【满分150分，考试时间为120分钟】
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}{}
22,1,0,2,3,|1,A B y y x x A =--==-∈，则A B I 中元素的个数是 A.2
B.3
C.4
D.5
2．i 是虚数单位，复数()z a i a R =+∈满足i z z 312
-=+，则z = A.2或5 B.2或5 C.5 D.5
3．设向量a 与b 的夹角为θ，且)1,2(-=a ，)3,2(2=+b a ，则θcos ＝ A. 3
5- B.35 C.55 D.255
- 4．已知1tan 2θ=
，则tan 24πθ??
-= ???
A.7
B.7-
C.
1
7
D.17
-
5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为 A. 4
B. 642+
C. 442+
D. 2
6．已知数列{}{},n n a b 满足1n n n b a a +=+，则“数列{}n a 为等差数列”是“数列{}n b 为等差数列”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.即不充分也不必要条件
7．执行如图所示的程序框图，则输出的a = A.1 B.1- C. 4- D.5
2
-
8．在()10
2x -展开式中，二项式系数的最大值为a ，含7x 项的系数
为b ，则
b a
= A.
80
21 B.
21
80
C.21
80
-
D.8021
-
9．设实数,x y 满足约束条件250403100x y x y x y --≤??+-≤??+-≥?
，则22
z x y =+的最小值为
B.10
C.8
D.5
10．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为
A.
3π
B.
6π
C.8π
D.4π
11．已知O 为坐标原点，F 是双曲线()22
22:10,0x y a b a b
Γ-=>>的左焦点，B A ,分别为Γ
的左、右顶点，P 为Γ上一点，且x PF ⊥轴， 过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与
y 轴交于点E ，直线BM 与y 轴交于点N ，若2OE ON =，则Γ的离心率为
A.3
B.2
C.
32 D.4
3
12．已知函数 ()()
2ln x x f x e e x -=++，则使得()()23f x f x >+ 成立的x 的取值范围是
A.()1,3-
B.()(),33,-∞-+∞U
C.()3,3-
D.()(),13,-∞-+∞U
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．曲线3y x =
与y =
所围成的封闭图形的面积为 .
14．已知{}n a 是等比数列，5371
,422
a a a =
+=，则7a = . 15．设21,F F 为椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右焦点，经过1F 的直线交椭圆C 于
B A ,两点，若AB F 2?是面积为34的等边三角形，则椭圆
C 的方程为 .
16．已知12,x x 是函数()2sin 2cos2f x x x m =+-在0,2π??
????
内的两个零点，则
()12sin x x += .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。
17.（12分）在ABC ?中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. 已知B b A c A b B A a cos 2cos sin cos cos 2
=--.
（I ）求B ； （II ）若a b 7=
，ABC ?的面积为32，求a .
18.（12分）在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1:3，且成绩分布在[]40,100，分数在80以上（含80）的同学获奖. 按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）.
（I ）在答题卡上填写下面的22?列联表，能否有超过0095的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？
文科生
理科生
合计 获奖 5
不获奖
合计
200
（II ）将上述调査所得的频率视为概率，现从该校参与竞赛的学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X ，求X 的分布列及数学期望.
附表及公式：)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=
()2P K k >
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k
2.072 2.706
3.841 5.024
6.635
7.879
19.（12分）在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=?，
PB PC PD ==.
（I ）证明：⊥PA 平面ABCD ；
（II ）若2=PA ，求二面角A PD B --的余弦值.
20.（12分）已知抛物线()2:20C x py p =>，圆22:1O x y +=.
（I ）若抛物线C 的焦点F 在圆O 上，且A 为C 和圆O 的一个交点，求AF ； （II ）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于点N M ,，求MN 的最小值及相应p 的值.
21.（12分）已知函数x x x f ln )(=
，)12
(ln )(--=ax
x x x g . （I ）求函数)(x f 的最大值；
（II ）当10,a e ??∈????
时，函数)],0(()(e x x g y ∈=有最小值，记()g x 的最小值为()h a ，
求函数()h a 的值域.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1:4C x y +=，曲线21cos :(sin x C y θ
θθ=+??=?
为参数）
， 以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （I ）求曲线12,C C 的极坐标方程；
（II ）若射线)0(≥=ραθ与曲线12,C C 的公共点分别为,A B ，求
OB
OA
的最大值．
23.[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数()()10f x a x x a a =-+->. （I ）当2a =时，求不等式4)(≤x f 的解集；
（II ）如果对于任意实数x ，1)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围．
康杰中学2018年数学（理）模拟试题（一）答案
1. B 【解析】当2x =±时，3y =；当1x =-时，0y =；当0x =时，1y =-；当3x =时，
8y =，所以{1,0,3,8}B =-，所以{1,0,3}A B =-I ，故选B.
2. C 【解析】因为2
2
2
()1(21)13z z a i a i a a a i i +=+++=-+++=-，所以
211
213
a a a ?-+=?
+=-?，解得2a =-
，所以|||2|z i =-+==，故选C. 3. A 【解析】因为(2)2(4,2)a b a b +-==r r r r ，所以(2,1)b =r
，所以
3
cos 5||||a b a b θ?===-r r r r ，故选A.
