平行轴定理 转动惯量与转动轴的位置有关。 绕着一个固定轴转动的物体的动能是 2z I 2 1K ω= 之前我们可以将动能用质心的动能和相对于质心的内能之和的形式表示出来： int 2cm K Mv 21K += 一个刚体上的两个平行轴。Z 轴是固定的，质心轴绕着z 轴运动。相对于任意一个轴物体都处于运动状态。 考虑绕不经过质心的固定轴（假设是z 轴）的转动。 质心绕着这个固定轴转动，设它与轴之间的距离为d ： 因此 ωd v cm = 222cm Md 2 1Mv 21ω= 一个物体以角速度ω绕固定轴z 轴的转动同样可以视为以同样的角速度绕平行于z 轴且通过质心的固定轴的转动。也就是说，绕z 轴的转动等同于绕过质心的平行轴的转动与质心的转动的叠加。 绕通过质心的固定轴转动的动能为： 2cm int I 2 1K ω= 所以 222cm Md 2 1I 21K ωω+= 22cm 2z ]Md I [21I 21ωω+= 两相比较可得： 2cm z Md I I +=，这就是平行轴定理。 例：木棒
细木棒绕着它长度的中点转动，转动惯量为： 2cm ML 12 1I = ——那么，当木棒绕着它的一端转动时，它的转动惯量是多少？ 3 ML I )2 L (M 12ML I 2 L d 2 22=+== 垂直轴定理 一个薄平板，它可以绕着三个坐标轴中的任意一个转动。 表明了一个平板状物体绕着它的三个互相垂直的坐标轴转动的转动惯量之间的关系。 考虑一个薄板，它可以绕着它的三个垂直的坐标轴中的任意一个转动。 设与之相对应的转动惯量分别为 z y x I I ,I 和假设平板处于xy 平面上，从z 轴到参考点P 的垂直距离为 22y x R += ∫∫+==dV )y x (dV R I 222z ρρ ∫=dV y I 2x ρ ∫=dV x I 2y ρ
设计用两种方案验证平行轴定理 [实验目的] 1、学会用三线摆测量圆柱体的转动惯量； 2、学会用两种方案验证平行轴定理。 [实验仪器] 自行决定。 [实验原理] 同一物体绕不同转轴其转动惯量不同。 平行轴定理： 对二平行转轴来说，物体绕任意转轴的转动惯量值I ，等于绕通过质心的平行转轴的 转动惯量值0I ，加上该物体的质量m 和二轴间距离d 平方的积，即20md I I +=。 验证方案一： 将两个形状相同、质量均为圆柱m 的圆柱体，对称地放在下盘上，距离圆盘中心为d ， 则两圆柱体绕圆盘中心轴的的转动惯量为： 下盘圆柱下盘圆柱）（I T H gRr m m I -+=2242π （1） 理论上按平行轴定理所得的公式为： 222 21d m D m I 圆柱圆柱圆柱理论）（+= （2） 验证方案二： 1、将完全相同的两圆柱体，对称地放在下盘中心两侧，测量其周期。 2、保持此二圆柱体对下盘中心对称，逐次把它们之间距离增加1cm ,2cm ,3cm ……直到移到下盘边缘为止，测量相应的周期。 根据平行轴定理，两圆柱体绕中心轴的转动惯量为)(22md I +自，自I 是每一圆柱体 绕自身中心轴的转动惯量。根据讲义中的公式，可得： )]2(2[2(40222 I I d m Rrg m m H T +++=自身圆柱圆柱下盘）π （3） 可见，2T 和2d 成正比。 3、用测得的各d 值所对应的T 值，作22d T -图，应为一条直线。从图上求出截距 和斜率，将二者比值和用m I I 220 +自身算出的值进行比较，可作出结论。 [实验内容] 一、 用方案一验证平行轴定理。
转动惯量指导书 力学实验室 2016年3月
转动惯量的测量 【预习思考】 １．转动惯量的定义式是什么？ ２．转动惯量的单位是什么？ ３．转动惯量与质量分布的关系？ ４．了解单摆中摆长与周期的关系？ ５．摆角对周期的影响。 【仪器照片】 【原理简述】 1、转动惯量的定义 构件中各质点或质量单元的质量与其到给定轴线的距离平方乘积的总和，即
∑ =2 J mr（1）转动惯量是刚体转动时惯性的量度，其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。 图1 电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检 流计）或电量（冲击电流计）。在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形 设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。 2、转动惯量的公式推导 测定刚体转动惯量的方法很多，常用的有三线摆、扭摆、复摆等。本实验采用的是三线摆，是通过扭转运动测定物体的转动惯量，其特点是无力图像清楚、操作简便易行、适合各种形状的物体，如机械零件、电机转子、枪炮弹丸、电风扇的风叶等的转动惯量都可用三线摆测定。这种实验方法在理论和技术上有一定的实际意义本实验的目的就是要求学生掌握用三线摆测定物体转动惯量的方法，并验证转动惯量的平行轴定理。 两半径分别为r'和R'（R'>r'）的刚性均匀圆盘，用均匀分布的三条等长l的无弹性、无质量的细线相连，半径为r'的圆盘在上，作为启动盘，其悬点到盘心的距离为r；半径为R'的圆盘在下，作为悬盘，其悬点到盘心的距离为R。将启动盘固定，则构成一振动系统， 称为三线摆（图2）。当施加力矩使悬盘转过角 θ后，悬盘将绕中心轴O O''做角简谐振动。 A A' O O' O'' r R B θ h2 h1 H . . . C'
