慈溪中学
2015学年
第一学期
期中检查高三文科数学试卷
选择题部分
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集为R U =,集合2{230}M x x x =--≤,2{1}N y y x ==+,则(C )U M N ? 为 ( )
A. {11}x x -≤< B . {11}x x -≤≤ C. {13}x x ≤≤ D. {13}x x <≤ 2.“α是第二象限角”是“sin tan 0αα<”的 ( )
A.充分不必要条件 B .必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知α,β是两个不同的平面,m ,n 是两条不同的直线,则下列正确的是 ( )
A .若m //α,α β= n ,则m //n
B .若m ⊥α,n ?β,m ⊥n ,则α⊥β
C.若α//β,m ⊥α,n //β,则m ⊥n
D.若α⊥β,α β= m ,m //n ,则n //β 4.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且?==60,1A a ,若三角形有两解,则b 的取值范围为( )
A.()1,0错误!未找到引用源。 B . )3
3
2,
1( C.错误!未找到引用源。 D.)2,3
3
2(
5.设点M 0(,1)x ,若在圆O :22
1x y +=上存在点N ,使得4
OMN π
∠=
,则0x 的取值范围是
( )
A .[]1,1-
B .11,22??-??
??
C.??
D.???
?
6.点F 是抛物线2
:2(0)x py p τ=>的焦点,1F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右
焦点,若线段1FF 的中点P 恰为抛物线τ与双曲线C 的渐近线在第一象限内的交点,则双曲线C 的离心率e 的值为 ( ) A
9
8
7.如图,四边形OABC,ODEF,OGHI 是三个全等的菱形,3
COD FOG IOA π
∠=∠=∠=
设
OD a = ,OH b = ,已知点P 在各菱形边上运动,且OP xa yb =+
,,x y R ∈, x y +的
最大值为( )
A .3
B .
D. 6
第7题图 第9题图 第11题图
8.设()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,2()f x x =
,若对任意的[]1,1x a a ∈-+关
于x 的不等式22
()()f x a a f x +>恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.(0, 2] B. (0, 4] C. (0, +∞) D. [2, +∞)
非选择题部分
二、填空题:本大题共7小题,共36分。
9.函数
()sin()(0,0,||)2f x A x A πω?ω?=+>><的图像向左平移3
π
个单位,所得曲线的一部分如上图所示,()f x 的周期为 ,? 的值为 . 10.计算:=?+2
1
log 3log 22log
3
22
, 设12(0)()(1)2(0)
x x f x f x x +?≥=?++,则2015
()2f -= . 11.若上图为某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、
俯视图,则其正视图的面积为 ,三棱锥D -BCE 的体积为 .
12.已知实数y x ,满足约束条件??
?
??≤-+≤≥092,,0y x x y x 时,所表示的平面区域为D ,则y x z 3+=的
最大值等于 ,若直线)1(+=x a y 与区域D有公共点,则a 的取值范围是 . 13.已知0,0,21a b a b >>+=,则11
343a b a b
+++取到最小值为 .
三、解答题:本大题共5小题,共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本题满分15分)
已知向量=sin ,cos 6m x x π????- ? ?????
,()cos ,cos n x x =
.若函数()14f x m n =?- .
(Ⅰ) 求,42x ππ??
∈-
????
时,函数()f x 的值域; (Ⅱ) 在ABC ?中,a b c 、、分别是角A B C 、、的对边,若()14
f A =且=2AC AB -
,求
BC 边上中线长的最大值.
17.(本题满分15分)
已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且(2)
(*)4
n n n a a S n N +=∈. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)设1003n n n b a =-?,求数列{}n b 的前n 项和.
18.(本题满分15分)
如图,三棱锥P ABC -中,BC ⊥平面PAB .6PA PB AB BC ====,点M ,N 分别为PB ,BC 的中点. (Ⅰ)求证:AM PBC ⊥平面;
(Ⅱ)E 在线段AC 上的点,且//平面AM PNE . ①确定点E 的位置;
②求直线PE 与平面PAB 所成角的正切值.
19 、(本题满分15分)已知抛物线C 的方程为2
2(0)y px p =>,点(1,2)R 在抛物线C 上. (Ⅰ)求抛物线C 的方程;(Ⅱ)过点(1,1)Q 作直线交抛物线C 于不同于R 的两点,A B ,若直线
,AR BR 分别交直线:22l y x =+于,M N 两点,求MN 最小时直线AB 的方程.
