常由样本统计量加减___________ 得到。 4. 如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总体参数真值的次数所占的 比例称为___________ ，也成为_____________ 。 5. __________________________________________________________ 当样本量给定时，置信区间的宽度随着置信系数的增大而__________________________ ;当置信水 平固定时，置信区间的宽度随着样本量的增大而_____________ 。 6. 评价估计量的标准包含无偏性、 ___________ 和____________ 。 7. 在参数估计中，总是希望提高估计的可靠程度，但在一定的样本量下，要提高估计 的可靠程度，就会___________ 置信区间的宽度；如要缩小置信区间的宽度，又不降 低置信程度，就要____________ 样本量。 8. 估计总体均值置信区间时的估计误差受总体标准差、 ___________ 和___________ 的影响。 9?估计方差未知的正态总体均值置信区间用公式_____________ ;当样本容量大于等于30时，可以用近似公式__________ 。 10?估计正态总体方差的置信区间时，用___________ 分布，公式为___________ 。 二、选择题（共10题，每题1分，共计10分） 1 ?根据一个具体的样本求出的总体均值的95%勺置信区间（）。 A. 以95%勺概率包含总体均值 B. 有5%勺可能性包含总体均值 C?一定包含总体均值
第7章 参数估计 练习题 7.1 从一个标准差为5的总体中抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。 （1） 样本均值的抽样标准差x σ等于多少? （2） 在95%的置信水平下，边际误差是多少？ 解：⑴已知25,40,5===x n σ 样本均值的抽样标准差79.04 10 40 5≈= = = n x σ σ ⑵已知5=σ,40=n ,25=x ，4 10= x σ，%951=-α 96.1025.02 ==∴Z Z α 边际误差55.14 10 * 96.1≈==n Z E σ α 7.2 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。 （1） 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准 误差； （2） 在95%的置信水平下，求边际误差； （3） 如果样本均值为120元，求总体均值μ的95%的置 信区间。 解.已知.根据查表得2/αz =1.96
（1）标准误差： 14.249 15== = n X σ σ （2）．已知2/αz =1.96 所以边际误差=2/αz * =n s 1.96* 49 15=4.2 （3）置信区间：)(2.124,8.11596.149 151202 =*± =±n s Z x α 7.3 从一个总体中随机抽取100=n 的随机样本，得到104560=x ，假定总体标准差85414=σ，构建总体均值μ的95%的置信区间。 96.12 =?Z 144.16741100 85414* 96.12 ==? ?n Z σ 856.87818144.16741104560.2 =-=-?n Z x σ 144 .121301144.16741104560. 2 =+=+?n Z x σ 置信区间：（87818.856，121301.144） 7.4 从总体中抽取一个100=n 的简单随机样本，得到81=x ，12=s 。 （1） 构建μ的90%的置信区间。 （2） 构建μ的95%的置信区间。 （3） 构建μ的99%的置信区间。 解；由题意知100=n , 81=x ,12=s . （1）置信水平为%901=-α，则645.12 =αZ . 由公式n s z x ? ±2 α974.181100 12645.181±=? ±= 即(),974.82,026.79974.181=±