4．D 【解析】因为2
2122tan 42tan 211tan 31()2θθθ?
===--，所以tan tan 24tan(2)41tan tan 24
θθθ
π
-π-=π+＝
41134713
-
=-+，故选D. 5. B 【解析】由三视图知，该几何体是底面为斜边边长为2的等腰直角三角形、高为2的直
三棱柱，所以该几何体的表面积为1
222262
?++?=+ B. 6. A 【解析】若数列}{n a 是等差数列，设其公差为1d ，则
1212112)()(d a a a a a a b b n n n n n n n n =-=+-+=-+++++，所以数列}{n b 是等差数列.
若
数
列
}
{n b 是等差数列，设其公差为
2
d ，则
221211)()(d a a a a a a b b n n n n n n n n =-=+-+=-+++++，不能推出数列}{n a 是等差数列.所以
数列{}n a 为等差数列”是“数列{}n b 为等差数列”的充分不必要条件，故选A.
7．C 【解析】第一次循环，得1,1,2b a i =-=-=；第二次循环，得5
5,,322
b a i =-=-=；第三次循环，得4,4,4b a i =-=-=，…，以此类推，知该程序框图的周期3，又知当40i =退出循环，此时共循环了39次，所以输出的4a =-，故选C.
8. D 【解析】有题，得5
10C
a =，
3
10
3
)2(C b -=，所以21
80
)2(5
103
103-=-=C C a b ，故选D. 9. B 【解析】作出可行域，如图所示，因为22
z x y =+表示区域内的点到原点距离的平方，
由图知，1013|10003|2
2
2min
=???
?
??+-+?=z .故选B.
10. A 【解析】当正方体的下底面在半球的大圆面上，上底面的四个顶点在球的表面上时，所得工件体积与原材料体积之比选项取得最大值，此时设正方体的棱长为a ，则球的半径
为2
226
()22R a a a =+=33
63146()a ππ=
?，故选A. 11. A 【解析】易证得MFA ?∽EOA ?，则
||||
||||
MF EO FA OA =
，即 ||||||()
||||EO FA EO c a MF OA a
??-=
=
；同理MFB ?∽NOB ?， ||||||()
||||NO FB NO c a MF OB a ??+=
=
，所以||()EO c a a ?-||()NO c a a
?+=，又2OE ON =，所以2()c a a c -=+，整理，得
3c
a
=，故选A. 12. D 【解析】因为)()ln()()ln()(22x f x e e x e e
x f x x x x
=++=-++=---，所以)(x f 是
偶函数，又)(x f 在)0,(-∞单调递减，在),0(∞+单调递增，所以)2()2(+>x f x f 等价于|3||2|+>x x ，解得1-
13. 12
5【解析】由题意，所围成的封闭图形的面积为125|)4132()(10423
3
10=-=-?x x dx x x .
14. 1【解析】设数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则依题意，有412611
1
2
42a q a q a q ?=
???+=?，解得1
2182
a q ?
=??
?=?
，所以63711218a a q ==?=. 15. 22
196
x y +=【解析】由题意，知2211||||||||||AF BF AB AF BF ===+ ①，又由椭圆的
定义知，21||||AF AF +＝21||||2BF BF a += ②，联立①②，解得
224
||||||3
AF BF AB a ===
，
112
||||3
AF BF a
==，所以
2F AB
S ?
＝
21
||||sin 602
AB AF ?=，所以3a =
，12||||2F F AB ==
c =以2
2
2
6b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22
196
x y +=.
16.
【解析】因为(
)2sin 2cos2)f x x x m x m ?=+-=+-，其中
（cos ??=
=
），由函数()f x 在0,2π??
????
内的两个零点，知方
程)0x m ?+-=在0,2π??
????
内有两个根，即函数y m =
与)y x ?=+的图象在
0,2π??
????
内有两个交点，且12,x x 关于直线42x ?π=-对称，所以12x x +＝2?π-
，所以12sin()sin()cos 25
x x ??π+=-==.
17. 解：（I ）由已知及正弦定理，得
A C A
B B A A B B cos sin sin sin cos cos sin cos sin 22--= A
C A B B A A cos sin )sin sin cos (cos sin --=
A C
B A A cos sin )cos(sin -+=
B C A A C C A sin )sin(cos sin cos sin -=+-=--=， 4分
因为0sin ≠B ，所以2
1
cos -=B ， 5分 又因为π<
2π
=
B . 6分 （II ）由余弦定理，可得B ac c a b cos 2222-+=，将2
1
cos ,7-==
B a b 代入上式，
得0622=-+a ac c ，解得a c 2=， 10分
ABC ?的面积为322
3sin 212
==
=a B ac S ，解得2=a . 12分 18．解（I ）
3分
841.3167.46
25
1604015050)45351155(2002>≈=????-??=k ， 5分
所以有超过0095的把握认为“获奖与学生的文理科有关”. 6分
（II ）由表中数据可知，将频率视为概率，从该校参赛学生中任意抽取一人，抽到获奖同学的概率为
5
1
. 7分 X 的所有可能的取值为3,2,1,0，且)5
1
,3(~B X . 8分
k
k
k C k X P -?
?
?