转动惯量的测定与平行轴定理验证的实验研究 摘要: 采用三线摆, 双线摆, 扭摆, 测量不同刚性物体的转动惯量, 并进一步验证平行轴定理, 同时应用扭摆的特性测量切边模量。 关键字: 转动惯量; 平行轴定理; 切变模量 转动惯量是刚体转动惯性的量度, 它与刚体的质量分布和转轴位置有关。根据物体的规则与否, 转动惯量的获得分为理论公式法与实验法。对于规则物体, 测量其尺寸和质量, 即可经过理论公式计算获得; 对于不规则、 质量分布不均匀的物体则要经过实验测定。 一． 实验原理 （一） 双线摆 本实验中, 认为双线摆是纯转动的理想模型。这样, 双线摆摆锤的运动可分解为: 水平面上的转动以及竖直方向上的振动。 设均匀细杆质量、 长为l 、 绕经过质心竖直轴转动的惯量为; 两相同圆柱体 的质量之和为2m 1,之间距离为2c; 双绳之间 距离为d, 绳长L 。 由右图 几何关系分析, 当很小时, , 得 81 )2cos -L(1=h 2θθL = ( 1) 图2几何分析 图１双线摆结
由上式可得系统的势能为 2 001 8p E m gh m gL θ== ( 2) 杆的转动动能为2 0)(21dt d I E k θ = ( 3) 由能量守恒得 22 000011() 28d I m gL m gh dt θθ+= ( 4) 用( 4) 关于时间求导, 并除以, 得 2020 04m gL d dt I θθ+= ( 5) 解上面的简谐振动方程, 得杆的转动惯量: 2020 016T gL m I π= ( 6) 测量物体的转动惯量: 202()16x m m gL I T π+= (7) 待测物体的转动惯量为: 22200000222()()161616x x x m m gL m m gL m gL I T I T T πππ++=-=- (8) （二） 三线摆和扭摆 ① 三线摆 左图是三线摆示意图。上、 下圆盘均处于水平, 悬挂在
第三章三角形公式定理 第三章三角形 1 三角形的有关概念和性质 1.1三角形的内角和 在同一平面内,由一些不在同一条直线上的线段首位顺次相接所围成的封闭图形叫做多边形.组成多变形的那些线段叫做多边形的边.相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.多变形相邻两边所夹的角叫做多边形的内角,简称多边形的角.多变形的角的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做多边形的外角. 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180 在原来图形上添画的线叫做辅助线 依据三角形内角的特征,对三角形进行分类：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形. 在直角三角形中,夹直角的两边叫做直角边,直角的对边叫做斜边. 推论1 直角三角形的两个锐角互余 推论2 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 1.2三角形的有关线段 三角形一个角的平分线和对边相交,角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线 连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线 从三角形的一个顶点向其对边或对边的延长线画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高 2 全等三角形 2.1全等三角形的证明 边边边有三边对应相等的两个三角形全等 边角边有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 角边角有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 定理有两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 2.2直角三角形全等的判定 定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 3 等腰三角形 3.1等腰三角形及其性质 三角形的三边,有的三边互不相等,有的有两边相等,有的三边都相等.三边都不相等的三角形叫做不等边三角形,有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边都相等的三角形叫做等边三角形.在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角 定理等腰三角形的底角相等 推论等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 定理有两个角相等的三角形是等腰三角形 定理一个三角形是等腰三角形的充要条件是这个三角形有两个内角相等 等边三角形定理1 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60 等边三角形定理2 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形定理3 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形