P
A
B
M
N
C
E
20.(本题满分15分) 设已知函数R a a x
a x x f ∈+-
-=,4
)(, (Ⅰ)当[]4,1∈x 时,求函数)(x f 的最大值的表达式)(a M
(Ⅱ)是否存在实数a ,使得3)(=x f 有且仅有3个不等实根,且它们成等差数列,若存在,求出所有a 的值,若不存在,说明理由。
慈溪中学
2015学年
第一学期
期中检查高三文科数学答案
一、选择题: 本大题共8小题, 每小题4分, 共40分。在每小题给出的四个选项中, 只有一
项是符合题目要求的。
二、填空题:本大题共7小题,9~12小题每题6分,其它小题每题4分,共36分 9.
π; /3π- 10. 2 ; 2016
11.
4 ;
83 12. 12; 34
a ≤
13. (
/5 14. 1/2+. 53n -
三、解答题: 本大题共5小题, 共74分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。 16.(本题满分14分) 答案:(1)()
1sin 226f x x π??
=
+ ???
……3分, sin 26x π?
?+ ???的范围是??????…….5分 值域12??
???
?………7分; (2)3
A π
=
………9分,由224b c bc +-=得22
8b c +≤………………12分
4分 17. 解:(Ⅰ)由(2)
(*)4
n n n a a S n N +=
∈, n =1,11a = ………………1分 n 用1n -代,
两式相减得22112()n n n n a a a a ---=+, ……………… 3分 因为n a 正项数列,12(2)n n a a n --=≥ ………………5分
n a 为等差数列,得2n a n =. ……………… 6分
(Ⅱ)10023,12
1002323100,3
n n
n n
n n b n n n ?-≤≤=-=?-≥? ………………8分 23n n C n =?,错位相减法可以得23n n C n =?的前n 项和'n S
'2'21
234323323(22)323
n n n n n S n S n n +=?+?++?=
?++-?+? '
113()322n n S n +?=-?+. …………… 11 12n ≤≤,n S =11
3
()31002
2
n n n +--?+-
…………… 13 3n ≤,n S =113()310022n n n +-?-++316=111
()310031722
n n n +-?-+ (15)
18.答案:
(1) PA AB AM PB PM MB BC PAB AM BC AM PBC AM PAB PB BC B =?
??⊥??
=??
?⊥??
?⊥?⊥?????
?
=???
平面平面平面 ……… 5分
(2)连MC 交PN 于F ,则F 是PBC ?的重心,且1
3
MF MC =
, ////AM PEN AMC PEN EF AM EF AM AMC ?
?
=?????
平面平面平面平面
所以1
23
AE AC =
=………… 9分
作EH AB ⊥于H ,则//EH BC ,所以EH PAB ⊥平面,
所以,EPH ∠是直线PE 与平面PAB 所成角. …………… 12分 且123EH BC =
=,123AH AB ==
, PH ∴=
,tan 7
EH EPH PH ∴∠==. 所以,直线PE 与平面PAB
所成角的正切值为7
. …………… 15分 (本题亦可用空间向量求解)
19解:(Ⅰ) 点(1,2)R 在抛物线C 上,2p ∴=,即抛物线C 的方程为2
4y x =(2分)
(Ⅱ)设1122(,),(,)A x y B x y ,直线AB 的方程为 (1)1(0)x m y m =-+≠
由2
(1)1
4x m y y x
=-+??
=?消去x ,整理得244(1)0y my m -+-=
121244(1)
y y m
y y m +=?∴?
?=-? (3分)
21y y -==(4分)
设直线AP 的方程为 1(1)2y k x =-+
由1(1)222y k x y x =-+??
=+?
解得点M 的横坐标1
12M k x k =-,
又11121112241214
y y k y x y --=
==-+-111
2
2M k x k y ∴==-- (7分) 同理点N 的横坐标2
2
N x y =-
(8分)
M N MN x ∴=
-1222
y y =+=
===(10分)
令1,0m t t -=≠,则1m t =+
MN ∴== (12分) 当0t >
时,MN ∴=>(13分) 当0t <
时,MN ∴= (14分) 即当2t =-,1m =-时MN
此时直线AB 的方程为20x y +-=.(15分)
20.(本题满分15分)
解:(1)函数[)[]
???
???
?
∈-∈--=4,,4,1,42)(a x x x a x x
x a x f ⅰ)1≤a ,x
x x f 4
)(-
=在[]4,1单调递增,所以3)4()(max ==∴f x f ----------1分