??-???? ???==5351151)((3,2,1,0=k ). 9分
所以X 的分布列如下
11分
5
3
513)(=?=X E . 12分
19．
解：（I ）连接AC ，则ABC ?和ACD ?都是正三角形，取BC 中点E ，连接AE ，PE . 因为E 为BC 的中点，所以在ABC ?中，BC AE ⊥， 因为PC PB =，所以PE BC ⊥，
又因为E AE PE =I ，所以⊥BC 平面PAE ， 又?PA 平面PAE ，所以PA BC ⊥. 同理PA CD ⊥，
又因为C CD BC =I ，所以⊥PA 平面ABCD . 6分
（II ）以A 为坐标原点，分别以向量AP AD AE ,,的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz A -，
则)0,1,3(-B ，)0,2,0(D ，)2,0,0(P ，)2,2,0(-=PD ，)0,3,3(-=BD .
设平面PBD 的法向量为),,(z y x =m ，?????=?=?0
,0m m BD PD ，即???=+-=-033022y x z y ，
取平面PBD 的法向量)1,1,3(=m . 9分 取平面PAD 的法向量)0,0,1(=n . 10分
> | |||n m n m ??515 =. 11分 所以二面角A PD B --的余弦值是 5 15 . 12分 20.解：（I ）由题意，得)0,1(F ，从而y x C 4:2 =. 解方程组???=+=1 42 22y x y x ，得25-=A y ，所以15||-=AF . 5分 （II ）设),(00y x M ，则切线l 的方程为000 )(y x x p x y +-= ， 整理得000=--py py x x 6分 由1||=ON 得 1| |2 200=+p x py ，所以2022 02||p py p x py +=+=， 整理，得1 22 00-= y y p 且012 0>-y ， 8分 所以1211||||2 00202022-+=-+=-=y py y x OM MN 8)1(1 424114411420202020202020=-?-+≥-+-+=-+-=y y y y y y y ， 当且仅当30=y 时等号成立. 所以||MN 的最小值为22，此时31 33 2=-?= p . 12分 21.解：（I ）)(x f 的定义域为),0(∞+，2 ln 1)('x x x f -= . 当),0(e x ∈时，0)('>x f ，)(x f 单调递增； 当),(∞+∈e x 时，0)(' e f 1 )(=. 4分 （II ）?? ? ??-=-=a x x x ax x x g ln ln )('，由（I ）及],0(e x ∈得： ①若e a 1= ，0ln ≤-a x x ，0)('≤x g ，)(x g 单调递减， 当e x =时，)(x g 的最小值2 )()(e e g a h -==. 6分 ②若????? ?∈e a 1, 0，a f ≤=0)1(，a e e f >=1 )(， 所以存在),1[e t ∈，0)('=t g 且at t =ln ， 当),0(t x ∈时，0)(' 所以)(x g 的最小值)12 ln ()12ln (ln )12(ln )()(-=--=-- ==t t t t t at t t t g a h . 9分 令t t t t -=2ln )(?，),1[e t ∈. 2 1 ln )('-= t t ?， 当∈x ),1(e 时，0)(' ? ??-- ∈1,2)(e t ?，即 ?? ? ??--∈1,2)(e a h . 11分 由①②可知，)(a h 的值域是?? ? ???-- 1,2e . 12分 22．解：（I ）曲线1C 的极坐标方程为4)sin (cos =+θθρ， 曲线2C 的普通方程为1)1(2 2 =+-y x ，所以曲线2C 的极坐标方程为θρcos 2=. 4分 （II ）设),(1αρA ，),(2αρB ，因为,A B 是射线αθ=与曲线12,C C 的公共点，所以不妨设2 4 π απ ≤ <- ，则α αρsin cos 4 1+= ，αρcos 22=， 6分 所以 )sin (cos cos 24 1 ||||12αααρρ+?==OA OB ?? ? ???+-=++= 1)42cos(241)12sin 2(cos 41πααα， 8分 所以当8 π α= 时， | |||OA OB 取得最大值41 2+. 10分 23．解：（I ）?? ? ??>-≤≤<+-=-+-=2,43;21,;1,43|2||1|2)(x x x x x x x x x f . 所以，)(x f 在]1,(-∞上递减，在),1[∞+上递增， 又4)38()0(==f f ，故4)(≤x f 的解集为}3 80|{≤≤x x . 4分 （II ）①若1>a ，|1|)1(|||1||1|)1()(--≥-+-+--=x a a x x x a x f 1|1||1||1|)1(|)()1(|-=-≥-+--=---+a a a x a a x x ， 当且仅当1=x 时，取等号，故只需11≥-a ，得2≥a . 6分 ②若1=a ，|1|2)(-=x x f ，10)1(<=f ，不合题意. 7分 ③若10< ||)1(a x a --+)1(|1|||)1(|1|a a a a a x a a a -=-≥--+-=， 当且仅当a x =时，取等号，故只需1)1(≥-a a ，这与10< 高三理科数学限时训练 一、选择题(本大题共10小题,每题5分,共50分.每题都给出四个结论，其中有且只有一个 结论是正确的.) 1. 复数z 满足(2)z z i =+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 2. 已知实数a ≠0，函数2,1()2,1x a x f x x a x + 高考数学选择题专项训练（二） 1、函数y =cos 4x -sin 4x 图象的一条对称轴方程是（ ）。 （A ）x =-2π （B ）x =-4π （C ）x =8 π （D ）x =4π 2、已知l 、m 、n 为两两垂直且异面的三条直线，过l 作平面α与m 垂直，则直线n 与平面α的关系是（ ）。 （A ）n //α （B ）n //α或n ?α （C ）n ?α或n 不平行于α （D ）n ?α 3、已知a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，且xy ≠0，那么y c x a +的值为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4、如果在区间[1, 3]上，函数f (x )=x 2+px +q 与g (x )=x + 21x 在同一点取得相同的最小值，那么下列说法不对．． 的是（ ）。 （A ）f (x )≥3 (x ∈[1, 2]) （B ）f (x )≤4 (x ∈[1, 2]) （C ）f (x )在x ∈[1, 2]上单调递增 （D ）f (x )在x ∈[1, 2]上是减函数 5、在(2+43)100展开式中，有理数的项共有（ ）。 （A ）4项 （B ）6项 （C ）25项 （D ）26项 6、等比数列{a n }的公比q <0，前n 项和为S n , T n =n n a S ，则有（ ）。 （A ）T 1 7、设集合A ＝ο/，集合B ＝{0}，则下列关系中正确的是（ ） （A ）A ＝B （B ）A ?B （C ）A ?B （D ）A ?B 8、已知直线l 过点M （－1，0），并且斜率为1，则直线l 的方程是（ ） （A ） x ＋y ＋1＝0 （B ）x －y ＋1＝0 （C ）x ＋y －1＝0 （D ）x ―y ―1＝0 9、已知集合A ＝{整数}，B ＝{非负整数}，f 是从集合A 到集合B 的映射，且f ：x → y ＝x 2（x ∈A ，y ∈B ），那么在f 的作用下象是4的原象是（ ） （A ）16 （B ）±16 （C ）2 （D ）±2 10、已知函数y ＝1 -x x ,那么（ ） （A ）当x ∈（－∞，1）或x ∈（1，＋∞）时，函数单调递减 （B ）当x ∈（－∞，1）∪（1，＋∞）时，函数单调递增 （C ）当x ∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递减 （D ）当x ∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递增 11、在(2－x )8的展开式中，第七项是（ ） （A ）112x 3 （B ）－112x 3 （C ）16x 3x （D ）－16x 3x 12、设A ＝{x | x 2＋px ＋q ＝0},B ＝{x | x 2＋(p －1)x ＋2q ＝0}, 若A ∩B ＝{1}，则（ ）。 （A ） A ?B （B ）A ?B （C ）A ∪B ＝{1, 1, 2} （D ）A ∪B ＝(1,－2) 2018届高考数学立体几何（理科）专题02 二面角 1．如图，在三棱柱111ABC A B C -中， 1,90A A AB ABC =∠=?侧面11A ABB ⊥底面ABC . (1)求证： 1AB ⊥平面1A BC ； (2)若15360AC BC A AB ==∠=?，，,求二面角11B A C C --的余弦值. 2．如图所示的多面体中，下底面平行四边形与上底面平行，且，,，，平面 平面，点为的中点． （1）过点作一个平面与平面平行，并说明理由； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， 2AB AD =， BD =，且PD ⊥底面ABCD . （1）证明：平面PBD ⊥平面PBC ； （2）若Q 为PC 的中点，且1AP BQ ?=u u u v u u u v ，求二面角Q BD C --的大小. 4．如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体，其底面四边形是边长为2的菱形，，平面. （1）求证：； （2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值. 5．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E 、F 分别为BC 、AP 中点. （1）求证： //EF 平面PCD ； （2）若0 ,120,AD AP PB APB ==∠=，求平面DEF 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值. 6．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形, ,90AD BC ADC ∠=o P ,平面PAD ⊥底面ABCD , Q 为AD 中点, M 是棱PC 上的点, 1 2,1,2 PA PD BC AD CD === ==（Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点,求证: PA P 平面BMQ ; （Ⅱ）求证:平面PQB ⊥平面PAD ; （Ⅲ）若二面角M BQ C --为30o ,设PM tMC =,试确定t 的值. 高考数学选择题专项训练（十）1、平面α与平面β平行，它们之间的距离为d (d>0)，直线a在平面α内，则在平面β内与直线a相距2d的直线有（）。 （A）一条（B）二条（C）无数条（D）一条也没有2、互不重合的三个平面可能把空间分成（）部分。 （A）4或9 （B）6或8 （C）4或6或8 （D）4或6或7或8 3、若a, b是异面直线，a?α,b?β,α∩β＝c，那么c（）。（A）同时与a, b相交（B）至少与a, b中一条相交（C）至多与a, b中一条相交（D）与a, b中一条相交, 另一条平行4、直线a//平面M，直线b?/M, 那么a//b是b//M的（）条件。（A）充分不必要（B）必要而不充（C）充要（D）不充分也不必要5、和空间不共面的四个点距离相等的平面的个数是（）。 （A）7个（B）6个（C）4个（D）3个 6、在长方体相交于一个顶点的三条棱上各取一个点，那么过这三点的截面一定是（）。 （A）三角形或四边形（B）锐角三角形（C）锐角三角形或钝角三角形（D）钝角三角形7、圆锥底面半径为r，母线长为l，且l>2r, M是底面圆周上任意一点，从M拉一条绳子绕侧面转一周再回到M，那么这条绳子的最短长 度是（ ）。 （A ）2πr （B ）2l （C ）2lsin l r π （D ）lcos l r π 8、α、β是互不重合的两个平面，在α内取5个点，在β内取 4个点，这些点最多能确定的平面个数是（ ）。 （A ） 142 （B ）72 （C ）70 （D ）66 9、各点坐标为A(1, 1)、B(－1, 1)、C(－1, －1)、D(1, －1)，则 “点P 在y 轴”是“∠APD ＝∠BPC ”的（ ）。 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）不充分也不必要条件 10、函数y ＝1－|x －x 2|的图象大致是（ ）。 （A ） （B ） （C ） （D ） 11、若直线y ＝x ＋b 和函数y ＝21x -有两个不同的交点，则b 的取值范围是（ ）。 （A ）(－2, 2) （B ）[－2, 2] （ C ）(－∞,－2)∪[2, ＋∞） （D ）[1, 2） 高考理科数学试题分类汇编：1集合 一、选择题 1 . （普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集{}1,2,3,4U =, 集合{}=12A ， ,{}=23B ，,则()=U A B e( ) A. {}134， ， B. {}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 . （普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ，则 A. ()01， B. (]02， C. ()1,2 D. (]12， 【答案】D 3 . （普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 . （普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意 12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”. 以下集合 对不是“保序同构”的是( ) A. *,A N B N == B. {|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C. {|01},A x x B R =<<= D. ,A Z B Q == 【答案】D 5 . （高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 . （普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合A ={0,1,2},则集合B ={} ,x y x A y A -∈∈中元素的个数是 学案37 合情推理与演绎推理 导学目标： 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异． 自主梳理 自我检测 1．(2010·)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x) 等于( ) A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) 2．(2010·质检)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)： ①“若a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0?a＝b”； ②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i?a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2?a＝c，b＝d”； ③“若a，b∈R，则a－b>0?a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0?a>b”．