常见几何体]转动惯量公式表
对于细杆 当回转轴过杆的中点并垂直于杆时；J=m(L^2)/12 其中m是杆的质量，L是杆的长度。 当回转轴过杆的端点并垂直于杆时：J=m(L^2)/3 其中m是杆的质量，L是杆的长度。
对于圆柱体 当回转轴是圆柱体轴线时；J=m(r^2)/2 其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。 对于细圆环 当回转轴通过中心与环面垂直时，J=mR^2； 当回转轴通过边缘与环面垂直时，J=2mR^2； R为其半径 对于薄圆盘 当回转轴通过中心与盘面垂直时，J=﹙1/2﹚mR^2； 当回转轴通过边缘与盘面垂直时，J=﹙3/2﹚mR^2； R为其半径 对于空心圆柱 当回转轴为对称轴时，J=﹙1/2﹚m[（R1）^2+（R2）^2]； R1和R2分别为其内外半径。 对于球壳 当回转轴为中心轴时，J=﹙2/3﹚mR^2； 当回转轴为球壳的切线时，J=﹙5/3﹚mR^2； R为球壳半径。 对于实心球体 当回转轴为球体的中心轴时，J=﹙2/5﹚mR^2； 当回转轴为球体的切线时，J=﹙7/5﹚mR^2； R为球体半径 对于立方体 当回转轴为其中心轴时，J=﹙1/6﹚mL^2； 当回转轴为其棱边时，J=﹙2/3﹚mL^2； 当回转轴为其体对角线时，J=（3/16）mL^2； L为立方体边长。 只知道转动惯量的计算方式而不能使用是没有意义的。下面给出一些（绕定轴转动时）的刚体动力学公式。 角加速度与合外力矩的关系：
角加速度与合外力矩 式中M为合外力矩，β为角加速度。可以看出这个式子与牛顿第二定律是对应的。 角动量： 角动量 刚体的定轴转动动能： 转动动能 注意这只是刚体绕定轴的转动动能，其总动能应该再加上质心动能。 只用E=（1/2）mv^2不好分析转动刚体的问题，是因为其中不包含刚体的任何转动信息，里面的速度v 只代表刚体的质心运动情况。由这一公式，可以从能量的角度分析刚体动力学的问题。 平行轴定理：设刚体质量为m，绕通过质心转轴的转动惯量为Ic，将此轴朝任何方向平行移动一个距离d，则绕新轴的转动惯量I为： I=Ic+md^2 这个定理称为平行轴定理。 一个物体以角速度ω绕固定轴z轴的转动同样可以视为以同样的角速度绕平行于z轴且通过质心的固定轴的转动。也就是说，绕z轴的转动等同于绕过质心的平行轴的转动与质心的转动的叠加
转动惯量与刚体定轴转动定律 先阐明几个概念： 刚体：简单的说，即形变可以忽略的物体。作为理想的物理模型，刚体的特征是有质量、大小和形状，而在处理时我们往往不考虑其形变（但有时会出现断裂、破碎或者磨损的情况）。 力矩：和力类似，并不好直接定义，可以简单的认为是力乘以力臂或者M F r =?（关于叉乘，请自行百度）。 转动惯量：度量转动时惯性的量。详见后文。 下面是准备工作： 定理：无外力系统内各质点相互作用的合力矩为0 证： ①考虑两个质点的系统： 如图， 由牛顿第三定律， 120F F +=， 且1221()F F r r - 而，合力矩=1221121()0F r F r F r r ?+?=?-= 成立。 ②假设，含k 个质点的无外力系统其内力的合力矩为0 ③对于含（k+1）个质点的无外力系统，
分为两组，一组含k 个质点，另一组则为第（k+1）个质点。 含k 个质点的一组，其内力的合力矩为 而该组任一质点与第（k+1）个质点的相互作用合力矩也为 0 故含（k+1）个质点的无外力系统其内力的合力矩为 0 因而，无外力系统内各质点相互作用的合力矩为 0 推论：对系统施加M 的外力矩，有i M M =∑ （i M 为系统内第i 个质点所受力矩。） 证： 将施加外力的质点纳入系统，由上， 则有，0i M M -+=∑ 故，i M M =∑ 刚体定轴转动定律：M I β= （M 为合外力矩，β为角加速度，I 为转动惯量（见下）。） ①考虑只有一个质点， 由牛顿第二定律： ()r F ma m a a θ==+ （其中，,r a r a r θ⊥） 则 2 ()()[()()]r F r m a a ma m r r m r r r r mr θθββββ ?=+==??=-= 『1』 ②考虑多个质点时， 对于系统中第i 个质点，
数学怎样证明平行定理 平行定理是数学的规律，那该怎么证明呢?那是有什么的证明规律吗?下面就是学习啦给大家的怎样证明平行内容，希望大家喜欢。 设有两两垂直的转轴x、y、z，则由定义得：Jx=m(y^2+z^2)，Jy=m(x^2+z^2)，Jz=m(x^2+y^2)，所以 Jx+Jy+Jz=2m(x^2+y^2+z^2)=2mr^2，此为垂直轴定理。在沿z轴向一边平移d得到x'、y'、z轴，则r'^2=r^2+d^2，所以 Jx'+Jy'+Jz=2mr'^2=2m(r^2+d^2)，与上式相减得 (Jx'-Jx)+(Jy'-Jy)=2md^2，因为x、y轴平移方式相同，所以应有Jx'-Jx=Jy'-Jy，所以Jx'-Jx=Jy'-Jy=md^2，即为平行轴定理。 定理和判定都可以求的根据定理来就是:两组对边分别平行根 据判定来:a一组对边平行且相等b对角线互相平分c对角相等d两组对边分别相等 2 1,两组对边分别平行2，两组对边分别相等3，一组对边平行且相等4，对角线互相平分 一，两组对边分别平行二，两组对边分别相等三，一组对边平行且相等四，对角线互相平分五，对角相等! 沿着一条对角线折叠，就可以得到这条对角线平分另一条对角线，再沿着一条对角线折叠，就可以得到另条对角线平分这一条对角线。这只是演示，不叫证明。因为两条对角线将平行四边形分割成两