极限抽样误差和区间估计.txt懂得放手的人找到轻松，懂得遗忘的人找到自由，懂得关怀的人找到幸福！女人的聪明在于能欣赏男人的聪明。生活是灯，工作是油，若要灯亮，就要加油！相爱时，飞到天边都觉得踏实，因为有你的牵挂；分手后，坐在家里都觉得失重，因为没有了方向。《极限抽样误差和区间估计》教案 2008-11-04 10:46:00 -------------------------------------------------------------------------------- 佘山成人学校沈玉霞 教学目标：1.掌握极限抽样误差的计算及在区间估计中的应用； 2.能理论联系实际进行模拟区间估计。 教学重点：1.极限抽样误差的计算； 2.区间估计方法的应用。 教学难点：模拟区间估计 教学方式：讲练结合 教学过程： 一、复习： 同学们，上节课我们学习了抽样误差，知道了，它是因抽样的随机性而产生的样本指标和总体指标之间的平均离差，它有两种形式即平均数抽样平均误差和成数的抽样平均误差，又由于抽样的方法不同分重复抽样和不重复抽样。现有一小题，请同学们计算一下它的抽样平均误差（出示小黑板）引出公式： 大家都知道，我们学习抽样调查，其中一个重要作用就是用样本指标来推断总体指标，那么为了使所推断的总体指标不会超出某一给定的抽样误差范围，这节课我们将学习“极限抽样误差和区间估计” 板书：第四节极限抽样误差和区间估计 二、新授
1、导入：生活中我们可以观察到这样的片断，“统一100方便面”的外包装上印有：净含量每包100g±5g，5 g即是它的极限抽样误差。表示每包方便面的重量在95 g—105g之间。如果扩大抽样误差范围，将能提高抽样推断的可信度，当方便面的净含量为100g±10g时，区间范围变大的，把握程度也大大提高了，因为包括在这个范围的方便面的数目增多了。 2、讲解：极限抽样误差的概念──样本指标和总体指标之间的抽样平均误差的可能范围称作极限抽样误差，用大写的希腊字母“Δ”表示，Δx表示平均数的极限抽样误差，Δp表示成数的极限抽样误差。由于总体指标是一个确定的量，抽样指标围绕总体指标上下变动，所以极限抽样误差从正负两个方面为抽样指标与总体指标之间划定了可能的误差范围。 即：x－Δx≤x≤x+Δx p—Δp≤p≤p+Δp 但在区间估计中，总体指标是未知的，而抽样指标是已知的。因而抽样极限误差的实际意义是总体指标落在样本指标的误差范围内，即： x－Δx≤X≤x+Δx p—Δp≤P≤p+Δp 3、讲解：抽样估计的可靠程度───极限抽样误差只是指定了总体指标落在抽样指标范围的一个可能的误差范围内。也就是说，总体指标可能在这个误差范围之内，也可能不在这个范围之中。那么，落在这个范围中的可能性有多大？这就要求我们在考虑了抽样误差可能范围的同时，还要研究抽样估计的可靠程度，对抽样估计的结果给予一定的概率保证。 数理统计已证明： 当极限抽样误差Δ为1?时把握程度为68.27% 当极限抽样误差Δ为2?时把握程度为95.45% 当极限抽样误差Δ为3?时把握程度为99.73% 这里扩大或缩小抽样误差范围的倍数叫概率度，用“t”表示，即上例中的1、2、3，所以说，所谓极限抽样误差即是t倍的抽样误差。 数量关系式：Δ=t·? 举例1、平均数极限抽样误差“Δx”与区间估计“x±Δx” 公式： x－Δx≤X≤x+Δx
第6章总体率的区间估计和假设检验 ?掌握率的抽样误差的概念和意义 ?掌握总体率区间估计的概念意义和计算方法 ?掌握率的U检验的概念和条件，计算方法 ?第一节率的抽样误差与总体率的区间估计 一、率的抽样误差：在同一总体中按一定的样本含量n抽样,样本率和总体率或样本率之间也存在着差异，这种差异称为率的抽样误差。 例6.1 检查居民800人粪便中蛔虫阳性200人，阳性率为25%，试求阳性率的标准误。 本例：n=800，p=0.25，1-p=0.75， % 53 .1 0153 .0 800 75 .0 25 .0 = = ? = p S 二、总体率的区间估计 ㈠正态分布法 样本含量n足够大，np与n(1-p)均≥5时, 例6.2 求例6.1当地居民粪便蛔虫阳性率的95%可信区间和99%的可信区间。 95%的可信区间为：25%±1.96×1.53% 即（22.00%，28.00%） 99%的可信区间为：25%±2.58×1.53% 即（21.05%，28.95%）㈡查表法 当样本含量较小（如n≤50），np或n(1－p)<5时，样本率的分布呈二项分布，总体率的可信区间可据二项分布的理论求得。 第二节率的u检验 应用条件：样本含量n足够大，np与n(1－p)均≥5 。 此时，样本率p也是以总体率为中心呈正态分布或近似正态分布的。 一、样本率与总体率比较的u ?u值的计算公式为： 例6.5 根据以往经验，一般胃溃疡病患者有20%(总体率)发生胃出血症状。现某医生观察65岁以上胃溃疡病人152例，其中48例发生胃出血，占31.6%（样本率）。问老年胃n p ) 1(π π σ - = n p p S p ) 1(- = p S u p α ± n p p u p ) 1 ( | | | | π π π σ π - - = - =