其中类比结论正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 3．(2009·)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．4．(2010·)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________________________． 5．(2011·月考)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为___________________________________________． 探究点一归纳推理 2020年高考数学（江苏）第20题优美解 试题 .已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：2 2 1n n n n n b a b a a ++= +，*N n ∈， （1）设n n n a b b +=+11 ，*N n ∈，求证：数列2 n n b a ???? ?? ?? ? ?? ???? 是等差数列； （2）设n n n a b b ? = +21，*N n ∈，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 解法1：（1）∵n n n a b b + =+11，∴11222 1n n n n n n n n a a b b a ++= +?? + ??? 。 ∴ 2 111n n n n b b a a ++??=+ ??? ∴ ()2 2 2 221111*n n n n n n n n b b b b n N a a a a ++????????-=+-=∈ ? ? ? ????????? 。 ∴数列2 n n b a ?????? ?? ??????? 是以1 为公差的等差数列。 （2）∵00n n a >b >，，∴ () ()2 2 222 n n n n n n a b a b 知0q >，下面用反证法证明=1q 若1,q >则2 12= 2a a 时，112n n a a q += 若01, 高考数学选择题专项训练（九） 1、如果(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋……＋(1＋x)50＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋……＋a 50x 50，那么a 3等于（ ）。 （A ）2350C （B ）351C （C ）451C （D ）450C 2、299除以9的余数是（ ）。 （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）8 3、化简)4 sin()4cos()4sin()4cos(x x x x +π++π+π-+π的结果是（ ） 。 （A ）－tanx （B ）tan 2 x （C ）tan2x （D ）cotx 4、如果函数y ＝f (x)的图象关于坐标原点对称，那么它必适合关系式（ ）。 （A ）f (x)＋f (－x)＝0 （B ）f (x)－f (－x)＝0 （C ）f (x)＋f －1(x)＝0 （D ）f (x)－f －1(x)＝0 5、画在同一坐标系内的曲线y ＝sinx 与y ＝cosx 的交点坐标是（ ）。 （A ）(2n π＋2π, 1), n ∈Z （B ）(n π＋2 π, (－1)n), n ∈Z （C ）(n π＋4π, 2)1(n -), n ∈Z （D ）(n π, 1), n ∈Z 6、若sin α＋cos α＝2，则tan α＋cot α的值是（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）－1 （D ）－2 7、下列函数中，最小正周期是π的函数是（ ）。 （A ）f (x)＝ 22tan 1tan x x ππ+ （B ）f (x)＝22tan 1tan x x - （C ）f (x)＝cos 22x －sin 22x （D ）f (x)＝2sin 2 (x －2 3π) 8、在△ABC 中，sinBsinC ＝cos22A ，则此三角形是（ ）。 （A ）等边三角形 （B ）三边不等的三角形 （C ）等腰三角形 （D ）以上答案都不对 9、下列各命题中，正确的是（ ）。 （A ）若直线a, b 异面，b, c 异面，则a, c 异面 （B ）若直线a, b 异面，a, c 异面，则b, c 异面 （C ）若直线a//平面α，直线b ?平面α，则a//b （D ）既不相交，又不平行的两条直线是异面直线 10、斜棱柱的矩形面(包括侧面与底面)最多共有（ ）。 （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）6个 11、夹在两平行平面之间的两条线段的长度相等的充要条件是（ ）。 （A ）两条线段同时与平面垂直 （B ）两条线段互相平行 （C ）两条线段相交 （D ）两条线段与平面所成的角相等 12、如果正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧棱与底面所成的角θ 应属于下列区间（ ）。 （A ）(0, 6π) （B ）(4π, 3π) （C ）(6π, 4π) （D ）(3π, 2π) 1. 【2014江西高考理第8题】若1 2 ()2(),f x x f x dx =+? 则1 ()f x dx =?（ ） A. 1- B.13- C.1 3 D.1 2. 【2014江西高考理第14题】若曲线x y e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是________. 3. 【2014辽宁高考理第11题】当[2,1]x ∈-时，不等式32 430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9 [6,]8 -- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 4. 【2014全国1高考理第11题】已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．()1,+∞ C ．(),2-∞- D ．(),1-∞- 5. 【2014高考江苏卷第11题】在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2 b y ax x =+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += . 【答案】3- 6. 【2014高考广东卷理第10题】曲线25+=-x e y 在点()0,3处的切线方程为 . 7. 【2014全国2高考理第8题】设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 【2014全国2高考理第12题】设函数()x f x m π=.若存在()f x 的极值点0x 满足 ()2 22 00x f x m + A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2010·山东)函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )． 解析 在同一坐标系中作出y ＝2x 与y ＝x 2的图象可知，当x ∈(－∞，m )∪(2,4)，y <0，；当x ∈(m,2)∪(4，＋∞)时，y >0，(其中m <0)，故选A. 答案 A 2．