对全等的三角形任取其中一对因为两三角形全等的所以可得两三角形三条对应边分别相等(之前的都要用内错角来 1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形 1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 4、对角线互相平分的四边形是平行四边形 2 1.画个圆，里面画个矩形 2.假设圆里面的是平行四边形 3.因为对边平行，所以4个角相等 4.平行四边四个角之和等于360， 5.360除以4等于90 6.所以圆内平行四边形为矩形.. 3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形; (2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。)(第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边
初中数学几何基本定理 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3、同角或等角的补角相等 4、同角或等角的余角相等 5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9、同位角相等，两直线平行 10、内错角相等，两直线平行 11、同旁内角互补，两直线平行 12、两直线平行，同位角相等 13、两直线平行，内错角相等 14、两直线平行，同旁内角互补 15、定理三角形两边的和大于第三边 16、推论三角形两边的差小于第三边 17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18、推论1 直角三角形的两个锐角互余 19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21、全等三角形的对应边、对应角相等 22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36、推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
全国中学生物理竞赛公式 全国中学生物理竞赛 力学 公式 一、运动学 1.椭圆的曲率半径 22 12,b a a b ρρ== 2.牵连加速度 '2'()''a a r v r a a v βωωωωβ=+?+?+??其中为绝对加速度为相对加速度 为转动系的角速度,为转动系的角加速度 为物体相对于转动系的速度 3.等距螺旋线运动的加速度 22 v v a R ρ ==⊥ 二、牛顿运动定律 1.科里奥利力 2'F ma m v ω=-=-?科里奥利 三、动量 1.密舍尔斯基方程（变质量物体的动力学方程） ()dv dm m F u v dt dt =+-（其中v 为主体的速度，u 为即将成为主体的一部分的物体的速度） 四、能量 1.重力势能 GMm W r =- （一定有负号，而在电势能中，如果为同种电荷之间的相互作用的电势能，则应该为正号，但在万有引力的势能中不存在这个问题，一定是负号！！！！） 2.柯尼希定理 21 ''2 k k c k kc E E M v E E =+=+（E k ’为其在质心系中的动能） 3.约化质量 12 12 m m m m μ= + 4.资用能（即可以用于碰撞产生其他能量的动能（质心的动能不能损失（由动量守恒决定））） 资用能常用于阈能的计算 221212 1122kr m m E u u m m μ= =+（u 为两个物体的相对速度） 5.完全弹性碰撞与恢复系数 （1）公式
12122 11221211 212 ()2()2m m u m u v m m m m u m u v m m -+=+-+= + （2）恢复系数来表示完全弹性碰撞 112211222112 m v m v m u m u u u v v +=+-=-（用这个方程解比用机械能守恒简单得多） 五、角动量 1.定义 L p r mv r =?=?u r u r r r r 2.角动量定理 dL M I dt β= =（I 为转动惯量） 3.转动惯量 2i i i I m r =∑ 4.常见物体的转动惯量 （1）匀质球体225 I mr = （2）匀质圆盘（圆柱）2 12I mr = （3）匀质细棒绕端点213I mr = （4）匀质细棒绕中点21 12I mr = （5）匀质球壳2 23 I mr = （6）薄板关于中心垂直轴221 ()12 I m a b =+ 5.平行轴定理 2D C I I md =+（I c 为相对质心且与需要求的轴平行的轴） 6.垂直轴定理 （1）2 2 x y z i i i I I I m r ++=∑ （2）推论：一个平面分布的质点组，取z 轴垂直于此平面，x ，y 轴取在平面内，则三根轴的转动惯量之间有关系 z x y I I I =+（由此可以推出长方形薄板关于中心垂直轴的转动惯量221 ()12 I m a b = +) 7.天体运动的能量 2GMm E a =- （a 为椭圆轨道的半长轴，当然，抛物线轨道的能量为0，双曲线轨道的能量大于0） 8.开普勒第三定律：22 34T a GM π=