第5章 参数估计 ? 1.从一个标准差为 5的总体中抽出一个容量为 40的样本，样本均值为 25。 (1) 样本均值的抽样标准差(T x 等于多少？ (2) 在95%的置信水平下，允许误差是多少？ 解：已知总体标准差b =5，样本容量n =40,为大样本，样本均值 x =25, (2)已知置信水平1 - a =95%，得Z a /2 =1.96 , ? 2?某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期 3周的时间里选取 49名顾客 组成了一个简单随机样本。 (3) 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差； (4) 在95%的置信水平下，求允许误差； (5) 如果样本均值为120元，求总体均值 95%的置信区间。 解：(1)已假定总体标准差为 b =15元， (2)已知置信水平1 - a =95%，得Z a /2 =1.96 , (3)已知样本均值为 x =120元，置信水平1- a =95%，得 乙/2 =1.96 , 可知，如果样本均值为 120元，总体均值95%的置信区间为(115.8 , 124.2 )元。 ? 3.某大学为了解学生每天上网的时间，在全校 7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽 取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据(单位：小时)： 3.3 3.1 6.2 5.8 2.3 4.1 5.4 4.5 3.2 4.4 2.0 5.4 2.6 6.4 1.8 3.5 5.7 2.3 2.1 1.9 1.2 5.1 4.3 4.2 3.6 0.8 1.5 4.7 1.4 1.2 29 35 2.4 05 36 2.5 (1 )样本均值的抽样标准差 =0.7906 于是，允许误差是 E = Z a /2 b ,n =1.96X 0.7906= 1.5496。 则样本均值的抽样标准误差为 (T 15 CT - = ----- = ------- =2.1429 x ..n 49 于是，允许误差是 E = Z a /2 =1.96X 2.1429=4.2000。 这时总体均值的置信区间为 Z a /2 =120± 4.2= 124.2 115.8
总习题七
1．设元件寿命X 服从正态分布),(2 σμN ，其中参数μ、2 σ都是未知的，现随机抽取6 个元件，测得其使用寿命（单位：小时）分别为：1498 1502 1578 1366 1454 1650 试求总体均值μ和方差2 σ 的矩估计值． 解：,?X =μ 故1508?=μ，() ()222E X E X σ=-, 故，2 2 218046.67.A A σ∧ =-= 2．电阻的使用寿命X 服从参数为β的指数分布，参数β未知。今抽查了6只电阻测得到以下数据（单位：年）：4.24.31.38.47.29.1，求参数β的矩估计值． 解：()1 ,E X β= 1?,X β=1?0.32793.05 β== 3.设一射手向某目标射击,直到击种目标为止,假定其命中率为p ,用X 表示射手射击的次数,写出X 的分布律.如果n X X X ,,,21Λ是取自X 的样本,求p 的矩估计和极大似然估计． 解：(1)X 的分布率为{}() 1 1,1,2,,k P X k p p k -==-=L ()() () 1 1 1 1 11k k k k E X k p p p k p ∞ ∞ --===-=-∑∑, 令1, q p =-()1 1 ,k k kq f q ∞ -==∑则()1 1 1 ,1q q k k k k q f t dt kt dt q q ∞ ∞ -===== -∑∑?? 故,()() 21,11q f q q q '??== ?--??()()2 1 ,1p E X p q ==-1?.p X = (2){}() 1 1,k x k P X x p p -==-()() ()1 1 1 11,n k k k n x x n n k L p p p p p =--=∑=-=-∏ ()()1ln ln ln 1,n k k L p n p x n p =?? =?+-?-?? ??? ?? ∑ 令 ()1ln 01n k k x n d L p n dp p p =-???????? =-=-∑,故1 ?.p X = 4．设总体X 的概率密度为