(2012·合肥模拟)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于任意的x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 010)＋f (2 011)的值为( )． A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 解析 ∵f (x )是偶函数， ∴f (－2 010)＝f (2 010)． ∵当x ≥0时，f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是周期为2的周期函数， ∴f (－2 010)＋f (2 011)＝f (2 010)＋f (2 011) ＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 22＝0＋1＝1. 答案 C 3．(2012·人大附中月考) 设函数y ＝x 3与y ＝????12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )． A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 解析 (数形结合法)如图所示． 由1 4．(2011·四川)函数y ＝????12x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )． 解析 函数y ＝????12x ＋1的图象如图；作其关于直线y ＝x 的对称图象，可知选A. 答案 A 5．(2010·辽宁)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )． A.10 B ．10 C ．20 D ．100 解析 由已知条件a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，又1a ＋1 b ＝2，则log m 2＋log m 5＝2，即log m 10＝2， 解得m ＝10. 答案 A 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________． 解析 (数形结合法) 由图象可知0＜2a ＜1，∴0＜a ＜1 2. 答案 ??? ?0，12 7．若3a ＝0.618，a ∈[k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 解析 ∵3－ 1＝13，30＝1，13＜0.618<1，∴k ＝－1. 答案 －1 8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 近年高考数学选择题经典试题集锦 1、点O 在ABC ?内部且满足23OA OB OC O ++=，则A O B ?面积与AOC ?面积之比为 A 、 2 B 、 32 C 、3 D 、 5 3 2、已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04??- ???成中心对称图形，且满足 3()()2f x f x =-+，(1)1f -=，(0)2f =-则(1)(2)(2006)f f f ++???+的值为 A 、1 B 、2 C 、 1- D 、2- 3、椭圆1:C 22 143x y +=的左准线为l ，左右焦点分别为12,F F 。抛物线2C 的准线为l ，焦 点是2F ，1C 与2C 的一个交点为P ，则2PF 的值为 A 、43 B 、8 3 C 、 4 D 、8 4、若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的体积为 A 、 16(12)- B 、 18π C 、 36π D 、 64(6)- 5、设32()f x x bx cx d =+++，又k 是一个常数，已知当0k <或4k >时，()0f x k -=只有一个实根；当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根，现给出下列命题： （1）()40f x -=和()0f x '=有一个相同的实根， （2）()0f x =和()0f x '=有一个相同的实根 （3）()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根 （4）()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根 其中错误命题的个数是 A 、 4 B 、 3 C 、 2 D 、 1 6、已知实数x 、y 满足条件2040 250x y x y x y -+≥??+-≥??--≤?则24z x y =+-的最大值为 高考数学《集合》专项 练习(选择题含答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2 《集合》专项练习参考答案 1．（2016全国Ⅰ卷，文1，5分）设集合，，则A ∩B ＝（ ） （A ）{1，3} （B ）{3，5} （C ）{5，7} （D ）{1，7} 【解析】集合A 与集合B 的公共元素有3，5，故}5,3{=B A ，故选B ． 2．（2016全国Ⅱ卷，文1，5分）已知集合，则A ∩B ＝（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 【解析】由29x <得33x -<<，所以{|33}B x x =-<<，因为{1,2,3}A =，所以{1,2}A B =，故选D ． 3．（2016全国Ⅲ卷，文1，5分）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ＝（ ） （A ）{48}， （B ）{026}，， （C ）{02610}，，， （D ） {0246810}，，，，， 【解析】由补集的概念，得{0,2,6,10}A B =，故选C ． 4．（2016全国Ⅰ卷，理1，5分）设集合， ， 则A ∩B ＝（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 【解析】对于集合A ：解方程x 2－4x ＋3＝0得，x 1＝1，x 2＝3，所以A ＝{x |1＜x ＜3}（大于取两边，小于取中间）．对于集合B ：2x －3＞0，解得x ＞ 23．3{|3}2 A B x x ∴=<<．选D ． 5．2016全国Ⅱ卷，理1，5分）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）(31) -， （B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， 【解析】要使复数z 对应的点在第四象限，应满足3010 m m +>??-，则S ∩T ＝（ ） (A) [2，3] (B)（－∞ ，2] [3，＋∞） (C) [3，＋∞） (D)（0，2] [3，＋∞） {1,3,5,7}A ={|25}B x x =≤≤{123}A =， ，，2{|9}B x x =<{210123}--，，，，，{21012}--，，，，{123}， ，{12}，2{|430}A x x x =-+<{|230}B x x =->3(3,)2--3(3,)2-3(1,)2 3(,3)2 解析几何 1．直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角的范围为[0，π)． （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k ＝y 1－y 2 x 1－x 2(x 1≠x 2)；③直 线的方向向量a ＝(1，k )；④应用：证明三点共线：k AB ＝k BC . [问题1] （1）直线的倾斜角θ越大，斜率k 就越大，这种说法正确吗？ （2）直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是________． 