证明垂直的众多方法技巧 垂直是几何的知识，那垂直该怎么证明呢?证明的方法是怎样的呢?下面就是百分网给大家整理的怎么证明垂直内容，希望大家喜欢。 证明垂直的方法 1、 利用勾股定理的逆定理证明 勾股定理的逆定理提供了用计算方法证明两线垂直的方法，即证明三角形其中一个角等于，由于利用代数的方法，只要能计算出待证直角的对边的平方和等于另两边的平方和即可。 2、 利用“三线合一”证明 要证二线垂直，若能证二线之一是等腰三角形的底边，另一线是等腰三角形顶角的平分线或底边上的中线，则二线互相垂直。 3、 利用直角三角形中两锐角互余证明 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。 4、 圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 5、
利用菱形的对角线互相垂直证明 菱形的对角线互相垂直。 6、 利用全等三角形证明 主要是找出两线所成的角中有两角是邻补角,并且证明这两角相等,于是就可知这两角都为,从而直线垂直. wps演示启用垂直标尺的方法 一、在电脑桌面的wps文字程序图标上双击鼠标左键，将其打开运行。如图所示; 二、在打开的wps表格窗口中，点击左上角的“wps演示”命令选项。如图所示; 三、在弹出的“wps演示”命令选项对话框中，选择并点击“选项”命令选项。如图所示; 四、点击“选项”命令选项后，这个时候会弹出工作簿的“选项”对话框。如图所示; 五、在“选项”对话框中，选择左侧窗格的“视图”选项并点击它。如图所示; 六、在“视图”选项的右侧窗格中，找到“显示”组中的“垂直标尺”选项，并将其勾选，然后再点击“确定”按钮即可。如图所示; 用垂直造句 1)实际证明，贮冷设备中蒸发端以螺旋沿垂直上下延伸结构造型结冰效果最好。 2)阐述哈锅超超临界锅炉的设计特点，对蒸汽参数垂直水冷壁设计过热器与再热器的布置和高热强钢启动系统等作了分析与讨论。 3)还可以设置组合框下拉部分的垂直大小。 4)利用JGYW2型双单摆振动示波装置对两个相互垂直方向的同频率欠阻尼振动的合成进行了实验研究和理论分析，得到了欠阻尼振动合成的部分图形和表达式。
由上节的定义可知，刚体的转动惯量矩(或回转半径) 与惯性积和连体基及其基点的定义有关。从例 5.1-1 可以看到。对于同一个基点不同方位的两个连体基，一般情况下刚体关于两基的转动惯量与惯性积各不相同，但它们有一定的关系( 详见 6.4 节) 。 本节讨论当基点改变，连体基的方向不变时刚体的转动惯量间的关系。 在刚体的质心C上建立另一个与平行的连体基。质心C相对于O的矢径为。质点P k 相对 于点O与C 的矢径分别为与。由图5-2 可见，这些矢径有如下关系 图5-2 不同基点转动惯量的关系 (5.1-5) 由于两基平行，该矢量式在基上的坐标表达式为 (5.1-5') 其中为质心C 矢径在基上的坐标阵，为P k 的矢径在基上的坐标阵。将式(5.1-5') 代入(5.1-2c) ，有 (5.1-6) 考虑到矢径由质心C出发，由质心的矢径与质点矢径间的关系式(2.3-24) ，有
在连体基 的坐标式为 ，， 因此式 (5.1-6) 右边的后两项为零。根据定义，该式右边第一项为刚体相对于 J Cz ，即 式(5.1-9) 与 (5.1-10) 描述的是刚体转动惯量的平行轴定理：刚体对任意轴的转动惯量等于它对 过质心的平行轴转动惯量加上刚体的质量与两轴垂直距离平方的乘积。 利用同样的方法可得到刚体关于 O 惯性积与关于 C 惯性积间的关系式 (5.1-11a) (5.1-11b) (5.1-11c) (5.1-7) Cz 轴的转动惯量 同理可得 (5.1-8) 为 Oz 轴与 Cz 轴的垂直距离，记为 h z 。这样式 (5.1-6) 变为 (5.1-9) (5.1-10) 右边第二项中的
高中物理机械能守恒定律知识点总结（一） 一、功 1．公式和单位：，其中是F和l的夹角．功的单位是焦耳，符号是J. 2．功是标量，但有正负．由，可以看出： (1)当0°≤<90°时，0<≤1，则力对物体做正功，即外界给物体输送能量，力是动力； (2)当＝90°时，＝0，W＝0，则力对物体不做功，即外界和物体间无能量交换． (3)当90°<≤180°时，－1≤<0，则力对物体做负功，即物体向外界输送能量，力是阻力．3、判断一个力是否做功的几种方法 (1)根据力和位移的方向的夹角判断，此法常用于恒力功的判断，由于恒力功W＝Flcosα，当α＝90°，即力和作用点位移方向垂直时，力做的功为零． (2)根据力和瞬时速度方向的夹角判断，此法常用于判断质点做曲线运动时变力的功．当力的方向和瞬时速度方向垂直时，作用点在力的方向上位移是零，力做的功为零． (3)根据质点或系统能量是否变化，彼此是否有能量的转移或转化进行判断．若有能量的变化，或系统内各质点间彼此有能量的转移或转化，则必定有力做功． 4、各种力做功的特点 (1)重力做功的特点：只跟初末位置的高度差有关，而跟运动的路径无关． (2)弹力做功的特点：对接触面间的弹力，由于弹力的方向与运动方向垂直，弹力对物体不做功；对弹簧的弹力做的功，高中阶段没有给出相关的公式，对它的求解要借助其他途径如动能定理、机械能守恒、功能关系等． (3)摩擦力做功的特点：摩擦力做功跟物体运动的路径有关，它可以做负功，也可以做正功，做正功时起动力作用．如用传送带把货物由低处运送到高处，摩擦力就充当动力．摩擦力