2．直线的方程 （1）点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，其斜率为k ，则直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，它不包括垂直于x 轴的直线． （2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线． （3）两点式：已知直线经过P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)两点，则直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，它不包括垂直于坐标 轴的直线． （4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a ，b ，则直线方程为x a ＋y b ＝1，它不包括垂直于坐标轴的直 线和过原点的直线． （5）一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的形式． [问题2] 已知直线过点P (1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________． 3．点到直线的距离及两平行直线间的距离 （1）点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C | A 2＋ B 2； （2）两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝ |C 1－C 2|A 2 ＋B 2. [问题3] 两平行直线3x ＋2y －5＝0与6x ＋4y ＋5＝0间的距离为________． 4．两直线的平行与垂直 ①l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l 1∥l 2?k 1＝k 2；l 1⊥l 2?k 1·k 2＝－1. ②l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有l 1∥l 2?A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝0. 特别提醒：(1)A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2、A 1A 2≠B 1B 2、A 1A 2＝B 1B 2＝C 1 C 2仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件；(2)在解 析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线． [问题4] 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝________时，l 1∥l 2；当m ＝________时，l 1⊥l 2；当________时l 1与l 2相交；当m ＝________时，l 1与l 2重合． 5．圆的方程 （1）圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. （2）圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，只有当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0才表示圆心为(－D 2，－E 2)，半径为1 2D 2＋E 2－4F 的圆． [问题5] 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________. 6．直线、圆的位置关系 （1）直线与圆的位置关系 直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)有相交、相离、相切．可从代数和几何两个方面来判断： ①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0?相交；Δ<0?相离；Δ＝0?相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d 21.已知函数1()ln f x x a x x =-+ （1）讨论()f x 的单调性 （2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明 1212 ()()2f x f x a x x -<-- 解：（1）依题意可知()f x 定义域为(0,)+∞ 22211()1a x ax f x x x x -+-'=--+=，令2()1g x x ax =-+-，()2g x x a '=-+ ()02 a g x x '=?=取极大值，则2(124a a g =- 1°22a -≤≤时 (0,)x ∈+∞时()0g x ≤，即()0f x '≤，()f x 在(0,)+∞上单调减少； 2°2a <-时 (0,)x ∈+∞时()0g x '<，即()(0)1g x g <=-，即()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调减少； 2°2a >时 令()0g x = ，12a x = ，22 a x = (0,2 a x ∈时()0g x <，即()0f x '<，()f x 单调减少 (22 a a x +∈，时()0g x >，即()0f x '>，()f x 单调增加 (,)2 a x +∈+∞时()0g x <，即()0f x '<，()f x 单调减少 （2）证明：由（1）得2a >，且2 ()10g x x ax =-+-=，12x x a +=，121x x = 而1122121212121212 11ln ln ()()ln ln 2x a x x a x f x f x x x x x a x x x x x x -+--+--==----（） 即需证明1212 ln ln 1x x x x -<-， 121x x = ，12122222222111ln ln ()ln ln 2ln x x x x x x x x x x x ∴---=--+=-+-， 又 2a =时，根据（1）得1()2ln h x x x x =-+，在(0,)+∞上单调减少， 2()(0)0h x h <=，所以 2221+2ln 0x x x -<，即1212ln ln x x x x -<- 而12x x <，∴1212ln ln 1x x x x -<-，即证。 三基小题训练一 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数y =2x +1的图象是 （ ） 2.△ABC 中，cos A = 135 ，sin B =53,则cos C 的值为 （ ） A. 65 56 B.－6556 C.－6516 D. 65 16 3.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.多于3 4.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 （ ） A.f (x ·y )=f (x )·f (y ) B.f (x ·y )=f (x )+f (y ) C.f (x +y )=f (x )·f (y ) D.f (x +y )=f (x )+f (y ) 5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ） A.b ∥α,c ∥β B.b ∥α,c ⊥β C.b ⊥α,c ⊥β D.b ⊥α,c ∥β 6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ） A.14 B.16 C.18 D.20 7.