的大小不变、方向变化(摩擦力的方向始终和速度方向相反)时，摩擦力做功可以用摩擦力乘以路程来计算，即W＝F·l. (1)W总＝F合lcosα，α是F合与位移l的夹角； (2)W总＝W1＋W2＋W3＋?为各个分力功的代数和； (3)根据动能定理由物体动能变化量求解：W总＝ΔEk. 5、变力做功的求解方法 (1)用动能定理或功能关系求解． (2)将变力的功转化为恒力的功． ①当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功等于力和路程的乘积，如滑动摩擦力、空气阻力做功等； ②当力的方向不变，大小随位移做线性变化时，可先求出力对位移的平均值＝2F1＋F2，再由W＝lcosα计算，如弹簧弹力做功； ③作出变力F随位移变化的图象，图线与横轴所夹的?°面积?±即为变力所做的功； ④当变力的功率P一定时，可用W＝Pt求功，如机车牵引力做的功． 二、功率 1．计算式 (1)P＝tW，P为时间t内的平均功率． (2)P＝Fvcosα 5．额定功率：机械正常工作时输出的最大功率．一般在机械的铭牌上标明． 6．实际功率：机械实际工作时输出的功率．要小于等于额定功率． 方恒定功率启动恒定加速度启动
常见公式、定理、推论 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间直线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 在同一平面内过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理：同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 9 两直线平行同位角相等 10 两直线平行，内错角相等 11 同旁内角互补两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 三角形定理：任意两边的和大于第三边 16 推论：三角形任意两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
由上节的定义可知，刚体的转动惯量矩(或回转半径)与惯性积和连体基及其基点的定义有关。从例5.1-1可以看到。对于同一个基点不同方位的两个连体基，一般情况下刚体关于两基的转动惯量与惯性积各不相同，但它们有一定的关系(详见6.4节)。 本节讨论当基点改变，连体基的方向不变时刚体的转动惯量间的关系。 在刚体的质心C上建立另一个与平行的连体基。质心C相对于O的矢径为。质点P k相对 于点O与C的矢径分别为与。由图5-2可见，这些矢径有如下关系 图5-2 不同基点转动惯量的关系 (5.1-5) 由于两基平行，该矢量式在基上的坐标表达式为 (5.1-5') 其中为质心C矢径在基上的坐标阵，为P k的矢径 在基上的坐标阵。将式(5.1-5')代入(5.1-2c)，有 (5.1-6) 考虑到矢径由质心C出发，由质心的矢径与质点矢径间的关系式(2.3-24)，有
在连体基的坐标式为 (5.1-7) ，， 因此式(5.1-6)右边的后两项为零。根据定义，该式右边第一项为刚体相对于Cz轴的转动惯量J Cz，即 (5.1-8) 右边第二项中的为Oz轴与Cz轴的垂直距离，记为h z。这样式(5.1-6)变为 (5.1-9) 同理可得 (5.1-10) 式(5.1-9)与(5.1-10)描述的是刚体转动惯量的平行轴定理：刚体对任意轴的转动惯量等于它对过质心的平行轴转动惯量加上刚体的质量与两轴垂直距离平方的乘积。 利用同样的方法可得到刚体关于O惯性积与关于C惯性积间的关系式 (5.1-11a) (5.1-11b) (5.1-11c)
图示一摆由长为l均质杆与一半径为r的均质圆球刚连而成。质量分别为m1与m2。计算该摆对过O且垂直杆的z轴的转动惯量。 例5.1-2图 解： 令过点O杆绕z轴的转动惯量为，球对过质心C2的平行z轴的z2转动惯量为。由附录A 知， (1) 令球对过点O绕z轴的转动惯量为，由式(5.1-9)，考虑到式(1)，有 (2) 令整个摆对过点O绕z轴的转动惯量为，由定义式(5.1-2c)，考虑到式(1)与(2)有 质点系转动惯量与惯量积的定义