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ） A.8种 B.10种 C.12种 D.32种 8.若a ,b 是异面直线，a ?α,b ?β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ ） A.l 与a 、b 分别相交 B.l 与a 、b 都不相交 C.l 至多与a 、b 中的一条相交 D.l 至少与a 、b 中的一条相交 选修4经典回顾 主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师 开篇语 选修系列4在高考中主要考查4—1中的几何证明选讲、4—4中的坐标系与参数方程、4—5中的不等式选讲三个专题内容．围绕着三部分内容的试题，既有选择题和填空题，又有解答题．因此在第一轮复习中必须围绕上述核心考点，选择相关的问题进行求解训练，提高解决不等式问题能力 开心自测 题一：不等式|21|35x x -++≤的解集是_______________． 题二：如图，,AB CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，他们相交于AB 的中点P ，23a PD = ，30OAP ∠=?，则CP ＝_________． 考点梳理 选修4—1几何证明选讲部分： 1．垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． D 2．圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．圆内接四边形的性质定理： 圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内角的对角． 4．圆内接四边形的判定定理： 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果一个四边形的外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 5．切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等． 6．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 7．相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 8．切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 选修4—4中的坐标系与参数方程部分： 1. 极坐标与直角坐标的关系 设点M的直角坐标为(x，)y，极坐标为(ρ，)θ， 则 cos, sin. x y ρθ ρθ = ? ? = ? 或 222, tan(0). x y y x x ρ θ ?=+ ? ? =≠ ?? 专项小测(二十四) “20题、21题” 时间：45分钟 满分：24分 20.(12分) 已知函数f (x )＝ a cos x x ＋ b ，曲线y ＝f (x )在点? ????π2 ，f ? ????π2处的切线方程为6x ＋πy －2π＝0. (1)求f (x )的解析式； (2)判断方程f (x )＝32π－1在(0,2π]内的解的个数，并加以证明． 解：(1)直线6x ＋πy －2π＝0的斜率为－6π，过点? ?? ??π2，－1，f ′(x )＝－a (x sin x ＋cos x )x 2，则f ′? ????π2＝－2a π ＝－6π，即a ＝3， (2分) 又f ? ?? ??π2＝b ＝－1，所以f (x )＝3cos x x －1. (4分) (2)方程f (x )＝32π－1在(0,2π]上有3个解． (5分) 证明：令g (x )＝f (x )－32π＋1＝3cos x x －32π ， 则g ′(x )＝－3(x sin x ＋cos x )x 2. 又g ? ????π6＝93π－32π＞0，g ? ?? ??π2＝－32π＜0， 所以g (x )在? ????0，π2上至少有一个零点． 又g (x )在? ????0，π2上单调递减，故在? ????0，π2上只有一个零点．(7分) 当x ∈? ?? ??π2，3π2时，cos x ＜0，故g (x )＜0， 所以函数g (x )在? ????π2 ，3π2上无零点； (8分) 当x ∈???? ??3π2，2π时， 令h (x )＝x sin x ＋cos x ，h ′(x )＝x cos x ＞0， 所以h (x )在??????3π2，2π上单调递增，h (2π)＞0，h ? ????3π2＜0， 所以?x 0∈? ????3π2，2π，使得g (x )在???? ??3π2，x 0上单调递增，在(x 0,2π]上单调递减． 专题训练（一） （每个专题时间：35分钟，满分：60分） 1 ．函数y = 的定义域是（ ） A ．[1,)+∞ B ．2 3(,)+∞ C ．2 3[,1] D ．23(,1] 2．函数221 ()1x f x x -=+, 则(2)1()2 f f = （ ） A ．1 B ．－1 C ．35 D ．3 5- 3．圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为（ ） A ．2 B C ．1 D 4．不等式2 21 x x + >+的解集是 （ ） A ．(1,0)(1,)-+∞U B ．(,1)(0,1)-∞-U C ．(1,0)(0,1)-U D ．(,1)(1,)-∞-+∞U 5．sin163 sin 223sin 253sin313+=o o o o （ ） A ．12- B ．12 C ． D 6．若向量r r a 与b 的夹角为60o ，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-r r r r r ,则向量a r 的模为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 7．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。那么p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题 （ ） ① ////m m αββα? ???? ② //////m n n m ββ? ??? ③ ,m m n n αβ?? ???? 异面 ④ //m m αββα⊥? ?⊥?? 其中假命题有：（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 9． 若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S > 成立的最大自然数n 是 （ ） A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．4008 10．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此 双曲线的离心率e 的最大值为 （ ） A ．43 B ．53 C ．2 D ．73 11．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮 使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为 （ ） A ．2140 B ．1740 C ．310 D ．7120 12． 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形 孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是(完整word版)高三理科数学选择题填空题专项训练
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