验证刚体转动的基本定律 刚体转动定律与牛顿第二定律有相同的形式。转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。它取决于刚体的总质量，质量分布、形状大小和转轴位置。对于形状简单，质量均匀分布的刚体，可以通过数学方法计算出它绕特定转轴的转动惯量，但对于形状比较复杂，或质量分布不均匀的刚体，用数学方法计算其转动惯量是非常困难的，因而大多采用实验方法来测定。 测定转动惯量常采用扭摆法或恒力矩转动法，本实验采用恒力矩转动法测定转动惯量。 刚体转动的特性被用来制作惯性导航用的陀螺仪，在航空航海中有重要应用。随着技术的进步，出现了激光陀螺仪，微机电陀螺仪等，一些智能手机中也装置有陀螺仪芯片，但其原理与刚体转动是不同的。 一、实验目的 1. 研究刚体作定轴转动时外力矩与角加速度的关系，验证刚体转动定律。 2. 用直线拟合的方法得到转动惯量和摩擦力矩。 二、转动惯量实验组合仪简介 转动惯量实验仪如图1所示，绕线塔轮通过特制的轴承安装在主轴上，使转动时的摩擦力矩很小。塔轮半径为15，20，25，30，35mm共5挡，可与大约5g的砝码托及1个5g，4个10g的砝码组合，产生大小不同的力矩。载物台用螺钉与塔轮连接在一起，随塔轮转动。随仪器配的被测试样有1个圆盘，1个圆环，两个圆柱。圆柱试样可插入载物台上的不同孔，这些孔离中心的距离分别为45, 60, 75, 90, 105mm，便于验证平行轴定理。铝制小滑轮的转动惯量与实验台相比可忽略不记。仪器底座上有两只光电门, 一只光电门作测量，一只作备用，可通过智能计时计数器记录旋转的圈数和时间。
图1 转动惯量实验组合仪 三、实验原理 1．刚体转动定律的验证：通过改变砝码的质量，或绕线在不同半径的塔轮上以实现对实验系统施加不同力矩，从而获得不同的角加速度。将这一组不同力矩及对应的角加速度绘制在直角坐标系中，可以很容易发现力矩与角加速度之间的线性关系。利用线性拟合工具软件得到力矩与角加速度之间的数学关系，其中斜率即为系统的转动惯量，截距对应摩擦力矩。 在应用这一方法时要清楚下面的事实： 将质量为m 的砝码用细线绕在半径为R 的实验台塔轮上，并让砝码下落，系统在恒外力作用下将作匀加速运动。若砝码的加速度为a ，则细线所受张力为T = m (g －a )。若此时实验台的角加速度为β，则有a = Rβ。细线施加给实验台的力矩为T R = m (g －Rβ) R ，此时有： ββμJ M R R g m =??)(, 变换为μβM mR J mgR ++=)(2， 可以知道mR 2是砝码在系统中的转动惯量。在本实验的设计中，只有当mR 2足够小, 力矩与角加速度之间才有较好的线性关系。这一点请同学们在实验中加以论证。 2．以上方法中，不可避免地使转动惯量测量受到mR 2的影响，若单纯测量转动惯量可采取以下方法： 根据刚体的定轴转动定律：
大学物理设计性实验设计报告题目：扭摆法验证平行轴定理 姓名： 学号： 专业：
扭摆法验证平行轴定理 一、实验目的 学习用扭摆法验证平行轴定理的原理和方法。 二、实验仪器 FB729型智能转动惯量综合实验仪、FB213A 数显计时计数毫秒仪、光电门、金属载物台、金属细杆、游标卡尺。 三、实验原理 扭摆的垂直轴上有一根薄片状螺旋弹簧，可以产生恢复力矩。在轴的上方可以装上各种待测物体，垂直轴与支座间有轴承，使摩擦力尽可能减小。用指示系统调整载物台水平。可通过调整底脚的螺丝来使垂直轴垂直。 将套在轴上的物体水平旋转一定角度后，在弹簧的恢复力矩作用下，物体就开始绕垂直轴作往返运动。根据胡克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M 与所转过的角度θ成正比 即 ： M ＝—θ?K （1） 式中，K 为弹簧的扭转系数。根据转动定律： β?=I M （2） 式中，I 为转动惯量，β为角加速度，由（1）和（2）得： θωθβ?=?=2-I K - 其中I K 2=ω，忽略轴承的摩擦力矩，则有： θωθθβ?-=?-==222I K dt d
则有： 0dt d 222=?+θωθ 此方程表明忽略摩擦力的扭摆运动是角简谐振动，加速度与角位移成正比，且方向相反，此方程的解为： cos A ?=θ（φω+t ） 式中A 为简谐振动的角振幅，φ为初相位，ω为角频率，此简谐振动的周期为： K I 22T π ω π == （3） 利用公式（3），测得扭摆的周期为T ，在I 和K 中已知热任意一个量时，就可以计算出另一个量。 本实验用一个转动惯量已知的物体（几何形状规则，根据它的质量和几何尺寸用理论公式计算得到），测得该物体的摆动周期，求出弹簧的K 值。若要测量其他形状物体的转动惯量，只需将待测物体安放在本仪器顶部的各种夹具上，测定其摆动周期，由公式（3）即可计算出该物体的转动惯量。 2.平行轴定理 若质量为m 的物体绕通过其质心轴EF 的转动惯量为c I ，当转轴平行移动距离x 时（如图二），则此物体对新轴CD 的转动惯量为I mx =+2c I 。这一结论称为转动惯量的平行轴定理。 四、可行性分析 转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量，是研究和描述刚体转动规律的一个重要物理量。它不仅取决于刚体的总质量，而且与刚体的形状、质量分布以及转轴位置有关。对于质量分布均匀、具有规则几何形状的刚体，可以通过数学方法计算出它绕给定转动轴的转动 惯量。对于质量分布不均匀、没有规则几何形状的刚体，用数学方法计算其转动惯量是相当困难的，通常要用实验的方法来测定其转动惯量。 扭摆法验证平行轴定理是利用了，一个物体做小幅度扭转运动的时候，运动属于简谐运动，其周期和物体的转动惯量有关。这样就可以通过测量扭转运动的周期，计算出物体的转动惯量，从而验证平行轴定理。 K 值可利用已知的规则的物体其转动惯量I 与其来回摆动的周期T 来先确定K 值，然后利用公式测量其他物体的转动惯量。 五、实验内容 1.熟悉扭摆的构造，使用方法，掌握FB729型智能转动惯量综合实验仪的正确操作要领。
刚体定轴转动定律、转动惯量 1、选择题 1、一刚体以每分钟60转绕z 轴做匀速转动(ω 沿z 轴正方向)．设某时刻刚体上一点P 的位置矢量为k j i r 5 4 3++=，其单位为“10-2 m ”，若以“10-2 m ·s -1”为速度单位，则该时刻P 点的速度为： (A) k j i 157.0 125.6 94.2++=v (B) j i 8.18 1.25+-=v (C) j i 8.18 1.25--=v (D) k 4.31=v ［ ］ 2、如图所示，A 、B 为两个相同的绕着轻绳的定滑轮．A 滑轮挂一质量为M 的物体，B 滑轮受拉力F ，而且Mg F =．设A 、B 两滑轮的角加速度 分别为βA 和βB ，不计滑轮轴的摩擦，则有 (A) βA ＝βB ． (B) βA ＞βB ． (C) βA ＜βB (D) 开始时βA ＝βB ，以后βA ＜βB . ［ ］ 3、几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上，如果这几个力的矢量和为零，则此刚体 (A) 必然不会转动． (B) 转速必然不变． (C) 转速必然改变． (D) 转速可能不变，也可能改变． ［ ］ 4、一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O 以角速度ω按图示方向转动.若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F 沿 盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度ω (A) 必然增大． (B) 必然减少． (C) 不会改变 (D) 如何变化，不能确定。 ［ ］ 5、均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动， 如图所示．今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位 置的过程中，下述说法哪一种是正确的？ (A) 角速度从小到大，角加速度从大到小． (B) 角速度从小到大，角加速度从小到大． (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小． (D) 角速度从大到小，角加速度从小到大． ［ ］ 6、关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 （A ）只取决于刚体的质量,与质量的空间分布和轴的位置无关． （B ）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关． （C ）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置． （D ）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关． ［ ］ 7、一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，滑轮的转动惯量为J ，绳下端挂一物体．物体所受重力为P ，滑轮的角加速度为β．若将物体去掉而以与P 相等的力直接向下拉绳子，滑轮的角加速度β将 (A) 不变． (B) 变小． (C) 变大． (D) 如何变化无法判断． ［ ］
刚体的转动惯量专题 1.刚体的转动惯量的三要素 刚体对某轴的转动惯量，是描述刚体在绕该轴的转动过程中转动惯性的物理量. 有转动惯量的定义式2i i I m r =∑可看出，刚体的转 动惯量是与下列三个因素有关的. （1）与刚体的质量有关. 例如半径相同的两个圆柱体，而它们的质量不同，显然，对于相应的转轴，质量大的转动惯量也较大.
（2）在质量一定的情况下，与质量的分布有关. 例如，质量相同、半径也相同的圆盘与圆环，二者的质量分布不同，圆环的质量集中分布在边缘，而圆盘的质量分布在整个圆面上，所以，圆环的转动惯量较大. （3）还与给定转轴的位置有关，即同一刚体对于不同的转轴，其转动惯量的大小也是不等的. 例如，同一细长杆，对通过其质心且垂直于杆的转轴和通过其一端且垂直于杆的转轴，二者的转动惯量不相同，且后者较大. 这是由于转轴的位置不同，从而也就影响了转动惯量的大小.
刚体的转动惯量的三要素：刚体的总质量、刚体的质量分布情况、转轴的位置. 2.转动惯量的普遍公式 （1）转动惯量的定义式 2 i i I m r =∑ ·········○ 1 可知，对于形状规则、质量均匀分布的连续刚体，其对特殊轴的转动惯量的计算可借助于定积分. 这是，可设想将刚体分成许多小线元、面元、体元.
d d d d d d m x m S m V λσρ=== 于是 222222d d d d d d l S V I r m r x I r m r S I r m r V λσρ======?????? 一般说来，这是个三重的体积分，但对于有一定对称性的物体，积分的重数可以减少，甚至不需要积分. （2）刚体对某轴的转动惯量 刚体对z 轴的转动惯量 ()()2222d d z I r z m x y m =-=+?? (2)
